Matemática 2011

1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII
SENHOR DO BONFIM - BAHIA
FRÉDSON VALOIS COUTINHO DA ROCHA
O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA COMO INSTRUMENTO
DE VISUALIZAÇÃO DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
SENO E COSSENO.
SENHOR DO BONFIM – BA
MARÇO DE 2011

2. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO - CAMPUS VII
O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA COMO INSTRUMENTO
DE VISUALIZAÇÃO DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
SENO E COSSENO.
Monografia apresentada no Curso de Licenciatura em
Ciências com Habilitação em Matemática da Universidade
do Estado da Bahia – UNEB – Departamento de Educação –
Campus VII – Senhor do Bonfim – Bahia, como requisito
parcial para a obtenção do grau de Licenciado em
Matemática.
Orientador: Professor Dr. Ricardo José Rocha Amorim
SENHOR DO BONFIM – BA
MARÇO DE 2011
1

3. FRÉDSON VALOIS COUTINHO DA ROCHA
O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA COMO INSTRUMENTO
DE VISUALIZAÇÃO DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
SENO E COSSENO.
Monografia aprovada em 19 de Março de 2011, como requisito parcial para
obtenção do grau de Licenciado em Matemática da Universidade do Estado da
Bahia – UNEB – Departamento de Educação – Campus VII – Senhor do Bonfim –
Bahia, pelos professores:
Orientador
Professor Dr. Ricardo José Rocha Amorim
Avaliador
Ivan Souza Costa
Avaliadora
Elizete Barbosa
SENHOR DO BONFIM – BA
MARÇO DE 2011
2

4. Folhas secas
Ah! se viver fosse fácil não teríamos tantas dores e
problemas espalhados em todos os cantos do planeta. A dor
visita a cada uma das pessoas com tarefas que as vezes, a
primeira vista, parecem injustas demais, mas que acabam
sendo necessárias para o amadurecimento do ser humano.
Problemas são como as folhas de uma árvore imensa
que sempre vão cair, de uma maneira ou outra, num ciclo
sem fim, o que muda é a forma como recolhemos essas
folhas, ou como tratamos os problemas, pois muitas vezes
deixamos as folhas acumularem-se pelo chão, sem dar
importância devida para o monte que vai se formando, e
quando vemos, as folhas já tomaram conta do chão, dos
cantos, frestas e até dos quintais vizinhos.
Junte as folhas diariamente, cate seus problemas e
resolva-os, removendo o que não serve mais, separando o
que é importante e o que não é. Folhas muito secas podem
ser queimadas rapidamente, assim como os problemas
pequenos, que muitas vezes damos importância demais,
aumentando-os sem ao menos pensar em uma solução,
paralisados pelo medo.
Não espere o Outono chegar e derrubar todas as folhas
de uma vez, mantenha seu jardim da vida sempre limpo,
cultive flores (otimismo), regue com bom humor, espalhe as
sementes (caridade) por todos os jardins, e receba da
própria natureza os lucros de sua dedicação:
Cheiro de terra molhada, cores e perfumes das flores,
frutos que alimentam e paz que preenche o espírito.
Problemas são folhas de árvores, você é o jardineiro e Deus
o semeador da vida, e a vida pede cuidados diários.
3

5. AGRADECIMENTOS
Em princípio preciso agradecer ao Pai Criador por ter
me ensinado a acreditar que tudo é regido e guiado por Ele.
Agradecer pelas forças que sempre aparecem quando um
momento de fraqueza tenta me fazer desistir.
Meu imenso reconhecimento por tudo que minha Mãe
Helenice Valois passou para que pudesse me proporcionar
toda a Educação que hoje esbanjo e por todo incentivo nos
momentos mais difíceis.
Agradecer a meu Pai Valter Rocha pelas viagens que
fez comigo em busca desta minha formação profissional
mesmo em dias em que o cansaço tentava dominá-lo.
Sinceros agradecimentos aos meus amigos Unilton
Alves e Sandro Lima que muito contribuíram para minha
formação acadêmica.
E por fim, um muito obrigado especial à minha esposa
Sheila Rocha que, com alguma, mas suficiente, paciência
soube conduzir a família quando da minha ausência e ao
meu filho Christian Rocha por sua compreensão sempre
quando dizia-lhe que iria viajar.
Um agradecimento generalizado a todos aqueles que,
de forma direta ou indireta, contribuíram para meu sucesso.
4

6. DEDICATÓRIA
Dedico esta obra aos meus Pais, pelo apoio e incentivo, á minha família pela
paciência e aos meus amigos Sandro Lima e Unilton Alves por toda colaboração na
realização deste trabalho.
5

7. RESUMO
ROCHA, Frédson V. C. O uso do software geogebra como instrumento de
visualização das funções trigonométricas seno e cosseno. 2011. 57 f.
Monografia (Licenciatura em Ciências com Habilitação em Matemática), UNEB,
Senhor do Bonfim – BA.
Este trabalho mostra uma revisão bibliográfica associada a um estudo de caso
feito com alguns alunos do Colégio Suporte de jacobina – Ba, com o intuito de
analisar a utilização dos recursos tecnológicos, em especial, o software geogebra,
como instrumento de visualização das funções trigonométricas seno e cosseno.
Para fundamentar essa pesquisa, fez-se uma abordagem das principais teorias
sobre Educação Matemática e a inserção dos recursos tecnológicos no processo de
ensino-aprendizagem. Assim, pôde-se elaborar um questionário avaliativo onde
alguns dados foram coletados e analisados a fim de entender que as tecnologias
devem estar presentes em todo o contexto educacional.
Palavras-chave: Software: Ensino de Matemática: Informática
6

8. SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS................................................................................... p. 08
LISTA DE TABELAS.................................................................................. p. 09
1 – INTRODUÇÃO...................................................................................... p. 10
1.1 – Objetivos............................................................................................ p. 15
1.1.1 – Geral............................................................................................... p. 15
1.1.2 – Específicos..................................................................................... p. 15
2 – EDUCAÇÃO MATEMÁTICA................................................................ p. 15
2.1 – Informática e Educação Matemática.................................................. p. 17
2.2 – Alguns softwares matemáticos........................................................... p. 21
3 – O SOFTWARE GEOGEBRA................................................................ p. 22
4 – METODOLOGIA................................................................................... p. 23
5 – CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................. p. 24
5.1 – Coleta, Tabulação e Construção de Gráficos dos Dados Coletados. p. 24
5.2 – Conclusões......................................................................................... p. 34
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS........................................................... p. 36
ANEXOS..................................................................................................... p. 40
Anexo I – Questionário................................................................................ p. 40
Anexo II – Conhecendo o Geogebra........................................................... p. 43
7

9. LISTA DE FIGURAS
Figura 01 – Frequência Absoluta e Relativa............................................... p. 26
Figura 02 – Frequência de Aprovação........................................................ p. 29
Figura 03 – Frequência Absoluta e Relativa............................................... p. 30
Figura 04 – Frequência de Aprovação........................................................ p. 32
Figura 05 – Comparativo entre as Avaliações............................................ p. 33
Figura 06 – Frequência de Acertos............................................................. p. 43
Figura 07 – Página Inicial do Geogebra...................................................... p. 43
Figura 08 – 1º ícone.................................................................................... p. 44
Figura 09 – 2º ícone.................................................................................... p. 44
Figura 10 – 3º ícone.................................................................................... p. 45
Figura 11 – 4º ícone.................................................................................... p. 45
Figura 12 – 5º ícone.................................................................................... p. 46
Figura 13 – 6º ícone.................................................................................... p. 46
Figura 14 – 7º ícone.................................................................................... p. 47
Figura 15 – 8º ícone.................................................................................... p. 47
Figura 16 – 9º ícone.................................................................................... p. 48
Figura 17 – 10º ícone.................................................................................. p. 48
Figura 18 – 11º ícone.................................................................................. p. 49
Figura 19 – Ferramentas do 6º ícone.......................................................... p. 50
Figura 20 – Raio do Círculo........................................................................ p. 51
Figura 21 – Círculo Trigonométrico............................................................. p. 51
Figura 22 – Projeção de P em Oy............................................................... p. 53
Figura 23 – Janela de Propriedades........................................................... p. 54
Figura 24 – Seno......................................................................................... p. 54
Figura 25 – Cosseno................................................................................... p. 55
Figura 26 – Sobreposição das Funções......................................................p. 56
Figura 27 – Janela de Visualização............................................................ p. 57
8

10. LISTA DE TABELAS
Tabela 01 – Frequência Relativa de Acerto.................................................. p. 25
Tabela 02 – Relação Entre a Questão e a Habilidade.................................. p. 27
Tabela 03 – Tabela de Acertos..................................................................... p. 27
Tabela 04 – Distribuição de Frequência....................................................... p. 28
Tabela 05 – Frequência de Aprovação........................................................ p. 30
Tabela 06 – Tabela de Acertos..................................................................... p. 31
Tabela 07 – Distribuição de Frequência....................................................... p. 32
Tabela 08 – Relação das Notas da Primeira e Segunda Avaliação............. p. 33
9

11. 1 – INTRODUÇÃO
Nas ultimas três décadas, o avanço de tecnologias de informática,
principalmente microcomputadores e internet, promoveu o aparecimento de forma
acelerada de uma grande demanda por automatização de processos e serviços de
comunicação em todos os setores da sociedade. Em função disso, na atualidade, a
apropriação de conhecimento sobre informática e a incorporação deste tipo de
tecnologia no ensino e aprendizagem tem sido vista por muitos educadores como
algo imperativo:
A pressão em relação ao uso da informática se faz cada vez mais
evidente em todas as áreas e isso não é diferente na Educação. A todo
momento os professores sentem que quem não for capaz de usar a
informática como instrumental para o Ensino-aprendizagem está fora do
mercado de trabalho (COSCARELLI, C. V, 1998, P. 36).
Neste sentido algumas das Escolas do Brasil, sejam elas no âmbito público ou
privado, já apresentam um laboratório montado de informática com acesso à
internet, softwares1 educacionais e programas básicos como os editores de textos,
editores de imagens e apresentações, planilhas de cálculos e tabelas, entre outros.
Várias ações no sentido de estimular e promover a implementação do uso da
tecnologia informática nas escolas brasileiras tem sido desenvolvidas desde 1981,
quando surgiram projetos como: Educom, Formar e Proninfe. (Borba e Penteado,
2005, p. 19).
Existe ainda alguma resistência de muitos professores quanto ao uso de
computadores em sala de aula, talvez pelo fato de não deter um total conhecimento
à respeito da máquina ou simplesmente para não sair da zona de conforto.
Segundo Borba e Penteado (2005, p. 11) Informática e Educação tem sido um
tema bastante recorrente nas últimas duas décadas no Brasil sendo possível
1
A palavra software engloba “programas, procedimentos, regras e qualquer documentação associada pertinente à
operação de um sistema computacional” (ABNT, 1996, p.2). Segundo o dicionário Aurélio (FERREIRA, 1999),
o plural desta palavra pode ser softwares ou software (tal como em inglês.)
10

12. lembrar dos discursos sobre o perigo que a utilização da informática poderia trazer
para a aprendizagem dos alunos.
Para Japiassu (1983), os docentes resistem à inovação porque são submetidos
a um processo de formação baseado no chamado conhecimento educacional
científico, e é responsável por generalizações que interessam a planejadores de
currículos e supervisores, o que acaba por desarticular tentativas de criação
pedagógica.
Castanho (2000) explica que inovação é uma palavra que se sobressai na
literatura educacional, aparecendo atrelada à perspectiva de soluções para o
“marasmo” dos sistemas de ensino. Inovação não significa descoberta nem
invenção, mas ação para alterar as coisas pela introdução de algo novo e pode se
dar a partir de três dimensões: (a) pela investigação; (b) por meio da solução de
problemas; (c) com base na interação social, sendo a primeira o caminho mais
adequado.
Aliado à necessidade da inserção ou permanência no mercado de trabalho,
aparecem as dificuldades encontradas pelos professores e por alunos, quando há
uma exigência maior da abstração dos conceitos e formas, utilização do
conhecimento básico e o raciocínio lógico. Diante de tal situação, tem-se observado
um total desinteresse por parte de alguns alunos justamente quando estes não
conseguem absorver os conceitos ou não enxergam uma associação com a
realidade deixando-os sem significados.
O emprego das novas tecnologias na educação, algumas vezes, tem sofrido
preconceitos. Uma das grandes preocupações é que o uso de computadores pode
está desvinculado ao propósito da Escola. Por outro lado, o computador é visto
como ferramenta capaz de solucionar vários problemas da educação.
Os objetivos de um projeto pedagógico não podem ceder lugar
para as técnicas e sua utilização. “A grande tecnologia é o ser humano, a
nossa mente. As tecnologias são extensão de nossa mente, do nosso
corpo” (Moran,1996).
11

13. Instalar qualquer software nos computadores e colocar à disposição dos alunos
não significa aprendizado garantido. É necessário que a Escola disponha de um
projeto pedagógico que envolva a utilização dos computadores e dos recursos no
processo de Ensino-aprendizagem.
Muitos programas educacionais se apresentam de forma pronta e acabada o
que, muitas vezes, não é interessante para o aluno já que este se torna um mero
digitador e em nenhum momento é estimulado a produzir ou construir seu
conhecimento a partir do computador.
Na verdade, tem-se assistido nos últimos tempos a uma
proliferação de produtos lançados no mercado sob o rótulo de software
educativo ou educacional. A quantidade é grande, porém a qualidade,
em geral, duvidosa (SETTE; AGUIAR; SETTE, 1999, p. 22).
Aliado ao problema do uso inadequado dos computadores nas Escolas, ainda
temos que encarar as grandes dificuldades encontradas pelos professores no que
tange o Ensino da Matemática. As álgebras, geometrias, aritméticas entre outros,
fazem com que os alunos, cada vez mais, sintam uma aversão à disciplina que é
responsável por um alto índice de reprovação.
No contexto da educação, infelizmente, a matemática é muito mais
vista como uma ciência afastada da realidade, de difícil compreensão e,
principalmente, causadora de uma percentagem alta de reprovações
(D’AMBROSIO, 1986).
A Matemática surge como ciência, ao longo da história da humanidade, com o
objetivo de solucionar problemas práticos e teóricos que se apresentam nas
variadas sociedades humanas, melhorando a qualidade de vida do cidadão
(BOYER, 1974; EVES, 1995).
Uma das grandes dificuldades no ensino da Matemática é o fato dos alunos
não conseguirem abstrair os conceitos matemáticos e, consequentemente, não
entenderem os processos de formação ou de construção das definições em
determinados conteúdos. O estudo da Trigonometria nos leva a enfrentar diversos
12

14. problemas deste tipo principalmente no que diz respeito ás Funções
Trigonométricas, onde a maioria dos alunos não consegue visualizar a variação dos
segmentos que representam as Funções Circulares a partir da variação de um ponto
na Circunferência Trigonométrica, ponto este que representa a extremidade de um
arco qualquer.
O Ensino da Matemática sempre teve lugar de destaque dentre os motes mais
discutidos quando se refere á Educação ou outros temas de relevância social,
sobressaindo entre as demais disciplinas, pois tem trazido preocupações a
professores, aluno, pais e à sociedade, diante do alto índice de reprovação.
Nos últimos anos, reformulações curriculares e novas propostas
pedagógicas se fazem presentes nos meios escolares, e os
responsáveis pelo ensino têm-se mostrado sensíveis a elas. Mas sua
aplicação encontra várias dificuldades, além das habituais resistências à
mudança. (MICOTTI, 1999)
É de total relevância realçar que a Matemática exige que o aluno disponha
tanto do conhecimento prévio de alguns fundamentos como também de um
raciocínio lógico bastante desenvolvido, para que se tenha um aprendizado
satisfatório.
Alguns conteúdos matemáticos bem como suas definições, obrigam o aluno a
se desprender do mundo real, concreto e comece a viajar nos campos da abstração.
Podemos citar, dentre outros o Estudo da Trigonometria mais especificamente das
Funções Trigonométricas. Para um entendimento mais profundo dos conceitos
abordados nessas funções, faz-se necessário que o aluno consiga imaginar as
projeções dos segmentos que determinam cada uma delas, a partir da variação de
um ponto, na Circunferência Trigonométrica, que seria a extremidade de um arco
qualquer que está sendo estudado.
Estas projeções e variações muitas vezes não são observadas ou imaginadas
pela maioria dos alunos, e isto faz com que o conteúdo passe por despercebido sem
13

15. que haja um aproveitamento plausível da aula e, em alguns casos, os objetivos
previamente traçados, não são alcançados.
Segundo Davis (1989),“a abstração é ubíqua. É quase uma característica da
própria inteligência” (p. 143). Sendo assim, precisamos buscar formas dinâmicas de
apresentar os conteúdos, impreterivelmente quando estes demandam um esforço
maior e um grau de abstração mais elevado, como é o caso da Trigonometria.
Assim, esta pesquisa surgiu com o intuito de estudar uma nova forma de ensinar
trigonometria por intermédio de software anteriormente especificado. Para tal, foi
escolhido o software Geogebra como instrumento de visualização das Funções
Trigonométricas.
Como motivação, a escolha deste software ocorreu em função de experiência
adquirida em manuseio deste, durante trabalho de monitoria nas disciplinas Cálculo I
e Álgebra Linear I, realizado na Universidade do Estado da Bahia – UNEB e em
outro curso externo realizado durante minha graduação. Em vista disso, durante a
definição de tema para a minha monografia surgiram as seguintes questões:
Seria viável a utilização do software Geogebra, como ferramenta auxiliar no
processo de ensino-aprendizagem das Funções Circulares?
Tal utilização traria resultados satisfatórios no desenvolvimento da abstração
dos conceitos de tais Funções?
De que forma o trabalho do professor poderia ser facilitado com o uso deste
software?
Estes questionamentos levaram a definição dos objetivos deste trabalho, com
os quais busca-se uma dinamização das aulas por intermédio de estratégias
baseadas no uso de tecnologia que permitem uma visualização das formas que
constituem a Trigonometria.
14

16. 1.1 – Objetivos
1.1.1 - Geral
Identificar contribuições oferecidas pelo software geogebra no ensino-
aprendizagem de matemática.
1.1.2 - Específicos
I. Entender o conceito de Educação Matemática.
II. Identificar o espaço que a informática ocupa dentro da Educação
Matemática.
III. Compreender a importância dos softwares matemáticos dentro da
Informática.
IV. Conhecer possibilidades de uso do software geogebra no processo de
ensino-aprendizagem das Funções Trigonométricas Seno e Cosseno.
2 – EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Muito se tem discutido sobre Educação Matemática, práticas pedagógicas,
tendências atuais do ensino entre outros sub-temas de grande importância. Porém,
muitas vezes deixamos de lado todo contexto histórico em que surgem os primeiros
conceitos e altercações envoltos ao tema. Buscar fatos históricos que contribuíram
substancialmente para a formação dos primeiros juízos, muitas vezes, fornece-nos
subsídios concretos para uma discussão mais objetiva, conforme salienta o autor:
A Matemática é, desde os gregos, uma disciplina de foco nos
sistemas educacionais, e tem sido a forma de pensamento mais estável
da tradição mediterrânea que perdura até os nossos dias como
manifestação cultural que se impôs, incontestada, às demais formas.
Enquanto nenhuma religião se universalizou, (...), a matemática se
universalizou, deslocando todos os demais modos de quantificar de
15

17. medir, de ordenar, de inferir e servindo de base, se impondo como o
modo de pensamento lógico e racional que passou a identificar a própria
espécie. Do Homo sapiens se fez recentemente uma transição para o
Homo rationalis. Este último é identificado pela sua capacidade de
utilizar matemática, uma mesma matemática para toda humanidade e,
desde Platão, esse tem sido o filtro utilizado para selecionar lideranças.
(D’AMBROSIO, 1990, p.10)
Segundo Igliori (2003, p.70) embora já se identificassem na antiguidade
preocupações com o ensino da matemática, particularmente na República VII, de
Platão, é na Idade Média, no Renascimento e nos primeiros tempos da Idade
Moderna que essas preocupações são melhor focalizadas. De especial interesse
para o Brasil é o enfoque dado por Luis Antonio Verney ao ensino da matemática no
Verdadeiro método de estudar, de 1746. Mas é somente a partir das três grandes
revoluções da modernidade – a Revolução Industrial (1767), a Revolução Americana
(1776) e a Revolução Francesa (1789) – que as preocupações com a educação
matemática da juventude começam a tomar corpo.
Segundo Tinoco (1991, p.69) “A Educação Matemática é o ramo do
conhecimento que visa à compreensão dos fenômenos que ocorrem nas ligações
entre os três vértices do triângulo (aluno, professor e saber) e as influências que
estas ligações sofrem do sistema escolar e da estrutura social em geral”.
Embora ainda em processo de construção, poderíamos dizer que Educação
Matemática consiste nas relações estabelecidas entre aluno – enquanto sujeito
“passivo” do conhecimento, professor – agente ativo – e saber, que seria objeto do
conhecimento em questão.
Sabemos que em todas as sociedades civis e organizadas, seja no Brasil ou
em qualquer outro país do mundo, existe uma interferência do governo na educação.
Estas, entretanto, não estão, em sua maioria, sintonizadas com os princípios da
Educação Matemática, o que faz com que as práticas pedagógicas se adaptem a
tais interferências.
16

18. Kilpatrick apud Fiorentini (1994) lamenta que as pesquisas em Educação
Matemática não tenham se debruçado sobre este problema. Na verdade, as
pesquisas que investigam a avaliação e as políticas públicas têm sido muito tímidas
quanto à análise dos processos de adoção, adaptação ou resistência dos
professores às avaliações externas.
Contudo, algumas Tendências Atuais em Educação Matemática ainda ocupam
lugar de destaque entre os motes de discussão como, por exemplo.
Etnomatemática, Modelagem Matemática, Matemática crítica, Informática e
Educação matemática entre outros. No próximo capítulo, daremos uma atenção
especial à Informática e Educação Matemática.
2.1 – Informática e Educação Matemática
De acordo com Fróes “Os recursos atuais da tecnologia, os novos meios
digitais: a multimídia, a Internet, a telemática trazem novas formas de ler, de
escrever e, portanto, de pensar e agir. O simples uso de um editor de textos mostra
como alguém pode registrar seu pensamento de forma distinta daquela do texto
manuscrito ou mesmo datilografado, provocando no indivíduo uma forma diferente
de ler e interpretar o que escreve, forma esta que se associa, ora como causa, ora
como consequência, a um pensar diferente.”
Borba (2001) vai um pouco além, quando coloca “seres-humanos-com-mídias”
dizendo que “os seres humanos são constituídos por técnicas que estendem e
modificam o seu raciocínio e, ao mesmo tempo, esses mesmos seres humanos
estão constantemente transformando essas técnicas.” (p.46)
Segundo Boieri, Chiappini e Fasano, (1996), pesquisadores italianos utilizam
em seus trabalhos diversas abordagens suportadas por diferentes hipóteses sobre o
papel que a tecnologia desempenha no processo de aprendizagem em Matemática,
ou mais geralmente no processo de aprendizagem, na qual a Matemática ocupa um
importante lugar. As pesquisas desenvolvidas tratando do processo de integração
17

19. das Novas Tecnologias da Informação (nos diferentes níveis de ensino)
desenvolvem-se de maneira não linear e não homogênea com respeito às
tecnologias utilizadas, aos conceitos matemáticos envolvidos e às estratégias de
ensino (BOIERI, CHIAPPINI e FASANO, 1996), podendo ser observadas, no
entanto, a ênfase em algumas tendências gerais:
1. noções básicas da Ciência da Computação e atividades de programação no
currículo de Matemática;
2. considerar o computador como um auxiliar, uma ferramenta para o
aprendizado de Matemática;
3. uso da tecnologia como meio de difusão de conceitos Matemáticos;
4. formação de professores para a integração de Novas Tecnologias da
Informação no currículo de Matemática;
5. aprendizagem em Matemática, Novas Tecnologias no trabalho com pessoas
portadoras de necessidades especiais.
Segundo Borba (2005, p.19), em nível nacional, uma das primeiras ações no
sentido de estimular e promover a implementação do uso de tecnologia informática
nas escolas brasileiras ocorreu em 1981 com a realização do I Seminário Nacional
de Informática Educativa.
De acordo ainda com Borba (2005, p.11), Informática e Educação têm sido um
tema de debate recorrente nas últimas duas décadas no Brasil e, há um pouco mais
de tempo, em outros lugares do mundo. Talvez ainda seja possível lembrar dos
discursos sobre o perigo que a utilização da informática poderia trazer para a
aprendizagem dos alunos. Para este autor
Discussões sobre a forma como a tecnologia informática (TI) tem
sido utilizada e a implantação desse uso para a organização da
sociedade atual têm estado presentes constantemente na literatura.
(BORBA, 2005, p.19)
Embora essas discussões não estejam em véspera de cessarem, já se tem
implantado em várias Escolas Públicas no Brasil um laboratório de Informática e
18

20. algumas ações governamentais que possam dar suporte ao uso das Tecnologias de
Informação, conforme elucida o autor:
Mesmo diante de algumas discussões, há quem acredite que o uso da
Tecnologia de Informação, possa trazer resultados promissores no processo ensino
aprendizagem.
Marques (2003, p.173) entende que a sala de aula tem, hoje, novas
possibilidades como “participar de comunidades virtuais e difundir, para um vasto
público, toda informação que julgar de interesse, num processo transversal,
comunitário e recíproco, de negociação de significados e de reconhecimentos
mútuos de indivíduos e grupos”
Segundo Gravina e Santarosa (1998), a aprendizagem da Matemática depende
de ações que caracterizem o “fazer matemática”: experimentar, interpretar,
visualizar, induzir, conjecturar, abstrair, generalizar e enfim demonstrar. Quando o
aluno coloca-se como sujeito ativo, investigando, explorando, orientado por um
professor preparado para colocar-se na postura de mediador, a formalização e a
concretização mental de conceitos tratam-se, simplesmente, de uma consequência
do processo.
Para Moran (1998), por exemplo, a utilização das tecnologias, em especial a
Internet, deve levar a mudanças na forma de ensinar, isto é, deve transformar a sala
de aula em pesquisa e comunicação. Ele acredita que tal tecnologia facilita a
motivação dos alunos não apenas por ser uma novidade, mas especialmente pelas
possibilidades que cria em termos de pesquisa .
Nesta linha de raciocínio, Kenski (2002) considera que a motivação dos alunos
pode aumentar quando o professor constrói um clima de confiança, abertura e
cordialidade, o que, em última instância, depende do modo como as tecnologias são
percebidas e usadas. A internet é um instrumento que pode facilitar a mediação,
uma vez que oferece informações abundantes para o processo de conhecimento.
19

21. Considerando as Tecnologias como uma tendência atual do ensino da
matemática, podemos enfatizar o uso de softwares educacionais como parte
fundamental e de lugar de destaque dentre as tecnologias utilizadas atualmente
como ferramenta pedagógica.
Instalar qualquer software nos computadores e colocar à disposição dos alunos
não significa aprendizado garantido, é necessário que a Escola disponha de um
projeto pedagógico que envolva a utilização dos computadores e dos recursos no
processo de ensino-aprendizagem.
Se, enquanto professores, as mudanças tecnológicas nos causam temor, o
melhor a fazer é combatê-lo com conhecimento, competência e senso crítico
(MAULINI, 2001). Segundo este autor, a idéia de que as TIC substituiriam o
professor não corresponde à realidade, uma vez que o professor é, atualmente, mais
fundamental do que nunca, orientando a busca por informações e contribuindo para
que as mesmas sejam úteis.
Essa visão é corroborada por Valente (1999b) quando destaca que, sem o
professor preparado para desafiar e desequilibrar o seu aluno, a utilização de
softwares educacionais pode contribuir muito pouco para o processo educacional.
Muitos programas educacionais se apresentam de forma pronta e acabada o
que, muitas vezes, não é interessante para o aluno já que este se torna um mero
digitador e em nenhum momento é estimulado a produzir ou construir seu
conhecimento a partir do computador.
Segundo Sette (et all) (1999), ao se considerar a tecnologia da informática na
educação, há uma referência implícita ao uso do computador. Sabendo-se que o
computador é, em sua essência, uma máquina de comportamento variável, o
interesse em sua utilização na área torna-se o de "dirigir" tal comportamento para
fins educacionais. O instrumento que vai determinar esse comportamento é o
software. Percebe-se assim a importância em se garantir um espaço para a reflexão
sobre o software voltado para a educação.
20

22. Valente (1997) destaca que o professor, em consonância com uma proposta
pedagógica construtivista sócio-interacionista, deve compreender o significado do
processo de aprendizagem através da construção do conhecimento, ter pleno
domínio do conteúdo que está sendo abordado e conhecer as possibilidades dos
softwares utilizados para, então, poder acompanhar o aluno nesse ambiente e
intervir adequadamente quando se fizer necessário .
2.2 – Softwares matemáticos relacionados
Este sub-tema visa mostrar softwares matemáticos que se destacam devido à
sua abrangência como ferramentas auxiliares no processo de ensino-aprendizagem
de matemática: Graphequation, Graphmatica, MathGV, Matlab, Cabri Géomètre e o
Geogebra.
O Graphequation é um software utilizado para a plotagem de gráficos de
funções em coordenadas cartesianas e polares.
Graphmatica é um software muito poderoso por utilizar um grande número de
funções matemáticas, e além disso, dispor de uma interface muito amigável.
Podemos utilizá-lo para visualizar gráficos de equações algébricas, sendo que
podemos representá-los através de vários tipos de escalas, incluindo logarítmicas e
polares.
O MathGV é um traçador de gráficos tridimensionais dirigido a engenheiros,
físicos, matemáticos e estudantes. Basta inserir nele uma função do tipo z = f(x,y)
para obter uma representação espacial dela. O programa traça gráficos cartesianos
bi e tridimensionais, paramétricos e polares. Botões permitem girar o gráfico em
torno de qualquer um dos eixos e ainda ampliá-lo ou reduzi-lo. O MathGV não é
difícil de usar, mas uma leitura das instruções contidas no sistema de ajuda é
indispensável.
O MATLAB é um sistema interativo cujo elemento básico de informação é uma
matriz que não requer dimensionamento. Esse sistema permite a resolução de
21

23. muitos problemas numéricos em apenas uma fração do tempo que se gastaria para
escrever um programa semelhante em linguagem Fortran, Basic ou C. Além disso,
as soluções dos problemas são expressas quase exatamente como elas são
escritas matematicamente.
O Cabri-Géomètre é um software que permite construir todas as figuras da
geometria elementar que podem ser traçadas com a ajuda de uma régua e de um
compasso. Uma vez construídas, as figuras podem se movimentar conservando as
propriedades que lhes haviam sido atribuídas. Essa possibilidade de deformação
permite o acesso rápido e contínuo a todos os casos, constituindo-se numa
ferramenta rica de validação experimental de fatos geométricos. Ele tem outros
aspectos que vão muito além da manipulação dinâmica e imediata das figuras.
3 – O SOFTWARE GEOGEBRA
Geogebra é um software de matemática dinâmica para utilizar em ambiente
de sala de aula, que reúne GEOmetria, álGEBRA e cálculo. Recebeu muitos
prêmios internacionais incluindo o prêmio de software educacional Alemão e
Europeu.
O aluno (ou o professor) pode testar suas conjecturas através de exemplos e
contra-exemplos que ele pode facilmente gerar. Uma vez feita a construção, pontos,
retas e círculos podem ser deslocados na tela mantendo-se as relações geométricas
(pertinência, paralelismo, etc) previamente estabelecidas, permitindo assim que o
aluno (ou o professor), ao invés de gastar o seu tempo com detalhes de construção
repetitivos, concentre-se na associação existente entre os objetos.
22

24. 4 – METODOLOGIA
A pesquisa é considerada por Minayo (apud SILVA e MENEZES, 2001, P.19)
como:
“atividade básica das ciências na sua indagação e descoberta da
realidade. É uma atitude e uma prática teórica de constante busca que
define um processo intrinsecamente inacabado e permanente. É uma
atividade de aproximação sucessiva da realidade que nunca se esgota,
fazendo uma combinação particular entre teoria e dados.”
Para se conseguir classificar, identificar as etapas do planejamento da presente
pesquisa e apresentar o seu método de investigação fez-se uso do manual de
Metodologia e Elaboração de Dissertação do Programa de Pós- Graduação em
Engenharia de Produção citado por Soares (2002, p. 14).
A presente pesquisa classifica-se como aplicada quanto a sua natureza; pois
os conhecimentos foram desenvolvidos com o objetivo de aplicação prática à
solução de um problema específico: o uso do software geogebra como instrumento
de visualização das Funções Trigonométricas Seno e Cosseno. Quanto à maneira
como está sendo abordado o problema, esta pesquisa classifica-se como quali-
quantitativa. Quantitativa, pois caracteriza-se pelo emprego de quantificação tanto
nas modalidades de coleta de informações, quanto no tratamento delas por meio de
técnicas estatísticas como percentual, médias aritméticas distribuição de frequências
entre outras. Qualitativa, pois analisa a interação entre algumas variáveis e
possibilita o entendimento das particularidades do comportamento dos indivíduos
avaliados.
Quanto aos procedimentos técnicos para o desenvolvimento desta pesquisa,
foi feita inicialmente uma pesquisa bibliográfica constituída a partir de livros, artigos
científicos, material disponibilizado na Internet e outros documentos oficiais. A seguir
desenvolveu-se um estudo de caso com alunos selecionados aleatoriamente do
Colégio Suporte de Jacobina-Ba de maneira que foi permitido obter-se um amplo e
detalhado conhecimento do problema abordado.
23

25. Durante a pesquisa foram realizadas atividades com o intuito de verificar de
que forma uma aula de Trigonometria poderia ser enriquecida com o uso do
geogebra e que contribuições este software traz no ensino-aprendizagem deste
conteúdo, conforme os objetivos definidos para este trabalho. Assim, foram
adotados os seguintes procedimentos:
1 – Foram escolhidos 20 (vinte) alunos de maneira aleatória, com faixa etária
de 14 a 16 anos, do Colégio Suporte na cidade de Jacobina – Ba.
2 – Inicialmente, na data de 04 de maio de 2010, foram lecionados 80 min.
(oitenta minutos) de aula expositiva apenas com a utilização dos recursos quadro-
branco, marcador para quadro, apagador e livros.
3 – Em seguida, durante um período de 50 min. (cinquenta minutos) foi
aplicado um questionário (ver anexos) composto de 10 (dez) questões sendo 08
(oito) objetivas e 02 (duas) subjetivas com o intuito de avaliar de forma quantitativa e
após, qualitativa o rendimento na assimilação dos conceitos e propriedades das
Funções Trigonométricas, em especial, Função Seno e Função Cosseno.
4 – Em uma outra data, 25 de maio de 2010, os mesmos alunos selecionados
anteriormente voltaram a assistir mais 80 min. (oitenta minutos) de aula expositiva,
abordando o mesmo conteúdo porém, desta vez, com a inserção de novos recursos
didáticos como o computador, o data-show e com a visualização das projeções de
alguns conceitos e características relacionados às funções supracitadas produzidos
e apresentados no software geogebra.
5 – Em seguida, durante o mesmo período de 50min. (cinquenta minutos) o
questionário foi novamente respondido pelos alunos. Após a coleta e a estruturação
dos dados foram feitos inúmeros estudos e análises para que pudesse arrematar
esse trabalho.
5 – CONSIDERAÇÕES FINAIS
5.1 – Coleta, tabulação e construção de gráficos dos dados obtidos.
O questionário que foi aplicado aos alunos tinha peso 10,0 (dez pontos)
distribuídos igualmente entre as questões que o compõe. Após a correção das
24

26. questões na primeira avaliação, pôde-se constatar os seguintes resultados
mostrados nas tabelas de frequência seguintes:
Tab. 01 – Frequência de acerto dos alunos avaliados.
FR FR
Qtde. de Pontos FA
(fração) (%)
0,0 |---- 2,5 2 2/20 = 1/10 10%
2,5 |---- 5,0 8 8/20 = 2/5 40%
5,0 |---- 7,5 7 7/20 35%
7,5 |---- 10,0 3 3/20 15%
Total 20 1 100%
Esta tabela mostra a frequência absoluta e a frequência relativa dos acertos
dos alunos. Com esta tabela, vê-se, portanto um equilíbrio entre a quantidade de
aprovados e reprovados. Segundo Dante (2008, p. 514) tabela de frequência é a
tabela que mostra a variável e suas realizações (valores) com as frequências
absoluta (FA) e relativa (FR). Sendo frequência absoluta o número de vezes que um
valor da variável é citado e frequência relativa, a relação entre a frequência absoluta
e o total das citações. Com base em uma relativa experiência no ensino desta
disciplina adquirida por mim desde 2001, e, considerando também a experiência de
outros professores questionados informalmente durante esta pesquisa sobre estes
resultados, verificou-se que os resultados obtidos representam um rendimento típico
quando a trigonometria é ensinada de forma tradicional. Com estes resultados
representados na tabela, obtêm-se o seguinte gráfico (Figura 01):
25

27. Fig. 01 – Frequência absoluta e relativa das notas.
Quando da elaboração do questionário, alguns conceitos de avaliação foram
utilizados com o intuito de torná-la um elemento significativo do processo ensino e
aprendizagem que pudesse envolver tanto a prática pedagógica do professor quanto
o desempenho do aluno e os princípios que norteiam o trabalho escolar conforme
salienta o autor:
Nessa perspectiva de trabalho, a avaliação é definida a partir de
novos princípios, passando a ter como objetivo fundamental fornecer
informação sobre o processo de ensino e aprendizagem como um todo.
A avaliação informará não apenas ao aluno sobre seu desempenho em
Matemática, mas também ao professor, sobre sua prática em sala de
aula. A avaliação deve subsidiar o trabalho pedagógico, redirecionando o
processo de ensino-aprendizagem, sempre que for necessário.
(BONJORNO, 2001, p. 13).
Levando em consideração esses conceitos de avaliação, o questionário foi
elaborado com questões que pudessem exigir do aluno o domínio e entendimento
dos conceitos das funções, capacidade de reprodução diante de uma situação
problematizada, interpretação das características principais das funções e domínio
das operações fundamentais da matemática. Veja a tabela abaixo:
26

28. Tab. 02 – Relação entre o número da questão e habilidade exigida.
Número das questões
01 02 03 04
05 06 07 08
09 10
Legenda
Domínio de Conceitos
Propriedades e Características
Questões Práticas
Para que se possa ilustrar de forma mais nítida as bases desta pesquisa,
consideramos os alunos envolvidos enumerados de 01 (um) a 20 (vinte) e
relacionamos cada um deles com as questões acertadas, lembrando que as
questões 09 (nove) e 10 (dez) foram questões subjetivas e tiveram critérios de
correção diferente do restante, podendo estas, terem seus pontos fracionados caso
seja necessário. Veja:
Tab. 03 – Tabela de acertos de cada aluno.
NÚMERO DO ALUNO
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
01
02
03
04
05
QUESTÕES
06
07
08
09
10
LEGENDA: - QUESTÃO COMPLETA - MEIA QUESTÃO
27

29. De acordo com a tabela acima, pode-se perceber uma grande deficiência dos
alunos no que se refere à assimilação dos conceitos, visto que 15 (quinze) alunos, o
que corresponde a 75% (setenta e cinco porcento) dos avaliados não conseguiram
êxito na resolução da questão 01 que está diretamente relacionada com a definição
das funções. É interessante ressaltar que, mesmo tendo as questões 09 e 10, as
mesmas características avaliativas no que se refere à aplicação de princípios
fundamentais da matemática, percebe-se que a última apresentou um grau de
exigência maior no processo de resolução pelo fato de partir de uma operação com
fração. É notório, pois apenas 20% dos alunos não conseguiram êxito na questão 09
enquanto que 55% não conseguiram na questão 10.
Com base nos dados coletados após esta primeira avaliação, mostraremos
abaixo uma tabela de distribuição de frequência das notas, sem intervalos de classe,
para que possamos obter a média da turma, para tanto, denominaremos de i, cada
uma das classes de pontuação. Segue:
Tab. 04 – Distribuição de frequência das notas.
i FA i . FA FR
2,0 2 4,0 10%
3,0 2 6,0 10%
3,5 2 7,0 10%
4,0 2 8,0 10%
4,5 2 9,0 10%
5,0 2 10,0 10%
PONTUAÇÃO
5,5 1 5,5 5%
6,0 2 12,0 10%
6,5 1 6,5 5%
7,0 1 7,0 5%
7,5 1 7,5 5%
8,0 2 16,0 10%
∑ 20 98,5 100%
28

30. Fig. 02 – Frequência relativa de aprovados e reprovados.
A tabela e o gráfico acima mostram que, se considerarmos uma média de
aprovação correspondente a 5,0 (cinco) pontos, obteremos uma aprovação de 50%
indicando um resultado típico no ensino tradicional de trigonometria. Tal situação
pode ser corroborada se obtivermos a média aritmética da pontuação da turma.
Como a média aritmética ) corresponde à razão entre o somatório (∑) dos
valores obtidos (x1, x2, x3, ..., xn) e a quantidade (n) deles, ou seja:
Assim, temos que a média aritmética da turma foi de pontos.
De posse desse resultado passou-se à uma etapa seguinte da pesquisa com o
intuito de verificar de que forma a inserção do geogebra pode favorecer o ensino-
aprendizagem de trigonometria.
Neste sentido Lusvarghi (2003, p. 32) defende que a tecnologia não pode ser
ignorada, sob pena de não se acompanhar o processo civilizatório tendo em vista
que a mesma está presente na contemporaneidade.
Após toda a apresentação do mesmo conteúdo lecionado na aula anterior, no
entanto, agora, utilizando os recursos visuais como o computador, o data-show e as
projeções elaboradas no geogebra, foi aplicado o mesmo questionário sem que os
29

31. resultados anteriores fossem divulgados. A seguir, apresentaremos os dados
tabulados e em forma de gráficos para que facilite a visualização e interpretação.
Observe:
Tab. 05 – Frequência de acerto dos alunos avaliados.
Qtde. de FR FR
FA
Pontos (fração) (%)
0,0 |---- 2,5 1 1/20 5%
2,5 |---- 5,0 4 4/20 = 1/5 20%
5,0 |---- 7,5 7 7/20 35%
7,5 |---- 10,0 8 8/20 = 2/5 40%
Total 20 1 100%
Fig. 03 – Frequência absoluta e relativa das notas.
Fazendo uma comparação entre este gráfico e o similar apresentado
anteriormente, pode-se perceber um crescimento considerável na frequência de
acertos. Percebe-se que, as porcentagens dos intervalos de classe que representam
as notas inferiores a cinco, sofreram um decréscimo de 50% enquanto que a
frequência do intervalo que representa as maiores notas subiu de 3 para 8
30

32. mostrando um crescimento de 166,7%. Vale salientar que a quantidade de alunos
que obtiveram notas de 5,0 a 7,5 permaneceu a mesma.
A seguir, apresentamos uma nova tabela em que mostra a relação entre a
quantidade de acertos com as questões apresentadas por cada aluno avaliado após
a apresentação dos conteúdos através das projeções elaboradas com o geogebra.
Tab. 06 – Quadro de acertos de cada aluno.
NÚMERO DO ALUNO
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
01
02
03
04
QUESTÕE 05
S 06
07
08
09
10
LEGENDA: - QUESTÃO COMPLETA - MEIA QUESTÃO
De posse de todos esses conceitos acerca da inserção dos recursos
tecnológicos no processo de ensino-aprendizagem e fazendo a análise da tabela
acima, pode-se perceber um crescimento considerável, por parte dos alunos, no que
se refere ao entendimento dos conceitos das funções Seno e Cosseno, visto que o
número de acertos da questão em que exige uma habilidade maior sobre definições
subiu de 5, somente com a aula tradicional, para 13, após as apresentações com o
geogebra, obtendo um crescimento de 160%. A tabela abaixo mostra a variação da
pontuação dos alunos após apresentação dos conteúdos com o auxílio do geogebra.
31

33. Tab. 07 – Distribuição de frequência das notas.
i FA i . FA FR
2,0 1 2,0 5%
3,0 1 3,0 5%
3,5 1 3,5 5%
4,0 2 8,0 10%
5,0 1 5,0 5%
5,5 2 11,0 10%
PONTUAÇÃO 6,0 2 12,0 10%
7,0 2 14,0 10%
7,5 2 15,0 10%
8,0 3 24,0 15%
8,5 1 8,5 5%
9,0 1 9,0 5%
10,0 1 10,0 5%
∑ 20 125,0 100%
Assim, podemos construir o gráfico que representa a frequência relativa de
aprovados e reprovados considerando, ainda, a mesma nota 5,0 como média para
aprovação. Vejamos:
Fig. 04 – Frequência relativa de aprovados e reprovados.
32

34. Portanto, com a inserção do recurso tecnológico, geogebra, obteve-se um
crescimento na aprovação de 25 pontos percentuais. Assim, a média aritmética da
turma que era de 4,925 pontos passa para 6,25 pontos. Veja a seguir a variação da
pontuação de cada aluno antes e após a apresentação dos conteúdos através do
uso do software geogebra.
Tab. 08 – Relação das notas dos alunos avaliados.
ALUNOS 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ANTES 8,0 5,0 3,5 5,0 4,0 2,0 3,0 3,0 8,0 6,0 6,0 4,5 5,5 3,5 7,5 6,5 2,0 7,0 4,0 4,5
DEPOIS 7,0 7,5 5,0 7,0 4,0 2,0 3,5 7,5 10,0 6,0 8,0 8,5 6,0 5,5 8,0 8,0 3,0 9,0 4,0 5,5
Fig. 05 – Comparativo entre as notas da primeira e da segunda avaliação.
Observa-se um decréscimo apenas para o aluno 01 onde, na primeira
avaliação obteve nota 8,0 e na segunda, nota 7,0. Os alunos 05, 06, 10 e 19 não
conseguiram melhorar sua pontuação obtendo, cada um, a mesma nota da primeira
avaliação. No mais, o restante dos alunos conseguiu melhorar suas notas, alguns de
forma considerável como podemos ressaltar a exemplo o aluno 08 que obteve nota
7,5 na segunda avaliação em vez de 3,0 conquistado na primeira.
No entanto, esta melhora de rendimento não pode ser atribuída à simples
inserção do recurso geogebra, tendo em vista que estes mesmos alunos tiveram
anteriormente uma aula, ainda que na modalidade tradicional, onde ocorreu parte da
aprendizagem sobre trigonometria. Com a inserção do geogebra percebeu-se uma
33

35. grande mudança por parte dos alunos no que se refere ao interesse pela aula já que
inicialmente o que era transmitido de forma tradicional passou a ser colocado de
maneira mais lúdica e dinâmica. Contudo, a turma apresentou um rendimento
considerável quanto a participação na sala de aula e um interesse maior no que diz
respeito à discussão sobre os conceitos e propriedades.
O professor, por sua parte, pôde apresentar conteúdos de forma enriquecida o
que facilitou bastante suas explicações. Com isso e considerando os resultados
obtidos nessa última etapa, pode-se atribuir parte da melhora do rendimento à
inserção do software geogebra.
5.2 – Conclusões.
A partir da leitura de todas as literaturas referenciadas e na coleta, tabulação e
análise dos dados desta pesquisa, observamos que sobressalta, apesar de algumas
controvérsias, a idéia de que o uso dos computadores é uma ferramenta pedagógica
no processo de ensino aprendizagem.
É notório que, há alguns anos, já se vem discutindo a inserção das tecnologias,
computadores, softwares, etc. como mais uma opção de metodologia, nem só no
ensino da matemática como também em todo quadro de Educação. Portanto,
considera-se que a Tecnologia e Informação seja uma Tendência Atual para o
Ensino da Matemática.
De acordo com o que foi discutido sobre a utilização de softwares, podemos
concluir que tal uso facilita a visualização de conceitos, definições e propriedades
dos ramos da matemática como Álgebra, Geometria, Trigonometria etc. Por outro
lado, a incorporação deste tipo de tecnologia em sala de aula permite ao professor
obter do aluno mais atenção, uma maior motivação, o que influi de forma positiva no
rendimento da aprendizagem.
34

36. O uso de softwares não se resume apenas em levar os alunos para o
laboratório de informática e entregar, aos alunos, os computadores ligados. É
necessário que se tenha um planejamento prévio, um domínio sobre as ferramentas
do software e um objetivo traçado para aquela aula.
Hoje, ler o escrito não basta. Para ler o mundo é também necessário ler as
mensagens tecnológicas e sua interferência nas formas de organização de nossa
sociedade e cultura. (SAMPAIO e LEITE, 2003, p. 55)
Para que esta leitura crítica possa ser desenvolvida, Sampaio & Leite (2003)
esclarecem que a “escola precisa contar com professores capazes de captar,
entender e utilizar na educação as novas linguagens dos meios de comunicação
eletrônicos e das tecnologias, que cada vez mais se tornam parte ativa da
construção das estruturas de pensamento de seus alunos” (p 18).
Portanto, trazer para a sala de aula motivos que possam despertar o interesse
do aluno, fazendo com que este sinta prazer em ir à Escola, isso sim faz valer a
profissão de Professor e atende aos interesses de todos.
Enfim, pode-se concluir que as aulas ministradas com o uso do software
geogebra desperta a atenção dos alunos trazendo-os para perto dos conceitos,
possibilitando experimentar, visualizar, coordenar de forma mais lúdica as
representações gráficas e movimentos das próprias funções trigonométricas seno e
cosseno. Assim, deve ser destacada a dinâmica como um problema pode remeter a
outro, bem como a possibilidade de gerar conjecturas e idéias matemáticas a partir
da interação entre professores, alunos e tecnologia. A experiência se torna algo
fundamental, podendo inverter a ordem da exposição oral e teoria, exemplos e
exercícios bastante usuais no ensino tradicional, permitindo uma nova ordem:
investigação e, então, teorização.
35

37. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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39

41. ANEXOS
Anexo I – Questionário
Questionário composto de 10 (dez) questões, aplicado aos alunos selecionados
no Colégio Suporte em Jacobina – Bahia.
1. Analise as seguintes sentenças e assinale a alternativa correta:
I) Considere uma circunferência de raio unitário r = 1 de centro no ponto O e
sobreposta a um plano cartesiano de modo que o centro de coincida
com a origem do plano cartesiano. Seja P um ponto da circunferência, e
sua projeção ortogonal no eixo das abscissas no ponto A. Se x é a medida
do ângulo , então o é a medida algébrica de .
II) Nas mesmas condições anteriores, considerando B a projeção ortogonal de P
no eixo das ordenadas, então o é a medida algébrica de .
III) As definições das funções seno e cosseno não estão relacionadas à projeção
ortogonal de P em relação aos eixos coordenados.
a) I e III estão corretas;
b) Todas estão corretas;
c) I, II e III estão incorretas;
d) Apenas I está correta;
e) Apenas I e II estão corretas;
2. Quanto ao sinal de pode-se afirmar:
a) Positivo no 1º e 4º quadrantes;
b) Positivo no 1º e 3º quadrantes;
c) Positivo no 1º e 2º quadrantes;
d) Negativo no 1º e 3º quadrantes;
e) Negativo no 2º e 4º quadrantes;
3. Assinale a alternativa correta no que se refere ao sinal da função cosseno:
a) Positivo no 1º e 4º quadrantes;
b) Positivo no 1º e 3º quadrantes;
40

42. c) Positivo no 1º e 2º quadrantes;
d) Negativo no 1º e 3º quadrantes;
e) Negativo no 2º e 4º quadrantes;
4. Após relacionar a primeira coluna com a segunda, assinale a sequência
correta:
(1) ( A ) –1
(2) (B)
(3) (C)0
(4) (D)1
(5) (E)
5. Analisando o crescimento da função , pode-se afirmar:
a) Crescente no intervalo ;
b) Decrescente no intervalo ;
c) Crescente nos intervalos e ;
d) Decrescente nos intervalos e ;
e) Crescente somente no intervalo ;
6. Assinale a alternativa correta no que se refere ao crescimento da função
cosseno:
a) Crescente no intervalo ;
b) Decrescente no intervalo ;
c) Crescente nos intervalos e ;
41

43. d) Decrescente nos intervalos e ;
e) Crescente somente no intervalo ;
7. Assinale a alternativa correspondente ao intervalo que representa a imagem
da função .
a) [ –1, 0 ] b) [ 0, 1 ] c) [ –2, 2 ] d) [ –1, 1 ] e) Conjunto R
8. Considerando a superposição dos gráficos das funções e
como mostra a figura abaixo, podemos afirmar que as abscissas
dos pontos A, B, C e D são, respectivamente:
a) ; ; ; ;
b) ; ; ; ;
c) ; ; ; ;
d) ; ; ; ;
e) ; ; ; ;
9. Determine os valores reais de p para que se tenha
10. Encontre os valores reais de m para que se tenha .
42

44. Anexo II – Conhecendo o Geogebra
Para melhor compreensão, apresentaremos alguns quadros mostrando a
visualização do software geogebra e algumas de suas aplicações.
Fig. 06 – Visualização da página inicial do software Geogebra.
Em geral, compõe-se inicialmente de uma tela em branco composta de um
sistema de eixos ortogonais centralizado e uma sequência de ícones de ferramentas
distribuídos de forma horizontal em sua porção superior esquerda, como mostra o
detalhe abaixo.
Fig. 07 – Visualização detalhada dos ícones de ferramentas.
Cada um dos ícones representados pelos quadrados apresenta em seu interior
uma figura que sugere a ferramenta utilizada pela última vez da lista que aparece
quando acionamos cada um desses ícones, como mostram as figuras abaixo.
43

45. Fig. 08 – Visualização das ferramentas do 1º- ícone.
Fig. 09 – Visualização das ferramentas do 2º- ícone.
44

46. Fig. 10 – Visualização das ferramentas do 3º- ícone.
Fig. 11 – Visualização das ferramentas do 4º- ícone.
45

47. Fig. 12 – Visualização das ferramentas do 5º- ícone.
Fig. 13 – Visualização das ferramentas do 6º- ícone.
46

48. Fig. 14 – Visualização das ferramentas do 7º- ícone.
Fig. 15 – Visualização das ferramentas do 8º- ícone.
47

49. Fig. 16 – Visualização das ferramentas do 9º- ícone.
Fig. 17 – Visualização das ferramentas do 10º- ícone.
48

50. Fig. 18 – Visualização das ferramentas do 11º- ícone.
Construção de projeções utilizando o software
Com efeito, o Geogebra é um software aberto onde pode-se abordar qualquer
tipo de atividade de geometria e/ou álgebra ou qualquer atividade na qual a
geometria ou a álgebra podem ser úteis. Esse software não estabelece um caminho
de exploração. As explorações são livres e muitas possibilidades de uso ainda
podem ser descobertas.
Neste desenvolvimento, apresentaremos algumas projeções relacionadas aos
conceitos básicos das Funções Trigonométricas em especial função seno e função
cosseno.
 Definição e construção da circunferência trigonométrica.
Segundo Paiva (2002, p. 38), consideremos uma circunferência de raio unitário
(r = 1), cujo centro coincide com a origem de um sistema cartesiano ortogonal que
juntamente com as convenções a seguir, constitui a circunferência trigonométrica
ou ciclo trigonométrico.
49

51.  O ponto A (1, 0) é a origem de todos os arcos medidos na
circunferência.
 Se um arco for medido no sentido horário, então a essa medida será
atribuído o sinal negativo ( – ).
 Se um arco for medido no sentido anti-horário, então a essa medida
será atribuído o sinal positivo ( + ).
 Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quatro regiões,
chamadas quadrantes; esses quadrantes são contados no sentido anti-horário
a partir do ponto A.
Com base na definição acima podemos construir algumas projeções utilizando
o geogebra. Seguiremos os seguintes passos:
Explorando o 6º ícone de ferramentas podemos selecionar a opção Círculo
dados centro e raio.
Fig. 19 – Detalhe das ferramentas do 6º ícone
50

52. Assim, basta clicar na origem do plano cartesiano para que se fixe o centro da
circunferência. Assim abrirá a seguinte janela, solicitando que seja informado o raio
da circunferência, nesse caso, r = 1. Veja:
Fig. 20 – Janela de para informação do raio do círculo
Logo que informado basta clicar no OK e a circunferência de raio r = 1 surgirá
com seu centro coincidindo com a origem do plano cartesiano atendendo às
definições da circunferência trigonométrica. Observe figura abaixo.
Fig. 21 – Círculo de centro A (0, 0) e raio r = 1.
51

53.  Definição da Função Seno e construção de algumas projeções.
Seja P a extremidade de um arco no ciclo trigonométrico correspondente ao
número real x. Considerando a projeção ortogonal de P no eixo vertical, a ordenada
yp do ponto P é o seno do arco de medida x.
Logo: A função seno é a função que associa cada número real x ao
número yp = sen x, ou seja, , define Mello (et al) (2005, p. 264).
Baseado na definição, podemos construir algumas projeções que possam
comprovar as características da função seno utilizando as ferramentas do software
geogebra. Construiremos a circunferência trigonométrica e marcamos um ponto P
pertencente à circunferência. Basta selecionar a ferramenta Novo ponto no 2º ícone
de ferramentas e clicar sobre a circunferência trigonométrica.
É de fundamental importância salientar que, como o ponto foi inserido na
circunferência, este só poderá se movimentar sobre a linha da mesma.
De acordo com a definição, devemos encontrar a ordenada y p do ponto P.
Como essa coordenada é a projeção ortogonal de P no eixo vertical, devemos traçar
uma reta r perpendicular ao eixo vertical passando pelo ponto P. O ponto de
intersecção da reta r com o eixo vertical corresponde à ordenada yp. Para tanto,
selecionaremos a ferramenta Reta Perpendicular no 4º ícone de ferramentas.
Precisamos informar o ponto em que a reta r passará e a reta em que esta deverá
ser perpendicular logo, basta clicar no ponto P, no eixo vertical e em seguida, no 2º
ícone selecionar a ferramenta Intersecção de Dois Objetos e clicar na reta r e no
eixo vertical assim, aparecerá o ponto correspondente à ordenada y p. Veja:
52

54. Fig.22 – Projeção do ponto P no eixo das ordenadas.
Se movimentarmos o ponto P perceberemos que sua projeção também
movimentará sobre o eixo vertical.
Para melhor visualização, podemos traçar um segmento em destaque que
representa geometricamente o , clicando na ferramenta Segmento Definido
Por Dois Pontos no 3º ícone de ferramentas e selecionando as extremidades do
segmento, nesse caso, os pontos A e y p. Para alterar suas propriedades selecione o
item Editar - Propriedades na barra de ferramentas e aparecerá uma janela com
algumas opções de configuração como mostra a figura abaixo:
53

55. Fig. 23 – Janela de propriedades.
Assim, o segmento que representa geometricamente o pode aparecer de
forma mais visível facilitando a interação entre os conceitos e o processo de ensino-
aprendizagem. Observe o segmento em destaque abaixo:
Fig. 24 – Detalhe do segmento que representa o seno.
54

56.  Definição da Função Cosseno e construção de algumas projeções.
Seja P a extremidade de um arco no ciclo trigonométrico correspondente ao
número real x. Considerando a projeção ortogonal de P no eixo horizontal, a
abscissa Xp do ponto P é o cosseno do arco de medida x.
Logo: A função cosseno é a função que associa cada número real x
ao número Xp = cos x, ou seja, , define Mello (et al) (2005, p. 266).
O processo de construção de projeções da função seno também se aplica na
função cosseno basta que em vez de buscar a ordenada pertencente ao eixo
vertical, busque-se a abscissa no eixo horizontal. Veja a figura abaixo:
Fig. 25 – Detalhe do segmento que representa o cosseno.
Tanto para função seno quanto para a função cosseno, a visualização dessas
projeções pode facilitar o processo de ensino-aprendizagem de algumas
características dessas funções, por exemplo: domínio, imagem, período,
crescimento, sinal, amplitude, etc. e ainda pode-se gerar o gráfico de cada uma
delas mostrando-os de forma sobreposta. Veja como:
55

57. Na caixa de Entrada, na porção inferior da tela, basta digitar as duas funções,
uma de cada vez e com nomenclaturas diferentes e pressionar a tecla Enter em
seguida, por exemplo: digita-se f(x) = sin(x) e pressiona a tecla Enter depois, g(x) =
cos(x) e pressiona Enter. Assim, os dois gráficos aparecerão sobrepostos no mesmo
plano cartesiano. Para melhorar o efeito de visualização os gráficos podem assumir
cores diferentes como já foi explicado anteriormente com os segmentos que
representam o seno e o cosseno em projeções anteriores. Veja:
Fig. 26 – Sobreposição das funções seno e cosseno.
Como, para efeito de cálculo, os arcos trigonométricos são medidos em
radianos, podemos alterar a unidade do eixo x para radiano. Clicando com o botão
direito do mouse sobre o plano cartesiano e após, Janela de Visualização.
Aparecerá a seguinte janela:
56

58. Fig. 27 – Janela de visualização.
Basta alterar a Distância para e a Unidade para . Essa janela possibilita
configurações como, por exemplo: malha, em que aparecem as projeções das
coordenadas dos pontos, cor de fundo, cor dos eixos, distância entre as marcações
nos eixos, unidade de medida entre outras.
A partir da visualização dessa projeção facilita o entendimento de algumas
características principais das funções em destaque como crescimento, sinal, etc.
como mencionado anteriormente.
57