1. x
y
z
DEFINICIÓN DEL ESPACIO VECTORIAL Y
SUS PROPIEDADES.

2. Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a
partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma,
definida para los elementos del conjunto) y una operación externa
(llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un
cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y
a los elementos del cuerpo, escalares.

3. Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Una
llamada suma de vectores y otra llamada multiplicación de un escalar
por un vector. La suma de vectores, o simplemente suma, es una regla
o función que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, a
este se le representara como u + v. La multiplicación es una regla que
asocia a un escalar y a un vector, digamos c y u un segundo vector
representado por c ⊙ u.
Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos y
cada uno de los siguientes axiomas:
• Para cualquiera dos vectores u y v en V :
u⊕v∈V
Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la suma:
La suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado
también un elemento del conjunto.

4. •Para cualquiera dos vectores u y v en V:
u⊕v=v⊕u
Este axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de la
suma:
El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.
• Para cualquiera tres vectores u, v y w en V:
u ⊕ (v ⊕ w) = (u ⊕ v) ⊕ w (3)
Este axioma se conoce como axioma de la asociatividad de la suma:
En una suma de vectores, no importa el orden cómo asocien la sumas
entre dos; el resultado será siempre el mismo.

5. •Para cualquier vector u ∈ V existe un único vector también en V y
simbolizado por −u que cumple:
u ⊕ (−u) = (−u) ⊕ u = 0 (5)
Este axioma se conoce como axioma de la existencia de inversos
aditivos:
Cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del
conjunto que sumado con él da el neutro aditivo.