Matemàtica Informal - Baroody Arthur

Baroo
“Técn
los niñ
espec
pp. 33

ody, Arthur
nicas para c
ños. Un ma
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3-47, 87-10
r J. (1997)
contar” y “D
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Sánchez B
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48.
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al y educac
rendizaje, 4
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42),
EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO
1 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza

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DE LA MAT
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TEMÁTICA
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n directa
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métodos b
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temáticas.
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ue se pued
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mo pizarras
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conocimie
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misma ma
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de dos o tre
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ro progreso
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un palo o un
a una corre
muescas p
r si todaví
a biunívoca
ntar.
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banda, ma
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o puramen
e las socied
adas en la
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nzada. A su
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mero y, en c
material e in
ondencia b
urridos, por
que la luna l
na colecció
n hueso por
espondenci
por cada ele
ía estaban
), éstas pod
uestras len
, en castella
etc. En ép
gnar una p
una pareja
diversos tér
anada) des
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ero no era
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as posesio
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basados en
mérico y a
u vez, el de
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secuencia, a
numérica del
mero. y es
consecuenc
ntelectual, se
biunívoca.
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llena volvie
n de pieles
r cada piel a
a biunívoca
emento de
todas las
dían empar
nguas toda
ano hay va
pocas más
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a de person
rminos para
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mplo, un ca
más que u
1).
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mento la ne
n contar. Co
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esarrollo de
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extender in
l hombre no
razonable a
ia, el de las
e hubiera vis
La equival
desde el últ
ra a aparec
s animales,
añadida al
a: ni más ni
l conjunto d
s pieles (s
rejarse una
avía tienen
rias formas
s primitivas
e objetos
as, un dúo
a expresar
su día col
ardumen de
una cualidad
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rcio, llevar l
ciéndose c
ecesidad de
ontar es la b
de papel t
e contar es
éxito en e! c
finitamente
o podría hab
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s ciencias ex
sto irremedia
lencia pod
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cer. De la m
, un cazado
montón. Es
menos que
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si seguía h
a a una con
n restos de
s de expres
, estos térm
o categoría
musical, un
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ste proceso
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e las époc
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minos pued
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(por ejemp
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el tiempo (
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más precis
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de! número.
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cas
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por
nte.
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del
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mos

Co
nuest
señal
limitad
de Au
encon
el 7. E
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Nú
civiliz
posib
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altern
hacer
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El
refiere

ontar con lo
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dad y la me
úmero abstr
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ron haber
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elos fácilme
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los. Con e
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chos» sirvie
sidad de un
ar coloca lo
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rse una pet
ndo siete o
nectar los d
nar. El aspe
nto dado.
amos de ve
entos se c
encia biunív
s de una
era coleccio
representar
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e a colocar
os dedos e
numérico
pleo de los
g, 1954). P
e no había
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edida (Dase
racto. Es p
arrolló un c
mática (Dan
transcurrid
ejemplo, u
número 2. N
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ente asequ
dedos, por
el tiempo,
quier colecc
largo perío
eron adecua
na precisión
os nombres
eniente a l
tición direct
objetos.
dos aspecto
ecto nomin
Nombrar u
er, un conju
corresponde
voca) con l
mano) den
ones mode
r tres, las p
e orden, u
coleccione
es el tramp
natural. D
s dedos pa
or ejemplo
an alcanzad
e pudieran
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en, 1972; D
probable qu
concepto a
ntzig, 1954)
do eras an
n par de oj
Nuestros de
etas como
uibles de c
r ejemplo,
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ción concre
odo de la
adamente (
n mayor, co
s de las co
a equivale
tamente co
os del núme
nal, o cardi
un conjunto
unto puede
en exactam
os element
nominada
lo como los
patas de un
ordinal, de
es en suces
polín que p
Donde los
ara contar,
, en unos e
do la etapa
identificar e
ígenes no d
e Lemos, 1
ue contar f
abstracto de
. El matemá
tes de que
jos, una pa
edos consti
casos del n
colecciones
para indica
e de esta
eta que se c
historia, lo
(Smith, 192
ontar se co
olecciones
ncia para a
on la palabr
ero. El núm
inal, trata d
o no requie
clasificarse
mente (es
tos de una
«cinco». P
s ojos para
caballo pa
el número,
ión por orde
permite sup
antropólog
la percepc
estudios re
a de contar
el 4 y ningu
desarrollan
1969).
fuera el m
el número:
ático Bertra
e se recon
areja de pe
tuyen la ba
número 2.
s de uno a
ar un par d
colección
correspond
os términos
23). A medi
onvirtió en
modelo en
asignar nom
ra siete y c
mero tiene d
de los elem
ere contar
e como «cin
decir, pue
colección m
Por tanto,
representa
ara el cuatro
está relac
en de magn
perar las lim
gos no ha
ción del nú
alizados co
r con los d
uno que pud
conceptos
edio por e
un conce
and Russell
nociera que
ersonas, un
ase común
Los dedos
a diez obj
de ojos o
modelo (<
iera con do
s para «do
ida' que fue
un instrume
n un orden
mbres num
cumplirse p
dos funcion
mentos que
necesaria
nco», por e
den forma
modelo (po
nombrar c
ar dos, una
o, etc.
cionado co
nitud. Conta
mitaciones
n encontra
úmero es m
on aborígen
dedos sólo
diera disting
básicos de
l que nues
pto que ha
l afirmaba q
e las distin
na bifurcació
para desig
proporcion
etos. Pued
una yunta
<<dos») pu
os dedos.
os», «tres»
e creciendo
ento esenc
y ofrece u
méricos. Po
posteriorme
es: nombra
e contiene
mente. Co
ejemplo, si s
r una corr
or ejemplo,
onjuntos s
hoja de tré
n contar y
ar proporcio
de
ado
muy
nes
se
guir
e la
stra
ace
que
tas
ón)
nar
nan
den
de
udo
» y
o la
cial.
una
día
nte
ar y
un
mo
sus
res-
los
sólo
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una s
colecc
suces
que h
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una c
desig
Co
Para
perso
mism
conta
repres
esfue
El de
diez
A
.comp
de cá
repres
estab
grand
una b
junto
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prose
simpli
tanto,
agrup
pasto
que h
sistem
fisioló
El
incorp
cuneif
colecc

secuencia o
ciones cad
sivamente t
ha asignado
ción espec
colección y
nadas con
ontar con lo
representa
ona sólo tie
a colección
ar son idé
sentación c
erzo de un a
esarrollo de
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plejas, aum
álculo que
sentar un
leciendo c
des inspiraro
base natura
al pastor,
sentar esta
eguir el recu
ificado aún
la piedra
pamientos s
r se denom
hubiéramos
ma de base
ógico» (Dan
primer sist
poraba un
forme de lo
ción de traz
ordenada d
da vez may
términos de
o un nombr
ifica la mag
y se le ha
uno, dos, t
os dedos pu
ar una cole
ene que le
n, la person
énticos a
cardinal). P
aspecto del
e un sistem
ue las soc
entó la pres
e pudieran
rebaño d
corresponde
on la idea d
al para ello (
éste la co
a cantidad
uento. A me
n más el p
a pasaría
se basan e
mina sistem
hechos es
doce. Nues
ntzig, 1930-
tema numé
concepto d
os sumerios
zos para re
de palabras
yores. Para
e la serie nu
re a cada u
gnitud relati
a asignado
res o cuatro
uede enlaz
ección com
evantar cua
na levanta
los de le
Por tanto, n
l número al
ma de num
ciedades y
sión encam
aplicarse
e 124 ove
encias es
de hacer ag
(Churchill,
ontaba con
con un gu
edida que s
roceso sus
a represen
n el 10 y e
ma de base
stas agrupa
stro sistem
-1954).
érico conoc
de base die
s y el siste
epresentar l
s (la serie
a contar u
umérica a c
no de los e
va del conj
la palabra
o y menos q
ar los aspe
mo, por eje
atro dedos
cuatro ded
evantar sim
nuestros de
otro (Dant
meración co
y las econ
minada a con
con efica
ejas, el e
muy incóm
grupamiento
1961). Por
n los dedo
uijarro. Con
se iban acu
stituyendo
ntar 10 de
n múltiplos
diez. Si tu
aciones de
a de base d
cido apare
ez (Bunt, J
ema jeroglíf
os número
numérica)
na colecció
cada eleme
elementos.
unto. Por e
a «cinco»,
que las des
ectos cardin
emplo, el n
simultáne
dos en suce
multáneame
edos son u
zig, 1930-1
on órdenes
nomías se
ncebir siste
acia a gra
mpleo de
modo. Las
os, y nuestr
ejemplo, c
os. Cuando
n las mano
umulando lo
diez guijar
ecenas, o
s de 10, el s
uviéramos d
doce en do
diez es, sim
ció hacia e
Jones y Be
fico de los e
s del 1 al 9
que puede
ón, una pe
nto de la co
El número
ejemplo, si s
será may
signadas co
nal y ordina
número ca
eamente. P
esión. Los
ente cuatr
un medio p
954).
s de unida
e fueron h
emas de rep
andes cant
un sistem
tareas co
ros diez ded
uando una
o llegaba a
os libres ot
os guijarros
ros por un
sea 100.
sistema em
doce dedos
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mplemente,
el año 350
dient, 1976
egipcios em
9 (véase la
e asignarse
ersona asig
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al del núme
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Para contar
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tidades. Pa
ma de con
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a diez, po
tra vez, po
s, podía ha
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mpleado po
s, es proba
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a la
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tras
ás.
ero.
una
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* El siste
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e decenas s
s romanos d
as numérico
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no tres unid
r 10 y múlti
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os antiguos
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s se prestab
nto de reali
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el lugar de la
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n posicional.
ifra define
s y de ahí q
d de símbol
s jeroglíficos
z cifras (de
e una mane
presentar 9
s numéricos
ese que la num
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ión se usaba pa
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ulo aritméti
ra 2.1.B.
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ocientos tre
s usuarios
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el mundo.
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realidad,
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y las unive
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zig, 1954, p
3 se escribía Ῡ
ase diez.
meración p
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n sistema n
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un hito cruc
los proced
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ños, lo norm
ersidades s
plear los de
n aquellos
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en la figura
as unidade
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s no debiero
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o, ¿represe
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mal en Euro
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edos para
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stro perman
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s de unidad
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racta y no
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os de diez y
enta el núm
(402).
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icaba algo v
fue posible
des). Esto h
didos por c
de la histo
rcio modern
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ace sólo un
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e la
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ndo
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los
os.
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Fig
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no. T
amplia
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o normal e
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s (descubri
s matemátic
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pruebas d
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Ta
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nuestra cul
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Nilo inundab
ra en la ta
nmediato ya
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la m
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Los
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os números
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700 d
1540
1650-
Finale
Véase
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. de C. apr
d. de C. ap
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muchos a
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temática inf
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e C. New
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Phil
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Leib
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inco
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X Se
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amp
l (1976, pp 22
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que abarca
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burg, 1982b
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y «más». P
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2.3. Aunq
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eine sobre
ptivos como
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Otros indic
ase para
as suele ten
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años de ed
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b). Casi tod
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Los
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ntar

Sin
comp
frecue
el áre
dos b
conte
same
mism
caram
La
forma
lugar,
forma
mism
bloqu
biunív

Fig
n embargo
araciones
ente que el
a y la longit
bandejas d
ner cantida
nte en una
o número
melos están
tarea de co
a concluyen
se estable
a una hilera
a cantidad
e azul a c
voca (véase
gura 2.3 Ele
o, como lo
que hacen
aspecto re
tud no siem
de carame
ades difere
a que en ot
de carame
n más junto
onservación
nte las limita
ece la igua
a de, digam
de bloque
cada bloqu
e la fig. 2.4.
ementos de
os niños
n entre mag
efleje fielme
mpre son ind
los pueden
entes porqu
tra. Por otr
elos pero q
s en una qu
n de la cant
aciones del
aldad de do
mos, siete b
es azules. S
ue blanco.
A) se pide
e una prueb
basan sus
gnitudes p
ente la cant
dicadores p
n ocupar l
ue los cara
ra parte, po
ue ocupan
ue en otra.
tidad (por ej
l conocimie
os conjunto
bloques bla
Se insta al
Una vez
al niño que
ba para la n
s juicios e
ueden ser
tidad, los in
precisos de
la misma
amelos está
odemos ten
una supe
jemplo, Pia
ento intuitivo
os por equi
ancos y pide
niño a que
establecida
e confirme s
noción «má
en las apa
incorrectas
ndicios perc
la cantidad
superficie
án agrupad
ner dos ba
rficie distin
aget, 1965)
o de los niñ
valencia. E
e al niño q
e haga cor
a esta cor
si las dos hi
ás»
ariencias,
s. Aunque
ceptivos co
. Por ejemp
pero pued
dos más de
ndejas con
ta porque
demuestra
ños. En prim
El examinad
ue coloque
rresponder
rresponden
leras tienen
las
es
mo
plo,
den
en-
n el
los
de
mer
dor
e la
un
ncia
n el

mism
aprec
acuer
A c
contin
cantid
ejemp
modif
cantid
en el
en qu
conju
conse
equiv
cantid
magn
No
permi
muy p
objeto
recipi
para
corres
tiemp
otro r
conte
quitab
recon
recipi
recipi
al que
intuitiv
Sin
recipi
fracas
recipi
como
nueve

o número d
ciar las can
rdo en que
continuació
núa creyen
dad). Mient
plo, en la fi
ficada la lon
dad. Como
aspecto pa
ue la hilera
ntos de lon
ervación» a
alencia ini
dad). Es ev
nitud y de la
ociones intu
ite a los niñ
pronto que a
o hace que
entes a un
que el n
spondencia
o que se c
recipiente. C
nían la mis
ba un objet
nocer que la
ente y, com
entes. Por e
e se había a
va para com
n embargo,
entes cont
sa. Por eje
entes y nu
«más». Pe
e y cuatro a
de objetos.
ntidades re
ambas hile
ón se modif
do o no qu
tras el niño
igura 2.4.B
ngitud se vu
la longitud y
ara juzgada
más larga
ngitudes dis
este fenóm
icial tras
vidente qu
a equivalenc
uitivas de la
os reconoc
añadir un o
e sea «me
os preesco
iño exami
a, se coloca
colocaba un
Cuando el
sma cantida
to de uno d
a adición o
mo resultad
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añadido un
mprender la
, la aritmét
tienen inic
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eve en el o
ero si a con
al que tiene
Puesto que
elativas, au
eras tienen
ica el aspe
ue los dos
o observa, s
se observ
uelve a preg
ya no reflej
a se equivoc
a tiene más
stintas no s
meno porqu
una transf
e la comp
cia es Impr
a adición y
cer si una co
bjeto a una
enos». En
olares. Se c
nado no
aba el mism
n objeto en
niño había
ad de objet
de los recip
o la sustrac
do, modific
s niños iden
objeto. Par
a adición y
tica intuitiva
ialmente c
al principio
otro, los ni
ntinuación
e cinco, los
e la longitud
n los niños
la misma c
cto de uno
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se alarga o
va que se h
guntar al niñ
a fielmente
can. ¡En re
s! Parecen
son equivale
e el niño no
formación
prensión int
recisa.
la sustracc
olección ha
a colección h
un estudio
colocaban p
los pudier
mo número
uno de los
a manifesta
os, se le ha
pientes. Lo
cción de ob
caba la rela
ntificaban fá
rece que lo
la sustracc
a se limita
cantidades
o se coloc
ños identifi
se añaden
niños pien
d proporcion
s de tres a
cantidad.
de los conj
son coordi
o se acorta
ha alargado
ño si las do
e la cantidad
ealidad, los
estar conv
entes. Piag
o mantiene
del aspec
tuitiva que
ción. El sen
a sido altera
hace que se
o (Brush, 1
pantallas d
a ver. Me
o de objeto
s recipiente
ado que los
acía observ
os niños no
bjetos modi
ación de eq
ácilmente c
os preescola
ción.
a modifica
desiguales
can cinco
icarán corr
dos objeto
nsan que ah
na una base
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juntos para
nables (tie
a una de la
o la hilera a
os hileras tie
d, los niños
niños pequ
vencidos de
get (1965) d
(conserva)
cto (irreleva
tienen los
ntido del nú
ada. Los niñ
ea «más» y
978) se m
elante de lo
ediante un
os en cada
es se coloca
s dos recip
var cómo s
tenían difi
ficaba la ca
quivalencia
como «más
ares ya pos
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s, la aritm
objetos en
rectamente
os al recipie
hora es ést
e precisa pa
dad están
a ver si el n
nen la mis
as hileras. P
azul. Una v
enen la mis
que se bas
ueños insist
e que los d
denominó «
) la relación
ante para
s niños de
mero tamb
ños reconoc
y que quitar
mostraban d
os recipien
proceso
recipiente
aba otro en
ientes ocul
e añadía o
icultades p
antidad de
a entre amb
s» el recipie
seen una ba
dentes. Si
ética intuit
n uno de
a este últi
ente que tie
te el que tie
ara
de
iño
ma
Por
vez
ma
san
ten
dos
«no
de
la
e la
bién
cen
r un
dos
ntes
de
: al
n el
ltos
o se
ara
un
bos
nte
ase
los
tiva
los
mo
ene
ene

más.
añadí
impre
Cono
Un
simple
apoya
realid
nomb
para d
Hacia
desig
años
tres (

Para los ni
ían más ob
ecisa.
ocimiento i
na prolonga
e y llaname
an cada vez
ad, poco d
bres de los
designar to
a los dos a
nar «mucho
usan «uno
por ejempl
iños peque
bjetos al pri
nformal
ación prácti
ente, no es
z más en in
después de
números.
odas las plu
ños y med
os» (más d
o», «dos» y
o, «cuatro»
eños, 5 + 4
imer recipie
ica. Los niñ
suficiente p
nstrumentos
e empezar
Hacia los d
uralidades:
dio, los niño
e dos objet
y «tres» cor
») para ind
es «más q
ente. Evide
ños encuen
para aborda
s más prec
a hablar, l
dos años d
dos o más
os empieza
tos). Al igua
rrectamente
dicar «much
que» 9 + 2
entemente,
ntran que e
ar tareas cu
cisos y fiable
os niños e
e edad, em
objetos (W
an a utiliza
al que Alliso
e y emplea
hos». Al et
porque han
la aritmétic
el conocimi
uantitativas
es: numera
mpiezan a
mplean la p
Wagner y W
r la palabra
on, muchos
an un términ
tiquetar col
n visto que
ca intuitiva
iento intuitiv
. Por tanto,
ar y contar.
aprender
palabra «do
Walters, 198
a «tres» pa
s niños de tr
no mayor q
lecciones c
se
es
vo,
se
En
los
os»
82).
ara
res
que
con

núme
«más
determ
peque
Po
parte.
objeto
una e
direct
como
espec
base
identif
ofrece
las id
abstra
Lim
funda
limitac
útiles
reque
a ser
van h
a ser
grand
inmed
Co
La
limitac
niños
escrit
proce
aritmé

eros, los niñ
s». Los pree
minar exact
eñas, de un
or tanto, con
. Por ejemp
os distintos
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ta juntamen
o «tres» no e
cificar conju
para el em
ficar como
e a los niño
deas mate
acto y la ar
mitaciones.
amentalmen
ciones prác
a medida q
eridos par~
prohibitivos
aciendo ca
completam
des. Más a
diata, no pu
onocimient
matemátic
ciones de
de los co
os ofrecen
edimientos
éticos con n
ños poseen
escolares i
tamente los
na colecció
ntar se bas
plo, contar
s y distribuc
orta como
nte con co
están ligada
untos equiv
mpleo de e
equivalent
os el vínculo
emáticas a
itmética ele
Aunque
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cticas. El c
que los núm
contar o ca
s. A medida
ada vez más
mente inca
aún: aunqu
ueden propo
to formal
ca escrita y
la matemá
onfines de
un medio
escritos p
números gr
un medio p
incluso lleg
s efectos de
n.
sa en el con
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ciones difer
los seis m
ntar, los n
as a la apar
valentes. Co
etiquetas n
tes conjunt
o entre la p
bstractas,
emental al a
la matem
ante de l
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alcular de un
a que los n
s propenso
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ue los mét
orcionar reg
y simbólica
tica inform
su matem
para anota
proporciona
randes. Má
preciso par
gan a desc
e añadir o s
nocimiento
na una etiq
rentes que
meses. Med
iños descu
riencia de c
on el tiemp
uméricas c
tos que no
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ática infor
la matemá
aritmética i
acen mayo
na manera
úmeros au
os al error. E
usar proced
todos infor
gistros a la
a que se im
al. La mate
mática relat
ar números
an medios
s aún, los s
ra determin
ubrir que c
sustraer can
intuitivo y
ueta comú
los niños v
diante el e
ubren que
conjuntos u
o, esta com
como «siete
pueden ve
directa con
erales. Co
l niño pequ
rmal repre
ática intuit
nformal se
ores. El tiem
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mentan, los
En realidad
dimientos i
rmales pro
rgo plazo.
mparte en
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tivamente
s grandes y
s eficaces
símbolos y
ar «igual»,
contar pued
ntidades, al
lo complem
n «<tres»)
ven como e
mpleo de
las etiquet
objetos y s
mprensión p
e» o «diec
erse como
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ntar coloc
eño.
senta una
tiva, tamb
hacen cad
mpo y el es
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s métodos
, los niños
informales
porcionan
las escuela
rmal puede
concreta. L
y trabajar c
para real
las expresi
«diferente»
de servir pa
menos si s
menta en gr
a tripletas
equivalentes
la percepc
as numéric
son útiles pa
proporciona
cinueve» pa
tales. Con
ien limitada
a el núme
a elaborac
ién presen
da vez men
fuerzo men
ormes y lleg
informales
pueden lleg
con númer
una soluc
as supera
e liberar a
Los símbo
con ellos. L
lizar cálcu
iones escri-
» o
ara
son
ran
de
s a
ión
cas
ara
a la
ara
ntar
a, y
ero
ión
nta
nos
ntal
gan
se
gar
ros
ión
las
los
olos
Los
los
-

tas pu
enorm
Es
base
unida
múltip
gama
realiz
propo
núme
1982-
una m
que in
Au
comp
parec
núme
conte
no ca
comp
evolu
es u
(repre
De he
concr
los alg
D) IM
IN
La
no so
de los
la esc
y Gin
meno
1984;
inform

ueden ofrec
memente la
esencial q
diez. Para
des,' decen
plos de diez
a de tareas
ar aritmétic
orcionan el
eros de va
-1983). En
manera más
ntervienen n
unque la ma
orta apren
cer extraño
eros y en l
mpla como
aptan de in
rensión de
ción. Así, lo
na decena
esentante d
echo, much
retos basta
goritmos pa
MPLICACIO
NFORMALE
teoría cog
n simples r
s niños, incl
cuela con u
nsburg, 198
os, algunos
Baroody
mal de la fam
cer registro
a capacidad
ue los niño
tratar con c
nas, centen
z ofrece a
matemátic
ca mental c
razonamien
rias cifras
pocas pala
s abstracta
números gr
atemática fo
nder nueva
s y difícile
la aritmétic
o 14 unidad
nmediato l
e la notació
os niños pu
a y cuatro
de una colu
hos niños p
nte despué
ara realizar
ONES EDU
ES COMO
nitiva indica
recipientes
luyendo los
na gran can
84). En rea
conocimie
y Snyder,
milia, los co
os claros y p
d de la mem
s aprendan
cantidades
nas, etc. (P
los niños fl
cas, incluye
con número
nto subyac
y sumar o
bras, la ma
y poderosa
randes.
ormal pued
as técnicas
es. Los niñ
ca en térm
des o como
a notación
ón posicion
ueden tarda
o unidades
mna vacía)
ueden cont
és de habé
r operacione
UCATIVAS:
BASE
a que los n
vacíos que
s procedent
ntidad de co
alidad, muc
entos inform
1983). Los
ompañeros,
permanente
moria.
n los conce
mayores e
ayne y Rat
exibilidad y
endo orden
os de varia
ente a muc
o restar co
atemática fo
a, y aborda
de potencia
s y concep
os llegan
minos de co
o 13 unidad
n posiciona
nal en los n
ar bastante
s. La idea
) puede tard
tinuar aferr
rseles pres
es con aca
: LOS CON
niños que a
e deben llen
tes de famil
onocimiento
chos niños
males (Baro
s preescola
la TV y los
es que pue
ptos de los
s important
thmell, 197
y facilidad p
nar (compa
as cifras. Lo
chas técnica
on acarreo
ormal perm
ar con efica
ar mucho la
ptos que, a
a acostum
ontar. Un
es y una m
al. Como o
niños es el
tiempo en
a del 0 c
dar mucho
rándose a lo
sentado los
rreo.
NOCIMIENT
caban de in
narse de co
lias de bajo
os matemá
s de educa
oody, 1983
ares apren
s juegos ant
den amplia
órdenes de
te pensar e
5). Pensar
para abord
arar) númer
os órdenes
as básicas
o («llevand
mite a los niñ
acia los prob
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al principio
mbrarse a p
número co
más. Los niñ
ocurrió en
l resultado
ver, por eje
como cifra
tiempo en
os métodos
s órdenes d
TOS
ncorporarse
nocimiento
o nivel econ
áticos inform
ación espec
3a; Baroody
nden mucha
tes de llega
ar
e unidades
en términos
en decena
ar una amp
ros grande
s de unidad
como escr
o») (Resni
ños pensar
blemas en
d de los niñ
o, les pued
pensar en
omo el 14
ños pequeñ
la historia,
de una le
emplo, que
a significat
desarrollar
s informale
de unidade
e a la escu
os. La mayo
ómico, lleg
males (Russ
cial tienen,
y y Ginsbu
a matemát
ar a la escue
de
de
as y
plia
s y
des
ribir
ick,
r de
los
os,
den
los
se
ños
la
nta
14
tiva
rse.
s o
s y
ela
oría
a a
sell
, al
urg,
tica
ela.

. La
conoc
matem
escue
de co
Puest
anteri
signifi
asimil
base
la esc
introd
tiende
inform
domin
avanz
de vis
1.
inform
cuent
explo
signif
apren
pued
instru
temas
básic
los ór
este p
los qu
2.
instru
enseñ
conoc
memo
destru
much
se im

a matemátic
cimiento int
mática pode
ela. Como o
ntar ofrece
to que el
iores, el co
icativo de la
lar nueva in
fundament
cuela. La in
duzcan las t
en a interpr
mal (Hieber
nio de las t
zada. A con
sta que tien
La enseñ
mal de los
ta el conoc
otar las po
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e tener im
ucción form
s de nivel
cas hasta e
rdenes de
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ue tienen p
En gener
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ñanza form
cimiento inf
orístico y
uctivas. Inc
os niños se
mparten en
ca informa
tuitivo, limit
erosa y pre
ocurrió en la
a los niños
aprendizaje
onocimiento
a matemát
nformación
al para com
nvestigació
técnicas, sí
retar y a ab
rt, 1984). P
técnicas bá
ntinuación s
nen una imp
ñanza form
s niños. E
cimiento m
otencialida
interesant
colar tenga
portantes
mal con el
primario,
el aprendiz
unidades
e aplica a
problemas
ral, las lag
mal pueden
mal se intr
formal que
la aparici
capaces de
e limitan a m
la escuela
al de los n
tado e impr
ecisa basad
a historia, la
s una base
e implica
o informal d
ica formal.
a lo que y
mprender y
n cognitiva
mbolos y co
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or tanto, la
ásicas y par
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portancia cl
mal debe
Es esencia
matemático
ades inform
e. Ademá
a éxito, la e
consecuen
conocimie
desde el
zaje de con
como el c
niños con
s de aprend
gunas exis
n explicar
roduce con
e ya posee
ón de pro
e conectar
memorizar
. Muchos n
iños es el
reciso y bas
da en símbo
a experienc
para adquir
una constr
desempeña
Como el a
ya se conoc
aprender la
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onceptos m
atemática f
a matemátic
ra enfrenta
en dos impl
ave.
basarse e
al que la p
o informal d
males para
s de aum
explotación
ncias afect
ento inform
dominio d
nceptos y
cálculo con
una gran v
dizaje y los
stentes ent
las dificult
n demasia
en los niño
oblemas d
la matemá
y utilizar m
niños inclus
paso inte
sado en su
olos abstrac
cia práctica
rir técnicas
rucción a
a un papel c
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ce, el conoc
as matemá
e, independ
matemáticos
formal en fu
ca informal
arse con éx
icaciones e
en el con
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de los niño
a que la e
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n de los pu
tivas. El pr
ma es aplica
de las com
procedimie
n acarreo.
variedad d
s que pres
tre el cono
tades de a
da rapidez
os, el resul
de aprendi
ática forma
ecánicame
so llegan a
rmedio cru
u percepció
ctos que se
y relativam
numéricas
partir de c
crucial en e
es un proc
cimiento inf
ticas que s
dientemente
s en la escu
unción de s
l es fundam
xito a la ma
educativas
nocimiento
ón educati
os. Los mae
enseñanza
probabilida
untos fuerte
rincipio de
able a toda
mbinacione
entos relac
También v
e aptitudes
sentan retr
ocimiento
aprendizaje
z y no se
ltado es u
izaje y/o
al con algo
ente las mat
a no poder
ucial entre
n directa, y
e imparte en
mente concre
y aritmétic
conocimien
el aprendiz
ceso activo
formal es u
e imparten
e de cómo
uela, los niñ
su matemát
mental para
atemática m
de este pu
matemát
iva tenga
estros deb
a formal s
ad de que
es informa
relacionar
a la gama
es numéric
cionados c
veremos q
s, incluyen
raso menta
informal y
e. Cuando
e basa en
n aprendiz
de creenc
o significati
temáticas q
memorizar
su
y la
n la
eta
as.
tos
aje
de
una
en
se
ños
tica
a el
más
nto
tico
en
ben
sea
e el
les
r la
de
cas
con
que
ndo
al.
y la
la
el
zaje
cias
ivo,
que
r ni

datos
recha
So
y el co
técnic
unida
capta
Otros
técnic
educa
transi
en la

ni técnicas
azo hacia la
obre todo es
onocimient
cas y los co
des de bas
r la notació
tienen pro
cas eficace
ación espe
ción entre l
notación po
s. Otros pie
a misma e in
s muy proba
o informal d
onceptos, re
se diez. Co
ón posiciona
blemas con
es para ma
cial los qu
la aritmética
osicional.
erden interé
ncluso llega
able que las
de los niños
elativament
omo consec
al y experim
n la represe
anejar núm
ue pueden
a informal b
és en la ma
an a temerl
s lagunas e
s provoque
te abstracto
cuencia, mu
mentan dific
entación en
eros grand
tener gran
basada en c
teria, desa
la.
existentes e
en dificultad
os, relacion
uchos niño
ultades con
n base diez
des. Sobre
ndes dificul
contar y la
rrollan un s
entre la instr
des de apre
ados con lo
s tienen pr
n las técnica
z y no pued
todo, son
tades para
aritmética f
sentimiento
rucción form
endizaje de
os órdenes
roblemas pa
as de acarr
en desarro
los niños
a franquear
formal basa
de
mal
las
de
ara
reo.
ollar
de
r la
ada

Co
suele
de ed
inform
escola
A) EL
El cas
Ha
había
que c
soltó
punto
Aun d
se de
enseñ
ocho)
«más
La
conta
numé
conta
son «
resolv
nueve
comp
soluci
conju
una v
1983)
por se
menc
1 L
Mathe
años y

ontar oralm
n desarrolla
ducación e
mal? ¿Qué
ares?
L DESARR
so de Alex
acia los vein
a empezado
contara los
a toda pris
os en fila, s
después de
esconcerta
ñaban dos
) también l
».
técnica de
r con exac
éricas. Sin e
r de palabr
«tres». Ade
ver el prob
e y otro de
arar las can
ión del prob
nto con 9 e
ariedad de
). Lo compl
entado los
cionadas en
as conductas
ematical Ability
y 11 meses de
T
ente, ¿imp
ar durante l
especial ad
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Técnicas
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TECNICAS
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En
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Los e
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2 E
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s que pre
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tinela verba
una cadena
ntre sí. Sin
e los poste
emplea pa
ión. Aunqu
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amental pa
2
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el 20 pued
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> a cada un
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porque son
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arecen ser
umérica.
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e estos núme
e con «con
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n los niños
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ra ampliar e
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a y>; (por e
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na de las un
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l, sobre tod
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no se limit
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esta serie.
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.. , 29) se p
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moria».
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el 1 al 9) un
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ara arriba.
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s, aunque in
ído. Así, a
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cterísticas qu
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s probable q
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ada
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que
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Los
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que
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ños
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ri, una niña
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r ejemplo, «
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s decenas
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citar autom
ses, Alison
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en una pauta
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«1,2, 3, 4,
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s aprenden
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Un
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MADR
ALISO
MADR
ALISO
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MADR
ALISO
MADR
ALISO
MADR
ALISO
MADR
ALISO
MADR
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Ha
el 1
núme
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conta
Nu
En
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rapide
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(Beck
no es
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(Beck

RE:
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o ser así, A
RE:
ON:
RE:
ON:
RE:
ON:
RE:
ON:
RE:
ON:
acia los cua
para respo
eros seguid
ody, 1983).
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un númer
sivamente.
ar por grupo
ar por pareja
umeración
umeración.
r un dedo
uncian con r
ez al meno
n y Hall, 19
kwith y Res
una tarea f
uatro eleme
kwith y Res
Alison,
[No res
1, 2, 3,
10.
lison no lo
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El ocho
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El nuev
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(Un poc
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El cuatr
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Uno de los
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Además,
os. Entre la
as, de cinco
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ender que c
nto o desliz
rica. Aunqu
ca de la se
emas para
estas dos té
numeración
hacerse au
Gallistel, 19
pués del 9?
acía a vece
el ocho? El
va después
ños ya no n
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28 (Fuson
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estas nueva
n diez.
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978, y Sch
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ra enumera
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o más tarde
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o para con
adualmente
se encuentr
algo más q
otro mient
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niños
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ndes y, so
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e contar es
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cuencia cu
merar cuatr
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cuenta de lo
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denadas, e
por etiquet
emplo, cont
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n los eleme
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merar. Cua
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ando se le
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scubren el «
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os element
la, hace fal
os extremo
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ar. Esto se
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los niños p
ando se les
ran que es
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in en sí mis
ueden no
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ación se pu
érica. Despu
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nto volviend
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arse cuent
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que había
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los no emp
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a de que es
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r qué elem
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o .a enume
rio recitar o
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aplicado a
que represe
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o elemento
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a que las v
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de contar
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s años de ed
n a magnitu
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3 años y m
r et al., 1974
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o cuando s
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os el caso
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el conjunto
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embargo, n
recordar el
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en la taza.
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o. En cam
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o con una
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e al niño un
e la base pa
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os descubr
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o» sino que
niños suele
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o.
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al que se d
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do el conju
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de enume
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ara detener
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r la tarea e
ndo llegue
ren que los
ner y Walte
e también re
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n conjunto
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misma que
o que da
unto en la ta
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s solicitado
umérica, y
s, se requie
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r el proceso
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s la
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un
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se
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(Resn
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B) IM
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domin
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Much
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A p
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puede
ejemp
como
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niño,

uatro años d
viene despu
ior. Aun ant
al de la ser
nitudes, es d
rados entre
nick, 1983)
mática, los
nitudes más
s niños em
sión compa
MPLICACIO
OLUCIONE
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onal de gua
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encia memo
e y de la
ody y Gins
nio de la pa
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argo, y dado
os son inca
os niños pe
so la primer
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e tener que
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ués en la s
tes de entra
rie numérica
decir, para
e sí dentro
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niños pued
s próximas (
mpiezan a
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ONES EDU
ES
nte
ica. La ma
ases social
a memorísti
rdería, la te
porarse al ja
orística has
necesidad
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dos del ciclo
medio a sei
o que todav
apaces de a
equeños co
ra parte de l
5, aproxima
emorización
as subyace
dar «pistas
demás, es
0 por «vein
to de una pa
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arecen des
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ar en la esc
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(entre núme
asistir al
ntre númer
CATIVAS:
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es desfavo
ica- de la s
elevisión, et
ardín de inf
sta un mín
de una in
2b). Aunqu
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o medio (Ba
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vía no han
ampliar la p
on retraso m
la secuenci
adamente,
n. En camb
entes a la s
s» o ayudar
positivo qu
tidiez». Se
auta numér
onocido en f
scubrir una
significa «m
uela, los niñ
er compara
con rapidez
uencia (por
relación «
a ser capac
eros seguid
parvulario
os adyacen
DIFICULT
los niños,
orecidas, re
erie numér
tc., antes d
fancia man
nimo de 10
ntervención
e se dan g
a serie num
aroody y Gin
edad puede
resuelto el
parte regida
mental nece
a regida po
la enseñan
bio, se debe
serie numé
r a que las p
ue los niños
trata de un
rica y const
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más» que e
ños parece
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ejemplo, e
«el siguient
ces de hac
dos). En rea
ya puede
ntes hasta e
TADES PAR
incluyendo
eciben una
rica por par
e llegar a la
nifiesta inca
, puede da
n de apoyo
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érica no de
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a por reglas
esitarán ayu
or reglas (de
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ería anima
rica. En alg
pautas se h
s cometan
na señal pro
tituye un int
las reglas o
eral: el térm
el término d
en usar su re
cas, pero e
ud dos núm
el 3 y el 9,
te de» se
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alidad, cuan
n realizar
el 5 e inclus
RA CONTA
o los que
exposición
rte de famili
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apacidad pa
ar señal de
o inmediata
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ebería dars
84). La may
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más allá d
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el 16 al 19 y
erie numéric
r a los niño
gunos caso
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errores al
ometedora
tento activo
o de la com
mino numér
de un núme
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o el 2 y el
va hacien
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con basta
so hasta el
AR Y
pertenecen
n intensa a
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ara generar
e un proble
a e intens
ndividuales
e por senta
yoría de los
ta 29 ó 39. S
enas, much
e estas cifr
egar a domi
y del 20 al 2
ca no debe
os a busca
os, el maes
citas (véase
aplicar reg
porque ind
o, por parte
mprensión q
rico
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ción
ntre
nte
l 8)
ndo
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nte
10.
n a
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Sin
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nar
29).
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que

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Ejemp
Au
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cifra e
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La edu
Los
son lo
Baroo
pauta
hasta
3 S
refiere
T.)

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tro aprecia
sario para s
plo 6.1 Emp
n los niños
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inte años d
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escribió la
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el 60». Mik
ver que con
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s se encam
almente la s
nco en cinc
en seguida
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s obstáculo
os nombres
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a de elabora
19. Alguno
e ha hecho
en al nombre
o un niño
onocimiento
». Se trata d
a su capac
su desarroll
pleo de pau
s algo retra
acentes a la
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s cinco min
0, no podí
adas previa
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Mike escribió
decena co
mpleaba pa
como el 20
ke usó la lis
n ella podía
copias de la
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secuencia p
co hasta qu
a la hora si
ke y la recop
os más frec
s irregulares
er, 1983, y
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os niños sim
o una adapta
e de ciertos
comete un
o que ya tie
de una man
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a serie num
n un el de 40
nutos más
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ó los núme
orrespondie
ara contar
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a expresar t
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mplemente
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nseñar las
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mérica. Tom
0. Mike trat
próximos, p
e 35. Des
r ejemplo, 5
ecuencia d
eros del 1 a
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para averi
o el 30, el 4
ca de esta ta
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ra usarlas
Mike determ
r y a que pr
écnicas se h
r la tarjeta.
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meros 14 y
l., 1982). Co
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n inglés. Véa
plicar una
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pero como
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5, 10, 15, 2
e las unid
al 6 en una
xplicó que
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arjeta para
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racticara co
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a Cathy A. M
, sea cual s
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las dificultad
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mplo: «Otro
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0, 25, 30, 3
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tarjeta. De
podía usar
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40, el 5 com
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siguiente de
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utomáticas.
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sea su capa
s decenas 3
5 son una e
úmeros que
16,...) o los
des que, en
la nota núm
maestro pue
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niño porque
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ke, un homb
o decir la ho
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35, 30»). Pa
s decenas,
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Ves? El 1
mo el 50 y e
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Los siguien
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diez en die
Al final, M
acidad men
3
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excepción a
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s cambian p
el original,
mero 12. (N.
ede
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nto
tes
ndo
ez y
Mike
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plo,
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otro (
prácti
instau
Elabo
debe
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niños
el núm
proba
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al., 1
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Los m
técnic
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Pa
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núme
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puede
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ca pueden
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rior, al men
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ndizaje. Ad
prender que
ñanza de a
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dades sin l
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entes entre
odo, suele
982; Ginsb
ca especialm
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cas. La ens
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nado el núm
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rectas.
ra contar a
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nder a conta
dos [en v
e empezars
no correcto
, 16, 16,…)
establecer
cuencia inco
de la serie
problemas
nos hasta e
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ente y quizá
citar el núm
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e el de sigu
apoyo en el
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concreta de
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sivamente
un número
ser domina
burg y Baro
mente difíc
e educación
eñanza de
atrás (de d
mero siguie
ida. Entonc
apando suc
puestas cor
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cuencia fam
edios y de
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se con una
o y permitir q
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ompleta o i
e numérica
para citar
ella (Fuson
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á deban em
mero anteri
e numérica
uede que
uiente. Por
número sig
secuencia
uede empez
e la serie n
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mediante el
ica que le e
desde 10
o y su anter
ada por los
oody, 1983
cil y no suele
n especial d
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derecha a i
nte, se pue
ces, a med
cesivamente
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de cinco co
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n dos, pued
es [en voz
a lista numé
que el niño
nóstico exp
cia adecuad
ncorrecta.
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r el número
n et al., 1982
so mental p
mpezar a co
or sea rela
a en direcci
el concept
tanto, al pr
guiente. Es
numérica (d
zar con act
numérica (u
a al número
empleo de
exijan deter
depende d
rior, y es un
niños cuan
3). Contar
e dominars
deben espe
ede empeza
izquierda).
ede tapar la
dida que el
e los núme
frece un fee
omo mínimo
contar de u
los que fo
de decirse a
baja], cuat
érica para
se concent
peditivo, el
da como un
están en
o siguiente
2; Ginsburg
puede que n
ntar desde
ativamente
ón opuesta
to de ante
rincipio lo m
ta enseñan
del 1 al 4 o
tividades en
una lista nu
o siguiente
e una lista n
rminar men
del conocim
na técnica
ndo llegan a
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se hasta poc
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ar haciendo
Con los ni
a lista numé
niño va c
eros meno
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o, puede an
uno en un
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al niño que
tro [en voz
aligerar el
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empleo de
n hábito an
párvulos,
e a otro, y
g y Barood
no sean ca
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mejor sería
nza debería
al 5). Adem
n las que in
mérica). Un
e (anterior)
numérica, p
ntalmente la
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a primer cu
mente desd
co antes de
s dificultade
o que el niño
ños que do
érica dejand
ontando ha
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nimarse a lo
o, pero su
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cuenta así:
z alta]... ».
esfuerzo d
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• Ind
•• In

el último nú
s es útil que
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dica la acción
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s tengo leva
número q
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binación de e
mbinación de
hayas dich
ro demuestr
antados? V
que he dic
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ho y así sab
re el proces
Voy a conta
cho es cua
cuencia y par
artición y coor
bré cuántas
so mientras
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atro, así q
rtición.
rdinación.
s cosas ha
s «piensa e
r. Uno, dos
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s contado.»
en voz alta»
s, tres, cuat
cuatro ded
» A
»: «
tro.
dos

Re
senta
espec
media
(1983
e indi
conju
de co
prese
que c
el ma
Se
meno
objeto
Much
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1974)

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da esta no
cial no lo h
ante un pro
3) (Véase la
icar (verba
nto. El mae
ntarlo coinc
enta otro co
uente los e
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os conjuntos
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sburg, 198
) Y necesita
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lmente y m
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cide con la
njunto. Se
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etapas con
etapa consi
n número e
cuente el c
ón cardinal.
dar al niño
o. Sin emba
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necesita un
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ado
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pide
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nco
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an,

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