powert point

1. TEMA 2. DISEÑO DE TUBERÍAS SIMPLES

3. ≈0 ≈0
𝑧 +
𝑝

es:
Línea de cargas piezométricas
o Línea de altura motriz
o Línea de gradiente hidráulico
o Línea de pendiente hidráulica
Para un sistema de bombeo:
𝐻 𝐵 = 𝑧2 − 𝑧1 +
1
2
ℎ 𝑓𝑚 𝐄𝐜. 𝟐. 𝟏

4. VARIABLES INVOLUCRADAS
Otras variables: g, Q o V
Variables relacionadas con el esquema del sistema: Ki
Variables involucradas propiamente con la tubería: D, L, k
Variables relacionadas con el fluido: , ,
Variables relacionadas con la energía impulsora del fluido: z1-z2, HB, PB
𝑧 +
𝑝

+
𝑉2
2𝑔
es:
Línea de energía
o Línea de nivel energético
o Línea de pendiente de energía
o Línea de gradiente de energía

5. TIPOS DE PROBLEMAS (depende de la variable desconocida)
Revisión (comprobación) Variables conocidas: D, Ki, H (o P), k, , , g, L
Incógnitas: Q o V
Cálculo Variables conocidas: D, Ki, Q (o V), k, , , g, L
Incógnitas: H o P
Diseño Variables conocidas: H (o P), Ki, Q (o V), k, , , g, L
Incógnitas: D
Calibración Variables conocidas: D, Ki, H o P,Q (o V), , , g, L
Incógnitas: k

6. Si el punto 2 corresponde a la salida de la tubería hay que considerar 3 situaciones:
1º. El término de la altura de velocidad desaparece
2º. Como consecuencia de lo anterior, el término de sumatoria de perdidas menores
debe incluir un término de pérdidas por salida.
3º. La presión en la salida es igual a la atmosférica (presión manométrica nula)

7. Por lo tanto la ecuación anterior quedaría como sigue:
Ecuación 2.1

10. Con la ecuación de Darcy-Weisbach:
se tiene:

11. y que:
Con la ecuación de Colebrook-White:

12. y con
𝑉 =
−2 2𝑔𝐷ℎ 𝑓
𝐿
𝑙𝑜𝑔
𝑘
𝐷
3.71
+
2.51
𝐷
𝜈 𝐿
2𝑔𝐷ℎ 𝑓
𝐄𝐂. 𝟐. 𝟑

13. 1. Revisión (comprobación) Variables conocidas: D, Ki, H (o P), , , , g, L
Incógnitas: Q o V
1. Leer Ki, H (o P), , , , g, L, E
2. Suponer hf =z1 – z2
3. Calcular V con la ecuación 2.3
4. Calcular hf nueva con la ecuación 2.1 donde z1 es H
5. ¿Es |hf nueva - hf vieja|  E ? NO, volver al paso 3 y calcular V nueva con la hf
nueva
6. Q = VA
Ejemplo 2.1 Se desea calcular el caudal que puede ser movido a través de una tubería de PVC,
de 300 mm de diámetro nominal y 730 m de longitud, que conecta dos tanques de abastecimiento
de agua potable con una diferencia de nivel de 43.5 m. El diámetro real de la tubería es de 293
mm y su rugosidad absoluta es de 1.5 × 10-6 m. Todos los accesorios que forman parte del
sistema, incluyendo la entrada y la salida, implican un coeficiente global de pérdidas menores Ki
de 11.8. El agua se encuentra a 20 C
Procedimiento:

15. dz 43.5
Ki 11.8
ro 998 kg/m^3
mu 0.001005 Pa s
nu 0.000001007 m^2/s
epsilon 0.0000015 m
g 9.80665 m/s^2
D 0.293 m
k 5.11945E-06
L 730 m
hf V hf_nueva ha
43.5 5.609099304 24.57143923 18.92856077
24.571439 4.114755307 33.31363194 10.18636806
33.313632 4.85406499 29.32436542 14.17563458
29.324365 4.529508714 31.15663604 12.34336396
31.156636 4.680965398 30.31736591 13.18263409
30.317366 4.612118187 30.70229216 12.79770784
30.702292 4.643802804 30.52585119 12.97414881
30.525851 4.629302332 30.60674935 12.89325065
30.606749 4.635955607 30.56966213 12.93033787
30.569662 4.632906471 30.58666548 12.91333452
30.586665 4.634304619 30.57887017 12.92112983
30.57887 4.633663672 30.58244403 12.91755597
30.582444 4.633957532 30.58080556 12.91919444
30.580806 4.633822811 30.58155673 12.91844327
30.581557 4.633884576 30.58121235 12.91878765
1. Leer Ki, H (o P), , , , g, L, E
2. Suponer hf =z1 – z2
3. Calcular V con la ecuación 2.3
4. Calcular hf nueva con la ecuación 2.1 donde z1 es H
5. ¿Es |hf nueva - hf vieja|  E ? NO, volver al paso 3 y calcular V nueva
con la hf nueva
6. Q = VA
Q= 0.31244 m^3/s
Q= 312.441 lts/s
hf= 30.5813 m
ha= 12.9187 m
V= 4.63387 m/s
f= 0.01121

16. Cálculo Variables conocidas: D, Ki, Q (o V), , , , g, L
Incógnitas: H o P
Método de Newton-Raphson:
Se debe tener una función g(x) que cumpla las siguientes condiciones especiales para que
exista convergencia:
1ª. Debe existir un intervalo I = (a, b), de modo que para todo x perteneciente a I, la función
g(x) esté definida y pertenezca a I, lo cual significa que g(x) se aplica a sí misma. En el caso
de la ecuación de Colebrook-White, para que la función no estuviera definida se necesitaría
que el logaritmo no estuviera definido, caso imposible, ya que todos los términos dentro de la
función logaritmo son positivos.
2ª. La función de iteración g(x) tiene que ser continua en I. Nuevamente la función logaritmo
cumple este requisito.
3ª. La función g(x) tiene que ser diferenciable en I y que la pendiente de g(x) sea siempre
menor que 1 y mayor que -1. La función mencionada es en efecto diferenciable y su pendiente
es siempre mayor que -1, llegando a ser en casos extremos (Re = 2000, /D = 0.00001)
-0.0289. Para números de Reynolds grandes la pendiente de g(x) tiende a cero, lo cual es
menor que 1.
1
𝑓
= −2𝑙𝑜𝑔
𝜀
𝐷
3.71
+
2.51
𝑅𝑒 𝑓
El método parte de la ecuación x = g(x), por tanto g(x) – x = 0

17. El valor de la aproximación a la raíz de la ecuación en la iteración i + 1 se calcula con base
en la aproximación de la iteración i de acuerdo con la ecuación:
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑔 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖
𝑔′ 𝑥𝑖 − 1
En la ec. de C-W:
𝑥 =
1
𝑓
1
𝑓
= −2𝑙𝑜𝑔
𝜀
𝐷
3.71
+
2.51
𝑅𝑒 𝑓
𝑔 𝑥 = −2𝑙𝑜𝑔
𝜀
𝐷
3.71
+
2.51𝑥𝑖
𝑅𝑒
Con
𝑑
𝑑𝑥
𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 =
1
𝑥 ln (𝑎)
y
𝑑
𝑑𝑥
𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑢 =
1
𝑢(ln 𝑎)
𝑑(𝑢)
𝑑𝑥
𝑔′ 𝑥 = −
2
ln 10
2.51
𝑅𝑒
𝜀
3.71 𝐷
+
2.51 𝑥𝑖
𝑅𝑒

18. Procedimiento:
1. Leer /D, Re, semilla de f
2. ¿ Es Re  2200 ? Sí; f = 64/Re (y fin del problema)
3. No; entonces f1 = semilla de f
4. 𝑥1 =
1
𝑓1
5. 𝐹 𝑥𝑖 = −2𝑙𝑜𝑔10
𝜀
𝐷
3.71
+
2.51𝑥 𝑖
𝑅𝑒
6. 𝐹′
𝑥𝑖 =
−2
ln 10
2.51
𝑅𝑒
𝜀
3.71 𝐷
+
2.51 𝑥 𝑖
𝑅𝑒
7. 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝐹 𝑥 𝑖 −𝑥 𝑖
𝐹′ 𝑥 𝑖 −1
8. ¿Es 𝑥𝑖+1 ≈ 𝑥𝑖? Sí; 𝑓 = 1
𝑥 𝑖+1
2 y fin del Método de N-R
9. No; hacer xi+1 = xi y regresar al paso 5 hasta que se cumpla el paso 8
Ejemplo 2.2 En un sistema de riego localizado de alta frecuencia para un cultivo de
cítricos es necesario mover un caudal de agua de 42 lts/s desde el sitio de toma a la
planta de fertirrigación. Estos dos puntos se encuentran separados por una distancia de
970 m, estando la planta 16 m por encima de la toma. Si existe una tubería de PVC
( = 1.5  10-6 m) de 6 pulgadas de diámetro nominal, con un coeficiente global de
pérdidas menores de 9.4, ¿cuál es la carga hidráulica que debe ser suministrada por la
bomba en el sitio de la toma? Para agua  = 1.14  10-6 m2/s.

20. Para una tubería de PVC de 6” de diámetro con RD de 21, el diámetro real es: D = 152.2 mm
(de tablas ? como la anterior)
Por tanto el área A de la tubería es:
𝐴 =
 𝐷2
4
=
𝜋(0.1522 m)2
4
𝐴 = 1.82 × 10−2m2
𝐴 =
 𝐷2
4
=
𝜋(0.1522 m)2
4
= 1.82 × 10−2
m2
𝑉 =
𝑄
𝐴
=
0.042 m3/s
1.82 × 10−2m2
=
𝑉 = 2.31 m/s
𝑅𝑒 =
𝑉𝐷
𝜈
=
2.31 × 0.1522
1.14 × 10−6
𝑅𝑒 = 308405
𝜀
𝐷
=
0.0000015
0.1522
= 9.86 × 10−6

21. Re 308405
epsilon 0.0000015 m
D 0.1522 m
k 9.85545E-06
A 0.018193623 m^2
Q 0.042 m^3/s
V 2.308501197
F(x) dF(x) xi+1
f x F_x dF_x xi_1 fi+1
0.001 31.6227766 7.169976033
-0.02718658 7.81716917 0.01636443
0.01636443 7.817169169 8.35726578
-0.10665949 8.30521144 0.01449768
0.01449768 8.30521144 8.306711596
-0.10062883 8.30657444 0.01449293
0.01449293 8.306574439 8.30657445
-0.10061294 8.30657445 0.01449293
0.01449293 8.3065744498.306574449
-0.10061294 8.30657445 0.01449293
f =
0.014492926
Procedimiento:
1. Leer /D, Re, semilla de f
2. ¿ Es Re  2200 ? Sí; f = 64/Re (y fin del problema)
3. No; entonces f1 = semilla de f
4. 𝑥1 =
1
𝑓1
5. 𝐹 𝑥𝑖 = −2𝑙𝑜𝑔10
𝜀
𝐷
3.71
+
2.51𝑥𝑖
𝑅𝑒
6. 𝐹′
𝑥𝑖 =
−2
ln 10
2.51
𝑅𝑒
𝜀
3.71 𝐷
+
2.51 𝑥 𝑖
𝑅𝑒
7. 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝐹 𝑥 𝑖 −𝑥𝑖
𝐹′ 𝑥 𝑖 −1
8. ¿Es 𝑥𝑖+1 ≈ 𝑥𝑖? Sí  𝑓 = 1
𝑥 𝑖+1
2 y fin del Método de N-R
9. No  hacer xi+1 = xi y regresar al paso 5 hasta que se cumpla el paso 8

23. EJEMPLO 2.3
En un sistema de riego localizado de alta frecuencia para un
cultivo de cítricos se requiere mover un caudal de agua de
42 l/s desde el sitio de toma a la planta de fertirrigación.
Estos dos puntos se encuentran separados por una distancia
de 970 m, estando la planta 16 m por encima de la toma. Si
existe una tubería de PVC ( = 1.5×10-6 m) de 150 mm de
diámetro nominal, con un coeficiente global de pérdidas
menores de 9.4, ¿cuál es la altura que debe ser suministrada
por la bomba en el sitio de toma? ¿Cuál es la potencia? Para
agua  = 1.14×10-6 m2/s.

25. CÁLCULO DE LA CARGA O POTENCIA REQUERIDA.
Variables conocidas: D, , Q(o V), Km, , , g, L, 
Incógnita: H (o P)
Procedimiento:
1º. Leer D, , Q, Km, , , g, L, 
2º. Calcular V = Q/A:𝑉 =
𝑄
𝐴
=
𝑄

4
𝐷2
3º. Calcular hm: ℎ 𝑚 = 𝐾 𝑚
𝑉2
2𝑔
4º. Calcular Re y /D: 𝑅𝑒 =
𝑉𝐷

5º. Calcular f: 𝑓 =
1.325
𝑙𝑛
 𝐷
3.7
+
5.74
𝑅𝑒0.9
2 =
1.325
𝑙𝑛
 𝐷
3.7
+
5.74
𝑉𝐷

0.9
2
6º. Calcular hf con D-W: ℎ 𝑓 = 𝑓
𝐿
𝐷
𝑉2
2𝑔
7º. Calcular HB con la ecuación de la energía.
𝑧1 +
𝑝1
𝛾
+
𝑉1
2
2𝑔
= 𝑧2 +
𝑝2
𝛾
+
𝑉2
2
2𝑔
+
1
2
ℎ 𝑓𝑚 − 𝐻 𝐵
8º. Calcular la potencia de la bomba con 𝑃 =
 𝑄 𝐻 𝐵

9º. Imprimir P.
10º. FIN.
𝑓 =
1.325
𝑙𝑛

𝐷
3.7
+
5.74
𝑉𝐷

0.9
2
10−6 ≤

𝐷
≤ 10−2
5000 ≤ 𝑅𝑒 ≤ 108

27. Q 0.042 m^3/s
L 970 m
dz 16 m
epsilon 0.0000015 m
D 0.15 m
Km 9.4
nu 0.00000114 m^2/s
g 9.80665 m/s^2
rho 999.1 kg/m^3
V [m/s] hm [m] f _ [adim] hf [m] HB [m] P [kW]
2.377 2.707 0.01437835 26.779 45.486 18.72

28. DISEÑO DE TUBERÍAS SIMPLES:
Variables conocidas: H (o P), D, Dn, k, Qd, Km, , , g, L, , z2, E
Incógnita: D

30. 𝑉𝑝
2 =
2𝑔𝐻
𝑘 𝑚
𝑉𝑝 =
2𝑔𝐻
𝑘 𝑚
Ecuación (2.5)
𝑉𝑝 =
2𝑔 𝐻 − ℎ 𝑓
𝑘 𝑚
Ecuación (2.6)
Sea Vp = “velocidad de pérdida” (la velocidad que igualaría la
sumatoria de las pérdidas menores y la altura disponible H.
ℎ 𝑚 = 𝐻
ℎ 𝑚 = 𝑘 𝑚
𝑉𝑝
2
2𝑔
𝐻 = 𝑘 𝑚
𝑉𝑝
2
2𝑔
por lo tanto:
𝑉𝑝
2
2𝑔
=
𝐻
𝑘 𝑚
Cuando se calcula la primera velocidad de
pérdida, en las siguientes iteraciones esta
velocidad se calcula de acuerdo con la siguiente
ecuación 2.6.

31. Metodología:

34. EJEMPLO 2.3
La tubería de descarga de la planta de tratamiento de aguas residuales
del municipio de Ubaté tiene una longitud de 150 m desde el inicio
hasta el sitio de entrega en el Río Suta y por ella debe pasar un caudal
máximo de 120 l/s. La altura mínima de operación es 2.2 m y en la
tubería se tienen pérdidas menores por entrada (km = 0.5), por un
codo (km = 0.8), por uniones (km=10×0.1=1) y por salida (km = 1).
Calcular el diámetro requerido de la tubería comercial en hierro
galvanizado si la temperatura del agua es 14°C.
DATOS: L = 150 m
 = 0.00015 m
Qd = 0.012 m3/s
H = 2.2 m
Km = 0.5+0.8+1.0+1.0 = 3.3
 (14°C) = 999.3 kg/m3
 (14°C) = 1.17×10-3 Pas
 (14°C) = 1.17×10-6 m2

35. EJEMPLO 2.4
Suponiendo que la planta de tratamiento de Ubaté se localiza a sólo 15
m del Río Suta, sitio de descarga, la tubería tendría un total de 17 m de
longitud. Si las uniones fueran roscadas, las pérdidas menores serían:
entrada (km = 0.5), un codo (km = 0.8), uniones (km= 4×0.5 = 2.0) y
salida (km = 1.0). Calcular el diámetro de la tubería comercial de PVC
requerido para la descarga.
DATOS:
L = 17 m
 = 0.00015 m
Qd = 0.12 m3/s
H = 2.2 m
Km = 0.5+0.8+2.0+1=4.3
 (14°C) = 1.17×10-6 m2/s

36. SOLUCIÓN:
Q d 0.120
H 2.2
epsilon 0.00015
K m 4.300
nu 0.00000117
g 9.80665
L 17
hf [m] D [m] V A Q ¿Q >= Qd ? hm Vp ¿Vp > V ? hfm
2.200 0.100 3.359 0.008 0.026 NO 2.474 3.168 NO 4.674
2.200 0.150 4.344 0.018 0.077 NO 4.137 3.168 NO 6.337
2.200 0.200 5.203 0.031 0.163 SI 5.934 3.168 NO 8.134
0.500 0.200 2.452 0.031 0.077 NO 1.318 2.785 SI 1.818
0.500 0.250 2.821 0.049 0.138 SI 1.745 2.785 NO 2.245
0.480 0.200 2.401 0.031 0.075 NO 1.264 2.801 SI 1.744
0.480 0.250 2.763 0.049 0.136 SI 1.674 2.801 SI 2.154
0.490 0.200 2.427 0.031 0.076 NO 1.291 2.793 SI 1.781
0.490 0.250 2.792 0.049 0.137 SI 1.709 2.793 SI 2.199
0.490 0.300 3.129 0.071 0.221 SI 2.146 2.793 NO 2.636
0.490 0.250 2.792 0.049 0.137 SI 1.710 2.793 SI 2.200

37. PROCEDIMIENTO ALTERNATIVO
Con D-W:
ℎ 𝑓 = 𝑓
𝐿
𝐷
𝑉2
2𝑔
= 𝑓
𝐿
𝐷
𝑄
𝐴
2
2𝑔
=
ℎ 𝑓 = 𝑓
𝐿
𝐷
𝑄2
2𝑔𝐴2
= 𝑓
𝐿
𝐷
𝑄2

4
𝐷2
2
2𝑔
=
ℎ 𝑓 = 𝑓
𝐿
𝐷
𝑄2
2
16
𝐷42𝑔
= 𝑓
𝐿
𝐷
𝑄2
2
8
𝐷4 𝑔
=
ℎ 𝑓 = 𝑓
8𝐿
2 𝐷5
𝑄2
𝑔
Resolviendo para D:
𝐷5
=
8𝐿𝑄2
2ℎ 𝑓 𝑔
𝑓 = 𝑐1 𝑓

38. 𝐷5 = 𝑐1 𝑓 ECUACIÓN (1)
Con la ecuación de continuidad: 𝑉 =
𝑄
𝐴
=
𝑄

4
𝐷2
→ 𝑉𝐷2
=
4𝑄

→ 𝑉𝐷 =
4𝑄
𝐷
y con
𝑅𝑒 =
𝑉𝐷

=
4𝑄
𝐷

=
4𝑄

1
𝐷
= 𝑐2
1
𝐷
Por lo tanto:
𝑅𝑒 = 𝑐2
1
𝐷
ECUACIÓN (2)
Procedimiento:
1º. Se supone f (i.e. f = 0.015).
2º. Con la ecuación (1) resolver para D.
3º. Con esta D, calcúlese la ecuación (2) para Re.
4º. Encuéntrese /D.
5º. Con Re y /D encuéntrese f con la ecuación de Swamee
𝑓 =
1.325
𝑙𝑛

𝐷
3.7
+
5.74
𝑅𝑒0.9
2
6º. Utilícese el nuevo valor de f y repítase el procedimiento a partir del
paso 2.

39. 7º. Cuando el nuevo f no cambia respecto al anterior todas la ecuaciones
se satisfacen y el problema queda resuelto para el último D.

40. CALIBRACIÓN DE TUBERÍAS SIMPLES.
Con la ecuación de Darcy-Weisbach:
ℎ 𝑓 = 𝑓
𝐿
𝐷
𝑉2
2𝑔
𝐄𝐜. (𝟏. 𝟑𝟖)
Despejando f se tiene
𝑓 =
2𝑔𝐷ℎ 𝑓
𝐿𝑉2
𝐄𝐜. (𝟐. 𝟕)
Ahora con la ecuación de Colebrook-White:
1
𝑓
= −2𝑙𝑜𝑔
𝑘
3.7𝐷
+
2.51
𝑅𝑒 𝑓
Con algunas operaciones algebraicas en la ecuación de C-W se tiene:
−
1
2 𝑓
= 𝑙𝑜𝑔
𝑘
3.7𝐷
+
2.51
𝑅𝑒 𝑓
10
−
1
2 𝑓 =
𝑘
3.7𝐷
+
2.51
𝑅𝑒 𝑓

41. 𝑘 = 3.7𝐷 10
−
1
2 𝑓 −
2.51
𝑅𝑒 𝑓
Ec. (2.8)
EJEMPLO 2.8 En la red del sistema de abastecimiento de agua de una ciudad se
tiene una tubería de concreto con una longitud de 2.8 km, un diámetro de 1200 mm y
un coeficiente global de pérdidas menores de 16.4. En una determinada condición de
operación se mide un caudal de 3.72 m3/s y una caída en la altura piezométrica de 32
metros a lo largo de toda la longitud. Calcula la rugosidad absoluta de la tubería. El
agua se encuentra a una temperatura de 14 °C
Datos:
L = 2800 m
∑K = 16.4
Qd = 3.72 m3/s
(14 °C) = 1.17 x 10-6 m2/s
H = 32 m
D = 1200 mm

42. SOLUCIÓN:
Siguiendo el diagrama de flujo 6 se tiene
𝐴 =
𝜋
4
𝐷2 =
𝜋
4
× 1.22 = 1.13 m2
𝑉 =
𝑄
𝐴
=
3.72
1.13
= 3.29 m/s
ℎ 𝑚 = 𝐾𝑖
𝑉2
2𝑔
= 16.4 ×
3.292
2 × 9.81
= 9.05 m
ℎ 𝑓 = 𝐻 − ℎ 𝑚 = 32 m − 9.05 m = 22.95 m
Con la ecuación de Darcy-Weisbach:
ℎ 𝑓 = 𝑓
𝐿
𝐷
𝑉2
2𝑔
𝐄𝐜. (𝟏. 𝟑𝟖)
Despejando f se tiene
𝑓 =
2𝑔𝐷ℎ 𝑓
𝐿𝑉2
𝐄𝐜. (𝟐. 𝟕)
𝑓 =
2 × 9.81 × 1.2 × 22.95
2800 × 3.29 2 = 0.0178
Se calcula f con la ecuación (2.7)

43. Con algunas operaciones algebraicas en la
ecuación de C-W se tiene:
−
1
2 𝑓
= 𝑙𝑜𝑔
𝑘
3.7𝐷
+
2.51
𝑅𝑒 𝑓
10
−
1
2 𝑓 =
𝑘
3.7𝐷
+
2.51
𝑅𝑒 𝑓
𝑘 = 3.7𝐷 10
−
1
2 𝑓 −
2.51
𝑅𝑒 𝑓
Ec. (2.8)
Ahora con la ecuación de Colebrook-White:
1
𝑓
= −2𝑙𝑜𝑔
𝑘
3.7𝐷
+
2.51
𝑅𝑒 𝑓
𝑅𝑒 =
𝑉𝐷
𝜈
=
3.29 × 1.2
1.17 × 10−6
= 3′374,359
Se calcula k con la ecuación (2.8):
𝑘 = 3.7 × 1.2 10
−
1
2 0.0178 −
2.51
3374359 0.0178
k = 0.77