Este documento presenta varias pruebas del siguiente teorema: La tabla de multiplicación para Zn contiene 1's solamente en la diagonal si y solo si n es divisor de 24. La primera prueba utiliza el Teorema Chino de los Restos para mostrar que n debe dividir a 8 y 3, los cuales son divisores de 24. Otras pruebas usan el Teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritmáticas, la estructura de unidades en Zn, el Teorema de Bertrand-Chebyshev y resultados de Erdös y Ramanujan.

1. UNA CARACTERIZACIÓN SOFISTICADA<br />DE LOS DIVISORES DE 24<br />Luis Carlos Araúz<br />ÍNDICE<br /> Página<br />Agradecimiento3<br />Dedicatoria4<br />Introducción5<br />Contenido<br />Planteamiento del problema6<br />Consideraciones generales8<br />Prueba utilizando el Teorema Chino de los Restos10<br />Prueba utilizando el Teorema de Dirichlet relativoa los primos que se encuentran en progresiones aritméticas12<br />Prueba utilizando la Estructura de la Teoría de las Unidades13<br />Prueba utilizando el Teorema de Bertrand – Chebyshev15<br />Prueba utilizando los Teoremas de Erdös y Ramanujan17<br />Conclusión20<br />Recomendaciones21<br />Bibliografía22<br />AGRADECIMIENTO<br />En primera instancia a la Vida, por haberme concedido las herramientas suficientes para progresar académicamente, así como la oportunidad de elaborar este documento; a mis padres y hermanos, que sin dudar han extendido la mano en mi ayuda siempre que lo he necesitado; a todos los Profesores que me dictaron clase durante mis estudios, de manera particular al profesor Jaime Gutiérrez por guiar mi trabajo de graduación. Finalmente a mis amigos, que han sabido decirme las palabras apropiadas en los momentos en que lo he necesitado; y a quienes, en mayor o menor escala, han contribuido en mi formación universitaria.<br />DEDICATORIA<br />A mis padres Eriberto Araúz y Aura Ma. Doris Valdés, a mis hermanos y al barrio de El Chorrillo, de donde he salido y en el que me he educado.<br />INTRODUCCIÓN<br />Antes de iniciar en sí con el contenido de este documento, debemos mencionar y resaltar una característica del ser humano que le ha permitido, a lo largo de la historia, haber desarrollado o descubierto resultados muy importantes; no sólo en el Mundo Matemático, sino en otras disciplinas científicas… Y es que la curiosidad matemática es precisamente la que se hace “tangible” en la manera en que surge nuestro tema a desarrollar; y el cual no se escapa de la manera natural en que se presentan los problemas en la Teoría de Números: “entendibles hasta para quienes no son matemáticos, pero cuya demostración no resulta tan fácil de concebir como su formulación”.<br />¿Qué tienen los divisores de 24 que no tiene ningún otro entero positivo? En este documento se dará una caracterización de los divisores de 24, basándonos en las tablas de multiplicar modular. Se realizarán los análisis pertinentes para dar respuesta a una simple pregunta formulada por un estudiante en un salón de clase.<br />¿Cuáles son todos los valores de n para los cuales, en las tablas de multiplicar modular de Zn, se producen 1’s en la diagonal y nunca fuera de ella? Se dará respuesta a esta interrogante utilizando diversas herramientas de la Teoría de Números; éstas son: el Teorema Chino de los Restos, la Teoría de la estructura de las unidades en Zn, el Teorema de Dirichlet sobre primos en una progresión aritmética, el Teorema de Bertrand-Chebyshev y algunos resultados de Erdös y Ramanujan. No hay duda de que algunas de estas herramientas son bastante complejas, sin embargo, el objetivo lúdico, y el punto de este documento, es introducirnos en temas de interés en la Teoría de Números como posible vía a esta pregunta que surgió de forma natural en clase; y para mostrar el resultado de las interconexiones entre estos temas.<br />¿QUÉ TIENEN DE ESPECIAL LOS DIVISORES DE 24?<br />1. Planteamiento del problema<br />Los divisores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. Para despertar el interés y curiosidad del lector se plantea el siguiente acertijo: ¿Qué hay de interesante en una caracterización teórica de los divisores de 24 entre todos los enteros positivos? Probablemente hay varias caracterizaciones de estos números. En este documento se dará una caracterización en términos de las tablas de multiplicar modular. Esta idea evolucionó (se desarrolló) a partir de una interesante pregunta formulada por un joven (llamado Elliot) a su profesor (Sunil Kumar Chebolu) en la clase de Teoría Elemental de Números... Poco después de presentar el nuevo mundo de Zn, el profesor pidió a los estudiantes que escribieran las tablas de multiplicar para Z2, Z3, y Z4. Luego, con la ayuda de un software, les mostró la tabla de multiplicar para Z8; con el objeto de dirigir su atención a algunas diferencias entre las tablas modulares para números primos y compuestos.<br />*01234567000000000101234567202460246303614725404040404505274163606420642707654321<br />Tabla 1. Tabla de multiplicar modular para Z8<br />Al ver estas tablas Elliot preguntó: “Veo que los 1’s, en las tablas de multiplicación, aparecen solo en la diagonal. ¿Esto siempre es cierto?” Por supuesto, su tutor buscó una respuesta satisfactoria. Los 1’s no siempre aparecen en la diagonal y un ejemplo a considerar es en Z5, donde el número 1 aparece en la posición (2,3), es decir, fuera de la diagonal; y que corresponde a la multiplicación<br />(2)(3) = 1 en Z5<br />De igual manera, en Z9, aparece el número 1 en la posición (2,5); fuera de la diagonal.<br />Después de haber visto algunos ejemplos con 1’s solo en la diagonal y algunos con 1’s fuera de ella, la siguiente pregunta pide ser contestada. ¿Cuáles son todos los valores de n para los cuales, en las tablas de multiplicar de Zn, se producen 1’s en la diagonal y nunca fuera de ella?<br />En este documento se investigará este asunto utilizando diversas herramientas de la Teoría de Números y lo vincularemos con algunos temas interesantes, a priori, lejos y sin relación con este tópico. Específicamente, las herramientas a usar son el Teorema Chino de los Restos, la Teoría de la estructura de las unidades en Zn, el Teorema de Dirichlet sobre primos en una progresión aritmética, el Teorema de Bertrand-Chebyshev y algunos resultados de Erdös y Ramanujan. No hay duda de que alguna de estas herramientas son bastante complejas a la, relativamente simple, cuestión bajo investigación. Sin embargo, lo divertido, y el punto de este documento, es introducirnos en temas de interés en la Teoría de Números como posible vía a esta pregunta que surgió de forma natural en un aula, y para mostrar el resultado de las interconexiones entre estos temas.<br />La pregunta objeto de investigación se responde en el siguiente teorema.<br />Teorema. La tabla de multiplicación para Zn contiene 1’s solamente en la diagonal si y solo si n es divisor de 24.<br />Se debe señalar que el divisor trivial 1 de 24 correspondiente a Z1, consiste en un solo elemento (0). Por lo tanto el requisito de los 1’s en la diagonal es vacuamente cumplido en este caso.<br />Se darán cerca de cuatro a cinco pruebas diferentes de este teorema, pero antes de ahondar en estas pruebas, se inicia con algunas generalidades.<br />2. Consideraciones generales<br />Comenzamos examinando, más de cerca, la condición de que “los 1’s en la tabla de multiplicar de Zn ocurren solo a lo largo de la diagonal”. Para mayor comodidad, nos referiremos a esto como la condición diagonal (como propiedad de n). Fijemos los representantes de los elementos de Zn:<br />Zn=0, 1, 2, … , n-1<br />Supongamos que hay un 1 en la posición (a,b) en la tabla de multiplicar para Zn. Esto significa que ab=1 en Zn (a, y por tanto también b, es llamado inversible en Zn). Si la condición diagonal vale para n, entonces (a,b) tiene que ocupar una posición en la diagonal. Esto significa que a=b, y por lo tanto a2=1 en Zn, o equivalentemente n| a2 -1. Teniendo ya estas consideraciones se formula la siguiente proposición.<br />Proposición 2. 1. Sea a ∈Zn. Entonces a es inversible en Zn si y solo si (a,n)=1.<br />Demostración.<br />(⟹) Si a es inversible en Zn, existe b en Zn tal que ab=1. Lo cual se puede expresar como:<br /> ab≡1mod n⟺n|(ab-1)⟹ab-1=nk, k∈Z⟹ab-nk=1⟹a,n=1<br />(⟸) Si a,n=1, por la ecuación de Bezout se tiene que:<br /> ax+ny=1;x, y∈Z⟹ax-1=-ny⟹n|(ax-1)⟺ax≡1(mod n)<br />Luego queda probado que a es inversible en Zn si y solo si (a,n)=1.□<br />También con facilidad se observa que los siguientes enunciados son equivalentes.<br />Proposición 2. 2. Sea n un entero positivo, luego las siguientes afirmaciones son equivalentes.<br />(1) Los 1’s en la tabla de multiplicación de Zn se producen sólo en la diagonal.<br />(2) Si a es un elemento inversible en Zn, entonces a2=1 en Zn.<br />(3) Si a es un entero que es primo relativo con n, entonces n divide a a2-1.<br />(4) Si p es un primo que no divide a n, entonces n divide a p2-1.<br />Demostración. Sólo probaremos que las proposiciones (3) y (4) son equivalentes.<br />(⟹) Si p es un primo que no divide a n, se tiene que (p,n)=1, por tanto se cumple que n|(p2-1).<br />(⟸) Sean (a,n)=1 y p un divisor primo de a, en consecuencia p∤n; entonces n divide a p2-1, pero p2-1 divide a a2-1. Luego, transitivamente, n divide a a2-1.□<br />Se utilizarán estas declaraciones equivalentes (indistintamente) para referirse a los números enteros que tiene la propiedad diagonal.<br />3. Prueba utilizando el Teorema Chino de los Restos<br />El Teorema Chino de los Restos es una forma clásica de hablar acerca de las soluciones simultáneas a un sistema de congruencias lineales. Lo mismo puede afirmarse como un isomorfismo de anillos<br />Zab≅ Za⊕Zb<br />siempre que a y b sean enteros positivos que son primos entre sí. (La multiplicación de Za⊕Zb se hace componente a componente). Argumentamos esto en base a lo siguiente:<br />Si a y b son enteros positivos y son primos relativos entre sí, entonces:<br />f: Zab -> Za x Zb β -> fβ=(βa,βb)<br />donde βa es la clase de equivalencia de β en Za y de igual forma βb es la clase de equivalencia de β en Zb. Ahora probamos que f es un isomorfismo:<br />Utilizando las propiedades de congruencia modular, es fácil mostrar que f es un morfismo de anillos.<br />Es sobreyectiva, porque por el Teorema Chino de los Restos el sistema:<br />x≡α1mod a<br />x≡α2mod b<br />tiene solución única módulo el producto ab, pues por hipótesis (a,b)=1; y la cual, con una construcción adecuada, está dada por la siguiente suma x=α1bba-1+α2aab-1. Ahora probamos que x es la solución al sistema de congruencias:<br />x≡α1bba-1+α2aab-1≡α1mod ax≡α1bba-1+α2aab-1≡α2mod b<br />Por tanto x es la solución simultánea a las dos congruencias.<br />Como f es sobreyectiva y además Zab y Za x Zb tienen la misma cantidad de elementos, se tiene que f es inyectiva.<br />Luego f es un isomorfismo de anillos, es decir: Zab≅ Za x Zb. Y es precisamente este isomorfismo el que utilizaremos para dar la prueba geodésica del teorema principal.<br />Para iniciar, primero considere el caso cuando n es impar. Si n es impar, (2,n)=1. Luego con el fin de que n posea la propiedad diagonal, n tiene que dividir a 22 -1 = 3. Esto significa que n puede tener tiene que ser 1 ó 3, los cuales tienen la propiedad diagonal. Consideremos ahora el caso en que n es una potencia de 2, es decir 2t. Ahora tenemos que (3,n)= 1. Al igual que antes, para n tener la propiedad diagonal, n tiene que dividir 32 -1 = 8. Es fácil ver que todos los divisores de 8 tienen la propiedad diagonal. Se exponen estos dos casos, junto con la simple observación de que cualquier número entero positivo n puede ser escrito de manera única como:<br />n = 2t k,<br />donde k es impar y t es un número entero no negativo. Entonces por el Teorema Chino de los Restos obtenemos el siguiente isomorfismo:<br />Zn≅Z2t⊕Zk<br />A partir de este isomorfismo es fácil ver que n tiene la propiedad diagonal si y sólo si ambos 2t y k tienen la propiedad diagonal. Combinando estas piezas, se deduce que los únicos números enteros con la propiedad diagonal son los divisores de (8)(3)=24.<br />4. Prueba utilizando el Teorema de Dirichlet relativo a los primos que se encuentran en progresiones aritméticas<br />4.1. Antecedentes históricos<br />Fig. 1 Johann Peter GustavLejeune Dirichlet<br />La progresión aritmética de los números impares 1, 3, 5,…, 2n+1,… contiene una cantidad infinita de números primos. Es natural preguntarse si otras progresiones poseen esta propiedad... Fue Johann Peter Dirichlet (1805 – 1859) el primero en demostrar que una progresión aritmética de primer término h y diferencia k, cuyos términos son todos de la forma kn+h, con n∈N*, contiene una infinidad de primos si (h,k)=1. Resultado que, además, es una extensión de gran alcance del teorema de Euclides de la infinitud de los números primos y uno de los más hermosos de toda la Teoría de Números.<br />Recordemos que Euler demostró la existencia de una infinidad de números primos probando que la serie p-1, extendida a todos los primos, diverge. La idea de Dirichlet consiste en demostrar un teorema análogo cuando los primos se hallan obligados a pertenecer a la progresión dada en el párrafo anterior. En una famosa memoria publicada en 1837 Dirichlet alcanzó este objetivo por métodos analíticos ingeniosos, pues se salió del reino de los enteros e introdujo instrumentos de Análisis tales como los límites y continuidad.<br />4.2. Prueba<br />El Teorema afirma que dado dos enteros cualesquiera s y t que son primos relativos entre sí, la progresión aritmética {sx+t|x∈Z*} contiene infinitos números primos. Usaremos este resultado para demostrar el teorema principal.<br />Sea n un entero que tiene la propiedad diagonal. Entonces n tiene la característica de que para cualquier primo p que no le divide, se cumple que n|p2-1. Si n|p2-1, luego para todo divisor primo q de n, q divide a p-1 ó p+1. En otras palabras, cada primo p que no divide a n tiene que ser de la forma qx+1 ó qx-1 para cada divisor primo q de n. Esto es claramente una condición fuerte sobre n. Si existe un divisor primo q0 de n que es mayor que 3, entonces tenemos una progresión aritmética q0x+r:x≥0, donde r≠0, 1 ó q0-1 y 0≤r≤q0-1. Note que q0,r=1 y por el Teorema de Dirichlet sabemos que esta progresión aritmética tiene un número infinito de números primos. En particular, contiene un primo p0 que no divide a n. Esta elección de p0 no cumple con el requisito de que es uno de la forma qx+1 ó qx-1 para cada divisor primo q de n; se produce un error en la construcción de q=q0. El resultado es que no hay ningún divisor primo de n que es mayor que 3, lo que significa que n es de la forma 2u3v. El número primo más pequeño que es primo relativo con cada número de la forma 2u3v es 5. Nuestra proposición dice entonces que, n tiene que dividir a 52-1=24, como se deseaba.<br />5. Prueba utilizando la Estructura de la Teoría de la Unidades<br />El conjunto de elementos invertibles enZn son denotan por Rn. Este conjunto forma un grupo abeliano bajo la multiplicación, lo cual se puede comprobar rápidamente. La estructura de grupo de Rn ha sido completamente determinada. Para explicarlo sea n=p1c1p2c2∙∙∙pkck la descomposición en primos de n (> 1). Usando el Teorema Chino de los Restos, se demuestra que existe el siguiente isomorfismo de grupos<br />Rn≅Rp1c1⨁Rp2c2⋅⋅⋅⨁Rpkck<br />Por tanto, es suficiente explicar la estructura de Rpc. La misma está dada por:<br />Rpc≅C1, si pc=21C2, si pc=22C2⨁C2c-2, si pc=2c y c≥3Cϕ(pc), si p es impar<br />Donde Ck es el grupo cíclico de orden k, y ϕ(x) es la función de Euler, que indica el número de enteros positivos menores que x que son primos relativos con x.<br />Volviendo a nuestro problema, recordamos la proposición anterior que dice que n tiene la propiedad diagonal si y sólo si a2=1 para todo a en Rn. Por lo tanto nuestra tarea es simplemente identificar a los grupos de la lista anterior que tienen la propiedad de que cada uno de sus elementos tiene, a lo sumo, orden dos. C1 y C2, obviamente tienen esta propiedad. C2⨁C2c-2 tendrá esta propiedad si y sólo si c-2≤1 ó c≤3. Finalmente, Cϕ(pc) tendrá esta propiedad para p impar si y sólo si ϕpc=pc-1(p-1)≤2. Es fácil ver que esto es posible precisamente cuando pc=3. A partir de estos cálculos se observa que un entero n con la propiedad diagonal no puede tener un divisor primo mayor que 3. Por otra parte, la potencia máxima de 3 en n tiene que ser 1 y la de dos tiene que ser 3. La colección de estos enteros se da por <br />n=2u3v, donde 0≤u≤3, 0≤v≤1,<br />que son exactamente los divisores de 24.<br />Nota: Tenga en cuenta que el grupo abeliano Rn tiene una natural estructura del espacio vectorial F2, precisamente cuando a2=1 para todo a en Rn. Por lo tanto podemos decir que n tiene la propiedad diagonal si y sólo si Rn es naturalmente un espacio vectorial sobre F2.<br />En las dos secciones siguientes vamos a utilizar algunos resultados en Teoría de Números para demostrar que si n tiene la propiedad diagonal, entonces n≤24. Los valores de un número finito de n hasta 24 pueden ser tratados por separado para probar el teorema principal.<br />6. Prueba utilizando el Teorema de Bertrand - Chebyshev<br />6.1. Antecedentes históricos<br />1212215332740107315-391160Fig. 2. Joseph Louis Bertrand (izq.) y Pafnuti Lvóvich Chebyshov (der.)<br />En el año 1845, Joseph Bertrand (1822-1900) postula que si n≥2, entonces siempre hay un número primo entre n y 2n. Aunque no dio una prueba, él lo verificó para todos los valores de n hasta tres millones. Unos años más tarde (1850) Pafnuti Chebyshev (1821-1894) dio una prueba analítica de este resultado. Una prueba elemental, sin embargo, tuvo que esperar casi un siglo. En su primer artículo en 1932, Erdös dio una bella prueba elemental de este teorema usando nada más que algunas propiedades de los coeficientes binomiales que son fácilmente verificables.<br />Veamos lo que este teorema tiene que decir acerca de nuestro cuestionamiento.<br />6.2. Prueba<br />Sea n un entero con la propiedad diagonal. Esto es, dado un primo p que no divide a n, n|p2-1. Tenga en cuenta que si n divide a p2-1, entonces p2-1≥n, ó p≥n+1. De manera equivalente, mirando la contrarecíproca, tenemos la siguiente declaración, que es más atractiva. Si p<n+1 entonces p divide a n.<br />Hay varias maneras de proceder desde este punto, y aquí se presenta una. Supongamos que n+14>5(⟺n+1>202) y consideramos los intervalos siguientes<br />n+14,n+12,n+12,n+1<br />Por el teorema de Bertrand-Chebyshev cada uno de estos intervalos tiene al menos un primo. Tenga en cuenta que estos dos números primos son menores que n+1. También, los primos 2, 3 y 5 son menores que n+1 porque se supone que n+14 es mayor o igual que 5. Por lo tanto, todos estos números primos, así como su producto, dividen a n. En particular, el producto de estos primos es a lo sumo n. De esto tenemos la siguiente desigualdad<br />23(5)n+14n+12≤n<br />Que se simplifica a<br />15(n+1)≤4n<br />Esto es imposible, por lo tanto debemos tener que n+14<5, lo que significa que n+1<202 ó n≤398. Ahora afirmamos que n+1≤7. Si no es así, entonces el producto 210 de los primos 2, 3, 5 y 7 dividiría a n. Puesto que n≤398, sólo hay una posibilidad, es decir, n=210. Sin embargo, 210 no tiene la propiedad diagonal, porque 11191=2101≡1(mod210). Por lo tanto n+1≤7 ó n≤48.<br />Ahora veamos qué pasa si n+1>5. En este caso, los primos 2, 3 y 5 dividen a n. Por lo tanto, también su producto, 30, divide a n. El único múltiplo de 30 menor que 48 es 30 mismo, que no tiene la propiedad diagonal, porque 137=90≡1(mod 30). Por lo tanto n+1≤5, lo que significa que n≤24, sin duda el mejor salto que se puede obtener.<br />El cálculo anterior se puede simplificar un poco, si se utiliza una generalización del teorema de Bertrand-Chebyshev debido a Erdös, como veremos en la siguiente sección.<br />7. Prueba utilizando los Teoremas de Erdös y Ramanujan<br />103505210820-904875812800Fig. 3 Paul Erdös (izq.) y Srinivasa Ramanujan (der.)<br />7.1. Antecedentes históricos<br />Existe diferentes variaciones impresionantes, así como generalizaciones del Teorema de de Bertrand - Chebyshev. Un ejemplo de estas generalizaciones se le debe a Paul Erdös (1913-1996); ésta dice que si n≥6, entonces hay por lo menos dos números primos entre n y 2n. Este teorema fue demostrado de forma independiente por Ramanujan (1887-1920). Y se usará dicho teorema para simplificar la prueba anterior. Pero antes, para conocer un poco más de la gran historia de Ramanujan, tomaremos una cita de la biografía de este gran matemático elaborada por André Weil:<br />“Este joven cuya carrera fue bloqueada por su pobre conocimiento del inglés, tuvo que vegetar en trabajos inferiores como contable, que consiguió gracias a la protección de algunos patronos a los que interesó su trabajo; por su cuenta y sin ningún apoyo llevó a cabo sus investigaciones en teoría de números, la teoría de las series y las fracciones continuas. Habiendo tenido acceso tan sólo a anticuados y mediocres libros de texto británicos, no conocía ni tan siquiera la noción de convergencia de una serie. Por un accidente fortuito algunos de sus resultados cayeron en manos de Hardy, que se apresuró a arreglar su viaje a Inglaterra hacia 1916. Allí Ramanujan escribió sus trabajos más importantes a los cuales debió, algunos años después, su elección como Fellow de la Royal Society, un título de gran prestigio nunca hasta entonces concedido a alguien de India. Pero durante su estancia en Inglaterra Ramanujan contrajo tuberculosis; murió en 1920, al poco tiempo de regresar a su país, donde nunca llegó a concedérsele una posición académica. Así pues, nunca fundó escuela ni tuvo alumnos”.<br />Ahora veamos cómo utilizamos los resultados de estos grandes matemáticos de la historia en la demostración de nuestro teorema principal.<br />7.2. Prueba<br />Asumimos que n tiene la propiedad diagonal. Entonces, como antes, tenemos la implicación, “p<n+1⇒p|n”. Ahora consideremos un solo intervalo<br />n+12,n+1<br />Si n+12≥6 (⟺n+1≥144), este intervalo tiene por lo menos dos primos por el Teorema de Erdös. Desde n+12≥6, los números primos 2, 3 y 5 serán menores que n+ 1. Argumentando como antes, entonces tenemos la siguiente desigualdad<br />23(5)n+122≤n<br />que se simplifica para obtener 30n+ 1≤4n, y que es una contradicción. Por lo tanto, n+ 1<12 ó n+1<144. Ahora se procede como antes, en primer lugar demostrar que n+1 <7. Si no, entonces los primos 2, 3, 5 y 7; así como su producto 210, dividen a n. Esto es imposible porque n+1<144. Así n+1≤7 lo que significa que n≤48. Del mismo modo, si n+1>5, los primos 2, 3 y 5; y también su producto 30, dividen a n. El único múltiplo de 30 menor que 48 es el mismo 30, que no posee la propiedad diagonal. Por tanto n+1≤5, lo que quiere decir que n≤24.<br />Esto es sólo el comienzo. Aquí se encuentra una generalización salvaje y genial, debido a Ramanujan. Sea π(x) que denota el número de primos menores o iguales a x. Ramanujan demostró que:<br />πx-πx2≥1, 2, 3, 4, 5, …si x≥2, 11, 17, 29, 41, … respectivamente<br />Los números 2, 11, 17, 29, 41, … son llamados los primos de Ramanujan. Tenga en cuenta que el Teorema de Bertrand – Chebyshev está cubierto por el caso especial<br />πx-πx2≥1 si x≥2<br />y el Teorema de Erdös en el caso<br />πx-πx2≥2 si x≥11<br />Hace falta decir, en la misma forma de antes, que también se pueden utilizar estos resultados más exóticos de Ramanujan para hacer frente a nuestra pregunta.<br />CONCLUSIÓN<br />Luego de haber demostrado que la tabla de multiplicación para Zn contiene 1’s solamente en la diagonal si y solo si n es divisor de 24, debo decir que: indudablemente la Teoría de Números es una de las áreas de la Matemática que más me ha llamado la atención, sobre todo ahora que se ha profundizado un poco en algunos resultados importantes de la misma: el Teorema Chino de los Restos, el Teorema de Dirichlet sobre primos en una progresión aritmética, y otros. Pero no sólo por los resultados, sino también por la forma en que fueron obtenidos o bien por algunas particularidades en la vida de quienes trabajaron en ellos. Por ejemplo: Ramanujan demostró de manera independiente que si n≥6, entonces hay por lo menos dos números primos entre n y 2n; y que es una variación del Teorema de de Bertrand – Chebyshev formulada por Erdös. Lo impresionante es que, este y otros trabajos, los realizó sin haber tenido una formación universitaria; y por lo cual es considerado uno de los mayores genios naturales de la historia.<br />Por otro lado, se ha aprendido a valorar la estimulación que ejercen los estudiantes al momento de formular preguntas en el salón de clase, pues este documento surge precisamente por ello. Además, de que las complejas herramientas utilizadas en las demostraciones, independientemente del área en el que se hayan descubierto, se pudieron enlazar para dar respuesta a la pregunta de Elliot; poniendo de manifiesto la característica particular de los problemas en la Teoría de Números: “entendibles hasta para quienes no son matemáticos, pero cuya demostración no resulta tan fácil de concebir como su formulación”.<br />RECOMENDACIONES<br />1. Uno puede evitar toda la fuerza del Teorema de Dirichlet como se usó aquí. Es suficiente asumir el caso especial de que la progresión aritmética 5n+2 (o bien 5n+3) contiene un número infinito de números primos. Esto nos permitirá mostrar el resultado (exactamente como antes) que el 5 no puede dividir a n. Por lo tanto n tiene que dividir a 52-1=245. La prueba anterior es, sin embargo más natural. Se explica, naturalmente, porque sólo los primos 2 y 3 se pueden producir en la factorización de n.<br />2. Cubos de Multiplicación.<br />En lugar de las tablas de multiplicar, también se pueden considerar los cubos de la multiplicación. Esta es una extensión natural de la noción de una tabla de multiplicar y se define de manera similar. Dado un entero positivo n, una multiplicación cúbica para Zn es un cubo 0,n-13 cuya entrada en la coordenada i, j, k0≤i, j, k≤n-1 es el producto ijk (mod n). Ahora podemos formular la misma pregunta para estos cubos. ¿Cuáles son todos los valores de n para que la multiplicación cúbica de Zn tienen 1’s solo en la diagonal?<br />Encontrar todos enteros positivos que tienen esta propiedad, de tantas maneras como sea posible, es un proyecto divertido.<br />BIBLIOGRAFÍA<br />1. TOM APOSTOL. Editorial Reverté. 2002. Introducción a la Teoría Analítica de Números. España.<br />2. HUGO BARRANTES. Editorial EUNED. 2007. Introducción a la Teoría de Números. Costa Rica.<br />3. ANTONIO SANTIAGO. Editorial Visión Libros. Teoría de Números. España.<br />4. SUNIL KUMAR SHEBOLU. April 28, 2011. What is special about the divisors of 24? Departmenth of Mathematics, Illinois State University, USA.<br />