Bab 3 membahas respons sistem satu derajat kebebasan terhadap pembebanan harmonis. Sistem tersebut akan bergerak harmonis jika dipengaruhi secara harmonis, dengan amplitudo maksimum pada resonansi. Untuk sistem teredam, amplitudo steady state-nya dapat dihitung dengan mempertimbangkan rasio frekuensi dan redaman. Metode bandwidth digunakan untuk mengevaluasi nilai redaman berdasarkan lebar kurva resonansi.

1. BAB 3
RESPON SISTEM BERDERAJAT –KEBEBASAN- SATU
TERHADAP PEMBEBANAN HARMONIS
Pada bab ini akan dibahas gerak dari struktur yang dimodalisasi sebagai sistem derajat –
kebebasan- satu (one-degree-off-freedom) yang dipengaruhi secara harmonis yaitu, struktur yang
dibebani gaya atau perpindahan yang besarnya diyatakan oleh fungsi sinus dan cosinus dari
waktu. Dari bentuk pengaruh ini mengakibatkan suatu gerak yang paling penting dalam
mempelajai dinamika vibrasi, demikian juga penggunaan dalam dinamika sruktur. Sruktur paling
sering dibebani oleh aksi dinamika dari mesin-mesin rotasi, yang menghasilkan pengaruh
harmonis akibat adanya eksentrisitas dari massa yang berotasi, yang dapat diabaikan dari mesin
itu. Selanjutnya, walaupun pengaruh itu bukan fungsi harmonis, respns dri sruktur dapat dicari
dengan menggunakan Metoda Fourier yang merupakan superposisi dari respns diri (individual
respons) dengan komponen harmonis dari pegaruh luar. Pendekatan ini akan dibahas pada Bab 5.
3.1. PENGARUH HARMONIS TAK TEREDAM (UNDAMPED
HARMONIS EXCITATION)
Gaya F(t) yang berkerja pada osilator sederhana (simple oscillator) pada gambar 3.1 dianggap
harmonis dengan besar Fo sin ϖ t , dimana Fo adalah amplitude puncak dan model struktur
sebagai system derajat-kebebasan-tunggal
ϖ t adalah frekwensi dari gaya dalam radial per detik. Persamaan defferensial diperoleh dari
penjumlahan semua gaya dalam diagram free body Gambar 3.1 (b), yaitu :
mÿ + ky = Fo sin ϖ t (3.1)
Solusi dari pers. (3.1) dapat diyatakan sebagai,
y ( t ) = yc ( t ) + y p ( t ) (3.2)
Dimana y c ( t ) adalah solusi komplementer (complementary solition) yang memenuhi persamaan
homogen, yaitu pers. (3.1) di mana bagian kiri sama dengan nol dan y p ( t ) adalah solusi
partikulir (particular solition) yang di dasarkan pada solusi yang memenuhi persamaan

2. differensial tak homogen, pers. (3.1). Solusi komplementer (complementary solusition) y c ( t )
adalah
y c ( t ) = A cos ω t + B sin ω t (3.3)
Di mana ω t = k m
Melihat bentuk dari fungsi gaya pers. (3.1) disarankan uuk melihat solusi partikulir (particular
solition) seperti
y p ( t ) = Y sin ϖ t (3.4)
Dimana Y adalah harga puncak (peak value) dari solusi partikulir (particular solition) subtitusi
pers. (3.4) kedalam pers. (3.1) dan hilangkan faktor yang sama, didapatkan
− mϖ 2Y + kY = F0
Atau
F0 F k
Y= = 0 2 (3.5)
k − mϖ 2
1− r
Di mana r menyatakan ratio (ratio frekuensi) dari frekuensi gaya yang berkerja pada frekuensi
natural getaran dari sistem (natural frequency of system) yaitu,
(3.6)
Kombinasi pers. (3.3) dan pers. (3.5) menghasilkan
(3.7)
Jika kondisi awal (initial conditions) pada waktu t = 0 diambil nol ( ), maka
kosatanta integrasi yang didapat dari pers. (3.7) adalah
Jika disubsitusikan pada pers. (3.7) memberikan
(3.8)
Seperti terlihat pada pers. (3.8) bahwa respons diberikan oleh superposisi dari dua bagian
harmonis dengan frekuensi yang berdeda. Hasil geraknya tidak harmonis,namun dalam praktek,
gaya redaman selalu mincul dan mengakibatkan adanya bagian terakhir itu, yaitu hilangnya
bagian getaran bebasdari pers. (3.8). oleh sebab itu bagian ini dikatakan adanya respons

3. transien/respons sementara (transient response). Bagian fekuensi paksa (forcing frequency)
pada pers. (3.8) adalah
(3.9)
Dan dinamakan respons keadaan tetap (steady state response). Jelas dari pers. (3.8) bahwa
dalam keadaaan tak terredam, pengaruh transien (sementara) tidak hilang dan repons akan
diberikan pers. (3.8). juga terlihat dari pers. (3.8) atau pers. (3.9) bahwa bila fekuensi paksa
(forcing frequency) sama dengan frekuensi natural (r = 1,0), amplitude dari gerak menjadi besar
tak terhingga. Suatu sistem diberi pengaruh luar dengan frekuensi yang selaras dengan frekuensi
natural disebut ber-resonansi. Pada kondisi ini amplitude akan bertambah bertahap menjadi tak
hhingga besarnya. Namun bahan yang biasanya dipakai dalam praktek mempunyai limit
kekakuan dan pada kondisi sebenarnya struktur akan runtuh jauh sebelum tercapainya amplitudo
maxsimum.
3.2. PENGARUH HARMONIS TEREDAM (DAMPED HARMONIC
EXCITATION)
Perhatikan keadaan system derajad-kebebasan- satu (one-degree-of freedom) pada Gambar 3.2.
yang yang bergetar dibawah pengaruh redaman liat (viscous damping). Persamaan differensial
didapat dengan menyamakan jumlah gaya-gaya dari diagram free body Gambar 3.2 (b) dengan 0,
jadi
(3.10)
Solusi lengkap dari persamaan itu terdiri dari dari solusi komplementer dan solusi
partikuler solusi komplementer yang diberikan untuk keadaan redaman subkritis
(underdamped) oleh pers. (2.15) sebagaiξ
Solusi partikuler didapat dengan mengsubsitusikan yang pada keadaan ini dianggap
mempunyai bentuk
(3.11)
Keadaaan pers. (3.10) dan samakan koefisien dari fungsi sinus dan cosines.
Kita mengikuti cara Euler, yaitu

4. (3.12)
Untuk saran ini, pembaca harus menyadari bahwa pers. (3.10) dapat ditulis sebagai,
(3.13)
Dengan pengertian bahwa hanya komponen imajener dari yaitu komponen gaya
yang berkerja dan tentu saja respons akan hanya terdiri dari bagian imajiner dari
seluruh jawaban persamaan (3.13) yang mempunyai komponen riel dan komponen imajiner, dan
melupakan komponen riel.
Adalah beralasan untuk mengharapkan solusi partikuler dari pers. (3.13) berbentuk subtitusi pers.
(3.14) kedalam pers. (3.13) memberikan
(3.14)
Atau
Dan
(3.15)
Dengan menggunakan bentuk koordinat polar, bilangan kompleks penyebut dar pers. (3.15)
dapat ditulis sebagai
Atau
(3.16)
Dimana
(3.17)
Respons untuk gaya (komponen imajiner dari ) adalah komponen imajiner dari
pers. (3.16) yaitu,

5. (3.18)
Atau
(3.19)
Dimana
Adalah amplotudo dari gerak keadaan tetap (steady-state motion). Persamaan (3.18) dan (3.17)
dapat ditulis dengan baik sekali dalam bentuk rasio tampa dimensi seperti
(3.20)
Dan
Dimana rumus terlihat sebagai lendutan statis dari pegas diatas mana bekerja gaya rumus rasio
redaman rumus dan rasio frekuensi rumus
Respons total didapat dari penjumlahan solusi komplementer (respons transien) dari pers. (2.15)
dan solusi partikuler (respons keadaaan tetap/steady-state) dari per. (3.20) adalah
Pembaca harus memperhatikan bahwa kostanta integrasi A dan B harus di evaluasi dari kondisi
awal dengan menggunakan respons total yang diberikan pers. (3.22) dan tidak dari hanya
komponen transien dari respons yang diberikan pers. (2.15).
Dengan mempelajari komponen transier dari respons, terlihat bahwa munculnya faktor
exponensial rumus menyebabkan komponen ini hilang dan tertingggal hanya gerak keadaan tetap
(steady state motion) yang diberikan oleh pers. (3.20).

6. Ratio dari amplitude keadaan tetap (stady state amplitude) rumus dan lendutan statis rumus
seperti yang didefinisikan sebelumnya, dikenal sebagai faktor pembesaran dinamis (dynamic
magnification factor) bervariasi dengan ratio frekuensi r dan ratio redaman ξ. Plot parameteris
(parametric plots) dari faktor pembesaran dinamis terlihat pada Gambar 3.3. sudut Fasa (phasa
angel) θ juga bervariasi dengan besaran yang sama seperti Gambar 3.4. perlu diperhatikan pada
Gambar 3.3. bahwa untuk sistem dengan redaman kecil, amplitudo puncak mencapai nilai ratio
frekuensi yang sangat dekat dengan satu yaitu, faktor pembesaran dinamis yang besarnya
mencapai nilai maxsimum pada kondisi resonansi (r = 1).
Gambar
Juga dapt dilihat dri pers. (3.23) bahwa pada saat resonansi, faktor pembesaran dinamis
berbanding terbalik dengan rasio redaman, yaitu
Meskipun faktor pembesaran dinamis yang dievaluasikan pada saat resonansi mendekati harga
maksimumnya, tapi tidak merupakan respon maksimum untuk system terredam. Namun untuk
besaran redaman, perbedaan antara haraga pendekatan dari pers. (3.24) dan harga maksimum
sebenarnya, dapat diabaikan.
Contoh 3.1. sebuah balok pada tengah bentangnya memikul sebuah mesin dengan berat W =
16.000 lb. balok ini terbuat dari dua profil standar S8 X 23 dengan bentang bersih L = 12 ft dan
dengan momen inersia penampang total I = 2 X 64,2 = 128,4 in4. Motor berotasi pada 300 rpm
(putaran per detik). Dengan ketidak seimbangan rotornya sebesar W’ =40 lb pada jari-jari e0 =
10 in. Berapa besar amplitude dari respons keadaan tetap (steady state response) jika redaman
liat ( viscous damping) dianggap ekivalen dengan 10% redaman kritis?

7. System dinamis ini dapat dimodelisasikan sebagai osilator terrendam. Distribusi massa balok
diabaikan, dibandingkan dengan massa yang besar dari mesin,Gambar 3.5 dan Gambar 3.6,
secara bersama merupakan diagram skematis dari sistem mesin balok dan model yang
digunakan. Gaya pada tengah bentang balok, dilendutkan sebesar satu unit besaran (yaitu,
koefisien kekakuan) yang bentuknya adalah,
Frekuensi natural dari sistem (mengabaikan massa dari balok) adalah
Frekuensi gaya
Dan ratio frekuensi
Sesuai dengan Gambar 3.6. ambil m sebagai massa total dari m’ massa yang berotasi tak
seimbang dan, bila y adalah perpindahan vertical dari massa yang berotari (m - m’ ) dari posisi
keseimbangan, perpindahan Y1 dari massa m’ seperti yang ditunjukan pada Gambar 3.6. adalah
Persamaan gerak didapat dari penjumlah gaya-gaya sepanjang arah vertikal dari diagram free
body. Gambar 3.6 (b) dimana gaya-gaya inersia dari masa tak berotasi dan massa tak seimbang
juga terlihat dengan jelas. Penjumlahan ini menjadi.
Subtitusikan y1 dari pers. (a) memberikan
Dan dengan penyesuaiyan kembali didapat

8. Persamaan ini sama dengan bentuk persamaan gerak untuk osilator teredam yang dipengaruhi
secara harmonis oleh gaya yang beramplitudo.
Dengan mengsubtusikan angka-angka yang sesuai dengan contoh ini didapat
Amplitude dari gerak keadaan tetap didapat dari pers. (3.20) yaitu.
Contoh 3.2. Sebuah kerangka baja pada Gambar 3.7 memikil sebuah merin rotasi yang
mengakibat gaya horizontal pada bidang balaok sebesar F(t) = 200 sin 5,3t, lb. dianggap
redaman sebesar 5% redaman kritis. Tertentu,
(a) Amplitude keadaan tetap dari getaran dan
(b) Tegangan dinamis maxsimum pada kolom dengan anggapan balok sangat kaku.
Struktur ini dapat di modeli sebagai osilator teredam untuk analisa dinamis, seperti pada Gambar
3.7(b). parameter-parameter pada model ini dihitung sebagai berikut.
Kemudian amplitudo keadaan tetap dari pers. (3.20) adalah
Dan gaya geser maxsimum pada kolom
Momen lentur maximum pada kolom adalah

9. Dan tegangan maximum
Dimana I/c adalah modulus penampang.
EVALUASI REDAMAN PADA SAAT RESONNSI (AVALUATION OF
DAMPING AT RESONANCE)
3.1METODA “BAND WIDTH” ( HALF POWER) UNRUK
EVALUASI REDAMAN (BANDWIDTH/HALFPOWER METHOD
TO EVALUATE DAMPING)
3.2RESPON DARI GERAKAN PENYOKONG (RESPONSE TO
SUPROT MOTION)
3.3PENYALURAN GAYA KE PONDASI (FORCE TRANSMITTED
TO THE FOUNDDATION)
Kita telah melihat pada Bab II bahwa lengkung pengungrangan (decay curve) dari getaran bebas
memungkinkan evaluasi redaman dari system berdrajad-kebebasan-satu dengan menghitung
pengurangan logaritmis (logarithmic decrement) seperti pada pers. (2.28). cara lain untuk
menentukan redaman, didasarkan pada oservasi respons keadaan tetap harmonis (steady state
harmonic response).

10. Yang memerlukan pengaruh harmonis suatu sruktur dalam daerah getaran yang dekat dengan
kondisi resonansi. Dengan menggunakan gaya harmonis rumus yang berharga dekat dengan
frekuensi, lengkungan dari resonansi dari struktur dapat di-plot dan menghasilkan amplitudo
perpindahan sebagai fungsi dari frekuensi yang digunakan. Bentuk spesifik dari lengkung
respons struktur terrendam ini terlihat pada Gambar 3.8.
Terlihat dari pers. (3.24) bahwa pada saat resonansi, ratio redaman diberikan oleh
Dimana rumus adalah faktor pembesaran dinamis yang dievaluasi pada saat resonansi. Dalam
praktek, ratio redaman ξ ditentukan dari evaluasi faktor pembesaran dinamis pada amplitudo
maxsimum, yaitu.
Dimana
Dan rumus adalah amplitudo maxsimum. Kesalahan yang didapat dalam evaluasi ratio redaman
ξ dengan menggunakan pendekatan pers. (3.26), tidak terlalu penting pada struktur biasa. Metoda
menentukan ratio redaman ini hanya memerlukan alat yang sederhana untuk menggetarkan
struktur mendekati frekuensi resonansi dan mengubah (transducer) untuk pengukuran amplitudo,
namun dalam evaluasi perpindahan satatis akan timbul rumus masalah biasanya sulit untuk
memberikan beban statis untuk struktur.
Pengujian sutu lengkung respons pada Gambar 3.3. menunjukkan bahwa bentuk dari lengkung
ini dikonrol oleh besarnya redaman yang terjadi dalam sistem; khususnya, “bandwidth” adalah
perbedaan antara dua frekuensi sehubungan dengan respons amplitudo yang sama, yang
dihubungkankan dengan redaman dalam suatu sistem. Sutu bentuk lengkung amplitudo dari sutu
frekuensi didapat dari exsperimen untuk struktur teredam biasa, seperti pada Gambar 3.6. Dalam
evaluasi adalah tepat bila mengukur bandwith pada rumus kali amplitudo resonansi yang
diberikan pers. (3.24) yaitu,

11. Yang diselesaikan dengan mengkuadrankan kedua sisi yang menghasilkan ratio frekuensi.
Atau dengan menghasilkan rumus pada bagian akar
Akhirnya ratio redaman diberikan hampir mendekati setengah perbedaan antara ratio frekuensi
dari kedua “halfpower”, yaitu
Atau
Sabab
Contoh 3.3. data espelimental untuk respons frekuensi dari sistem derajad-kebebasan-satu di-
plot pada Gambar 3.9. amplitudo puncak adalah 0,1134 in, sebab itu amplitudo pada “halfpower”
sama dengan
Frekuensi pada amplitudo ini didapat dari Gambar 3.6. adalah.
Ratio redaman dihitung dari pers. (3.27) adalah

12. Banyak keadaan aktual dimana pondasi atau penyokong struktur bergerak bervariasi menurut
waktu. Struktur dipengaruhi oleh gerakkan tanah akibat gempa bumi atau pengaruh lain seperti
ledakan atau aksi dinamis dari mesin merupakan contoh dimana penyokong (support) harus ikut
dipertimbangkan dalam analisa respons dinamis. Perhatikan Gambar 3.10, keadaan dimana
penyokong dari sebuah model sederhana dipengaruhi gerak harmonis yang diberikankan oleh
peryataan
Dimana adalah rumus amplitudo maxsimum dan adlah rumus frekuensi dari gerak penyokong.
Persamaan differensial dari gerak didapat dengan menyamakan jumlah gaya-gaya (termasuk
gaya inersia) dengan 0 sehubungan dengan diagram free body pada Gambar 3.10(b). jumlah
gaya-gaya pada arah horizontal memberikan
Subtusikan pers. (3.28) kedalam pers. (3.29) dan sesuikan, didapat,
Dua bagian harmonis dari frekuensi rumus disebelah kanan persamaan dapat dikombinasikan
dan pers. (3.30) dapat ditulis sebagai
Dimana
Dan
Terlihat bahwa pers.(3.31) adalah persamaan differensial untuk osilator yang dipengaruhi gaya
harmonis rumus dan mempunyai bentuk yang sama dengan pers. (3.10). akibatnya, solusi

13. keadaan tetap (steady state) dari pers. (3.31) daprat seperti per. (3.20) kecuali keduanya
penambahan sudut β pada fungsi sinus, yaitu
Atau subtitusi rumus dari pers. (3.23)
Persamaan(3.35) adalah peryataan gambaran relative dari gerakan penyokong terhadap osilator.
Ini adalah masalah penting dalam osilator getaran dimana peralatan harus dilindungi terhadap
getaran keras dari struktur penyokong. Derajad dari isolator relative dikenal sebagai
transmisibilitas (transmissibility) dan didefinisikan sebagai ratio amplitudo dari gerak isolator Y
dan amplitude rumus dari gerak penyokong. Dari pers. (3.35), transmissibilitas (transmissibility)
Tr diberikan oleh
Rumus
Gambar
Suatu plot dari transmisibilitas sebagai fungsi dari ratio frekuensi dan ratio terendam, terlihat
pada Gambar 3.11. Lengkungan pada gambar ini mirip dengan lengkungan pada Gambar 3.3.
yang menyatakan respons frekuensi dari isolator terendam. Perbedaan utama adalah bahwa
semua lengkungan pada Gambar 3.11 melewati suatu titik yang sama pada ratio frekuensi rumus.
Dapat dilihat pada Gambar 3.11 bahwa redaman cenderung untuk mengurangi efektifitas isolator
getaran untuk frekuensi yang lebih besar dari ratio, yaitu untuk r lebih besar dari rumus
Persamaan (3.34) memberikan respons absolute dari isolator terendam pada gerak harmonis dari
dasar (base). Alternatif lain adalah, menyelesaikan persamaan diferensial pers. (3.29) dalam
besaran dari gerak relatif antara massa m dan penyokong (support), yang diberikan oleh
Kemudian disubtitusikan kedalam pers. (3.29) memberikan

14. Dimanan rumus dapatdapat diartikan sebagai gaya efektif yang bekerja pada massa osilator, dan
perpindahannya dinyatakan oleh koordinat u.
Dengan menggunakan pers. (3.28)untuk mendapatkan rumus dan disubtitusikan kedalam pers.
(3.38) memberikan,
Kemudian pers. (3.39) adalah sama bentuknya dengan pers. (3.10) dengan rumus selanjutnya,
dari pers. (3.20)respon keadaan tetap (steady state) dalam besaran gerak relative, diberikan oleh
Atau subtitusi
Didapat
Dimana diberikan dalam pers. (3.21)

15. Contoh 3.4. Jika kerangka pada contoh 3.2 Gambar 3.7 dipengaruhi gerakan tanag sinusoidal
rumus tentukan: (a)transmisibilitas dari gerak balok, (b) gaya geser maximum pada kolom
penyokong, dan (c) tegangan maximum pada kolom parameter-parameter dari sistem ini
Transmisibilitas dari pers. (3.36) adalah
Perpindahan relative maxsimum U dari pers. (3.41) adalah
Kemudian gaya geser maksimum U dari pers. (3.41) adalah
Momen lentur maxsimum
Dan tegangannya
Dimana rumus adalah modulus penampang.

16. Pada bagian sebelumnya telah kita bicarakan respons struktur terhadap gerakan harmonis pada
pondasinya. Sedangkan pada bagian ini akan dibicarakan masalah yang serupa dari isolator
getaran. Misalnya adalah mencari gaya yang disalurkan kepondasi. Tinjau isolator teredam
dengan gaya harmonis rumus yang berkerja pada massanya seperti pada Gambar 3.2. persamaan
diferensil dari gerak ini adalah
Dengan solusi keadaan tetap (steady state)
Dimana
Dan
Gaya tersalaur kepenyokong melalui pegas rumus dan elemen redaman rumus . Sekarang gaya
total yang tersalur adalah
Diferensial pers. (3.19) dan subtitusi kedalam pers. (3.34) memberikan
Atau
Di mana
Dan

17. Kemudian dari pers. (3.42) dan (3.45), gaya maximum rumus yang tersalur kepondasi adalah
Transmisibilitas Tr didefinisikan sebagai ratio dari amplitudo gaya yang disalurkan kepondasi
dan amplitudo gaya yang berkerja. Jadi dari pers. (3.48)
Sangat menarik untuk dicatat bahwa baik transmisibilitas dari gerak pondasi kestruktur pers.
(3.36) ataupun transmisibilitas dari gaya pada struktur ke pondasi pers. (3.49) memberikan
fungsi yang sama. Jadi lengkungan transmisibilitas pada Gambar 3.11 menyatakan kedua bentuk
transmisibilitas itu. Suatu peryataaan untuk fasa sudut total (total phase angel) φ pada pers.
(3.45) dapat ditentukan dengan mengambil fungsi tangen dari kdua anggota pers. (3.47), jadi
Kemudian subtitusi dan secara bersamaan dari pers. (3.21) dan (3.46), didapat