4. เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เมทริกซ์ จัดทาโดย นักเรียนห้อง 824
อธิบายเพิ่มเติม
ไมเนอร์ (Mij(A)) และ โคแฟกเตอร์(Cij(A))
ไมเนอร์ (Mij(A))
คือ ค่าของดีเทอร์มิเนนต์ของเมทริกซ์ ซึ่งได้จากการตัดแถวที่ i และ ตัดหลักที่ j ของเมทริกซ์ A ออก
เช่น ให้ A =
M23(A) = = = 8-14 = -6
โคแฟกเตอร์(Cij(A))
คือ Cij(A) = (-1)i+j
.Mij(A)
I+j เลขคู่แล้ว Cij = Mij
I+j เลขคี่แล้ว Cij = - Mij
เช่น จากตัวอย่างก่อนหน้า
C23(A) = (-1)2+3
.M23(A)
= (-1)5
.(-6)
= (-1).(-6) = 6
ดีเทอร์มิแนนต์ (det A , )
นิยาม
ดีเทอร์มิแนนต์ คือ ฟังก์ชันจากเซตของเมทริกซ์จัตุรัสทั้งหลายซึ่งมีขนาด n x n ไปยังเซตของจานวนจริง
สามารถเขียนแทนดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A ด้วย det(A) หรือ ก็ได้
การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมตริกซ์
1. เมตริกซ์ 1 x 1
ถ้า A = [a]
จะได้ว่า det(A) = a กล่าวง่ายๆ คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว จะมีค่าเท่ากับ
สมาชิกตัวนั้น
5. เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เมทริกซ์ จัดทาโดย นักเรียนห้อง 824
ad
-(bc)
(a31.a22.a13)+ (a32.a23.a11)+ (a33.a21.a12) = k2
2. เมตริกซ์ 2 x 2
ถ้า A =
det A = = ad – bc
จะได้ว่า det(A) = ad - bc
3. เมทริกซ์ 3 x 3
วิธีที่1 หลักต่อแถววิธีนี้ใช้คิดได้เฉพาะเมทริกซ์ที่มีมิติ3x3เท่านั้น
กาหนดให้ A =
โดยการนาแถวที่1และ2มาต่อท้าย แล้วคูณทแยงเหมือนกับ 2 X 2
A =
แล้วนา k1- k2 ก็จะได้ det A
***ข้อสังเกต
1.)ถ้าเมทริกซ์ มีสมาชิกแถวใดแถวหนึ่ง หรือ หลักใดหลักหนึ่งเป็น 0 det นั้น ตอบ 0
เช่น = 0
2.)ถ้าเมทริกซ์ มีสมาชิก 2 แถวใดๆ เหมือนกันทุกตัวแล้ว det นั้น ตอบ 0
เช่น = 0
3.)ถ้าเมทริกซ์ มีสมาชิก 2 แถวใดๆ หรือ 2 หลักใดๆ เป็นสัดส่วนกันแล้ว det นั้น ตอบ 0
เช่น = 0
(a11.a22.a33)+ (a12.a23.a31)+ (a13.a21.a32) = k1
6. เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เมทริกซ์ จัดทาโดย นักเรียนห้อง 824
วิธีที่2 ใช้โคแฟกเตอร์ วิธีนี้สามารถใช้ได้กับเมทริกซ์จัตุรัสทุกขนาด
กาหนดให้ A =
ให้เลือกแถวใดแถวหนึ่ง หรือหลักใดหลักหนึ่งมาคิด
สมมติว่าเลือกแถวที่1 จะได้
det(A) = a11 .C11(A)+ a12 .C12(A)+ a13 .C13(A)
= a11 .(-1)1+1
.M11(A)+ a12 .(-1)1+2
.M12(A)+ a13 .(-1)1+3
.M13(A)
สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์
ให้ A = nxn โดยที่ n 2
1.) det A = 0 เป็นเมทริกซ์เอกฐาน เพราะหา A-1
ไม่ได้
det A 0 เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน เพราะหา A-1
ได้
2.)ถ้าสมาชิกในแถวใดแถวหนึ่ง หรือ หลักใดหลักหนึ่ง ใน A เป็น 0ทุกตัว จะได้ det A = 0
เช่น A = หรือ A = จะได้ det A = 0
3.)ถ้า เมทริกซ์ B เกิดจากการสลับกันระหว่าง 2 แถว หรือ 2 หลัก ของเมทริกซ์ A จะได้ det B = -det A
เช่น A = และ B =
จะได้ det B = -det A
4.)ถ้า เมทริกซ์ A มีแถว 2 แถว เหมือนกัน หรือ มีหลัก 2 หลัก เหมือนกันทุกตัว จะได้ det A = 0
เช่น A = จะได้ det A = 0
5.) ถ้านาค่าคงตัวไปคูณกับแถวใดแถวหนึ่ง แล้วนาไปบวกหรือลบกับอีกแถวหนึ่ง
จะได้ว่า ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ใหม่นั้นมีค่าเท่าเดิม (ระหว่างหลักกับหลักสมบัตินี้ก้สามารถใช้ได้)
เช่น =
7. เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เมทริกซ์ จัดทาโดย นักเรียนห้อง 824
6.) ถ้านาค่าคงตัว k ไปคูณกับแถวใดแถวหนึ่ง หรือ หลักใดหลักหนึ่งของเมทริกซ์ A
จะได้ว่า ค่าดีเทอร์มแนนต์ขงเทรกซ์ใหม่ เท่ากับ k det A
เช่น = k
7.) det(At
) = det(A)
8.) det(AB) = det A . det B
9.) det(Am
) = (det(A))m
โดย m เป็นจานวนเต็มบวกใดๆ
10.) det(kA) = kn
(det(A)) โดย A มีมิติ n x n
11.) det(A-1
) = โดย det(A) 0
12.) det(I)= 1 โดย I คือเมทริกซ์เอกลักษณ์
อธิบายเพิ่มเติม
เมทริกซ์ผูกพัน ( adj(A))
เมทริกซ์ผูกพัน (Adjoint Matrix) มิติ n x n ,n = 2,3…คือ ทรานสโพสของโคแฟคเตอร์ของเมทริกซ์นั้น
สมบัติ A(adjA) = (adjA)A = (det A )Inxn
ให้ A =
จะได้ adj(A) = t
8. เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เมทริกซ์ จัดทาโดย นักเรียนห้อง 824
อธิบายเพิ่มเติม
ตัวผกผันการคูณของเมทริกซ์ ( A-1
)
ให้ A มีมิติเป็น n x n และ A-1
จะมีมิติ n x n ด้วย
จะได้ A.A-1
= A-1
.A = In
การหา A-1
ของ เมทริกซ์ มิติ 2 x 2
A =
จะหา A-1
ได้ ก็ต่อเมื่อ ad – bc 0
และ A-1
=
–
หรือ A-1
= . adj(A)
เทียบกันแล้วจะได้ว่า
det(A) = ad – bc และ
adj(A) =
9. เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เมทริกซ์ จัดทาโดย นักเรียนห้อง 824
การหา A-1
ของ เมทริกซ์ มิติ 3 x 3
ให้ A มีมิติ n x n โดยที่ det(A) 0
A-1
= . adj(A)
สมบัติ
ถ้า A , B และ C เป้ นเมทริกซ์ที่มีอินเวอร์สการคูณ
1.) AB = AC จะได้ A-1
AB = A-1
AC จะได้ IB = IC จะได้ B= C
2.) (A-1
)-1
= A
3.) (An
)-1
= (A-1
)n
= A-n
4.) (kA)-1
= k-1
. A-1
= . A-1
5.) (AB)-1
= B-1
. A-1
และ (ABC)-1
= C-1
. B-1
. A-1
