Tổng hợp lý thuyết ôn tập hè môn Toán lớp 7 (Đại số 7 và Hình học 7)

Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
www.ToanIQ.com – Hotline: 0919.281.916
--------------------------------------------------
Tuyển tập 15 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán lớp 8 và Tuyển tập 53 đề thi HSG Toán 8 có đáp án
Liên hệ Thầy Thích - Tel: 0919.281.916 (Zalo)
1
HỆ THỐNG PHÁT TRIỂN TOÁN IQ VIỆT NAM
(Liên tục khai giảng các khóa học bồi dưỡng HSG Toán 6, 7, 8 trực tuyến dành cho HS trên toàn quốc)
***
TUYỂN TẬP 15 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 VÀ
TUYỂN TẬP 53 ĐỀ THI HSG TOÁN 8 CÓ ĐÁP ÁN
Liên hệ tư vấn học tập và đặt mua tài liệu:
 Tel – Zalo: 0919.281.916 (Thầy Thích)
 Email: doanthich@gmail.com
 Website: www.ToanIQ.com
ÔN TẬP KIẾN THỨC TOÁN 7 LÊN 8 HÈ 2019
A – ĐẠI SỐ
CHƯƠNG I: SỐ HỮU TỈ - SỐ THỰC
A - Kiến thức cần nhớ :
1. Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số
b
a
với 0;,  bZba . Tập hợp số hữu tỉ
kí hiệu là Q
2. Với hai số hữu tỉ bất kì ta luôn có : x = y hoặc x < y hoặc x > y .
* Để so sánh hai số hữu tỉ ta có thể viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh . Số
hữu tỉ dương là số hữu tỉ lớn hơn 0 ; số hữu tỉ âm là số hữ tỉ nhỏ hơn 0 ; Số 0 không
là hữu tỉ dương cũng không là hữu tỉ âm .
3.* Để cộng hay trừ hai số hữu tỉ x , y ta có thể viết chúng dưới dạng hai phân số có
cùng một mẫu dương rồi áp dụng quy tắc cộng , trừ phân số .
* Phép cộng ( trừ ) các số hữu tỉ có các tính chất của phép cộng ( trừ ) các phân số.
4. * Trong tập hợp Q cũng có các tổng đại số được áp dụng các phép biến đổi như
các tổng đại số trong Z
* Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức , ta phải đổi
dấu số hạng đó .
5. * Để nhân , chia hai số hữu tỉ x , y ta viết chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng
quy tắc nhân chia phân số . Phép nhân số hữu tỉ có các tính chất : giao hoán , kết hợp

--------------------------------------------------
2
, nhân với số 1 ,nhân với số nghịch đảo , tính chất phân phối phép nhân với phép
công .
* Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y ( 0y ) gọi là tỉ số của x và y ;
kí hiệu
y
x
hay x : y
6. * Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ x , kí hiệu | x | là khoảng cách từ điểm x đến gốc
O trên trục số .






)0(
)0(
||
xx
xx
x
7. * Lũy thừa : Cho n là số tự nhiên khác 0 , x là số hữu tỉ bất kì , Lũy thừa bậc n
của x kí hiệu xn
là tích của n thừa số x ; );(........ NnQxxxxxxn
 
soáthöøan
. xn
được gọi
là lũy thừa , x là cơ số , n là số mũ .
* Khi n = 1 , n = 0 ta quy ước : x1
= x ; x0
= 1 ( 0x )
* Khi số hữu tỉ )0,,(x  bZba
b
a
ta có : n
nn
b
a
b
a






* Các phép tính về lũy thừa :
- Nhân : xn
. xm
= xm+n
- Chia : xn
: xm
= xm - n
( nmx  ,0 )
- Lũy thừa của lũy thừa : ( xm
)n
= xm.n
- Lũy thừa của một tích : ( x . y )n
= xn
.yn
- Lũy thừa của một thương : )0( 





y
y
x
y
x
n
nn
8.* Tỉ lệ thức : Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
d
c
b
a
 hay a : b = c : d ; Các số
a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức , a và d gọi là ngoại tỉ ( số hạng ngoài
) , b và c gọi là trung tỉ ( số hạng trong ).
* Tính chất của tỉ lệ thức :
- Nếu cbda
d
c
b
a
.. 
- Nếu a.d = b.c và 0,,, dcba thì ta có các tỉ lệ thức
a
b
c
d
a
c
b
d
d
b
c
a
d
c
b
a
 ;;;

--------------------------------------------------
3
- Từ dãy tỉ số bằng nhau
fdb
eca
fdb
eca
f
e
d
c
b
a
f
e
d
c
b
a






- Khi có dãy tỉ số
532
cba
 , ta nói các số a , b , c tỉ lệ với các số 2 , 3 , 5 .
9 . Số vô tỉ : là số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn . Tập
hợp số vô tỉ kí hiệu là I
10. Khái niệm về căn bậc hai :
* Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2
= a ; Số dương a có hai căn
bậc hai là a và a
* Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực . Tập hợp số thực kí hiệu là R . So
sánh các số thực như so sánh các số hữu tỉ viết dưới dạng số thập phân .Trục số biểu
diễn các số thực nên được gọi là trục số thực
B - Bài tập:
1. Thực hiện các phép tính ( bằng cách hợp lý nếu có thể ) :
a)
23
16
27
5
5,0
23
7
27
5
5  ; b) 19
8
3
.
5
1
51
5
1
27.
8
3
 ;
c)
2
1
2
1
.2
5
1
5
1
.25
23












 d) 












5
4
:
6
1
45
5
4
:
6
1
35 ;
e) 




































4
3
3
4
1
4
1
3
5
1
3
2
4
3
1
2. Tìm x biết :
a)
3
2
5
1 
 x ; b)
9
4
4
5
 x ; c)
5
4
2
1
1.
4
3
1 x ;
d) 0
8
1
7
1
4
1
5
1












x e) | x | = 3,5 ; f ) | x | = - 2,7 ;
g) | 1 – x | + 0,73 = 3 h) 52
.73
.112
.x + 52
.72
.11 = 0
i) (3.5 + 5.7). x + ( 3.5 + 5.7) + (3.5 + 5.7) = 0 ;
k) 52
.73
.112
.x - 52
.72
.114
= 0 ; l ) 25
4
3
x
3. Tính:

--------------------------------------------------
4
a)
1
5
2
1
5
2
.
6
5
1
3
7
6
5
.
2
1
4
3
2
5
3
1






A b)
3
2
1
1
5
4
:
3
5
4
3
3
5
4
3
.
5
4
3
1
5
4
3
1






B
4. Tìm số nguyên n biết :
a) 5-1
. 25n
= 125 ; b) 3-1
. 3n
+ 6.3n -1
= 7.36
;
c) 25 < 5n
: 5 < 625 ; d) 104
327.
9
1
3  n
5. Tìm x trong các tỉ lệ thức:
a) x : ( - 3,7) = (-2,5) : 0,25 b) )06,0(:
12
1
2:
3
2
2 x
6 . Từ tỉ lệ thức
d
c
b
a
 hãy suy ra các tỉ lệ thức :
a)
d
dc
b
ba 


; b)
d
dc
b
ba 


; c )
c
dc
a
ba 


; d)
dc
c
ba
a



7 . Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi là 90m và tỉ số giữa hai cạnh là
3
2
. Tính
diện tích của mảnh vườn .
8. Ba lớp 7A, 7B, 7C có 117 bạn đi trồng cây. Biết rằng số cây mỗi bạn học sinh lớp
7A, 7B, 7C trồng được theo thứ tự là 2, 3, 4 cây và số cây mỗi lớp trồng được bằng
nhau . Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh đi trồng cây.
9. Ba tấm vải có chiều dài tổng cộng 145m. Nếu cắt tấm thứ nhất đi
2
1
; tấm thứ hai
đi
3
1
, tấm thứ ba đi
4
1
chiều dài mỗi tấm thì chiều dài còn lại của ba tấm vải bằng
nau . Tính chiều dài mỗi tấm vải trước khi cắt.
10. Tìm hai số x , y biết : a)
42
yx
 và x2
y2
= 2 b) 4x = 7y và x2
+ y2
= 260
11 . Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a)
2013||
2012


x
A b)
2013
2012||



x
B
12. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a)
2013
2012|| 

x
C b)
10||
10



x
D

--------------------------------------------------
5
13. Tìm các số nguyên n sao cho các biểu thức sau là số nguyên:
a)
1
23



n
n
P b)
1||3
1||3



n
n
Q

--------------------------------------------------
6
***
CHƯƠNG 2: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
A - Kiến thức cần nhớ:
1. Tỉ lệ thuận :* Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = k.x ( với
k là hằng số khác 0 ) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k .( khi đó x cũng tỉ
lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ
k
1
)
* Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì:
+ Tỉ số giữa hai giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ thuận luôn luôn không đổi (
bằng hệ số tỉ lệ )
+ Tỉ số gữa hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của
đại lượng kia.
2. Tỉ lệ nghịch : * Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức
x
a
y  hay
x.y = a ( Với a là một hằng số khác 0 ) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a
.Khi đó x cũng tỉ lệ nghịch với y .
* Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch thì :
+ Tích của một giá trị bất kì của đại lượng này với giá trị tương ứng của đại lượng
kia là một hằng số ( = a)
+ Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị
tương ứng của đại lượng kia.

--------------------------------------------------
7
3 . Hàm số : Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x thay đổi sao cho : Với mỗi
giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là
hàm số của x và x gọi là biến số .
4. Mặt phẳng tọa độ : Trên mặt phẳng , hai trục số Ox , Oy vuông góc với nhau và
cắt nhau tại gốc của mỗi trục số lập thành hệ trục tọa độ Oxy . Các trục Ox , Oy gọi
là các trục tọa độ . Trục ngang Ox là trục hoành , Trục đứng Oy gọi là trục tung .
Giao điểm O gọi là gốc tọa độ . * Trên mặt phẳng tọa độ mỗi điểm M xác định một
cặp số ( x0 , y0 ) Ngược lại mỗi cặp số ( x0 , y0 ) xác định một điểm M . Cặp số ( x0 , y0
) gọi là tọa độ của điểm M ; x0 là hoành độ , y0 là tung độ của M . Điểm M có tọa độ
( x0 , y0 ) kí hiệu là M( x0 , y0 )
5. Đồ thị hàm số )0(  aaxy là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ
B - Bài tập :
1. Hai thanh nhôm và chì có khối lượng bằng nhau . Hỏi thanh nào có thể tích lớn
hơn và lớn hơn bao nhiêu lần biết rằng khối lượng riêng của nhômlà 2,7(g/cm3
) và
của chì là 11,3(g/cm3
).
2 . Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 48(km/h) . Lúc về xe đi quãng đường BA với
vận tốc 42(km/h) . Biết thời gian cả đi lẫn về là 7 giờ 30 phút . Tính thời gian lúc đi ,
thời gian lúc về và chiều dài quãng đường AB.
3. Đội I có 10 công nhân , mỗi người làm 18 ngày đào đắp được 648 m3
đất . Hỏi 8
công nhân đội II , mỗi người làm trong 25 ngày đào đắp được bao nhiêu m3
đất . (
Biết rằng năng suất mỗi công nhân như nhau ).
4. Để làm xong một công việc trong 5 giờ cần 12 công nhân . Nếu số công nhân tăng
thêm 8 người thì thời gian hoàn thành công việc giảm được mấy giờ ( Biết rằng năng
suất mỗi công nhân như nhau ).
5. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B . Xe thứ nhất đi từ A đến
B mất 3 giờ , xe thứ hai đi từ B về A mất 2 giờ . Đến chổ gặp nhau , xe thứ hai đi
được quãng đường dài hơn quãng đường xe thứ nhất đã đi là 27 km . Tính quãng
đường AB .
6 . Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị các hàm số :
a) y = x ; b) y = - x ; c ) xy
4
1
 ; d) xy
4
1


--------------------------------------------------
8
7 . Cho hàm số y = - 3x2
+ 5 . Những điểm nào trong các điểm sau đây thuộc đồ thị
hàm số trên :
A( -2 ; - 7) ; B( -3 ; 3 ) )
3
2
4;
3
1
(C
CHƯƠNG III - THỐNG KÊ
( Học sinh tự ôn tập )
CHƯƠNG IV - BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
Kiến thức cần nhớ :
1.* Một biểu thức đại số có thể chứa các chữ , các số … Các chữ có thể nhận những
giá trị bằng số tùy ý của một tập hợp số nào đó gọi là biến số ( gọi tắt là biến ) . Khi
thực hiện các phép toán trên các chữ , ta có thể áp dụng các tính chất của phép toán
tương tự như trên các số.
* Để tính giá trị của một biểu thức đại số tại các giá trị cho trước của các biến , ta
có thể thay các giá trị cho trước đó vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính .
2. Đơn thức : Đơn thức là một biểu thức đại số chỉ gồm một tích các số với các biến
.
* Đơn thức thu gọn là đơn thức gồm tích của hệ số với các biến đã được nâng lên
thành lũy thừa với số mũ nguyên dương . Một số hoặc một chữ cũng là một đơn thức
thu gọn.
* Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn
thức đó .
* Nhân hai đơn thức : Ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau .
Trong phép nhân các chữ ta có thể sử dung tính chất giao hoán , kết hợp tương tự
như trên các số .
*Đơn thức đồng dạng: là các đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến .Mọi số
thực được coi là ĐTĐD
*Cộng , trừ đơn thức đồng dạng : Để cộng, ( trừ ) các đơn thức đồng dạng , ta cộng (
hay trừ ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến .
3. Đa thức là tổng của các đơn thức . Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của
đa thức .
* Thu gọn đa thức là thực hiện cộng (trừ) các đơn thức đồng dạng có trong đa thức .

--------------------------------------------------
9
* Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa
thức đó .
* Cộng hai đa thức : Ta thực hiện thứ tự các bước sau :
+ Viết liên tiếp các số hạng của hai đa thức đó cùng với dấu của chúng .
+ Thu gọn các đơn thức đồng dạng ( Nếu có )
* Trừ hai đa thức : Ta thực hiện lần lượt các bước sau :
+ Viết các số hạng của đa thức thứ nhất cùng với dấu của chúng
+ Viết tiếp các số hạng của đa thức thứ hai với dấu ngược lại
+ Thu gọn các đơn thức đồng dạng nếu có .
* Đa thức một biến : là một đa thức chỉ chứa một biến . Ví dụ : A(x) = 3x + 5. Ta
có thể sắp xếp đa thức một biến ( đã thu gọn ) theo lũy thừa giảm ( hoặc tăng ) của
biến .
* Hệ số ( đa thức đã thu gọn ) là hệ số tương ứng theo số mũ của biến . Hệ số cao
nhất là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất . Hệ số tự do là hệ số của biến bậc 0 .
* Cộng và trừ đa thức một biến : Ta có thể thực hiện theo một trong hai cách :
+ Cách 1 : Tương tự như cộng , trừ đa thức đã học .
+ Cách 2 : Sắp xếp chúng theo lũy thừa giảm ( hoặc tăng ) của biến và đặt phép
tính như trường hợp cộng và trừ các số ( Lưu ý : đặt các đơn thức đồng dạng trong
cùng một cột )
* Nghiệm của đa thức một biến : là giá trị của biến làm cho đa thức có giá trị bằng
0 .( Nếu tại x = a , đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói x = a là một nghiệm của
đa thức đó .
Một đa thức ( khác đa thức 0 ) có thể có một , hai , ….. hoặc không có nghiệm nào
. Số nghiệm của một đa thức ( khác đa thức 0 ) không vượt quá bậc của nó .
Bài tập :
1. Tính giá trị của các biểu thức sau tại x = -1 , y = 1 , z = - 2
a) A = (4x2
– xy + z2
) . (x2
– yz) ; b)
1
2
3 2
3


x
z
xyzB ; c)
yx
y
zyxC 2
2
322
2
1
:


2.Thu gọn các đơn thức rồi tìm hệ số của nó : ( a là hằng số )

--------------------------------------------------
10
a) 










 322
12
7
.
7
5
1 yxyyx ; b) 
















 222
8
3
.
4
1
.
3
2
2 xyzyx ; c)
axyzzyxzyx .
7
3
.
3
1
2 245
10
32












3.Cho đa thức : xxxxxxxx 32793
9
1
3
1
33
3
1
9xf(x) 23223

a) Thu gọn đa thức trên
b) Tính f(3) ; f(-3)
4. Cho hai đa thức :
F(x) = 6x5
+ 5x3
– 17x4
– 11x +15x2
+ 2
G(x) = - 5x4
+ 6x3
+ x5
+ x2
– 5x + 6
Tính F(x) + G(x) và F(x) – G(x) .
5. Cho đa thức : f(x) = 2x6
+ 3x2
+ 5x3
– 2x2
+ 4x4
– x3
+1 – 4x3
– x4
a) Thu gọn đa thức f(x)
b) Tính f(-1) ; f(1)
c) Chứng tỏ rằng đa thức f(x) không có nghiệm .
6. Tính giá trị biểu thức : A = 3x2
– 3xy + 2y2
với | x | = 1 ; | y | = 3
7. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức : a ) A = (x – 2)2
– 1 ; b) B = (x2
– 9)2
+ | y – 2 | + 10
8. Tìm giá trị lớn nhất của :
a )
5)2(
3
2


x
C ; b) |5|)3(10 2
 yx
9. Cho biết : M + ( 2x3
+ 3x2
y – 3xy2
+ xy +1 ) = 3x3
+ 3x2
y – 3xy2
+ xy
a) Tìm đa thức M
b) Với giá trị nào của x thì M = - 28
10 .Xác định hệ số tự do c để đa thức f(x)= 2x2
– 3x + c có nghiệm là – 2
11 . Xác định các hệ số a , b , c của đa thức f(x) = ax2
+ bx + c biết
f(0) = 1 ; f(1) = 2 ; f(2) = 2
B HÌNH HỌC

--------------------------------------------------
11
***
CHƯƠNG I - ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC – ĐƯỜNG THẲNG SONG
SONG
1. * Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh
góc kia .
* Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau
2. Hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc
vuông thì hai đường thẳng đó được gọi là hai đường thẳng vuông góc và được kí
hiệu là '' yyxx 
3.* Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung .Hai
đường thẳng phân biệt thì cắt nhau hoặc song song .
* Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a , b và trong các góc tạo thành có một
cặp góc so le trong bằng nhau ( hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau ) thì a song
song với b . Kí hiệu a // b.
* (TĐề Ơclít) Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng
song song với đường thẳng đó .
* Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì :
+ Hai góc so le trong bằng nhau
+ Hai góc đồng vị bằng nhau
+ Hai góc trong cùng phía bù nhau

--------------------------------------------------
12
* Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì
chúng song song với nhau
* Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó
cũng vuông góc với đường thẳng kia .
* Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng
song song với nhau .
4. Định lí : Một tính chất được khẳng định là đúng bằng suy luận là một định lý .
Mỗi định lí thường đước phát biểu dưới dạng “Nếu …..thì …”. Phần nằm giữa từ
“nếu “ và từ “ thì” là phần giả thiết (GT) ; phần nằm sau từ “ thì” là phần kết luận (
KL ) . Chứng minh định lí là dùng suy luận để từ GT khẳng định được KL là đúng.
Bài tập :
1.Cho hình vẽ
a) Đường thẳng a có song song với b không ? vì sao ?
b) Tính số đo góc x ? Giải thích vì sao tính được ?
2. Chứng minh rằng : Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng mà trong những
góc tạo thành có một cặp góc trong cùng phía bù nhau thì hai đường thẳng đó song
song với nhau .
3. Cho góc AOB khác góc bẹt .Tia OM là tia phân giác của góc AOB . Vẽ các tia
OC , OD lần lượt là tia đối của tia OA và OM . Chứng minh rằng BOMDOC ˆˆ 
4. Cho hai góc yOx ˆ và ''ˆ' yOx cùng nhọn có cạnh Ox // O’x’ ; Oy // O’y’ . Chứng
minh ''ˆ'ˆ yOxyOx 
5. Cho góc xOy . Qua điểm A trên tia Ox vẽ đường thẳng a  Ox , qua điểm B trên
tia Oy vẽ đường thẳng Oyb  . Chứng minh rằng :
a) Nếu 0
180ˆ yOx thì hai đường thẳng a và b cắt nhau
b) Nếu 0
180ˆ yOx thì hai đường thẳng a và b song song
c) Nếu 0
90ˆ yOx thì hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau .
1230
570
850 x0
a
b
c
d

--------------------------------------------------
13
CHƯƠNG II TAM GIÁC
1.* Tổng ba góc trong của một tam giác bằng 1800
* Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông . Trong tam giác vuông hai góc
nhọn phụ nhau.
* Góc ngoài của tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác . Mỗi góc ngoài
của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó . Góc ngoài của một tam
giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó .
2. Ba trường hợp bằng nhau của tam giác :
*TH1: Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam
giác bằng nhau :
( Nếu ABC và ''' CBA có )..(''''';'';'' cccCBAABCCBBCCAACBAAB  )
* TH2: Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen
giữa của tam giác kia thì hai tam giác bằng nhau . ( Nếu ABC và ''' CBA có
)..(''''ˆˆ;'';'' cgcCBAABCAACAACBAAB  )
+ Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này , lần lượt bằng hai cạnh
góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam gác vuông đó bằng nhau .
* TH3: Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề
của tam giác kia thì hai tam giác bằng nhau . ( Nếu ABC và ''' CBA có
)..(''''ˆˆ;'ˆˆ;'' gcgCBAABCBBAABAAB  )
+ Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông
này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia
thì hai tam giác vuông đó bằng nhau .
+ Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền
và góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau .
3. * Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau . Trong tam giác cân hai góc ở
đáy bằng nhau ngược lại nếu một tam giác có hai góc ở đáy bằng nhau thì tam giác
đó là tam giác cân .

--------------------------------------------------
14
* Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau . Trong một tam giác đều mỗi
góc bằng 600
. Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác
đều hoặc nếu một tam giác cân có một góc bằng 600
thì tam giác đó là tam giác đều .
4. * ( Định lý Pi – Ta – Go ) Trong một tam giác vuông bình phương cạnh huyền
bằng tổng bình phương các cạnh góc vuông .( 222
BCAtaivuông ACABABC 
)
* ( Định lý Pi – Ta – Go đảo ) Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh
bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông :
AtaivuôngBC:ABC 222
ABCACAB 
* Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh
huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó
bằng nhau .
Bài tập
1. Cho tam giác ABC cân ở A . Trên cạnh AB lấy điểm D , trên cạnh AC lấy điểm
E sao cho AD = AE . Gọi M là giao điểm của BE và CD . Chứng minh rằng :
a) BE = CD
b) CMEBMD 
c) AM là tia phân giác của góc BAC.
2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên tia đối của các tia BA và CA lấy hai
điểm D và E sao cho BD = CE
a) Chứng minh DE // BC.
b) Từ D kẻ DM vuông góc với BC , từ E kẻ EN vuông góc với BC .Chứng minh
DM = EN
c) Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân .
d) Từ B và C kẻ các đường vuông góc với AM và AN chúng cắt nhau tại I .
Chứng minh AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAC.
3. Cho tam giác cân ABC có Â = 450
, AB = AC . Từ trung điểm I của cạnh AC kẻ
đường vuông góc với AC cắt đường thẳng BC ở M . Trên tia đối của tia AM lấy
điểm N sao cho AN = BM. Chứng minh rằng :
a) CBACMA ˆˆ 
b) CANABM 

--------------------------------------------------
15
c) Tam giác MNC vuông cân tại C .
4. Cho tam giác ABC vuông ở A có
12
5

AC
AB
và AC – AB = 14cm . Tính các cạnh
của tam giác đó .
5. Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa A và B . Trên cùng một nửa mặt phẳng
bờ AB vẽ hai tam giác đều ACD và BCE .Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AE
và BD . Chứng minh rằng :
a) AE = BD .
b) CNBCME 
c) Tam giác MNC là tam giác đều.
6 .Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Trên cạnh AB lấy điểm D . trên cạnh AC lấy
điểm E sao cho AD = AE . Các đường thẳng vuông góc kẻ từ A và E với CD cắt BC
ở G và H . Đường thẳng EH và đường thẳng AB cắt nhau ở M . Đường thẳng kẻ từ
A song song với BC cắt MH ở I . Chứng minh :
a) AMEACD 
b) MIAAGB 
c) BG = GH
7. Cho tam giác ABC cân ở A . Trên cạnh BC lấy điểm D . Trên tia đối của tia CB
lấy điểm E sao cho CEBD  . Từ D kẻ đường vuông góc với BC cắt AB ở M . Từ E
kẻ đường vuông góc với BC cắt AC ở N .
a) Chứng minh MD = NE
b) MN cắt DE ở I . Chứng minh I là trung điểm của DE
c) Từ C kẻ đường vuông góc với AC , từ B kẻ đường vuông góc với AN chúng cắt
nhau tại O. Chứng tỏ Ao là đường trung trực của BC
8. Cho tam giác ABC . đường cao AH . Gọi M là trung điểm của BC . Biết AH , AM
chia góc ở đỉnh A thành ba góc bằng nhau . Tính các góc của tam giác ABC.

--------------------------------------------------
16
***
CHƯƠNG III QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC
CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIAC
1.* Trong một tam giác , góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn .
* Trong một tam giác , cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn .
2. * Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường
thẳng đến đường thẳng đó , đường vuông góc là đường ngắn nhất .
* Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường
thẳng đó
+ Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn .
+ Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn;
+ Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại .
3. Trong một tam giác , tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh
còn lại .
ABBCACACBCABBCACABABC  ;; ( Bất đẳng thức tam giác )
Hệ quả :
ACBCABACBCACABBCACABBCABACBCABABC  ;;

--------------------------------------------------
17
4. * Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC
gọi là đường trung tuyến ( xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC ) của tam giác
ABC . Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến .
* T/c : Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm . Điểm đó
cách mỗi đỉnh một khoảng bằng
3
2
độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy . Trong
tam giác ABC , các đường trung tuyến AD, BE , CF đồng quy tại điểm G và ta có
3
2

CF
CG
BE
BG
AD
AG
. Điểm G gọi là trọng tâm của tam giác ABC.
5 . T/c tia phân giác : Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh
của góc đó . Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên
tia phân giác của góc đó .
* Ba tia phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm . Điểm này cách đều ba
cạnh của tam giác đó .
* Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là tia phân giác thì tam
giác đó là một tam giác cân
* Trong một tam giác cân , đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh cũng đồng thời là
đường phân giác ứng với cạnh đáy .
6.* T/c đường trung trực : Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì
cách đều hai mút của đoạn thẳng đó .Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng
thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó .
* Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm . Điểm này cách
đều ba đỉnh của tam giác đó . Giao điểm này là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh của
tam giác ( đường tròn ngoại tiếp )
7. Trong một tam giác đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh
đối diện gọi là đường cao của tam giác đó . Mỗi tam giác có ba đường cao .
* Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm , điểm này gọi là trực tâm
của tam giác đó.
* Trong tam giác cân đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân
giác , đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ đỉnh của tam giác đó . Trong tam
giác đều các điểm : Trọng tâm , trực tâm , điểm cách đều ba đỉnh , điểm cách đều ba
cạnh là trùng nhau .

--------------------------------------------------
18
* Trong một tam giác , nếu hai trong bốn loại đường : đường trung tuyến , đường
phân giác , đường trung trực , đường cao trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân .
Bài tập :
1. Cho tam giác ABC có ACB ˆˆ;60ˆ 0

a) Chứng minh rằng AB < BC
b) Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA . Chứng minh tam giác ABD là tam
giác đều .
c) So sánh độ dài các cạnh AB , BC , CA.
2 . Cho tam giác đều ABC . Tia phân giác góc B cắt cạnh AC ở M . Từ A kẻ đường
thẳng vuông góc với AB cắt các tia BM và BC lần lượt ở N và E . Chứng minh :
a) Tam giác ANC là tam giác cân .
b) NC vuông góc với BC .
c) Tam giác AEC là tam giác cân .
3. Cho tam giác nhọn ABC , hai đường cao BM , CN . Trên tia đối của tia BM lấy
điểm D sao cho BD = AC , trên tia đối của tia CN lấy điểm E sao cho CE = AB .
Chứng minh :
a) DBAECA ˆˆ 
b) BDAACE 
c) Tam giác AED là tam giác vuông cân .
4. Cho tam giác ABC cân ở A . Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam
giác . Trên tia đối của các tia AB và CA lấy theo thứ tự hai điểm M và N sao cho
AM = CN .
a) Chứng minh ACOBAO ˆˆ 
b) Chứng minh CONAOM 
c) Gọi I là giao điểm hai đường trung trực của OM và ON . Chứng minh OI là tia
phân giác của góc MON.
5.Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) , đường cao AD . G là trọng tâm của tam giác
ABC , trên tia đối của tia DG lấy điểm E sao cho DE = DG .
a) Chứng minh BG = GC = CE = BE .
b ) Chứng minh ACEABE 

--------------------------------------------------
19
c) Nếu AECG
2
1
 thì tam giác ABC là tam giác gì ? Vì sao ?
6. Cho tam giác ABC . Đường phân giác ngoài tại đỉnh B và đỉnh C của tam giác cắt
nhau ở O . Từ A lần lượt kẻ đường thẳng vuông góc với hai đường phân giác trên ,
cắt đường thẳng BC ở M và N . Chứng minh rằng :
a) Chu vi tam giác ABC bằng MN;
b) Đường trung trực của MN đi qua O.
c) AO là tia phân giác của góc BAC.
7. Cho tam giác cân DEA ( DE = DC > EC ) . Đường trung trực của DC cắt đường
thẳng EC tại A . Trên tia đối của tia DA lấy điểm B sao cho DB = AE . Chứng minh
rằng :
a) DCACDA ˆˆ 
b) Tam giác ABC là tam giác cân .
8. Cho tam giác ABC có 00
120ˆ;45ˆ  CB . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho
CD = 2CB . Kẻ DE vuông góc với AC . Chứng minh rằng
a) CE = CB
b) Tam giác AEB là tam giác cân
c) Tam giác AED là tam giác gì ? Vì sao ?
d) Tính số đo góc ADB

Tổng hợp lý thuyết ôn tập hè môn Toán lớp 7 (Đại số 7 và Hình học 7)

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Plus de Bồi dưỡng Toán lớp 6

Plus de Bồi dưỡng Toán lớp 6 (20)

Dernier

Dernier (20)

Tổng hợp lý thuyết ôn tập hè môn Toán lớp 7 (Đại số 7 và Hình học 7)