2. Logro
El alumno, al término de la unidad, será capaz de manejar los distintos
tipos de aplicaciones concernientes a la teoría de grafos, así como saber
utilizar los algoritmos que resuelven problemas de camino más corto y
redes de transporte.
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3. Contenido
• Algoritmo de Ford-Fulkerson para los casos:
Origen y destino conocidos
Origen y destino ficticios
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4. Introducción
El algoritmo de Ford-Fulkerson (1962) propone buscar caminos de
aumento, hasta que se alcance el flujo máximo.
Su nombre viene dado por sus creadores, L. R. Ford y D. R.
Fulkerson.
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5. Algoritmo de Ford-Fulkerson
Paso 1. Dada una red N, definimos un flujo inicial f en N como
f(e)=0 para cada e de E.
Paso 2. Etiquetamos la fuente a con (−,∞).
Paso 3. Todo vértice x adyacente a a, es etiquetado como sigue:
a) Si c(a,x)-f(a,x)>0, definimos ∆(x)=c(a,x)-f(a,x) y etiquetamos
el vértice x con (a+, ∆(x)).
b) Si c(a,x)-f(a,x)=0, dejamos el vértice x sin etiquetar.
La etiqueta (a+, ∆(x)) indica que el flujo presente de a a x puede
incrementarse mediante la cantidad ∆(x) unidades adicionales
proporcionadas desde a.
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6. Paso 4. Mientras exista x(≠a)∈ V tal que x está etiquetado y exista una
arista (x,y) tal que y no esté etiquetado, etiquetamos el vértice y:
a) Si c(x,y)-f(x,y)>0, definimos ∆(y)=mín{∆(x), c(x,y)-f(x,y)} y
etiquetamos el vértice y con (x+, ∆(y)).
b) Si c(a,x)-f(a,x)=0, dejamos el vértice y sin etiquetar.
Paso 5. Mientras exista x ≠ a tal que x está etiquetado y exista una
arista (y,x) tal que y no esté etiquetado, etiquetamos el vértice y:
a) Si f(y,x)>0, etiquetamos y como (x-,∆(y)) donde
∆(y)=mín{∆(x), f(y,x)}.
b) Si f(y,x)=0, dejamos el vértice y sin etiquetar.
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7. La etiqueta (x-, ∆(y)) indica que al disminuir el flujo de y a x, el
total del flujo que sale de y a los vértices etiquetados puede ser
disminuido en ∆(y). Estas ∆(y) unidades pueden utilizarse
entonces para aumentar el flujo total de y a los vértices no
etiquetados.
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8. ¿Cuál es flujo máximo en la siguiente red de flujos?
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Ejemplo
9. Primero asociamos un flujo inicial nulo a cada arco y etiquetamos al
nodo a:
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10. Etiquetamos todo vértice adyacente a la fuente a (b y s). Luego,
etiquetamos el vértice d (adyacente a b) y e (adyacente a s) :
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11. Etiquetamos g (a partir de d), h (a partir de e) y z (a partir de h)
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12. La variación del flujo en Z es ∆Z = 2, por tanto la red de flujos es:
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18. ORIGEN Y DESTINO FICTICIOS
Si hay múltiples fuentes y sumideros, el problema se puede reducir
al caso simple previo de una fuente y un destino.
Supongamos que se tiene {s1, s2,…, sm} fábricas y {t1, t2,…, tn}
puntos de venta, entonces la red de flujo a considerar es:
:
:
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S2
S1
S3
Sm
t1
t2
tn
t
s
