1. INTERPOLACIÓN
DE NEWTON
Realizado por:
Ing. Blanca Campos
Ing. Sidney Castro
Facilitador:
MSC. Williams Medina
Universidad de Oriente
Núcleo de Monagas
Centro de estudio de postgrado
Maestría de Ingeniería de Gas
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
6 de Febrero 2023
2. GAS LICUADO DEL
PETRÓLEO
Agregar un pie de página 2
El gas de petróleo licuado o el gas de
petróleo líquido (GLP o gas LP), es una
mezcla inflamable de gases de
hidrocarburos utilizados como combustible
en aparatos de calefacción, equipos de
cocina y vehículos.
Presión a la que el GLP se
convierte en líquido
aproximadamente 220 kilopascales
(32 psi) para Butano puro a 20 ° C
(68 ° F) y aproximadamente 2,200
kilopascales (320 psi) para Gas
LP puro a 55 ° C (131 ° F).
3. GAS NATURAL
El gas natural es una mezcla de gases entre los que se encuentra en
mayor proporción el metano.
Puntos importantes del Gas Natural
• Utilidad
• Red de Distribución
• Objetivo
3
4. 4
PREDICCIÓN DE DEMANDA
DE GAS
La aplicación de técnicas de analítica descriptiva y predictiva
permiten obtener predicciones anuales y mensuales de la
demanda de gas.
En el mercado del gas, conocer en detalle el consumo futuro que
van a tener los clientes es vital para la continuidad del negocio.
5. DEMANDA DE GAS
5
La demanda de gas natural se puede segmentar en base al uso de
esta energía:
Industrial
Comercial y servicios
Domestico y residencial
Generación de electricidad y ciclos combinados
Materia prima
Vehículos a gas
Uso maritimo
6. 6
Beneficios de la predicción de demanda de gas
Proyecciones anuales
Ahorro de Costes
Plan de previsión de demanda
Equipo de trabajo
7. INTERPOLACIÓN DE
NEWTON
Es un método de interpolación polinómica. Aunque
sólo existe un único polinomio que interpola una serie
de puntos, existen diferentes formas de calcularlo.
Este método es útil para situaciones que requieran un
número bajo de puntos para interpolar, ya que a
medida que crece el número de puntos, también lo
hace el grado del polinomio.
7
8. FORMA CONSTRUCTIVA DEL POLINOMIO DE NEWTON
8
Para determinar los valores 𝑏0, 𝑏1, 𝑏2, 𝑏𝑛, utilizaremos un
recurso que define los polinomios interpolante y es la
exigencia de que el polinomio debe pasar por los puntos
dado
Si el polinomio pasa por el punto (x0, f(x0))
Entonces P(x)=f(x0) ; 𝑏_0= f(x0)
Si el polinomio pasa por el punto (x1, f(x1));
Entonces P(x1)=f(x1) ; f(x1)=f(x0)+ 𝑏_1 (X−X_0 )
Al despejar se concluye que:
Es por eso que se utiliza
METODO DE
DIFERENCIAS DIVIDIDAS
9. 9
DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON
9
Es un recurso, muy importante desde el punto de vista matemático para la facilidad de generación de polinomios, es
una función recursiva que permite calcularse para varios valores de una forma menos compleja.
Diferencia dividida de 1 valor:
f{Xi} = f(Xi)
Diferencia dividida de 2 valores:
𝑓 𝑥0, 𝑥1 =
𝑓(𝑋1) − 𝑓(𝑋0)
𝑋1 − 𝑋0
Diferencia dividida de 3 valores:
𝑓 𝑋0, 𝑋1, 𝑋2 =
𝑓 𝑋1, 𝑋2 − 𝑓 𝑋0, 𝑋1
𝑋2 − 𝑋0
Diferencia dividida de 4 valores:
𝑓 𝑋0, 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 =
𝑓 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 − 𝑓 𝑋0, 𝑋1, 𝑋2
𝑋3 − 𝑋0
Diferencia dividida de n valores:
𝑓 𝑋0, 𝑋1 … 𝑋𝑛, 𝑋𝑛+1 =
𝑓 𝑋1, 𝑋𝑛, 𝑋𝑛+1 − 𝑓 𝑋0, 𝑋1, 𝑋𝑛
𝑋𝑛 − 𝑋0
11. 11
EL PROBLEMA
Un grupo de ingenieros de PRODUCCION, con el fin de obtener datos
específicos como puede ser el tiempo de consumo, la cantidad de GLP
consumido al cabo de ciertos años. En este caso, los ingenieros han tomado
datos del consumo de GLP cada 2 años y se ha llevado un registro de
cuantos MPCN de GLP se ha consumido, pero ahora quieren determinar
cuántas MPCN d GLP se han consumido en el año 2016. A su vez, desean
predecir cual seria la cantidad de GLP en MPCN que se puede llegar a
consumir en el 2023. Determinar el volumen consumido y por consumir de
GLP en los años 2016 y 2023 respectivamente, mediante la interpolación
polinómica de Newton.
11
12. 12
EL PROBLEMA
12
T MPCN
2015 469
2017 479
2019 483
2021 490
X f(x)
x0 f(x0)
x1 f(x1)
x2 f(x2)
x3 f(x3)
P x = 𝑏0 + 𝑏1 X − X0 + 𝑏2 X − X0 X − X1 + 𝑏3 X − X0 X − X1 X − X2
15. 15
EL PROBLEMA
15
3eras diferencias divididas
0
3
2
1
0
3
2
1
3
2
1
0
]
,
,
[
]
,
,
[
]
,
,
,
[
x
x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
x
f
=
0,375−(−0,75)
2021−2015
= 0,187
T(años)
consumo de
GLP (mpcn)
1 era
diferencia
dividida
2da
diferencia
dividida
3era
diferencia
dividida
2015 469
5
2017 479 -0,75
2 1,87E-01
2019 483 0,375
3,5
2021 490
16. 16
EL PROBLEMA
16
T(años)
consumo de
GLP (mpcn)
1 era
diferencia
dividida
2da
diferencia
dividida
3era
diferencia
dividida
X0 b0
b1
X1 fx1 b2
b3
X2 fx2
X3 fx3
P x = 𝑏0 + 𝑏1 X − X0 + 𝑏2 X − X0 X − X1 + 𝑏3 X − X0 X − X1 X − X2
P x = 469 + 5 X − 2015 + (−0,75) X − 2015 X − 2017 + (1,87𝑒 − 1) X − 2015 X − 2017 X − 2019
Determinar el volumen consumido y por consumir de GLP en los años
2016 y 2023 respectivamente, mediante la interpolación polinómica de
Newton.
T(años)
consumo de
GLP (mpcn)
1 era
diferencia
dividida
2da
diferencia
dividida
3era
diferencia
dividida
2015 469
5
2017 479 -0,75
2 1,87E-01
2019 483 0,375
3,5
2021 490
17. 17
EL PROBLEMA
17
P x = 𝑏0 + 𝑏1 X − X0 + 𝑏2 X − X0 X − X1 + 𝑏3 X − X0 X − X1 X − X2
P x = 2016
P 2016 = 469 + 5 + 0,75 + 0,562
P 2016 = 475,312
P x = 469 + 5 X − 2015 + (−0,75) X − 2015 X − 2017 + (1,87𝑒 − 1) X − 2015 X − 2017 X − 2019
P x = 2023
P 2023 = 469 + 40 − 36 + 35,904
P 2023 = 508,904
T(años)
consumo de
GLP (mpcn)
1 era
diferencia
dividida
2da
diferencia
dividida
3era
diferencia
dividida
2015 469
2016 475,312 5
2017 479 -0,75
2 1,87E-01
2019 483 0,375
3,5
2021 490
2023 508,904
18. 18
EL PROBLEMA
18
Si bien el polinomio de newton con el uso de
diferencias divididas se puede usar para n
grados, newton también presenta la posibilidad
de evaluar el punto intermedio en base a
polinomio de grado 1, grado 2, grado 3, grado
n+1.
Este se presenta en una modalidad en la que evalúa el punto
dentro de 2 valores, usando el mismo polinomio de newton, el
mismo cuadro de diferencias divididas pero el grado del
polinomio es a conveniencia
P x = 𝑏0 + 𝑏1 X − X0
P x = 𝑏0 + 𝑏1 X − X0 + 𝑏2 X − X0 X − X1
P x = 𝑏0 + 𝑏1 X − X0 + 𝑏2 X − X0 X − X1 + 𝑏3 X − X0 X − X1 X − X2
Grado 2
Grado 3
Grado 1
19. 19
EL PROBLEMA
19
P x = 𝑏0 + 𝑏1 X − X0 + 𝑏2 X − X0 X − X1 + 𝑏3 X − X0 X − X1 X − X2
P x = 469 + 5 X − 2015 + (−0,75) X − 2015 X − 2017 + (1,87𝑒 − 1) X − 2015 X − 2017 X − 2019
P x = 2016
T(años)
consumo de
GLP (mpcn)
1 era
diferencia
dividida
2da
diferencia
dividida
3era
diferencia
dividida
2015 469
5
2017 479 -0,75
2 1,87E-01
2019 483 0,375
3,5
2021 490
P x = 𝑏0 + 𝑏1 X − X0
P 2016 = 469 + 5 2016 − 2015 P 2016 = 479 + 5 2016 − 2017
P 2016 = 469 + 5
P 2016 = 474
P 2016 = 479 − 5
P 2016 = 474
Diferencia dividida
Progresiva de Newton
Diferencia dividida
Regresiva de Newton
Polinomio de Grado 1
20. 20
EL PROBLEMA
20
P x = 𝑏0 + 𝑏1 X − X0 + 𝑏2 X − X0 X − X1 + 𝑏3 X − X0 X − X1 X − X2
P x = 469 + 5 X − 2015 + (−0,75) X − 2015 X − 2017 + (1,87𝑒 − 1) X − 2015 X − 2017 X − 2019
P x = 2016
P 2016 = 469 + 5 2016 − 2015 +(−0,75) 2016 − 2015 2016 − 2017
P 2016 = 469 + 5 +0,75
P 2016 = 474,75
Diferencia dividida
Progresiva de Newton
Diferencia dividida
Regresiva de Newton
Polinomio de Grado 2
P x = 𝑏0 + 𝑏1 X − X0 + 𝑏2 X − X0 X − X1
T(años)
consumo de
GLP (mpcn)
1 era
diferencia
dividida
2da
diferencia
dividida
3era
diferencia
dividida
2015 469
5
2017 479 -0,75
2 1,87E-01
2019 483 0,375
3,5
2021 490
P 2016 = 483 + 2 2016 − 2019 +(−0,75) 2016 − 2019 2016 − 2017
P 2016 = 483 − 6 − 2,25
P 2016 = 474,75
Polinomio Grado 2016
1 474
2 474,75
3 475,312
21. 21
CONCLUSIONES
21
• La interpolación polinómica de newton seria útil o mas útil para funciones de primer grado ya que es de esta
forma en la que esta mas simple llegar a el resultado pero al ir subiendo de grado al polinomio esta se vuelve cada
ves mas larga y tediosa lo cual complica su utilización.
• Mientras mas términos de las serie se tomen mayor será la exactitud.
• Mientras menos términos de las serie se tomen menor será el margen de error.
