On thi thpt toan 2014 2015

   
Chủ đề 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số – Các bài toán
liên quan đến đồ thị hàm số
 Sơ đồ khảo sát hàm số:
Sơ đồ chung Hàm đa thức Hàm hữu tỷ
ax b
y
cx d



 Tập xác định D = R. D = R {
d
c
}
 Giới hạn
(Phụ thuộc dấu
của hệ số lũy
thừa bậc cao
nhất)

  lim :
x
a a
y y TCN
c c
( )
lim :d
x
c
d
y x TC
c
 
     §
(Lưu ý tách xét riêng các giới hạn)
 Đạo hàm



/
2
( )
ad bc
y
cx d
 Bảng biến
thiên
(Lưu ý giới hạn ở các biên)
 Chiều biến
thiên
(Kết luận tính
đơn điệu và cực
trị hàm số)
Hsố đồng biến (nghịch biến) trên
các khoảng (;
d
c
) và ( d
c
; +)
tùy vào dấu của (ad  bc).
Hàm số không có cực trị.
 Đồ thị
Nêu giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
Vẽ đồ thị Vẽ các tiệm cận và đồ thị
 Các dạng đồ thị hàm số:
 Hàm số bậc 3: y = ax3
+ bx2
+ cx + d (a  0) ( chỉ nêu 4/6 dạng đồ thị)
x
y
O

I
x
y
O

I
a < 0a > 0
Dạng 2: hàm số không có cực trị  ?
x
y
O

I
x
y
O
 I
a < 0a > 0
Dạng 1: hàm số có 2 cực trị  ?

 Hàm số trùng phƣơng: y = ax4
+ bx2
+ c (a  0)
 Hàm số nhất biến : ( 0)
ax b
y ad bc
cx d

  

 Các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số:
Bài toán 1: :
* Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = g(m) (1)
* Đ à phương trình hoành đ gi o đi m c :
(C): y f x
(d): y g m Oxcïng ph¬ng víi
* Dự vào đồ thị C , t có:
+ g(m) < yCT ……………………….............................................................................
+ g(m) = yCT ……………………….............................................................................
+ yCT < g(m) < yCĐ ………………................................................................................
+ g(m) = yCĐ ……………………….............................................................................
+ g(m) > yCĐ ……………………….............................................................................
: Nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương trình có đúng 3
nghiệm, 4 nghiệm…ta chỉ cần chỉ rỏ các trường hợp thỏa đề
Bài toán 2: (C): y = f(x)
 Dạng 1: Viết phương trình tiếp tu ến c C : = f x tại M0(x0;y0)  (C).
 Bước 1: Nêu dạng pttt : y = y’ x0) 0x x + y0 (*)
 Bước 2: Dự vào đề bài tìm các thành phần chư có x0, y0, f’ x0) thay vào (*).
Rút gọn t có kết quả
 Dạng 2: Viết pttt c C : = f x biết hệ số góc k c tiếp tu ến.
h : biết tiếp tu ến song song, vuông góc với 1 đường thẳng d) )
x
y
O x
y
O
a < 0a > 0
x
y
O x
y
O
a < 0a > 0
y
I
x
y
O
Dạng 2: hàm số nghịch biếnDạng 1: hàm số đồng biến
xO
I

 Bước 1: Gọi M x0; y0 à tiếp đi m
 Bước 2: Dự vào đề bài ập phương trình y’ x0) = ktt  ..  x0 hoành đ tiếp
đi m
 Bước 2: Tìm 0 và th vào dạng = ’ x0) (x – x0) + y0. t có kết quả
: Tiếp tu ến song song với d: y = ax + b  ktt = kd  y’ x0) = a
Tiếp tu ến vuông góc với d: y = ax + b ≠ 0  ktt =
d
1
k
  y’ x0) =
1
a

Bài toán 3:
Cho 2 ñoà thò 1(C ) y f(x) ; 2(C ) y g(x)
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 1(C ) vaø 2(C ) laø: f(x) g(x) (*)
Soá giao ñieåm cuûa 1(C ) vaø 2(C ) chính laø soá nghieäm cuûa phöông trình (*)
(*) voâ nghieäm  1(C ) vaø 2(C ) khoâng coù ñieåm chung
(*) coù n nghieäm  1(C ) vaø 2(C ) coù n ñieåm chung
Ví dụ 1: Cho hàm số: 3 2
2 3 2y x x    có đồ thị C
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C c hàm số
2/ Viết PTTT c đồ thị C tại đi m uốn c đồ thị C
3/ Dự vào đồ thị C , biện uận theo m số nghiệm c pt: 3 2
2 3 2
2
m
x x   
Ví dụ 2: Cho hàm số:
4
2
2
x
y x  có đồ thị C
2/ Tìm m đ pt 4 2
2 0x x m   có 4 nghiệm ph n biệt
3/ Viết PTTT c C biết tiếp tu ến song song với đường thẳng d: y = 12x + 2
Ví dụ 3: Cho hàm số:
3
2 1
x
y
x



có đồ thị C
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đthị C c hàm số
2/ Viết pt tiếp tu ến c đồ thị C tại gi o đi m c C với trục tung
3/ Chứng minh rằng: đường thẳng = –x – m uôn cắt đồ thị C tại 2 đi m pbiệt
Bài 1: Cho hàm số: 3
3 1y x x    có đồ thị C

2/ Dự vào đồ thị biện uận theo m số nghiệm c pt 3
3 1 0x x m   
3/ Viết pt tiếp tu ến c đồ thị C tại đi m có tung đ bằng 1
Bài 2: Cho hàm số: 3
3y x  có đồ thị C
2/ Viết pt tiếp tu ến c đồ thị C tại đi m có tung đ bằng –11
Bài 3: Cho hàm số: y = x3
+ 3x2
+ 3x + 1 có đồ thị C
2/ Viết pt tiếp tu ến c đồ thị C , biết hệ số góc c tiếp tu ến bằng 3.
Bài 4: Cho hàm số:  2
3y x x 
2/ Viết PTTT c đồ thị C tại đi m  1; 2M 
3/ Tìm m đ pt 3
3 2 0x x m    có 3 nghiệm ph n biệt
Bài 5: Cho hàm số:  2
3y x x 
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đthị C c hsố
2/ Viết pttt c đồ thị C tại gi o đi m c C với trục hoành
3/ Tìm m đ pt 3 2
3 0x x m   có 3 nghiệm ph n biệt
Bài 6: Cho hàm số: 3 2
2 3 1y x x  
2/ Gọi A à gi o đi m có hoành đ m c đồ thị C với đường thẳng 1y   . Viết pt
tiếp tu ến c đồ thị C tại đi m A
3/ Tìm m đ pt: 3 2
2 3 0x x m    có 3 nghiệm ph n biệt
Bài 7: Cho hàm số: = – x3
+ 6x2
– 9x
2/ Tìm m đ pt x3
– 6x2
+ 9x + m + 2 = 0 có 3 nghiệm ph n biệt
3/ Gọi A à gi o đi m c C và đường thẳng = – 4 Viết pttt c C tại đi m A
Bài 8: Cho hàm số: y = – x4
+ 2x2
– 3
2/ Viết pttt c đthị C tại đi m có hoành đ à 2
3/ Tìm m đ pt : x4
– 2x2
+ m = 0 có 3 nghiệm ph n biệt
Bài 9: Cho hàm số: 4 23
1
10
y x x    có đồ thị C
2/ Tìm m đ đường thẳng d: = m+2 cắt C tại 2 đi m ph n biệt
Bài 10: Cho hàm số: y = – x4
– 2x2
+ 3
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị C c hàm số
2/ Viết PTTT c C , biết tiếp tu ến song song với đường thẳng d: y = 8x
3/ Biện uận theo m số nghiệm c pt: x4
+ 2x2
+ m – 3 = 0
Bài 11: Cho hàm số: = x4
– 2x2
– 3 có đồ thị C
2/ Tìm m đ phương trình x4
– 2x2
– m = 0 có 4 nghiệm ph n biệt
3/ Viết pt tiếp tu ến c đthị C , tại đi m có hoành đ à nghiệm c pt ” = 44

Bài 12: Cho hàm số:
12
3



x
x
y
2/ Viết PTTT c C tại gi o đi m c C với trục tung.
3/ CMR đường thẳng d: = x + m uôn cắt C tại h i đi m ph n biệt
Bài 13: Cho hàm số =
2
1
x
x
.
2/ Tìm trên C những đi m có tọ đ à các số ngu ên.
3/ Gọi A à gi o đi m c C và đường thẳng = 3. Viết pt tiếp tu ến c đồ thị C
tại đi m A.
Bài 14: Cho hàm số =
2
1
x
x


.
2/ Tìm trên C những đi m có tọ đ à các số ngu ên.
3/ Gọi A à gi o đi m c C và đthẳng = 1. Viết pt tiếp tu ến c đồ thị C tại
đi m A
Bài 15: Cho hàm số C :
3 2
1
x
y
x



2/ Viết pt tiếp tu ến c C tại gi o đi m c C với trục hoành
Bài 16: Cho hàm số C :
2 2
1
x
y
x



2/ Viết pt tiếp tu ến c C tại gi o đi m c C với trục hoành
3/ Tìm m đ đường thẳng 2y mx  cắt C tại 2 đi m ph n biệt
Chủ đề 2. Lƣợng giác
I/ Hệ Thức Cơ Bản :
 –1  sinx 1 ; –1 cosx 1 hay sin x  1, cos x  1 (kZ)
 sin2
x + cos2
x = …  tanx . cotx = …  2
1
cos x
= ……  2
1
sin x
= ………
II/ Công Thức Cộng
 cos(A + B) = ……………………………………  cos(A – B) = ……………………………………
 sin(A + B) = ……………………………………  sin(A – B ) =……………………………………
 tan(A + B) = ………………………………........  tan(A–B) =...…………………………………..
III/ Công Thức Nhân:
1. Công thức nhân đôi 2. Công thức nhân ba
 cos2A = ………………. = …………………….=
…………………………
 sin2A = …………………………….
 tan2A = …………………………..
 cos3A = ………………………………………..
 sin3A = ……………………………………..
 tan3A = …………………………………………

3. Công thức Hạ Bậc :  sin2
A =………………..  cos2
A =………………..
 tan2
A = ……………………..
4. Công thức: tính sinA, cosA,tanA theo
t = tan
2
A
 sinA = ………….  cosA = …………….
 tanA = …………
5. Tính sin2A, cos2A, tan2A theo t = tanA
 sin2A =…………  cos2A = …………..
 tan2A = …………..
IV. Công Thức Biến Đổi:
1/ Tích thành Tổng :
 cosA cosB =…………………………………………..
 sinA sinB =…………………………………………...
 sinA cosB = ……………………………………...…..
2/ Tổng thành Tích :
 sinA + sinB =……………………………………........
 sinA – sinB = …………………………………………
 cosA + cosB = …………………………………….......
 cosA– cosB= …………………………………………..
 tanA + tanB =…………………………..................….
 tanA – tanB = …………………………………....……
V:Chứng minh và nhớ
 sinx + cosx = 2 sin(x +
4

) = 2 cos(x–
4

)
 sinx – cosx = 2 sin(x–
4

) = – 2 cos(x +
4

)
° sin4
x + cos4
x = 1– 2sin2
xxcos2
x = 1–
1
2
sin2
2x =
3 cos4
4
x
° sin6
x + cos6
x = 1–3sin2
x.cos2
x = 1–
3
4
sin2
2x =
5 3cos4
8
x
PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
I. Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản: Với k Z, m 1, nR )
 cosX = cosA 
2
2
X A k
X A k


 
   
 sinX = sinA
2
2
X A k
X A k

 
 
   
(cosX = m 
arccos 2
arccos 2
X m k
X m k


 
   
) (sinX = m 
arcsin 2
arcsin 2
X m k
X m k

 
 
   
)
 tanX = tanA X= A + k  cotX = cotA  X= A + k
(tanX = n  X = arctan n +k ) (cotX = n  X = arccotn + k )
Các trƣờng hợp Đặc Biệt :
 sinX = 0  X= k  sinX = 1  X =
2

+k2  sinX = –1  X = –
2

+k2
 cosX= 0  X =
2

+k  cosX = 1  X = k2  cosX= –1  X = +k2
II. Phƣơng trình bậc hai đối với 1 hàm số lƣợng giác :
Dạng 1: Asin2
X +BsinX + C=0 (A  0) (1)  Acos2
X +BcosX + C = 0 (A  0) (1)

Cách giải : Đặt t = sinX ( hay t = cos X) , –1  t 1 (1)  At2
+Bt + C = 0
Dạng 2 : Atan2
X + BtanX +C = 0 (X 
2

+k)  Acot2
X + BcotX + C = 0 (X  k) (1)
Cách giải : Đặt t = tanX ( hay t = cotX) (1)  At2
+Bt + C = 0
a) 3 + 2sinxsin3x = 3cos2x
b) cos5xcosx = cos4xcos2x + 3cos2
x + 1
III.Phƣơng trình bậc nhất đối với sinX và cosX : AsinX + BcosX = C (A, B  0) (1)
Điều kiện có nghiệm :
2 2
1
C
A B


 A2
+ B2
 C2
Bài1 : Giải phương trình : a/ 3 sinx + cosx = 3 b/ 2 cos2x – 6 sin2x +2 = 0
IV. Phƣơng trình thuần nhât (đẳng cấp ) bậc hai (bậc n) đối với sinX và cosX :
1/ Dạng : Asin2
X + BsinXcosX + Ccos2
X = 0 (A, B, C  0)
Tổng quát : Asin2
X + BsinXcosX + C cos2
X = D (A, B, C  0) (1)
2/ Cách giải :  Nhận xét : cosX = 0  X=
2

+k có phải à nghiệm c 1 ? cosX = 0sin
2
X = 1)
 Chi 2 vế c 1 cho cos2
X  0 (1)  Atan2
X + BtanX +C = D(1+tan2
X )
Đặt t = tanX (1)  At2
+ Bt + C = D(1+t2
)  (A–D)t2
+Bt + (C – D) = 0
Ghi chú : Với bậc n, giải tương tự
Ví dụ : Giải phương trình : 3sin
2
x –4sinxcosx + 5cos
2
x = 2 b) sinxsin2x + sin3x = 6cos
3
x
TỰ RÈN LUYỆN PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC
I. Các Đề Khối A: Giải các ptrình lƣợng giác sau : A– 14 : sin x + 4cosx = 2 + sin2x
A–13 : 1 + tanx = 2 2 sin (x +
4

) A–12 : 3 sin2x + cos2x = 2cosx – 1
A–11 : 2
1 sin2 cos2
1 cot
x x
x
 

= 2 sinxsin2x A–10 :
(1 sin cos2 )sin( )
4
1 tan
x x x
x

  

=
1
2
cosx
A– 09 :
(1 2sin )cos
3
(1 2sin )(1 sin )
x x
x x


 
A–08 :
1
sin x
+
1
3
sin( )
2
x


= 4sin (
7
4

–x)
A–07 : (1 + sin2
x )cosx + (1 + cos2
x )sinx = 1 + sin2x A–06 :
6 6
2(cos sin ) sin cos
2 2sin
x x x x
x
 

= 0
A–05 : cos2
3x.cos2x – cos2
x = 0 A–03 :cotx – 1 =
cos2
1 tan
x
x
+ sin2
x –
1
2
sin2x
A–02 : 5
cos3 sin3
sin
1 2sin2
x x
x
x
 
 
 
= cos2x + 3 A–01 : 1+ sinxsin
2
x
–cos
2
x
sin
2
x = 2cos
2
(
4

–
2
x
)
Đáp số :A–14 :
3

 + k2 A–13 : –
4

+ k,
3

 + k2 A–12 :
12

+ k , k2 ,
2
3

+k2
A–11:
2

+k ,
4

+k2 A–10: –
6

,
7
6

+k2 A–09 : –
18

+
2
3
k 
A–08 :–
4

,–
8

,
5
8

+k A7 :–
4

+k ,
2

+k2 ,k2 A6 :
5
4

+ m2 A5 : k
2


A3 :
4

+k A2 : 
3

+k2 A1 :k , + k4
II.Các Đề Khối D : Giải các ptrình lƣợng giác sau :
D–13 :sin3x + cos2x –sinx = 0 D–12 : sin3x + cos3x –sinx + cosx = 2 cos2x
D–11:
sin2 2cos sin 1
tan 3
x x x
x
  

= 0 D–10 : sin2x –cos2x +3sinx – cosx –1 = 0
D–09 : 3 cos5x – 2sin3xcos2x – sinx = 0 D–08 : 2sinx(1+cos2x) + sin2x = 1+2cosx
D–07 : (sin
2
x
+ cos
2
x
)
2
+ 3 cosx = 2 D–06 : cos 3x + cos2x – cosx –1 = 0
D–05 :cos4
x + sin4
x + cos (x –
4

) sin(3x–
4

) –
3
2
= 0
D–04:(2cosx – 1 )(2sinx + cosx) = sin2x – sinx D–03: sin2
(
2
x
–
4

)tan2
x – cos2
2
x
= 0
D–02 : cos3x –4cos2x +3cosx –4 = 0
Đáp số : D13:
4

+
2
k
, –
6

,
7
6

+k2 D12 :
4

+
2
k
,
7
12

,–
12

+k2 D11 :
3

+ k2
D10 :
6

,
5
6

+k2 D–09 :
18

+k
3

,–
6

+
2
k
D–08 : 
2
3

+k2 ,
4

+k
D–07 :
2

,–
6

+ k2 D–06 : k , 
2
3

+k2 D–05 :
4

+k
D–04 : 
3

+k , –
4

+k D–03 : –
4

+k ,  + k2 D–02 :
2

+k
III.Các Đề Khối B : Giải các ptrình lƣợng giác sau : B–14: 2 (sinx –2cosx) = 2 – sin 2x
B–13:sin5x + 2cos
2
x = 1 B–12 : 2(cosx+ 3 sinx)cosx = cosx – 3 sinx+1
B–11 :sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx B–10 :(sin2x +cos2x)cosx + 2cos2x –sinx = 0
B–9:sinx + cosxsin2x + 3 cos3x = 2(cos4x + sin3
x)
B–8:sin3
x– 3 cos3
x = sinxcos2
x – 3 sin2
xcosx B–07 :2sin2
2x + sin7x – 1 = sinx
B–06 :cotx + sinx (1 + tanxtan
2
x
) = 4 B–05:1 +sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
B–04 : 5sinx – 2 = 3(1–sinx)tan2
x B–03: cotx – tanx + 4sin2x =
2
sin2x
B–02: sin2
3x – cos2
4x = sin2
5x – cos2
6x
Đáp số : B14: 
3
4

+k2, B13:–
6

+m
2
3
k 
,–
14

+
2
7
k 
B12 :
2
3

+ k2 ,
2
3
k 
B11 :
2

+k2 ,
3

+
2
3
k 
B10 :
4

+k
2

B9 :–
6

+ k2 ,
42

+
2
7
k 
B8 :
4

+
2
k
, –
3

+k B7 :
8

+
4
k
,
18

+
2
3
k 
,
5
18

+
2
3
k 
B6 :
12

+k ,
5
12

+k
B5 : 
2
3

+k2 ,–
4

+k B4 :
6

,
5
6

+ k2 B3: 
3

+k B2 : k
9

, k
2


Chủ đề 3. Nguyên hàm – Tích phân – Ứng dụng
:
I. Định nghĩa : Cho hàm số f xác định trên khoảng K.
Hàm số F đuợc gọi là nguyên hàm c a f trên K nếu /
( ) ( ),F x f x x K  
Ví dụ : F(x) = x2
là nguyên hàm c a f(x) = 2x trên
F(x) = tanx là nguyên hàm c a 2
1
( )
cos
f x
x
 với ;
2 2
x
  
  
 
II. Định lý : Giả sử hàm số F là m t nguyên hàm c a hàm số f trên K
 Với mỗi hằng số C, hàm số = F x + C cũng à m t nguyên hàm c a f trên K
 Ngược lại với mỗi nguyên hàm G c a f trên K thì tồn tại m t hằng số C sao cho
G(x) = F(x) + C, x K 
 Họ tất cả các nguyên hàm c f trên K được ký hiệu là ( )f x dx . Như vậy
( ) ( ) ,f x dx F x C C  
Mọi hàm số iên tục trên K đều có ngu ên hàm trên K.
III. Các tính chất của nguyên hàm :
  ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx      ( ) ( ) 0af x dx a f x dx a  
IV. Bảng các nguyên hàm :
Nguyên hàm của một số hàm số
thƣờng gặp
1. dx x C 
2.  
1
1
1
x
x dx C





   
  
 
 
1
1
1
1
ax b
ax b dx C
a






    

3. ln
dx
x C
x
 
1
ln
dx
ax b C
ax b a
  

4. 2
1dx
C
x x
    
2
1 1dx
C
a ax bax b
  


5. x x
e dx e C  1ax b ax b
e dx e C
a
 
 
6.  0 1
ln
x
x a
a dx C a
a
   
7. cos sinxdx x C     
1
cos sinax b dx ax b C
a
   
8. sin cosxdx x C      
1
sin cosax b dx ax b C
a
    

9. 2
tan
cos
dx
x C
x
   
 2
1
tan
cos
dx
ax b C
ax b a
  

10. 2
cot
sin
dx
x C
x
    
 2
1
cot
sin
dx
ax b C
ax b a
   

V. Phƣơng pháp tìm nguyên hàm :
1. Tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng các nguyên hàm :
Ví dụ : Tìm các nguyên hàm c a hàm số sau :
a. 12 2 1
3x x dx
x
 
   
 
 b.   5x x
e e dx
 c.  5 12x x
dx
d.  sin 7cosx x dx e.
2
cos
4
dx
x
 
 
 
 f.
12 5
3 1
x
dx
x


2. Phƣơng pháp đổi biến số :
Cho hàm số u x có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao
cho = f[u x ] xác định trên K. Khi đó nếu F là m t nguyên hàm c a f, tức là
( ) ( )f u du F u C  thì      /
f u x u x dx F u x C       
Ví dụ : Tìm ngu ên hàm c các hàm số s u :
a. sin
cosx
A e xdx  b. 2
cos sinB x xdx 
c.
cos 3sin
sin 3cos
x x
E dx
x x


 d. 3 4
3D x x dx 
3. Phƣơng pháp nguyên hàm từng phần :
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì
           / /
u x v x dx u x v x v x u x dx   Hay udv uv vdu  
 Các dạng cơ bản : Cho P(x) là m t đ thức
Dạng 1 : ( )sin( )P x ax b dx T đặt
( )
sin( )
u P x
dv ax b dx


 
Dạng 2 : ( )cos( )P x ax b dx T đặt
( )
cos( )
u P x
dv ax b dx


 
Dạng 3 : ( ) ax b
P x e dx
 T đặt
( )
ax b
u P x
dv e dx



Dạng 4 :  ( )lnP x ax b dx T đặt
 ln
( )
u ax b
dv P x dx
  


Dạng 5 :  sinax b
e cx d dx
 hoặc  cosax b
e cx d dx

Ta dùng tích phân từng phần hai lần với ax b
u e 


Ví dụ : Tìm các nguyên hàm :
a. sinA x xdx  b.  2 ln 1B x x dx  c. sinx
D e xdx 
I. Định nghĩa tích phân :
Giả sử f(x) là m t hàm số liên tục trên K, a và b là hai số bất kỳ thu c K. F(x) là
m t nguyên hàm c a f(x) trên K. Kí hiệu F(b)  F được gọi là tích phân từ đến b
c f x và được ký hiệu là ( )
b
a
f x dx . T cũng dùng ký hiệu ( )
b
a
F x đ chỉ số hiệu
( ) ( )F b F a . Vậy : ( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a  
II. Các tính chất của tích phân :
1. ( ) 0
a
a
f x dx 
2. ( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx  
3.  . ( ) ( )
b b
a a
a f x dx a f x dx a  
4.  ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx    
5. ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx   
III. Một số phƣơng pháp tính tích phân :
1. Tính tích phân bằng định nghĩa : ( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a  
Ví dụ : Tính các tích phân sau :
2
0
.
1
dx
a I
x


4
2
4
4
. 3sin
cos
b I x dx
x



 
  
 

2
2
. cos5 cos3c I x xdx



 
2. Phương pháp đổi biến :      
 
 
/
u bb
a u a
f u x u x dx f u du   
Trong đó u = u x à hàm số có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f(u) liên tục
sao cho hàm hợp f[u x ] xác định trên K và a, b thu c K.
Lưu ý :

Dạng 1 : 2 2
b
a
I k x dx  T đặt sin , ;
2 2
x k x t
  
    
Dạng 2 :
2 2
b
a
dx
I
k x


 T đặt sin , ;
2 2
x k x t
  
   
 
Dạng 3 : 2 2
b
a
dx
I
x k

 T đặt tan , ;
2 2
x k x t
  
   
 
Dạng 4 :
 
2 2
b
a
dx
I
x k 

 
 T đặt tan , ;
2 2
x k x t
 
 
 
    
 
a.
1 2
3 2
0
3 2
1
x x
I dx
x x


  b.
1
ln
e
x
I dx
x
  c.
2
1
e
x
I xe dx
 
b.
1
0
1I x x dx  e.
2
3
0
cosI xdx

  f.
2 3
2
0
4
dx
I
x


3. Phương pháp tích phân từng phần :
Nếu u, v à h i hàm số có đạo hàm iên tục trên K và , b thu c K thì
           / /
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x v x u x dx   Hay
b b
b
a
a a
udv uv vdu  
2
0
. cosa I x xdx

  1
. ln
e
b I xdx 
BÀI TẬP
Bài 1 : Tìm m t ngu ên hàm F x c :
1) 2 3
( ) 2f x x
x
  và F(1) = 4
2) ( ) cos5 .cos3f x x x và 1
4
F
 
 
 
3)
3 2
2
3 3 1
( )
2 1
x x x
f x
x x
  

 
và
1
(1)
3
F 
4) 2
( ) sin
2
x
f x  và
2 4
F
  
 
 
5) 2
1
( ) sin
cos
f x x
x
  và
2
4 2
F
 
 
 

Bài 2 : Tính các tích phân sau :
1)  
1
0
3 cos2x
I x dx 
2)
1
1
2
0
1
1
x
I e xdx
x
  
  
 

3)  
1
0
x
I x e xdx 
4)  
8
0
tan2 tan2 1I x x dx

 
5)
2
2
1
ln
e
I x xdx 
6)
2
2
0
2sin2
1 sin
x
I dx
x



7)
2
0
1 sin cos
2 2
x x
I dx

 
  
 

8)  2
1
0
sin x
I x e xdx 
9)
 
2
22
0
sin2
2 sin
x
I dx
x




10)  
0
1
2 ln 1I x x dx

 
11)  
1
0
ln 1 2I x x dx 
12)
0
2
1
3 1
2 1
x
I dx
x x


 
13)
4
0
tan
cos
x
I dx
x

 
14)
2
2
0
sin2
4 cos
x
I dx
x



15)  
2
0
sin cosI x x xdx

 
16)  
2
3
0
1 2sin cosI x xdx

 
17)
1 2
3
0 2
x
I dx
x



18)
2
0
1I x dx 
19)
 
2
22
0 2
x
I dx
x



20)
0
2
1
16 2
4 4
x
I dx
x x


 

21)  
6
2cos3
0
e sin3x
I x xdx

 
22)  
4
4 4
0
cos sinI x x dx

 
23)  
1
1
0
5 3 x
I x x e dx
  
24)
1
2
0
1I x dx 
25)  
6
0
1 sin3I x xdx

 
26)
6
0
sin cos2I x xdx

 
27)
32
0
sin
1 cos
x
I dx
x



28)  
6
0
sin6 sin 6I x x dx

 

29)   
1
5
0
1 2ln 1I x x x dx   
30)
cos
2
0
sin sin
2 2
x x
I e dx
 
 
  
 

31)
24
0
tan 4
3
I x dx

 
  
 

32)
4
2
0
cos
x
I dx
x

 
33)  
2
2
1
ln
e
I x x xdx 
34)
0
2
1
2
dx
I
x x

 
35)
2
0
3cos 1sinI x xdx

 
36)  
3
0
cos4 sin 6I x x x dx

 
37)
2
2
0
sin2 sinI x xdx

 
38)
4
1
ln xdx
I
x
 
39)
 
1
1 ln
1 ln
e
x
I dx
x x



40)  
3
2
6
tan2 cot2I x x dx


 
41)
0
2
1
4 3
x
I dx
x x

 
42)  
2
4 4
0
cos sinI x x xdx

 
43)
3
1
1 ln
e
x
I dx
x

 
44) 3
1
sin
4
x
I dx

 
45)
4
2
1
sin
4
I x dx

 
  
 

46)
 
4
1
ln
1 ln
e
x
I dx
x x



47)
32
0
2cos
1 sin
x
I dx
x



48)
1
0
1
x
x
I dx
e

 
49)
1
1 ln
ln
e
x
I x dx
x x
 
  
 

50)
2
0
1 sin2
cos sin
x
I dx
x x




51)
32
0
2cos
1 sin
x
I dx
x



52)
3
2
sin
sin cos
x
I dx
x x




53)
5
4
0
sin cos
1 sin2
x x
I dx
x




54)
16
0 9
dx
I
x x

 
55)
3
2 2
4
sin .cos
dx
I
x x


 
56)
0
1 cos2I xdx

 

57)
2
2 2 ln
e
e
dx
I
x x


58)
1
2
0
x x
dx
I
e e


59)
2
0
sin3
1 cos
x
I dx
x



60)
1
2
0
1
dx
I
x


61)
0
2
1
2 2
dx
I
x x

 
62)
5 2
3 2
1
3 1
2 5 6
x
I dx
x x x


  
63)
0
8
1
3
1
xdx
I
x


64)
 
3
5 2 6
dx
I
x x

 
65)
1
3 4 4
dx
I
x x



  
Chủ đề 4. Số phức
1 Định nghĩa số phức và các khái niệm liên quan :
1.1 Định nghĩa :
Số phức à m t bi u thức có dạng a bi ; trong đó ,a b và 2
1i   .
1.2 Các khái niệm liên quan :
Cho số phức z a bi  . Khi đó :
 agọi à phần thực và b à phần ảo c số phức z .
 Số phức z được bi u diễn bởi đi m  ;M a b trên mặt phẳng tọ đ Ox .
 2 2
z OM a b   gọi à modun c số phức z .
 Số phức z a bi  gọi à số phức liên hợp c số phức z .
1.3 Hai số phức bằng nhau :
Cho số phức z a bi  và z a b i    . Khi đó :
a a
z z
b b

  

.
2 Các phép toán trên tập hợp số phức :
2.1 Phép cộng, trừ, nhân hai số phức :
       
       
      
a bi c di a c b d i
a bi c di a c b d i
a bi c di ac bd ad bc i
      
      
     
Chú ý :
 Các phép toán : c ng, trừ, nh n h i số phức thực hiện như rút gọn bi u thức
đại số thông thường với chú ý rằng 2
1i   .
 Các qu tắc đã áp dụng trên tập số thực vẫn được áp dụng trên tập số phức.

 Cho z a bi  . Khi đó : 2 2
.z z a b  .
2.2 Phép chia hai số phức :
 
.
0
.
z z z
z
z z z
 
  .
3 Phƣơng trình bậc hai :
3.1 Căn bậc hai của số thực âm :
Cho à số thực âm. Khi đó có hai căn bậc hai là : i a và i a .
3.2 Cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực :
 2
0; , , ; 0az bz c a b c a     .
Tính 2
4b ac   .
Kết uận :
 Nếu 0  thì phương trình có h i nghiệm thực ph n biệt 1,2
2
b
z
a
  
 .
 Nếu 0  thì phương trình có m t nghiệm kép thực 1 2
2
b
z z
a

  .
 Nếu 0  thì  có h i căn bậc h i à i  và i  . Khi đó phương trình
có h i nghiệm phức ph n biệt à 1
2
b i
z
a
  
 và 2
2
b i
z
a
  
 .
Ví dụ 1: Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức iên hợp c các số phức s u:
a/ (2 4 )(3 2 )z i i i    b/ 2 3
( 1 ) (2 )z i i   
c/
2
(1 )
1
z i
i
  

d/ z = 2 – 3i+
3 2
2
i
i


Ví dụ 2: Tìm các số thực x, thỏ :
a/ (3 2) (2 1) ( 1) ( 5)x y i x y i       b) 4 3 (3 2) 1 ( 2 )x y i y x y i      
Ví dụ 3: Giải các phương trình s u trên tập số phức.
a/ 2
(3 2 ) ( ) 3i z i i   b/ (3 2 ) (3 7 ) 2 (1 3 )i z i i i    
c/ 2
2 13 0z z   d/ 4 2
5 6 0z z  
Ví dụ 4: Tìm 2 số phức biết tổng c chúng bằng 2, tích c chúng bằng 3
Ví dụ 5: Biết 1 2,z z à 2 nghiệm c phương trình 2
2 2 5z z  =0. Tính
a/ 2 2
1 2z z b/ 2 2
1 2 1 2. .z z z z

Ví dụ 6:
a/ Cho số phức z = –1+ 3 i. Tính 3 21
, , ( ) , 1z z z z
z
 
b/ Cho số phức 1 3z i  . Tính 2 2
( )z z
Ví dụ 7: Tìm số phức z biết:
a/ |z| = 4 5 và phần ảo c z bằng 3 ần phần thực c nó.
b/ |z| = 5 và tổng phần thực và phần ảo c z bằng 3.
Ví dụ 8: Tìm môđun và số phức iên hợp c các số phức s u:
a/ 3
4 3 (1 )i i   b/
2
(2 )
1 2
i
z i
i

  

.
Ví dụ 9: Giải các phương trình s u trên tập số phức.
a/ 2
4 7 0z z   b/ 4 2
6 5 0z z  
c/ (3 ) (2 3 )(1 2 ) 5 4i z i i i      d/ (5 7 ) (1 3 ) (2 5 )i z i i z     .
e/ 2
(3 4 ) 5 1 0x i x i     f/ 2
2 2 1 0z iz i   
g/ 2z2
– iz + 1 = 0 h/ z2
+ (-2 + i)z – 2i = 0
Ví dụ 10: Trên mp tọ đ tìm các đi m bi u diễn cho các số phức z thỏ điều kiện
a/ phần thực c z thu c đoạn [1; 2], phần ảo c z thu c đoạn [–1; 1]
b/ |z|  1. c/ |z – 5| = 1. d/ |z – 5| = 12.
e/ |z – 3i| = 12. f/ |z+3+2i| = 13. g/ | 1| 1z  
Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức iên hợp c các số phức s u:
a/
(3 2 )(4 3 )
5 4
1 2
i i
i
i
 
 

b/
8 8
1 1
1 1
i i
i i
    
   
    
c/ 2
(1 2 )(2 )i i  d/ 2 2
(2 5 ) (2 5 )i i  
Bài 2: Tìm các số thực x, thỏ :
a/ (2 3) ( 2) (2 ) (4 )x y i x y i      
b/ ( 2 3) (2 ) (2 ) ( 2 1)x y y x i x y y x i        
Bài 3: Giải các phương trình s u trên tập số phức.
a/ (3 2 ) 4 5 7 3i z i i     b/ 2 3 5 2
4 3
z
i i
i
   

c/ 2
3 4 6 0z z   d/ 4 2
2 8 0z z  
Bài 4: Tìm 2 số phức biết tổng c chúng bằng 3, tích c chúng bằng 7.
Bài 5: Biết 1 2,z z à 2 nghiệm c phương trình 2
2 4 5 0z z   . Tính 1 2
1 2
1 1
,z z
z z
 

Bài 6:
a/ Cho số phức 2 3z i   . Tính 2 2 31 1
, , ,z z z z
z z
 
b/ Cho số phức 1 24 3 , 3z i z i     , Tính 1 2 1 2 1 2, . , 2z z z z z z 
Bài 7: Tìm số phức z biết:
a/ |z| = 2 5 và phần ảo c z bằng 3 ần phần thực c nó.
b/ |z| = 10 và hiệu phần thực và phần ảo c z bằng 2.
e/ |z – 3i| = 12.
f/ |z+3+2i| = 13.
Bài 8: Tìm môđun và số phức iên hợp c các số phức s u:
a/ z= 2
(5 2 ) (2 )i i  
b/ (5 2 ) (9 4 )(1 )z i i i    
Bài 9: Cho số phức 1 3z i  Tính 21
2 3z z z
z
  
Bài 10: Giải các phương trình s u trên tập số phức.
a/ 2
9 0z   b/ 4 2
2 8 0z z  
c/ 2 + 3i +z = –5 – i d/ 3 2
1 3
z
i
i
 
 
Bài 11: Tính: a/ 6
( 3 )i b/
2010
1i
i
 
 
 
Bài 12: Trên mp tọ đ tìm các đi m bi u diễn cho các số phức z thỏ điều kiện
a/ phần thực c z thu c khoảng –1;2 , phần ảo c z thu c khoảng 0;3
b/ | 1| 1z   c/ |z|  2 .
d/ | 1 | 1z i   . e/ | 1 | 1z i   .
Chủ đề 5. Mũ – Logarit
I. PHƢƠNG TRÌNH MŨ:
1/ Phƣơng trình mũ cơ bản:
Phương trình x
= b (a > 0, a 1)
b > 0 Phương trình có nghiệm duy nhất x = loga b
b 0 Phương trình vô nghiệm
2/ Phƣơng trình mũ đơn giản:
/ Phương trình có th đư về phương trình mũ cơ bản bằng cách áp dụng các phương
pháp:
 Đư về cùng m t cơ số:
Biến đổi phương trình cho về dạng: af(x)
= ag(x)
(*)
+ Nếu 0 < a  1 thì (*) f(x) g(x)  .
+ Nếu có chứ x thì xét thêm trường hợp = 1

 Đặt ẩn phụ;
 Lấ og rit h i vế og rit hó .
b/ Phương trình có th giải bằng phương pháp đồ thị.
c/ Phương trình có th giải bằng cách áp dụng tính chất c hàm số mũ.
Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình:
1/  
3 2
0,3 1
x
 2/
1
25
5
x
 
 
 
3/
2
3 2
2 4x x 
 4/
2 5
6
2
3 81 3
x x 

5/    
7 1 2
0,5 . 0,5 2
x x 
 6/
1 3
1 1
8
4
x
x

  
  
 
7/
5 7 1
3 2
2 3
x x 
   
   
   
8/
3 1 8 2
9 3
x x 

9/
2
4
5 25x x 
 10/
10 5
10 15
16 0,125.8
x x
x x
 
 

1/ 1
3 .2 72x x
 2/ 1 1 2 5
2 .5 0,001.10x x x  
 3/
2 8 27
.
9 27 64
x x
   
   
   
1/ x x 2
2 2 20
  2/ x 1 2x 1
4 2 48 
  3/ x x 1 x 2 x x 3 x 1
5 5 5 3 3 3   
    
4/
3
x
2
1
x
x 2x 12
9 2 2 3


   5/  
2x
3 2 2 3 2 2   6/    
x 1
x 1
x 1
5 2 5 2



  
1/  
x 3
x 1 1

  2/  
2
x 12
x x 1 1

   3/  
2
4 x2
x 2x 2 1

  
1/ x x
9 5.3 4 0   2/ x x 3
4 2 9 0
   3/
2 2
2x 2x 1 x x
3 28.3 9 0  
  
4/  x x 1
2 2 3 5
  5/    
x x
7 4 3 2 3 6    6/
2 3x 3
x x
8 2 12 0

  
7/
2 2
x 2x x x 2x x 1
9 7.3 2    
 
1/ x x
3 6.3 5
  2/ x 1 3 x
5 5 26 
  3/
x x
5 2
3. 2 0
2 5
   
     
   
4/
x x 1
2 3
5. 2. 8
3 2

   
    
   
5/    
x x
4 15 4 15 2    6/
x x
3 5 3 5
16. 8
2 2
    
    
   
7/    
x x
7 4 3 3. 2 3 2 0     8/    
x x
x 3
6 5 1 2 5 1 2 
   
1/ x x x
3.4 2.6 9  2/ x x x
5.4 2.25 7.10 0   3/ 2x 4 x 2x 2
3 45.6 9.2 0 
  

4/ x x x
27 12 2.8  5/
1 1 1
x x x
2.4 6 9  6/
1 1 1
x x x
6.9 13.6 6.4 0  
1/
2
x 4x x
3 2
 2/
2
x 5x 6 x 3
5 2  
 3/
1
x x
3 2 4/
2x 1
x x 1
5 .2 50



1/ x
3 x 4 0   2/
x
1
x 6
2
 
  
 
3/  
x
x
15 1 4  4/ x x x
3 4 5 
5/ x x x
5 12 13 
II. BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ:
1/ Bất phƣơng trình mũ cơ bản:
Dạng 1: ax
> b (a > 0, a 1)
ax
> b
Tập nghiệm
a > 1 0 < a < 1
b 0
b > 0 a(log b; ) a( ;log b)
Dạng 2: ax
 b (a > 0, a 1)
ax
 b
Tập nghiệm
a > 1 0 < a < 1
b 0
b > 0 a[log b; ) a( ;log b]
Dạng 3: ax
< b (a > 0, a 1)
ax
< b
Tập nghiệm
a > 1 0 < a < 1
b 0  
b > 0 a( ;log b) a(log b; )
Dạng 4: ax
 b (a > 0, a 1)
ax
 b
Tập nghiệm
a > 1 0 < a < 1
b 0  
b > 0 a( ;log b] a[log b; )
2/ Bất phƣơng trình mũ đơn giản:
 Đ giải các bất phương trình mũ, t có th biến đổi đ đư về bất phương trình mũ
cơ bản hoặc bất phương trình đại số
Khi giải bất phương trình mũ, có th áp dụng tính chất đồng biến, nghịch biến c a hàm số
mũ:

+
f (x) g(x)
f (x) g(x)a a
a 1a 1
  
 
 
+
f (x) g(x)
f (x) g(x)a a
0 a 10 a 1
  
 
   
 Bất phương trình  x
f a 0
Cách giải: Đặt ẩn phụ t = ax
, đư bất phương trình về hệ
f (t) 0
t 0



 Bất phương trình f (x)
a b
Có th giải bằng phương pháp ấy lôgarit cả hai vế
Bài tập:
Bài 1: Giải các bất phương trình:
1/
2
x 2x 2
1
9
3
 
 
 
 
2/
2
x x 6
4 1 
 3/
2
6x x 10
3 27
4 64
 
 
 
 
4/
2
4x 15x 4
3x 41
2. 2
2
 
 
 
 
5/ 5
x + 2
+ 5
x + 1
 3
x + 3
+ 3
x + 1
6/ x 4x 2x 2
2.16 2 4 15
   7/
1 1
3
x x
3 3 84

 
8/
6
x x 29 3  9/    
x
x 1
x 12 1 2 1

  
1/ x x x
5.4 2.25 7.10 0   2/ x x x
5.4 2.25 7.10 0   3/ 2x 3 x 2
5 2.5 3 
 
4/
x x
2 4
3.2 7.2 10  5/    
x x
x
7 3 5 7 3 5 7.2    6/
1 x x
x
2 2 1
0
2 1

 


7/
2x 1
x x 15 .2 50

 
III. PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT:
1/ Phƣơng trình lôgarit cơ bản:
Với a > 0, a  1: b
alog x b x a  
2/ Phƣơng trình lôgarit đơn giản:
/ Phương trình có th đư về phương trình ôg rit cơ bản bằng cách áp dụng các phương
pháp:
 Đư về cùng m t cơ số:
Với > 0,  1: a a
f(x) 0 (hay g(x) > 0)
log f(x) log g(x)
f(x) g(x)

  

 Đặt ẩn phụ;
 Mũ hó h i vế.
b/ Phương trình có th giải bằng phương pháp đồ thị.
c/ Phương trình có th giải bằng cách áp dụng tính chất c hàm số ôg rit

Chú ý:
+ Phần ớn cách giải phương trình ôg rit à dự vài tính chất: Lôg rit c h i số dương
theo cùng m t cơ số à bằng nh u khi và chỉ khi h i số đó bằng nh u.
+ Khi m t phương trình ôg rit chứ nhiều cơ số khác nh u thì nên qu chúng về cùng m t
cơ số bằng cách sử dụng các công thức, qu tắc biến đổi.
Bài tập:
1/  2
lg x 2x 2 1   2/ 2
9
1
log (x 2x 5)
2
   3/ 2 1
lg 2x 3x 1
10
 
    
 
4/  x x
3log 9 4.3 6 3x 1    5/  x
5log 5 4 1 x   6/  2
3log 8 x x 9 2   
7/ 2
5 xlog (x 2x 65) 2    8/ x
15
log 2
1 2x
 

9/ 3 2
x 1log (2x 2x 3x 1) 3    
1/ 3 9log (x 1) log (19 x)   2/ 2
lg(x 2x 4) lg(2 x)    3/ 2 4log (2 x) log x 
4/ 2 3
2 2log (x 1) 2log (x x 1)    5/ 3
2 2log (1 x 1) 3log x 40 0    
1/ 3 9 1
3
log x log x log 3  2/ 1 4 2
2
log x log x log x 9  
3/ 3 4
1 33
3
1
log x log x log 3x 0
3
   4/ 2 2
5
1
log (x 3) log (x 2)
log 2
   
5/ 5 5 5log (3x 11) log (x 27) 3 log 8     6/ 4 4 4log (x 3) log (x 1) 2 log 8    
7/ 9 3log (x 8) log (x 26) 2 0     8/ 21
lg(x 10) lgx 2 2lg2
2
   
9/ 4 xlog (x 2).log 2 1  10/ x x
2 2 x
1
log (4 15.2 27) 2log 0
4.2 3
   

11/ x
3 9
1
log (log x 9 ) 2x
2
   12/
2
1 9
3
2x x 1
log log 0
x 3
  
 
 
1/
1 2
1
4 lgx 2 lgx
 
 
2/ lg2
x – 3lgx = lgx2
– 4 3/ lg(10x2
).lgx = 1
4/ 2 3
3 3log x 10log x 1 0   5/ 2
1 2
2
log x 3log x 4 0   6/ 2
2 2log 4x 2log x 7 0  
7/ 2
9 3
15
log x 2log x 0
4
   8/ 2 23 log x log 8x 1 0   9/ 2 x
5
log x log 2
2
 

10/ x 16 23log 16 4log x 2log x  11/ x 16 23log 16 4log x 2log x 
12/ 2
5 5x
5
log x log 1
x
 
  
 
13/
2
lg(10x) lg x lg(100x )
4 6 2.3 
14/ 4 2 2 4log (log x) log (log x) 2  15/ 3 3
2 2
4
log x log x
3
 
1/ 2 3 2 3log x log x 1 log x.log x   2/ 3 7 3 72log x log x 2 log x.log x  
3/ 5log (x 3) 3 x   4/ 2log (3 x) x  5/ 2 2log 3 log 5
x x x (x 0)  
IV. BẤT PHƢƠNG TRÌNH LÔGARIT
1/ Bất phƣơng trình lôgarit cơ bản:
Dạng 1: loga x > b (a > 0, a 1)
loga x > b a > 1 0 < a < 1
Nghiệm  b
a ;  b
0;a
Dạng 2: loga x  b (a > 0, a 1)
loga x  b a > 1 0 < a < 1
Nghiệm b
a ;   b
0;a 
Dạng 3: loga x < b (a > 0, a 1)
loga x < b a > 1 0 < a < 1
Nghiệm  b
0;a  b
a ;
Dạng 4: loga x  b (a > 0, a 1)
loga x  b a > 1 0 < a < 1
Nghiệm  b
0;a  b
a ; 
2/ Bất phƣơng trình lôgarit đơn giản:
 Đ giải các bất phương trình ôg rit, t có th biến đổi đ đư về bất phương trình
ôg rit cơ bản hoặc bất phương trình đại số
Khi giải bất phương trình ôg rit, có th áp dụng tính chất đồng biến, nghịch biến c a hàm
số lôgarit:
+ a a
g(x) 0
log f (x) log f (x)
a 1
a 1
f (x) g(x)

 
  
  
+ a a
f(x) 0
log f (x) log f (x)
0 a 1
0 a 1
f (x) g(x)

 
   
   

 Bất phương trình  af log x 0 , trong đó f à m t hàm số nào đó
Có th giải bằng phương pháp: Đặt ẩn phụ t = loga x , giải bất phương trình f(t) 0 , s u đó
giải bất phương trình ôg rit tương ứng.
Bài tập:
1/ 1
2
log (5x 1) 5   2
32 / log (x 8x) 2  3/  1 3
2
log log x 0
4/ 2
1
2
log (x 1) 0  5/ 2log (x 4)(x 2) 6   2
1
3
6 / log (x x 7) 2   
4
1 3x
7 / log 0
x 1



8/    4 4log x 7 log 1 x  
9/  2
0,8 0,8log x x 1 log (2x 5)    10/ 2
log(x x 2) 2log(3 x)   
11/    2 2log x 5 log 3 2x 4    12/  2
1 5
5
log x 6x 8 2log (x 4) 0    
13/ 2 2log (x 3) 1 log (x 1)   
1/ 2
2 2log x log x 0  2/ 2
1 1
3 3
log x 3log x 0  3/ 1 1
1
1 logx logx
 

4/ 2
2 2log x log 4x 4 0   5/
2
log x 3logx 3
1
logx 1
 


6/ x1
3
5
log x log 3
2
 
7/ 2
x1
5
log x log 125 1  8/ 22x x
log 64 log 16 3 
Chủ đề 6: XÁC SUẤT
1) Tính xác suất của biến cố A :
Bước 1 : Xác định không gi n mẫu  và tính n()
Bước 2 : Xác định biến cố A , tính n A
Bước 3 : Áp dụng công thức xác suất c biến cố :
P(A) =
.)(n
)A(n

2) Tính xác suất của biến cố đối A
 A   : P(A ) = 1 – P(A)
3) Tính xác suất biến cố giao A.B (Xác suất đ A,B cùng xã r )
* Điều kiện : A, B à 2 biến cố đ c ập nh u
Bước 1 : Tính P(A), P(B)
Bước 2 : Áp dụng công thức nh n xác suất

P(A.B) = P(A).P(B)
* Nếu A, B à 2 biến cố xung khắc thì P A.B = 0
Ví dụ : Lấ ngẫu nhiên 1 thẻ từ m t h p có 20 thẻ đánh số từ 1 đến 20.
1 Không gi n mẫu :  = { 1, 2, ..., 20} và n() = C1
20 = 20
2 Tính xác suất đ thẻ được ấ :
*Ghi số chẳn :
Gọi biến cố A : « Lấ được thẻ ghi số chẳn »
A = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 }  n(A) = 10
P(A) =
.)(n
)A(n

=
20
10
= 0,5
*Ghi số ẻ :
Gọi biến cố A : « Lấ được thẻ ghi số chẳn »
Nên biến cố A : « Lấ được thẻ ghi số ẻ »
P(A ) = 1 – P(A) = 1 – 0,5 = 0,5
b Ghi số chi hết cho 3 :
Gọi biến cố B : « Lấ được thẻ ghi số chi hết cho 3 »
B = {3,6,9,12,15,18 }  n(B) = 6
P(B) =
.)(n
)B(n

=
20
6
=
10
3
c Ghi số chẳn và chi hết cho 3
Gọi C : « Lấ được thẻ ghi số chẳn và chi hết cho 3»
C = {6, 12, 18 }  n(C) = 3
P(C) =
.)(n
)C(n

=
20
3
Cách 2 : A, B đ c ập nh u và C = A  B.
Áp dụng xác suất biến cố gi o qui tắc nh n xác suất
P(C) = P(A.B) = P(A).P(B) =
10
3
.
2
1
=
20
3
BÀI TẬP
Bài 1 : M t h p chứ 10 thẻ đánh số từ 1 đến 10, trong đó thẻ từ số 1 đến số 5 có màu đỏ,
thẻ số 6 có màu x nh, thẻ số 7 đến số 10 có màu trắng. Lấ ngẫu nhiên m t thẻ và tính
xác suất đ có :
1) A : Lấ được thẻ màu đỏ
2) B : Lấ được thẻ màu trắng
3) C : Lấ được thẻ ghi số chẳn
Bài 2 : M t h p chứ 3 bi trắng đánh số từ 1 đến 3 và 2 bi đỏ đánh số 4, 5 Lấ ngẫu nhiên
đồng thời 2 bi, tính xác suất đ có :
1) A : H i bi cùng màu trắng 2) B : H i bi cùng màu đỏ
3) C : Hai bi cùng màu 4) D : Hai bi khác màu
Bài 3 : M t h p chứ 5 bi trắng, 3 bi đen, 2 bi đỏ. Lấ ngẫu nhiên đồng thời 2 bi. Tính
xác suất đ

1) A : H i bi ấ r đều trắng
2) B : H i bi ấ r có màu sắc khác nh u
Bài 4 : Trong 1 ớp có 15 học sinh n m và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫn nhiên 4 học
sinh ên bảng giải bài tập. Tính xác suất đ 4 học sinh được gọi có cả n m và nữ . đs :
443/506)
Bài 5 : Gọi S à tập hợp các số tự nhiên gồm 3 chữ số ph n biệt được chọn từ các chử số
1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6 ;7. Xác định sớ phần tử c S . Chọn ngẫu nhiên môt số từ S, tính xác suất
đ chọn được á số ẻ. đs : 210 ; 4/7)
Bài 6 : Đ ki m tr chất ượng sản phẩm từ 1 công t sữ , người t đã gửi đến b phận
ki m nghiệm 5 h p sữ c m, 4 h p sữ d u và 3 h p sữ nho. B phận ki m nghiệm chọn
ngẫu nhiên 3 h p sữ đ ph n tích đ ph n tích mẫu. Tính xác suất đ 3 hôp sữ được chọn
có cả 3 oại. đs : 220 ; 3/11)
Bài 7 : Từ 1 h p chứ 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ, Tính xác
suất đ 4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn. đs : 1/26)
Bài 8 : Có 2 chiếc h p chứ bi. H p thứ nhất chứ 4 bi đỏ và 3 bi trắng, h p thứ h i chứ 2
bi đỏ và 4 bi trắng. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi h p r 1 viên bi, tính xác suất đ 2 viên bi
được ấ r có cùng màu. đs : 10/21)
Bài 9 : H i thí sinh A và B th m gi 1 buổi thi vấ đáp. Cán b hỏi thi đư cho mỗi thí sinh
1 b c u hỏi gồm 10 c u hỏi khác nh u, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình
thức giống hệt nh u, mỗi phong bì đựng 1 c u hỏi ; thí sinh chọn 3 phong bì trong số đó đ
xác định c u hỏi thi c mình. Tính xác suất đ 3 c u hỏi A chọn và 3 c u hỏi B chọn à
giống nh u. đs: 1/120)
Chủ đề 7. Phương pháp tọa độ trong không gian
Vấn đề 1:
Hệ tọa độ trong không gian:
a) ( ; ; )u x y z u xi yj zk    
2 2 2
1i j k   . . . 0i j j k k i  
i = (1; 0; 0), (0;1;0)j  , (0;0;1)k 
( ; ; )M x y z OM xi yj zk   
b) Cho  1 2 3, ,a a a a ,  1 2 3, ,b b b b
 1 1 2 2 3 3, ,a b a b a b a b    
 1 2 3k.a , ,ka ka ka
1 1
2 2
3 3
a
a b
b a b
a b


  
 
1 2 3
1 2 3
a / / .
a a a
b a k b
b b b
    
c) Cho A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB)
( ; ; )B A B A B AAB x x y y z z   

2 2 2
( ) ( ) ( )B A B A B AAB x x y y z z     
+ Tọ đ M à trung đi m đoạn thẳng AB: ( ; ; )
2 2 2
A B A B A Bx x y y z z
M
  
+ G à trọng t m t m giác ABC: ( ; ; )
3 3 3
A B C A B C A B Cx x x y y y z z z
G
     
d) 1 1 2 2 3 3a. . . .b a b a b a b  
2 2 2
1 2 3a a a a   1 1 2 2 3 3a . 0 . . . 0b ab a b a b a b      
.
cos(a; )
.
a b
b
a b

e) 2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
a; , ,
a a a a a a
b
b b b b b b
 
     
 
Ứng dụng:

1
[ ; ]
2
ABCS AB AC   / / / /
/
.
[ ; ].ABCD A B C D
V AB AD AA 
1
[ ; ].
6
ABCDV AB AC AD
A A
A
C
B
 [ ; ]. 0 , ,a b c a b c  đồng phẳng.
 [ ; ] 0 ,a b a b  cùng phương.
Ví dụ 1: Trong không gi n Ox z, cho b đi m: A 1; –2; 4); B(–3; 2; 0); C(3; –1; 0).
1/ Tìm tọ đ các véc tơ: ; ; ; ; ;AB BA AC CA BC CB .
2/ Tìm tọ đ 2.m AB ; 2.n AB AC  ; 2. 3. 4.e AC BC AB   .
3/ Chứng minh A, B, C à b đỉnh c m t t m giác. Tính chu vi c t m giác ABC.
4/ Tính các góc c t m giác ABC.
5/ Tìm tọ đ trung đi m I c AB. Tính đ dài đường trung tu ến CI c  ABC.
6/ Gọi G à trọng t m c t m giác ABC. Chứng minh
1
.
3
GI CI
7/ Tìm tọ đ đi m D đ ABCD à hình bình hành.
8/ Tìm đi m E thu c 0x đ t m giác ACE vuông tại C.
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho: A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6).
1/ Chứng minh A,B,C,D à bốn đỉnh c m t tứ diện.
2/ Tính diện tích t m giác ABC và đ dài đường c o hạ từ A c t m giác ABC.
3/ Tính th tích tứ diện ABCD và đ dài đường c o hạ từ A c tứ diện ABCD.
4/ Tìm các góc tạo bởi các cạnh đối diện c tứ diện ABCD.

Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho b đi m: A(3; –4; 2); B(–1; 0; 6); C(5; –3; 2).
1/ Tìm tọ đ các véc tơ: ; ; ; ; ;AB BA AC CA BC CB .
2/ Tìm tọ đ 2.m AB ; 2.n AB AC  ; 2. 3. 4.e AC BC AB   .
3/ Chứng minh A, B, C à b đỉnh c m t t m giác. Tính chu vi c t m giác ABC.
4/ Tính các góc c t m giác ABC.
5/ Tìm tọ đ trung đi m I c AB. Tính đ dài đường trung tu ến CI c  ABC.
6/ Gọi G à trọng t m c t m giác ABC. Chứng minh
1
.
3
GI CI
7/ Tìm tọ đ đi m D đ ABCD à hình bình hành.
8/ Tìm đi m E thu c 0x đ t m giác ACE vuông tại C.
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho: A(1; 1; –1), B(3; –4; 0), C(–3; 2; –2), D(6; 2; 0).
1/ Chứng minh A,B,C,D à bốn đỉnh c m t tứ diện.
2/ Tính diện tích t m giác ABC và đ dài đường c o hạ từ A c t m giác ABC.
3/ Tính th tích tứ diện ABCD và đ dài đường c o hạ từ A c tứ diện ABCD.
4/ Tìm các góc tạo bởi các cạnh đối diện c tứ diện ABCD
Vấn đề 2:
MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN:
Dạng tổng quát;
Mp (P) qua  ; ;O O OA x y z , có vtpt (vectơ pháp tuyến)  ; ; 0n A B C 
Phương trình tổng quát :       0o o oA x x B y y C z z     
Chú ý:
 Mp  qua  ; ;O O OA x y z , có cặp vtcp  1 2 3; ; 0a a a a  ,
 1 2 3b ; ; 0b b b  , a và b không cùng phương
,vtpt n a b     đư về phương trình tổng quát
 Mặt phẳng () có dạng tổng quát: 0Ax By Cz D     2 2 2
0A B C  
Trong đó vtpt  ; ;n A B C
Lấ  0;0;__M  Cho 2 vị trí bằng 0
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz , cho A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3), C(4; 5; 6)
1/ Viết phương trình mp đi qu A và nhận vectơ (1; 1;5)n   àm vectơ pháp tu ến
2/ Viết phương trình mp đi qu A biết rằng h i véctơ có giá song song hoặc nằm trong
mp đó à (1; 2; 1), (2; 1;3)a b   
3/ Viết phương trình mp qu C và vuông góc với đường thẳng AB
4/ Viết phương trình mp trung trực c đoạn AC
5/ Viết phương trình mp ABC

6/ Viết phương trình mp qu A và chứ Ox
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , cho A(–1; 2; 1), B(1; –4; 3), C(–4; –1; –2)
1/ Viết phương trình mp đi qu I 2;1;1 và song song với mp ABC
2/ Viết phương trình mp qu A và song song với mp  :2 3 2 0P x y z   
3/ Viết phương trình mặt phẳng đi qu h i đi m A, B và vuông góc với mặt phẳng
 :2 2 2 0Q x y z   
4/ Viết phương trình mặt phẳng đi qu A, song song với trục O và vuông góc với mặt
phẳng  :3 3 1 0R x y z   
5/ Viết phương trình mp qu B và vuông góc với 2 mp 1( ) : x – y + 1 = 0
2( ) : 2x – y + z = 0
6/ Viết phương trình mp qu C song song với mp O z
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng:
1) Lập phương trình mp trung trực P c đoạn AB, biết A 2; 1; 4 , B –1; –3; 5)
2) Lập phương trình mặt phẳng P đi qu M 2; 3; 2 và song song với giá c mỗi
vectơ u (3;2;1),v ( 3;0;1)  
3) Lập phương trình mặt phẳng P đi qu b đi m A 1; 6; 2 , B 4; 0; 6 , C 5; 1; 3)
4) Lập ptrình mp P đi qu M –1; 3; –2 và song song với mp Q : x + 2 + z + 4 = 0
5) Lập phương trình mp P đi qu I 2; 6; –3 và song song với mặt phẳng xO
6) Lập phương trình mặt phẳng P đi qu M 1; 1; 1 và song song với trục Ox,O
7) Lập ptrình mp P đi qu h i đi m M 1; –1; 1 , N 2; 1; 1 và song song với trục O
8) Lập phương trình mp P qu h i đi m M 2; –1; 1), N(–2; 3; –1 và vuông góc với
mp(Q): x – 3y + 2z – 4 = 0
9) Lập phương trình mặt phẳng P đi qu A –1; 2; 3 và vuông góc với h i mặt phẳng
(K): x – 2 = 0; (Q): y – z – 1 = 0.
10) Lập phương trình mp P đi qu gốc tọ đ và vuông góc với h i mặt phẳng
(P1): x – y + z – 7 = 0 và (P2): 3x + 2y – 12z + 5 = 0.
11) Lập phương trình mặt phẳng P đi qu M1, M2, M3 ần ượt à hình chiếu c
M(2; –4; 3 trên các trục tọ đ
12) Lập phương trình mặt phẳng P đi qu M1,M2,M3 ần ượt à hình chiếu c
M(4; –1; 2 trên các mặt phẳng tọ đ .
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có A 5; 1; 3 , B 1; 6; 2 , C 5; 0; 4 , D 4; 0; 6
1) Viết phương trình mặt phẳng BCD)
2) Viết phương trình mặt P1 đi qu A và vuông góc với BC

3) Viết phương trình mặt P2 đi qu A, B và song song với CD
4) Viết phương trình mặt P3 đi qu A và chứ trục Ox
5) Viết phương trình mặt P4 đi qu B và song song với ACD
Bài 3: Trong không gian Ox z, cho bốn đi m A 3; –2; –2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1),
D( –1; 1; 2)
a) Viết phương trình mặt phẳng ABC .
b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực c đoạn AC.
c) Viết phương trình mặt phẳng P chứ AB và song song với CD.
d) Viết phương trình mặt phẳng Q chứ CD và vuông góc với mp ABC .
Bài 4: Trong không gi n Ox z, cho h i mặt phẳng P : x + – z +5 = 0 và (Q): 2x – z = 0
a) Chứng tỏ h i mặt phẳng đó cắt nh u
b) Lập phương trình mặt phẳng α qu gi o tu ến c h i mặt phẳng P và Q và
đi qu A –1; 2; 3).
c) Lập phương trình mặt phẳng  qu gi o tu ến c h i mặt phẳng P và Q và
song song với Oz.
d) Lập phương trình mặt phẳng  đi qu gốc tọ đ O và vuông góc với h i mặt
phẳng P và Q .
Vấn đề 3:
(D) :
0 0 0 0
1 2 3
( ; ; )
( ; ; )
qua M x y z
vtcp a a a a


 pt th m số c D :
0 1
0 2
0 3
( )
x x a t
y y a t t R
z z a t
 

  
  
hay pt chính tắc c D : 0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
  
  nếu 1 2 3. . 0a a a  )
DẠNG TOÁN PHƢƠNG PHÁP BÀI TẬP
1. (D) qua A, B.
(D) qua A và B  (D) qua
A, có vtcp là AB
 Laäp pt cuûa AB: A(1; 0;–3), B(3, –1; 0).
2. (D) qua M0 và 
.
(D) qua M0 và    (D)
có vtcp a

= n

  ...
Laäp pt cuûa (D) qua M(–2; 1; 0) vaø vuoâng
goùc vôùi mp  : x + 2y – 2z = 0
3. (D) qua M0 và // 2
mp , 
 có pháp vt n

;
 có pháp vt n


(D) // ,  nên có vtcp là
a

= [ n

, n

] ...
Laäp pt cuûa (D) qua M(1; 2; –1) và // 2 mp
(): x+ y– z+ 3 = 0,
(): 2x– y+ 5z– 4 = 0
4. (D) qua M0 và  2
đường thẳng d1, d2
d1 có vtcp a

,
d2 có vtcp b

(D)  d1, d2 nên có vtcp
u

= [ a

, b

] ...
Cho (d1):
1 2
1 1 2
x y z 
 

,
(d2): 1 2
0
x t
y t
z


 
 

Laäp pt (D) qua M (2; –1; 1) vaø  (d1) & (d2).
5. (D) qua M0 và //
D’ .
D’ có vtcp a

A // D’ nên D có vtcp a

...
Laäp pt cuûa ñ/thaúng D ñi qua M(–2; 6;–3)
vaø// ñ/thaúng (D’):
x 1 5t
y 2 2t
z 1 t
 

  
   
6. D qu A cắt D1)
và  (D2)
 M  (D1)  M(x0 + a1t;
y0 + a2t; z0 + a3t)
 Tính AM

(theo t)
 (D2) có vtcp b

 AM

. b

= 0  t
 AM

 (D) qua A và có vtcp
AM

 ...
Cho đi m M 0;1;1 , đ/thẳng d1) là giao
tu ến c 2 mp P : x+ 1 = 0 và
(Q): x+ y– z+ 2= 0, (d2):
1 2
3 2 1
x y z 
  .
Viết pt đ/thẳng d qu M  (d2 và cắt d1).
7. D qu A cắt và
 ()
 M  ()  M(x0 + a1t;
y0 + a2t; z0 + a3t)
 Tính AM

 AM

. a

= 0  t 
AM

 (D) qua A và có vtcp
AM

 ...
Laäp pt ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm A(3; 2; 1),
 vaø caét ñöôøng thaúng 
x y z 1
2 4 3

  .
8. D qu M cắt d1)
và (d2)
 (d1) qua A, có vtcp a

,
(d2) qua B, có vtcp b

 tính n

1= [ a

, AM

],
n

2= [ b

, BM

]
 tính u

= [ n

1, n

2]
 (D) là đthẳng qu M, có
vtcp u

 (D) ...
Laäp pt ñ/thaúng (D) ñi qua M(–4;–5; 3) vaø
caét caû hai ñöôøng thaúng
d1 :
x 1 y 3 z 2
3 2 1
  
 
 
;
d2 :
x 2 y 1 z 1
2 3 5
  
 

.
9. (D)  mp ( , cắt
(d1) và (d2)
 M  (d1)  M(x1 + a1t;
y1 + a2t; z1 + a3t)
 N  (d2)  N(x2 + b1s;
y2 + b2s; z2 + b3s)
Viết pt đ/thẳng d  mp (P):x + y + z –1 = 0
đồng thời cắt cả h i đường thẳng

 Tính MN

(theo t, s)
 (D)  ()  AM

, n


cùng phương

... ... ...
... ... ...
   t, s 
MN

 D à đthẳng qu M, có
vtcp MN

 (D) ...
 1
1 1
:
2 1 1
x y z
d
 
 

và (d2) :
1
1
x t
y
z t
  

 
  
10. D à hình chiếu
c a  lên (P) ( // P)
 Lấ M  , tìm hình
chiếu H c M ên P
 D à đthẳng qu H và //

Cho :
x 1 y z
1 2 1

 
 
,
(P): x+ 2y– 2z –1= 0.
Cmr  // P . Lập pt hình chiếu c  lên (P)
11. D à hình chiếu
c  lên (P) ( cắt
P)
 Tìm gi p đi m I c  và
(P)
 Lấ M  , tìm hình
chiếu H c M ên P
 D à đthẳng qu I, có
vtcp IH

Cho :
x 2 y 2 z 1
3 4 1
  
  ;
(P): x + 2y + 3z + 4 = 0
Tìm pt hình chieáu cuûa ñ.thaúng  treân mp (P)
12. (D) qua A,  mp
,  đthẳng 
(Chú ý A  (P))
  có pháp vt n

,  có
vtcp a

 (D) có vtcp u

= [ n

,
a

]  (D) ...
Cho mp(P): 3x – 8y + 7z + 1 = 0, A(0; 0;–
3), B(2; 0; –1 . Lập pt chính tắc đ/thẳng d 
mp(P) và d  AB tại gi o đi m c đường
thẳng AB với P).
13. D à đường
vuông góc chung c a
h i đường chéo nhau
d1, d2.
 M  (d1)  M(x1 + a1t;
y1 + a2t; z1 + a3t)
 N  (d2)  N(x2 + b1s;
y2 + b2s; z2 + b3s)
 Tính MN

(theo t, s)
 MN

. a

= 0  ... pt (1)
theo t, s
 MN

. b

= 0  ... pt (2)
theo t, s
 Giải 1 và 2  t, s
 D à đthẳng qu M, N
Cho 2 đường thẳng ) và () :
3 2 2 '
( ): 1 2 ; ( ): 2 '
4 2 4 '
x t x t
y t y t
z z t
     
       
    
Viết pt đường vuông góc chung c ) và
().
14. (D)  P , cắt d1
và d2
 Tìm A = d1  (P),
B = d2  (P)
Cho mp (P): 4x – 3y + 11z = 0 và h i đ/thẳng

 D à đ/thẳng qu A, B
d1:
1
x

=
3
2
y 
=
1
3
z 
, d2 :
4
1
x 
=
1
y
=
3
2
z 
.
Cmr d1 và d2 chéo nh u. Viết pt đ/thẳng
  P , đồng thời  cắt cả d1 và d2.
15. D à gi o tu ến
c 2 mp P và Q
 Cho x1 = ...,thay vào pt
(P), (Q)  y1, z1  M
 Cho x2 = ...,thay vào pt
(P), (Q)  y2, z2  N
 (D) à đường thẳng qu
M, N
D à gi o tu ến c 2
mp(P): 2x–2y–z+1= 0,
(Q): x + 2y – 2z – 4 = 0
16. (D) qua A, // (P)
và cắt 
 M  () :  M(x0 + a1t;
y0 + a2t; z0 + a3t)
 Tính AM

= (theo t)
 (D) // (P)  AM

,n

P =
0  t  AM

 (D) qua A, có vtcp AM

 (D) ...
Cho
1 2 2
:
3 2 2
x y z  
  

và mp (P): x + 3y + 2z + 2 = 0.
Lập pt đ/thẳng // mp P , đi qu A(2; 2; 4) và
cắt đường thẳng ).
Vấn đề 4:
(D) :
1 2 3
( ; ; )
( ; ; )
A A Aqua A x y z
vtcp a a a a


, () :
1 2 3
( ; ; )
( ; ; )
B B Bqua B x y z
vtcp b b b b


31 2
1 2 3
aa a
b b b
 
  
 
 a

và b

cùng
phương
3 31 2 2 1
1 2 2 3 1 3
a aa a a a
hay hay
b b b b b b
    
      
     
 a

và b

khác phương
a

và AB

cùng
phương
a

và AB

khác
phương
[ a

, b

].AB

= 0 [ a

, b

].AB

 0
trùng nhau song song cắt nhau chéo nhau
Chú ý: Khi D và  cắt nh u, đ tìm gi o đi m c 2 đường thẳng:
Cách 1: Giải hệ 2 trong 3 phương trình
1 1
2 2
3 3
A B
A B
A B
x a t x b s
y a t y b s
z a t z b s
  

  
   
 s, t. Thay t vào pt D hoặc s
vào pt ()  tọ đ gi o đi m
Cách 2: Th pt th m số c D hoặc  vào pt chính tắc c  hoặc D  t hoặc s  giao
đi m
Vấn đề 5: 

() :
0 0 0 0
1 2 3
( ; ; )
( ; ; )
qua M x y z
vtcp a a a a


, (P) : Ax + By + Cz + D = 0
 Thay pt ( vào pt P , t được pt theo t
 pt có nghiệm du nhất t = t0   cắt P tại I. Th t0 vào pt   tọ đ gi o đi m I
 pt có vô số nghiệm dạng 0t = 0    (P)
 pt vô nghiệm dạng 0t = 1 số khác 0   // (P)
Vấn đề 6:
Cho 2 mp (P): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và mp Q): A2x + B2y + C2z + D2 = 0
 A1A2+ B1B2+ C1C2 = 0 P  Q  1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
 
   
 
 (P) // (Q)
 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
A B A C B C
hay hay
A B A C B C
     
       
     
 (P), (Q) nhau
Vấn đề 7
(S):tâm I(a; b; c) và bán kính R  pt (S):
(x – a)2
+ (y – b)2
+ (z – c)2
= R2
(1)
x2
+ y2
+ z2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (2)
đk : a2
+ b2
+ c2
– d > 0
2 à pt c mặt cầu t m I ; b ; c),
bán kính R = 2 2 2
a b c d  
1. (S) có tâm I. qua M
R = IM =
2 2 2
M M M(x a) (y b) (z c)    
Lập pt mặt cầu t m I 3; –2; 1), qua
M(2;–1; 3)
2. S có đường kính
AB
 t m I à trung đi m AB
 R =
AB
2
= IA = IB
Lập pt mặt cầu đường kính AB,
A(1;– 2; 4) và B(3; – 4; – 2)
3. S có t m I và tiếp
xúc mp (P)
 R = d(I, (P))
Lập pt mặt cầu tâm I(2; 1; – 4) và
tiếp xúc mp ):
x – 2y + 2z – 7 = 0
4. S có t m I và tiếp
xúc dường thẳng D
 R = d(I, (D))
1. Lập pt mặt cầu tâm I(2; 1; – 4)
và tiếp xúc trục Ox
2. Lập pt mặt cầu tâm I(2; 1; – 4)
và tiếp xúc trục D :
x y 7 z
1 4 3

 
5. S ngoại tiếp ABCD
 Dùng dạng pt 2 , th tọ đ A,
B, C, D  hệ pt bậc nhất 4 ẩn ...
1. Lập pt mặt cầu qua A(0; 1; 0),
B(2; 3; 1), C(– 2; 2; 2),
D(1; – 1; 2)
2. Lập pt mặt cầu qua A(2; 0; 1),
B(1; 0; 0),
C(1; 1; 1) và có tâm I  (P):
x + y + z – 2 = 0.

Vấn đề 8:
1. Chúng minh S tiếp xúc
P . Tìm tiếp đi m
 Tìm tâm I và bán kính R
c S
 Tính d(I, (P)) = ... = R
 Tiếp đi m à hình chiếu T
c I ên P
Cmr mp (P): 2x+ 3y+ z– 11 = 0 tiếp
xúc mặt cầu S :
x2
+ y2
+ z2
– 2x+ 4y– 2z+ 8 = 0. Tìm
tọ đ tiếp đi m c P và S .
2. Chứng minh S cắt P .
Tìm t m và bán kính đường
tròn (S)  (P)
 Tìm tâm I và bán kính R
c S
 Tính d = d(I, (P)) = ... < R
 (S)  P à đường tròn có :
bán kính r = 2 2
R d
t m à hình chiếu H
c I ên P
Cmr mp (P): 6x + 3y – 2z – 1 = 0
cắt mặt cầu S :
x2
+ y2
+ z2
– 6x – 4y – 2z – 11 = 0
theo giao tu ến à m t đường tròn
C . Tìm tọ đ t m và tính bán kính
c C .
3. Lập pt tiếp diện
 Dạng pt mp (P) :
Ax + By + Cz + m = 0 (m ?)
 ĐKTX : d(I, (P)) = R  m
 (P)
1. Lập pt mp P  () :
x 3 y 1 z 2
2 1 2
  
 

và txúc (S):
x2
+ y2
+ z2
+ 2x – 4y – 6z + 5= 0.
2. Viết pt mp P // mp Q :
x + 2y + z – 1 = 0 và tiếp xúc với
mặt cầu S :
x2
+ y2
+ z2
– 2x – 2y – 2z – 6 = 0
Bài 1 : (ĐH A2002)
Trong không gian với hệ tọ đ Đêc c vuông góc Ox z cho h i đường thẳng:
1 :
2 0
2 2 4 0
x y z
x y z
  

   
và 2 :
1
2
1 2
x t
y t
z t
 

 
  
1. Viết phương trình mặt phẳng P chứ đường thẳng 1 và song song với đường
thằng 2
2. Cho đi m M 2 ; 1,4 . Tìm tọ đ đi m H thu c đường thẳng 2 s o cho đoạn
thẳng MH có ñoä daøi nhoû nhaát.
ĐS : 1. ( ):2 0P x z  2. (2;3;3)H
Bài 2 : (ĐH D2002)
Trong không gian với hệ tọ đ Đêc c vuông góc Ox z cho mặt phẳng P :
2x – y + 2 = 0 và đường thẳng dm :
(2 1) (1 ) 1 0
(2 1) 4 2 0
m x m y m
mx m z m
     

    
( m à th m số . Xác
định m đ đường thẳng dm song song với mặt phẳng P . ĐS :
1
2
m  
Bài 3 : (ĐH A2003)

Trong không gian với hệ trục tọ đ Đêc c vuông góc Ox z cho hình h p chữ nhật
ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc c a hệ tọ đ , B ; 0; 0 , D 0; ; 0 , A’ 0; 0; b
(a>0, b>0). Gọi M à trung đi m cạnh CC’.
1. Tính th tích khối tứ diện BDA’M theo và b.
2. Xác định tỷ số
a
b
đ h i mặt phẳng A’BD và MBD vuông góc với nh u.
ĐS : 1.
2
4
a b
V  2. 1
a
b

Bài 4 : (ĐH B2003)
Trong không gian với hệ tọ đ Đêc c vuông góc Ox z cho h i đi m A(2; 0; 0), B(0;0;8)
và đi m C sao cho AC =(0; 6; 0). Tính khoảng cách từ trung đi m I c BC đến đường
thẳng OA. ĐS : ( , ) 5d I OA 
Bài 5 : (ĐH D2003)
Trong không gian với tọ đ Đêc c vuông góc Ox z cho đường thẳng dk:
3 2 0
1 0
x ky z
kx y z
   

   
. Tìm k đ đường thẳng dk vuông góc với mặt phẳng (P):
x – y – 2z + 5 = 0. ĐS : 1k 
Bài 6 : (ĐH A2004)
Trong không gian với hệ tọ đ Ox z cho hình chóp S.ABCD có đá ABCD à hình thoi,
AC cắt BD tại gốc tọ đ O. Biết (2;0;0), (0;1;0), (0;0;2 2).A B S Gọi M à trung đi m c a
cạnh SC.
1. Tính góc và khoảng cách giữ h i đường thẳng SA, BM.
2. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại đi m N. Tính th tích khối chóp
S.ABMN.
ĐS : 1. 0
30  2.
2 6
( , )
3
d SA BM 
Bài 7 : (ĐH B2004)
Trong không gian với tọ đ Ox z cho đi m A (-4; -2; 4 và đường thẳng d:
3 2
1
1 4
x t
y t
z t
  

 
   
.
Viết phương trình  đi qu đi m A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
ĐS :
4 2 4
:
3 2 1
x y z  
  

Bài 8 : (ĐH D2004)
Trong không gian với hệ tọ đ Ox z cho hình ăng trụ đứng 1 1 1.ABC ABC . Biết A(a; 0; 0),
B(-a; 0; 0),
C(0; 1; 0), 1B (-a; 0; b), a > 0, b > 0.
1. Tính khoảng cách giữ h i đường thẳng 1B C và 1AC theo a, b.
2. Cho , b th đổi, nhưng uôn thỏ mãn + b =4. Tìm , b đ khoảng cách giữa hai
đường thẳng 1B C và 1AC là lớn nhất.

ĐS : 1. 1 1 2 2
( , )
ab
d B C AC
a b


2. 1 1ax ( , ) 2 2M d BC AC a b   
Bài 9 : (ĐH D2004)
Trong không gian với hệ tọ đ Ox z cho b đi m A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và mặt
phẳng (P): x + y + z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qu b đi m A, B, C và có tâm
thu c mặt phẳng (P). ĐS : 2 2 2
( 1) ( 1) 1x y z    
Bài 10 : (ĐH A2005)
Trong không gian với tọ đ Ox z cho đường thẳng d:
1 3 3
1 2 1
x y z  
 

và mặt phẳng
(P): 2 2 9 0x y z    .
1. Tìm tọ đ đi m I thu c d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
2. Tìm tọ đ gi o đi m A c đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình
tham số c đường thẳng  nằm trong mặt phẳng (P), biết  đi qu A và vuông
góc với d.
ĐS : 1. ( 3;5;7); (3; 7;1)I I  2. (0; 1;4); : 1
1
x t
A y
z t


  
  
Bài 11 : (ĐH B2005)
Trong không gian với hệ tọ đ Ox z cho hình ăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0; -3; 0),
B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B1(4; 0; 4).
1. Tìm tọ đ các đỉnh A1, C1. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với
mặt phẳng (BCC1 B1).
2. M à trung đi m c a A1B1. Viết phương trình mặt phẳng P đi qu h i đi m A, M
và song song với BC1. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 tại đi m N. Tính đ dài
đoạn MN.
ĐS : 1. 2 2 2 576
( 3)
24
x y z    2.
17
( ): 4 2 12 0;
2
P x y z MN    
Bài 12 : (ĐH D2005)
Trong không gian với hệ tọ đ Ox z cho h i đường thẳng
d1:
1 2 1
3 1 2
x y z  
 

; d2:
2 0
3 12 0
x y z
x y
   

  
1. Chứng minh rằng d1 và d2 song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P)
chứa cả h i đường thẳng d1 và d2 .
2. Mặt phẳng tọ đ Oxz cắt h i đường thẳng d1, d2 lần ượt tại các đi m A, B. Tính
diện tích tam giác AOB (O là gốc tọ đ ).
ĐS : 1. ( ):15 11 17 10 0P x y z    2. 5AOBS 
Bài 13 : (ĐH A2006)
Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho hình ập phương ABCD.A’B’C’D’ với A 0; 0; 0 ,
B(1; 0; 0),
D 0;1;0 , A’ 0; 0; 1 . Gọi M và N ần ượt à trung đi m c AB và CD.
1. Tính khoảng cách giữ h i đường thẳng A’C và MN.

2. Viết phương trình mặt phẳng chứ A’C và tạo với mặt phẳng Oxy m t góc  biết
1
os
6
c   .
ĐS : 1. ' 1
( , )
2 2
d AC MN  2. ( ):2 1 0;( ): 2 1 0P x y z P x y z       
Bài 14 : (ĐH B2006)
Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho đi m A 0;1;2 và h i đường thẳng :
d1 :
1 1
2 1 1
x y z 
 

, d2 :
1
1 2
2
x t
y t
z t
 

  
  
1. Viết phương trình mặt phẳng P qu A, đồng thời song song với d1 và d2 .
2. Tìm tọ đ các đi m M thu c d1, N thu c d2 s o cho b đi m A, M, N thẳng hàng.
ĐS : 1. 3 5 13 0x y z    2. (0;1; 1); (0;1;1)M N
Bài 15 : (ĐH D2006)
Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho đi m A 1;2;3 và h i đường thẳng:
d1: 2 2 3
2 1 1
x y z  
 

d2:
1 1 1
1 2 1
x y z  
 

1. Tìm tọ đ đi m A’ đối xứng với đi m A qu đường thẳng d1.
2. Viết phương trình đường thẳng đi qu A, vuông góc với d1 và cắt d2.
ĐS : 1. '
( 1; 4;1)A   2.
1 2 3
:
1 3 5
x y z  
  
 
Bài 16 : (ĐH A2007)
Trong không gi n với hệ toạ đ O xz, cho h i đường thẳng
d1:
1 2
2 1 1
x y z 
 

và d2:
1 2
1
3
x t
y t
z
  

 
 
1. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.
2. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z = 0 và
cắt h i đường thẳng d1, d2.
ĐS : 1. d1 và d2 chéo nhau. 2.
2 1
:
7 1 4
x y z 
  

Bài 17 : (ĐH B2007)
Trong không gi n với hệ toạ đ Ox z, cho mặt cầu S : x2
+ y2
+ z2
– 2x + 4y + 2z – 3 = 0
và mặt phẳng P : 2x – y + 2z – 14 = 0.
1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo m t đường tròn có bán
kính bằng 3.
2. Tìm toạ đ đi m M thu c mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)
lớn nhất.
ĐS : 1. ( ): 2 0Q y z  . 2. ( 1; 1; 3)M   
Bài 18 : (ĐH D2007)
Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho h i đi m A 1;4;2 , B -1;2;4 và đường thẳng

 :
1 2
1 1 2
x y z 
 

.
1. Viết phương trình đường thẳng d đi qu trọng tâm G c a tam giác OAB và vuông
góc với mặt phẳng (OAB).
2. Tìm tọ đ đi m M thu c đường thẳng  sao cho MA2
+ MB2
nhỏ nhất .
ĐS : 1.
2 2
:
2 1 1
x y z
d
 
 

. 2. ( 1;0;4)M 
Bài 19 : (ĐH A2008)
Trong không gi n tọ đ Ox z, cho đi m A 2;5;3 và đường thẳng
1 2
:
2 1 2
x y z
d
 
 
1. Tìm tọ đ hình chiếu vuông góc c đi m A trên đường thẳng d.
2. Viết phương trình mặt phẳng α chứa d sao cho khoảng cách từ A đến α ớn nhất.
ĐS : 1. (3;1;4)H . 2. ( ): 4 3 0x y z    
Bài 20 : (ĐH B2008)
Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho b đi m A(0;1;2),B(2;−2;1),C(−2;0;1).
1. Viết phương trình mặt phẳng đi qu b đi m A,B,C.
2. Tìm tọ đ c đi m M thu c mặt phẳng 2x + 2y+ z −3 = 0 sao cho
MA = MB = MC.
ĐS : 1. 2 4 6 0x y z    . 2. (2;3; 7)M 
Bài 21 : (ĐH D2008)
Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho bốn đi m A 3;3;0 ,B 3;0;3 ,C 0;3;3 ,D 3;3;3 .
1. Viết phương trình mặt cầu đi qu bốn đi m A, B, C, D.
2. Tìm tọ đ t m đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
ĐS : 1. 2 2 2
3 3 3 0x y z x y z      . 2. (2;2;2)H
Bài 22 : (ĐH A2009−CB)
Trong không gi n với hệ toạ đ Ox z, cho mặt phẳng P : 2 2 4 0x y z    và mặt cầu
(S): 2 2 2
2 4 6 11 0x y z x y z       . Chứng minh rằng mặt phẳng P cắt mặt cầu S
theo m t đường tròn. Xác định toạ đ t m và bán kính c đường tròn đó.
ĐS : (3;0;2)H
Bài 23 : (ĐH A2009−NC)
Trong không gian với hệ toạ đ Ox z, cho mặt phẳng P : 2 2 1 0x y z    và h i đường
thẳng 1:
1 9
1 1 6
x y z 
  , 2:
1 3 1
2 1 2
x y z  
 

. Xác định toạ đ đi m M thu c đường
thẳng 1 s o cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng
P bằng nh u. ĐS :
18 53 3
( ; ; )
35 35 35
M
Bài 24 : (ĐH B2009−CB)
Trong không gi n với hệ toạ đ Ox z, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A 1;2;1 ,
B(-2;1;3), C(2;-1;1) và D 0;3;1 . Viết phương trình mặt phẳng P đi qu A, B s o cho
khoảng cách từ C đến P bằng khoảng cách từ D đến P .
ĐS : ( ):4 2 7 15 0;( ):2 3 5 0P x y z P x z       .
Bài 25 : (ĐH B2009−NC)

Trong không gi n với hệ toạ đ Ox z, cho mặt phẳng P : x – 2y + 2z – 5 = 0 và h i đi m
A(-3;0;1), B(1;-1;3 . Trong các đường thẳng đi qu A và song song với P , hã viết phương
trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó à nhỏ nhất.
ĐS :
3 1
:
26 11 2
x y z 
  

Bài 26 : (ĐH D2009−CB)
Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho các đi m A 2; 1; 0 , B 1;2;2 , C 1;1;0 và mặt
phẳng P : x + + z – 20 = 0. Xác định tọ đ đi m D thu c đường thẳng AB s o cho
đường thẳng CD song song với mặt phẳng P . ĐS :
5 1
( ; ; 1)
2 2
D 
Bài 27 : (ĐH D2009−NC)
Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho đường thẳng :
2 2
1 1 1
x y z 
 

và mặt
phẳng (P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong P s o cho d
cắt và vuông góc với đường thẳng .
ĐS :
3
: 1 2
1
x t
d y t
z t
  

 
  
Bài 28 : (ĐH A2010−CB)
Trong không gi n tọ đ Oxyz, cho đường thẳng
1 2
:
2 1 1
x y z 
  

và mặt phẳng P :
x  2 + z = 0. Gọi C à gi o đi m c  với P , M à đi m thu c . Tính khoảng cách từ
M đến P , biết MC = 6 . ĐS :
1
( ,( ))
6
d M P 
Bài 29 : (ĐH A2010−NC)
Trong không gi n tọ đ Oxyz, cho đi m A(0; 0; 2 và đường thẳng
2 2 3
:
2 3 2
x y z  
   . Tính khoảng cách từ A đến . Viết phương trình mặt cầu t m A,
cắt  tại h i đi m B và C sao cho BC = 8. ĐS : 2 2 2
( ): ( 2) 25S x y z   
Bài 30 : (ĐH B2010−CB)
Trong không gi n tọ đ Ox z, cho các đi m A 1; 0; 0 , B 0; b; 0 , C 0; 0; c , trong đó
b, c dương và mặt phẳng P : – z + 1 = 0. Xác định b và c, biết mặt phẳng ABC vuông
góc với mặt phẳng P và khoảng cách từ đi m O đến mặt phẳng ABC bằng
1
3
.
ĐS :
1
2
b c 
Bài 31 : (ĐH B2010−NC)
Trong khoâng gian toïa ñoä Oxyz, cho ñöôøng thaúng :
1
2 1 2
x y z
  . Xaùc ñònh toïa ñoä ñieåm
M treân truïc hoaønh sao cho khoaûng caùch töø M ñeán  baèng OM.
ĐS : ( 1;0;0); (2;0;0)M M
Bài 32 : (ĐH D2010−CB)

Trong không gi n toạ đ Ox z, cho h i mặt phẳng P : x + + z  3 = 0 và (Q): x  y + z
 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng R vuông góc với P và Q s o cho khoảng cách
từ O đến R bằng 2. ĐS : ( ): 2 2 0;( ): 2 2 0R x z R x z     
Bài 33 : (ĐH D2010−NC)
Trong không gi n toạ đ Ox z, cho h i đường thẳng 1:
3x t
y t
z t
 


 
và 2:
2 1
2 1 2
x y z 
  . Xác định toạ đ đi m M thu c 1 s o cho khoảng cách từ M đến 2
bằng 1. ĐS : (4;1;1); (7;4;4)M M
Bài 34 : (ĐH A2011−CB)
Trong không gi n với hệ tọ đ Oxyz, cho h i đi m A(2; 0; 1), B(0; -2; 3 và mặt phẳng
(P) : 2xyz4 0. Tìmtọ đ đi mM thu c P)saochoMAMB3.
ĐS :
6 4 12
(0;1;3); ( ; ; )
7 7 7
M M 
Bài 35 : (ĐH A2011−NC)
Trong không gi n với hệ tọ đ Oxyz, cho mặt cầu S) : x2 y2 z24x4y4z0 và
đi m A 4; 4; 0 . Viết phương trình mặt phẳng OAB , biết đi m B thu c S) và tam giác
OAB đều. ĐS : ( ): 0;( ): 0AOB x y z AOB x y z      
Bài 36 : (ĐH B2011−CB)
Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho đường thẳng ∆:
2 1
1 2 1
x y z 
 
 
và mặt
phẳng
(P) : x + y + z – 3 =0 .Gọi I à gi o đi m c ∆ và P .Tìm tọ đ đi m M thu c P s o
cho MI vuông góc với ∆ và MI = 4 14 . ĐS : (5;9; 11); ( 3; 7;13)M M  
Bài 37 : (ĐH B2011−NC)
2 1 5
1 3 2
x y z  
 

và hai
đi m ( 2;1;1), ( 3; 1;2)A B   . Tìm tọ đ đi m M thu c đường thẳng ∆ s o cho t m giác
MAB có diện tích bằng 3 5 . ĐS : ( 2;1; 5); ( 14; 35;19)M M   
Bài 38 : (ĐH D2011−CB)
Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho đi m A 1 ;2 ;3 và đường thẳng d:
1 3
2 1 2
x y z 
 

viết phương trình đường thẳng ∆ đi qu A , vuông góc với đường thẳng
d và cắt trục Ox. ĐS :
1 2
: 2 2
3 3
x t
y t
z t
 

  
  
Bài 39 : (ĐH D2011−NC)

1 3
2 4 1
x y z 
  và mặt phẳng
( ):2 2 0P x y z   . Viết phương trình mặt cầu có t m thu c đường thẳng ∆ , bán kính
bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng P .
ĐS : 2 2 2 2 2 2
( ):( 1) ( 1) ( 1) 1;( ):( 5) ( 11) ( 2) 1S x y z S x y z           
Bài 40 : (ĐH A2012−CB)
Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho đường thẳng d:
1 2
1 2 1
x y z 
  và đi m
I 0; 0; 3 . Viết phương trình mặt cầu S có t m I và cắt d tại h i đi m A, B s o cho t m
giác IAB vuông tại I. ĐS : 2 2 2 8
( ): ( 3)
3
S x y z   
Bài 41 : (ĐH A2012−NC)
1 2
2 1 1
x y z 
  , mặt phẳng
(P) : x + y – 2z + 5 = 0 và đi m A 1; -1; 2 . Viết phương trình đường thẳng  cắt d và P
ần ượt tại M và N s o cho A à trung đi m c đoạn thẳng MN.
ĐS :
1 1 2
:
2 3 2
x y z  
  
Bài 42 : (ĐH B2012−CB)
1
2 1 2
x y z
 

và h i đi m
A(2;1;0), B(-2;3;2 . Viết phương trình mặt cầu đi qu A,B và có t m thu c đường thẳng d.
ĐS : 2 2 2
( ):( 1) ( 1) ( 2) 17S x y z     
Bài 43 : (ĐH B2012−NC)
Trong không gi n với hệ tọ đ Oxyz, cho A(0;0;3), M 1;2;0 . Viết phương trình mặt
phẳng P) qua A và cắt các trục Ox, Oy ần ượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng
t m thu c đường thẳng AM. ĐS : ( ):6 3 4 12 0P x y z   
Bài 44 : (ĐH D2012−CB)
Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho mặt phẳng P : 2x+ –2z+10=0 và đi m
I 2; 1; 3 . Viếtphương trình mặt cầu t m I cắt P theo m t đường tròn có bán kính bằng 4.
ĐS : 2 2 2
( ):( 2) ( 1) ( 3) 25S x y z     
Bài 45 : (ĐH D2012−NC)
1 1
2 1 1
x y z 
 

và h i đi m
A (1; -1; 2), B (2; -1; 0 . Xác định tọ đ đi m M thu c d s o cho t m giác AMB vuông tại
M. ĐS :
7 5 2
( ; ; )
3 3 3
M 
Bài 46 : (ĐH A2013−CB)
Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho đường thẳng
6 1 2
:
3 2 1
x y z  
  
 
và đi m
A 1;7;3 . Viết phương trình mặt phẳng P đi qu A và vuông góc với  . Tìm tọ đ đi m
M thu c  sao choAM=2 30

ĐS :
51 1 17
( ):3 2 14 0; ( ; ; ); (3; 3; 1)
7 7 7
P x y z M M      
Bài 47 : (ĐH A2013−NC)
Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho mặt phẳng ( ):2 3 11 0P x y z    và mặt cầu
2 2 2
( ): 2 4 2 8 0S x y z x y z       . Chứng minh P tiếp xúc với S .Tìm tọ đ tiếp đi m
c P và S . ĐS : ( ,( )) ; (3;1;2)d I P R M
Bài 48 : (ĐH B2013−CB)
Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho đi m A 3 ; 5; 0 và mặt phẳng P :
2x + 3y – z – 7 = 0 . Viết phương trình đường thẳng đi qu A và vuông góc với P . Tìm
tọ đ đi m đối xứng c A qu P . ĐS : ( 1; 1;2)B  
Bài 49 : (ĐH B2013−NC)
Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho các đi m A 1 ; -1 ; 1) ;B(-1 ; 2 ;3) và đường
thẳng
1 2 3
:
2 1 3
x y z  
  

. Viết phương trình đường thẳng đi qu A và vuông góc với
h i đường thẳng AB và  .
ĐS :
1 1 1
:
7 2 4
x y z
d
  
 
Bài 50 : (ĐH D2013−CB)
Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho các đi m A −1 ; −1; −2 ,B 0 ; 1; 1 và mặt
phẳng P : x + + z – 1 = 0 . Tìm tọ đ hình chiếu vuông góc c A trên P . Viết phương
trình mặt phẳng đi qu A,B và vuông góc với P . ĐS : ( ): 2 1 0Q x y z   
Bài 51 : (ĐH D2013−NC)
Trong không gi n với hệ tọ đ Ox z, cho các đi m A −1 ; 3 ; −2 và mặt phẳng
(P) 2 2 5 0x y z    . Tính khoảng cách từ A đến P . Viết phương trình mặt phẳng đi qu
A và song song với P ĐS :
2
( ,( )) ;( ): 2 2 3 0
3
d A P Q x y z    
Bài 52 : (ĐH A2014)
Trong không gian với hệ tọ đ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+ −2z−1 = 0 và đường thẳng
d :
2 3
1 2 3
x y z 
 

. Tìm tọ đ gi o đi m c d và P . Viết phương trình mặt phẳng
chứ d và vuông góc với P . ĐS :
7 3
( ; 3; )
2 2
M  , (Q): x + 8y + 5z + 13 = 0.
Bài 53 : (ĐH B2014)
Trong không gian với hệ tọ đ Oxyz, cho đi m A 1;0;−1 và đường thẳng d :
1 1
2 2 1
x y z 
 

. Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với d. Tìm tọ đ
hình chiếu vuông góc c A trên d. ĐS : (P): 2x + 2 −z−3 = 0,
5 1 1
( ; ; )
3 3 3
H
 
Bài 54 : (ĐH D2014)
Trong không gi n với hệ tọ đ Oxyz, cho mặt phẳng P : 6x + 3 −2z −1 = 0 và mặt cầu
(S) : x2
+y2
+z2
−6x−4 −2z−11 = 0. Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao
tu ến à m t đường tròn (C). Tìm tọ đ t m c đường tròn (C).

ĐS :
3 5 13
( ; ; )
7 7 7
H
Chủ đề 8: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP, THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ; KHOẢNG
CÁCH TỪ MỘT ĐIỂMTỚI MỘT MẶT PHẲNG
I. Công thức tính thể tích:
1) Thể tích khối hộp chữ nhật: V=a.b.c
(a,b,c là 3 kích thước của khối hộp chữ nhật)
2) Thể tích khối lăng trụ: V=Sđá  chiều c o
3) Thể tích khối chóp: V=
1
3
Sđá  chiều c o
II. Tính khoảng cách từ điểm M tới 1 mặt phẳng (P)
Cách 1: Dựng MH P tại H. Khi đó d M; P =MH
Phương pháp dựng đoạn MH:
Trường hợp 1: Nếu có đường thẳng d P thì t dựng MH//d cắt P tại H MH(P)
Trường hợp 2:
- Tìm mp(Q) chứa M và vuông góc với (P) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến  .
- Trong (Q): dựng MH  tại H MH(P)
Cách 2: Dùng cách 2 khi đã biết d A; P , thường A à ch n đường c o
Trường hợp 1: Nếu MA// P thì d M; P = d(A;(P)
Trường hợp 2: Nếu MA (P)=I thì:
( ;( ))
( ;( ))
d M P IM
d A P IA

Cách 3: Su r từ công thức tính th tích khối chóp
Xét khối chóp S.AMB có SAB trùng với mặt phẳng P cần xét. Khi đó:
.3
( ;( )) S AMB
SAB
V
d M SAB
S

Chú ý: Nếu bài toán êu cầu xác định khoảng cách giữ 2 đường thẳng chéo nh u thì nên
tìm cách đư về khoảng cách từ 1 đi m tới 1 mặt phẳng.
III. BÀI TẬP:
Bài 1: Chóp S.ABCD đá à hình chữ nhật BC= ; AC=2 ,  SAB đều. Hình chiếu c S
ên mặt đá trùng với trung đi m c AC. Tính th tích c khối chóp S.ABCD và khoảng
cách từ SA đến BC. ĐS: V=
3
6
6
a
; d(SA;BC)=
2 66
11
a
Bài 2: Chóp S.ABCD đá à hình vuông cạnh . Gọi M, N, P ần ượt à trung đi m c
AB, AD, DC. Gọi H à gi o đi m c CN và DM, SH vuông góc với mặt đá . SH= 3 .
Tính th tích khối chóp S.HDC và khoảng cách từ C đến SBP
ĐS: V=
3
3
15
a
; d(C;(SBP))=
3
4
a
Bài 3: Cho hình ăng trụ đứng ' ' '
.ABC ABC có tam giác ABC vuông tại C . M, N là trung
đi m c ' '
A C và AC. Biết AC  a , BC  3a ; ABC’ hợp với  ABC góc 0
60 . Tính th
tích khối ăng trụ ' ' '
.ABC A B C
V và khoảng cách từ A tới BNC’ theo a .
ĐS : ' ' '
3
ABC.A BC
a 3 3
V
4
 ; d A, NBC’ =
3
43
a

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vuông c n tại C, AB =3 ,
2
14a
SB  . Gọi G à
trọng t m ∆ABC, SG  ABC . Tính th tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đi m B
đến mp SAC . ĐS:
3
.
3
4
S ABC
a
V  ; ( ;( )) 3d B SAC a
Bài 5: Cho ăng trụ đứng ABC.A’B’C’có AC= ; BC=2a; 120o
ACB  .Đường thẳng A’C tạo
với mặt phẳng ABB’A’ góc 300
.Gọi M à trung đi m c BB’.Tính th tích khối ăng trụ
ABCA’B’C’ và khoảng cách từ C’ đến ABB’A’ theo a.
ĐS:V=
3
. ' ' '
15
2 7
ABC A B C
a
V  ; d(C’; ABB’A’ =
3
7
a
Bài 6: Cho ăng trụ ABCD.A’B’C’D’có đá ABCD à hình vuông cạnh , cạnh bên Â’= ,
hình chiếu vuông góc c A’ ên ABCD trùng với trung đi m I c AB. Gọi K à trung
đi m c BC. Tính theo th tích khối chóp A’.IKD và khoảng cách từ I đến mặt phẳng
A’KD ĐS: V=
3
3
16
a
d I; A’KD =
3 2
8
a
Bài 7: Chóp hình chóp S.ABCD đá à hình chữ nhật t m I với AB=2 3a , BC=2 . Biết
ch n đường c o H từ S xuống ABCD trùng với trung đi m DI;SB hợp với đá ABCD t
góc bằng 600
. Tính th tích khối chóp SABCD và khoảng cách từ H đến SBC
ĐS: V=12 3
; d(H, (SBC))=
3
15
5
a
Bài 8: Chóp hình chóp S.ABCD có đá à hình thoi cạnh , 0
120ABC  ; G à trọng t m
tam giác ABD, SG (ABCD); 0
AS 90C  . Tính th tích khối chóp SABCD và khoảng
cách từ G đến SBD theo ĐS: V=
3
2
6
a
; d(G, (SBD))=
6
9
a
Bài 9: Chóp hình chóp S.ABCD đá à hình chữ nhật, AB= , AC=2 , SAB và (SAC)
cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD , SC tạo với SAB m t góc bằng 300
. M thu c
cạnh AB s o cho BM=3MA. Tính th tích khối chóp S.DCM và khoảng cách giữ AM đến
SB ĐS: V=
3
6
3
a
; d(AM, SB)=
2 34
51
a
Bài 10: Chóp t m giác đều S.ABC có cạnh đá bằng , góc giữ mặt bên và mặt đá bằng
600
. Tính th tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ A đến SBC theo
ĐS: V=
3
3
24
a
; d(A, (SBC))=
3
4
a
Bài 11: Chóp hình chóp S.ABCD đá à hình bình hành với AB=2 , BC= 2 , BD=a 6
Hình chiếu c S ên mặt đá trùng với trọng t m G c BCD. SG=2a . Tính th tích
khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến SBD theo
ĐS: V=
3
4 2
3
a
; d(A, (SBD))=
3 7
7
a
Bài 12: Chóp t m giác S.ABC có đá à t m giác đều cạnh bằng ,  SAC c n tại S nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đá , SB tạo với mặt đá m t góc bằng 300
, M là trung
đi m c BC Tính th tích khối chóp S.ABM và khoảng cách giữ SB và MA theo

ĐS: V=
3
3
48
a
; d(SB, MA)=
13
13
a
Bài 13: Chóp S.ABCD có đá à hình vuông cạnh bằng 2 ,  SAB c n tại S nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đá , SC tạo với mặt đá m t góc bằng 600
. Tính th tích khối
chóp S.ABCD và khoảng cách giữ SA và BD theo
ĐS: V=
3
4 15
3
a
; d(SA, BD)=
2 465
31
a
Bài 14: Cho hình h p đứng ABCD.A’B’C’D’ đá à hình thoi cạnh , 0
60ABC  , góc
giữ A’BD và đá bằng 600
. Tính theo th tích hình h p và khoảng cách từ C đến
A’BD ĐS: V=
3
3
4
a
; d C, A’BD =
3
4
a
Bài 15: Chóp S.ABCD đá à hình th ng vuông tại A và B, mặt phẳng SCD hợp với đá
m t góc  sao cho cos =
1
7
. Biết SA=SC=SD, AD=2AB=2BC=2 . Tính th tích khối
chóp S.ABCD và khoảng cách giữ SC và AD theo
ĐS: V=
3
3
2
a
; d(SC, AD)=
3
2
a
------------------------------------HẾT----------------------------------
SỞ GD & ĐT TP HỒ CHÍ MINH THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
TRƢỜNG THPT MARIE CURIE Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút,
------------------------------ ---------------------------------------------------
Câu 1. (2,0 điểm Cho hàm số 3 2
2 6 4y x x   .
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C c hàm số đã cho.
b Viết phương trình tiếp tu ến c đồ thị ( )C , biết tiếp tu ến song song với đường
thẳng :15 2 0d x y  và tiếp đi m có hoành đ dương.
Câu 2. (1,0 điểm)
Giải phương trình:    2
2sin 1 3cos4 2sin 4 4cos 3x x x x     .
b) Tìm số phức z thỏ hệ thức: 2
2z z  và 2z  .
Câu 3. (0,5 điểm Giải phương trình:    2 4 1
2
log 2 2log 5 log 8 0x x     .
Câu 4. (1,0 điểm Giải phương trình:    3 2 2
5 1 1 4 25 18x x x x     .
Câu 5. (1,0 điểm) Tính tích phân:  
ln 4
0
1 x
I x e dx  .

Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp .S ABCD có đá à hình th ng vuông tại A và B,
AB BC a  và 2AD a . Hình chiếu vuông góc c S trên đá à trung đi m H c
đoạn AB. Cạnh bên SC tạo với mặt đá m t góc bằng 0
60 . Tính theo a th tích khối
chóp .S ABCD và khoảng cách từ đi m H đến mặt phẳng  SCD .
Câu 7. (1,0 điểm Trong mặt phẳng với hệ tọ đ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại
A và B, có 2BC AD , đỉnh  3;1A  và trung đi m M c đoạn BC nằm trên đường
thẳng : 4 3 0d x y   . Tìm tọ đ các đỉnh còn ại c hình th ng ABCD , biết
 6; 2H  à hình chiếu vuông góc c B trên đường thẳng CD.
Câu 8. (1,0 điểm Trong không gi n với hệ tọ đ Oxyz , cho đường thẳng
1 1
:
1 2 1
x y z
d
 
 

và đi m  5;4; 2A  . Tìm tọ đ đi m H trên đường thẳng d sao
cho AH vuông góc với d và viết phương trình mặt cầu đi qu đi m A và có tâm là
gi o đi m c d với mặt phẳng Oxy .
Câu 9. (0,5 điểm Gọi S à tập hợp các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nh u được chọn từ
các số 0; 1; 2; 3; 4; 5. Chọn ngẫu nhiên m t số từ tập S , tính xác suất đ số được chọn
có mặt ít nhất chữ số 1 hoặc chữ số 2.
Câu 10. (1,0 điểm) Cho a, b, c à 3 số thực dương và thỏ 21 2 8 12ab bc ca   . Tìm
giá trị nhỏ nhất c bi u thức:
1 2 3
S
a b c
   .
----------HẾT----------
TRƢỜNG THPT BÌNH CHÁNH Môn thi: TOÁN
------------------------------ ------------------------------------------------
Câu1(2,0 điểm). Cho hàm số : 3 2
9 24 19y x x x    
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số C đã cho.
b Tìm đi m thu c C có khoảng cách đến trục hoành bằng 3 ần khoảng cách đến
trục tung và các tọ đ đều dương . Viết phương trình tiếp tu ến với C tại đi m đó.
Câu 2(1,0 điểm).
Giải phương trình: 2 2sin( )cos 1
12
x x

 
b Cho số phức thỏ .
Tính môđun c số phức z2
Câu 3(0,5 điểm).Giải phương trình: 4 2 4 42(log (3 1) log 4) log 3 1 log ( 4)
3 8.9 .3 9x x x x    
 
Câu 4(1,0 điểm)..Giải bất phương trình: 2 2
4 ( 4) 2 4x x x x x    

Câu 5(1,0 điểm).Tính
3 2
2
2 ln( 1)
1
x x x
I dx
x
 


Câu 6(1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đá ABC à t m giác vuông tại A với
AB = 2AC = 2 . Biết hình chiếu c S trên mặt phẳng ABC cũng ả hình chiếu c A trên
cạnh BC và góc hợp bởi SC với mặt phẳng ABC bằng 600
. Tính theo th tích khối chóp
S.ABC và khoảng cách từ B đến SAC .
Câu 7(1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọ đ Ox cho t m giác ABC với đường c o kẻ
từ đỉnh B và đường ph n giác trong c góc A ần ượt có phương trình à: x+2 – 2 = 0
và x - y - 1 = 0 . M (-2; 0 à đi m thu c đường thẳng AB s o cho AB = 2AC. Tìm tọ
đ các đỉnh c t m giác ABC.
Câu 8(1,0 điểm). Trong không gi n với hệ trục Ox z cho 2 đi m ,
B(5; - 6; -1 và mặt phẳng P : 2 2 12 0x y z    . Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc
với P và qu h i đi m A, B.
Câu 9(0,5 điểm). Cho E = {1;2;3;4;5} . Viết ngẫu nhiên ên bảng h i số tự nhiên, mỗi số
gồm 3 chữ số đôi m t khác nh u thu c tập E. Tính xác suất đ trong h i số đó có đúng m t
số có chữ số 5.
Câu 10(1,0 điểm). Cho à các số thực dương thỏ mãn . Chứng minh
rằng: 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 15
4 4
ab bc ca
a b b c c a a b c
 
      
    
------HẾT------
TRƢỜNG THPT CỦ CHI Môn thi: TOÁN
------------------------------ ---------------------------------------------------
Câu 1 (2đ). Cho hàm số
2 1
1
x
y
x



a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) c a hàm số.
b) Tìm các giá trị c a tham số m đ đường thẳng 1 : 2d y x m  cắt đồ thị (C) tại h i đi m
phân biệt A, B s o cho A, B cách đều đường thẳng 2 :2 2 1 0d x y   .
Câu 2 (1đ). Giải phương trình 2 2
3cos sin 1 cos sin2 sinx x x x x     .
Câu 3 (1đ). Tính tích phân
3
0
tan
3 2cos
x
I dx
x



Câu 4 (1đ).
a) Cho số phức z thỏa  1 5 7
1
z
i z i
i
    

. Tính môđun c a z.
b) Trong khai tri n c a bi u thức 2 2
n
x
x
 
 
 
, *
0,x n  , tìm hệ số c a 6
x biết rằng tổng
tất cả các hệ số trong khai tri n này bằng 19683.

On thi thpt toan 2014 2015

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à On thi thpt toan 2014 2015

Similaire à On thi thpt toan 2014 2015 (20)

On thi thpt toan 2014 2015