1. Mínimo múltiplo comum (MMC)
O mínimo múltiplo comum, ou m.m.c., de dois ou mais números inteiros é o menor múltiplo inteiro
positivo comum a todos eles. Por exemplo, o m.m.c. de 6 e 8 é o 24, e denotamos isso por mmc6,
8=24 Já o m.m.c. de 5, 6 e 8 é o 120, o que é denotado por mmc5, 6, 8=120.
O m.m.c. é muito útil quando se adicionam ou subtraem frações, pois é necessário um mesmo
denominador comum durante esses processos. Não é necessário que esse denominador comum seja
o m.m.c., mas a sua escolha minimiza os cálculos. Considere o exemplo:
326+18=656+756=1356, onde o denominador 56 foi usado porque mmc28, 8 = 56.
Regra prática para calcular o m.m.c. de dois números. Para calcular o m.m.c. entre 28 e 8,
fazemos o seguinte:
1. Reduzimos a fração ,28-8. aos seus menores termos:
288=72.
2. Multiplicamos em cruz a expressão obtida:
28x2=8x7=56
3. O valor obtido é o m.m.c. procurado: mmc28, 8=56.
Regra geral para calcular o m.m.c. de dois ou mais números. O procedimento geral para o
cálculo do m.m.c. envolve a decomposição primária de cada número. Por exemplo, para calcular o
m.m.c. de 8, 12 e 28, fazemos o seguinte:
1. Realizamos a decomposição primária de cada número:
8=23
12=22∙31
28=22∙71
2. Em seguida, multiplicamos cada fator primo elevado à maior potência com que aparece nas
fatorações. O resultado é o m.m.c. procurado:
mmc8, 12, 28=23∙31∙71=168
Dispositivo prático para calcular o m.m.c. de dois ou mais números. O procedimento acima tem
a seguinte forma prática de execução:
1. Alinhamos os três números, 8, 12 e 28, e dividimos todos os números que podem ser divididos
pelo primeiro primo 2. Na linha de baixo anotamos cada quociente obtido:

2. 2. Repetimos esse procedimento sucessivamente com o 2, depois com o 3 e, depois com o 7, até que
a última linha só contenha algarismos 1:
3. Agora, multiplicamos todos os fatores primos na coluna da direita, obtendo o m.m.c. procurado:
mmc8, 12, 28=2∙2∙2∙3∙7=168
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DO M.M.C. Todo múltiplo comum de dois ou mais
números inteiros é múltiplo do m.m.c. destes números.
Exemplo: os múltiplos comuns positivos de 8, 12 e 28 são exatamente os múltiplos positivos de
168, o seu m.m.c., ou seja, são 168, 336, 504,...
Exemplo: encontre o menor número inteiro positivo de três algarismos que é divisível, ao mesmo
tempo, por 3 ,4 e 15.
Solução: pela propriedade fundamental do m.m.c., o número desejado será o menor número de três
algarismos múltiplo do m.m.c. de 3, 4 e 15. Como mmc3, 4, 15=60, então o menor múltiplo de três
algarismos é o 120.
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)
O máximo divisor comum, ou m.d.c., de dois ou mais números inteiros é o maior divisor inteiro
comum a todos eles. Por exemplo, o m.d.c. de 16 e 36 é o 4, e denotamos isso por mdc16,36=8. Já
o m.d.c. de 30, 54 e 72 é o 6, o que é denotado por mdc30, 54, 72=6.
Regra geral para calcular o m.d.c. de dois ou mais números. O procedimento geral para o
cálculo do m.d.c., como no caso do m.m.c., envolve a decomposição primária de cada número. Por
exemplo, para calcular o m.m.c. de 30, 54 e 72, fazemos o seguinte:
1. Realizamos a decomposição primária de cada número:
30=21∙31∙51
36=22∙32
72=23∙32
2. Em seguida, multiplicamos os fatores primos comuns elevados à menor potência com que cada
um aparece nas fatorações. O resultado é o m.d.c. procurado:
mmc30, 36, 72=21∙31=6

3. Dispositivo prático para calcular o m.d.c. de dois ou mais números. O procedimento acima tem
a seguinte forma prática de execução:
1. Alinhamos os três números, 30, 36 e 72, e dividimos todos os números que podem ser divididos
pelo primeiro primo 2. Na linha de baixo anotamos cada quociente obtido:
2. Repetimos esse procedimento com o próximo primo que divida os três quocientes e, assim,
sucessivamente, até que não hajam mais primos comuns:
3. Agora, multiplicamos todos os fatores primos na coluna da direita, obtendo o m.d.c. procurado:
mdc30, 36, 72=2∙3=6
O ALGORITMO DE EUCLIDES PARA O CÁLCULO DO M.D.C. DE DOIS NÚMEROS.
Para o cálculo do m.d.c. de dois números, existe um dispositivo extremamente rápido e econômico.
Trata-se do algoritmo de Euclides, que descrevemos, agora, para calcular o m.d.c. de 305 e 360.
1. Dividimos o maior número, 360, pelo menor, 305, obtendo resto 55, posicionando o resto abaixo
do divisor:360/305=55
2. Em seguida, transportamos o resto 55 para o lado direito de 305 e dividimos o 305 por 55,
posicionando o novo resto abaixo do 55:
3. Repetimos esse procedimento, transportando o novo resto 30 para o lado direito de 55 e
dividimos o 55 por 30, posicionando o novo resto abaixo do 30. E continuamos assim,
sucessivamente, até obter o primeiro resto 0:
4. O penúltimo resto obtido, ou seja, o resto anterior ao primeiro resto 0, é o m.d.c. dos dois
números iniciais:mdc (305, 360) =resto anterior ao 0=5.

4. Números primos entre si ou primos relativos. Dois números inteiros são ditos primos entre si, ou
primos relativos, se o m.d.c. entre eles é 1. É o caso de 10 e 21. Como mdc (10, 21) = 1, então 10 e
21 são primos entre si.
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DO M.D.C. Todo divisor comum de dois ou mais números
inteiros é divisor do m.d.c. destes números.
Exemplo: 3 é divisor comum de 30, 36 e 72. Observe que 3 também é divisor de 6, o m.d.c. destes
três números.
EXERCÍCIOS
1. (UEL) Três ciclistas percorrem um circuito saindo todos ao mesmo tempo, do mesmo ponto, e
com o mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s, o segundo em 36 s e o terceiro em 30
s.Com base nessas informações, depois de quanto tempo os três ciclistas se reencontrarão
novamente no ponto de partida, pela primeira vez, e quantas voltas terá dado o primeiro, o segundo
e o terceiro ciclistas, respectivamente?
(A) 5 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 13 voltas.
(B) 6 minutos, 9 voltas, 10 voltas e 12 voltas.
(C) 7 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 12 voltas.
(D) 8 minutos, 8 voltas, 9 voltas e 10 voltas.
(E) 9 minutos, 9 voltas, 11 voltas e 12 voltas.
Solução
O mmc30, 36,40 = 360 s=6min é o menor tempo em que os três se encontrarão novamente no ponto
de partida. Por eliminação, já podemos marcar a letra B. Mas como encontrar o número de voltas de
casa ciclista, basta dividir o tempo de 360 segundos pelo período de uma volta de cada um deles:
1^o^o ciclista = 360/40=9 voltas; 2^o^o ciclista = 360/36=10 voltas; 3^o^o ciclista =360/30=12
voltas
Resposta: letra B.
2. (PUC) “A Dengue é uma doença causada por um vírus, transmitida de uma pessoa doente para
uma pessoa sadia por meio de um mosquito: o Aedes aegypti. Ela se manifesta de maneira súbita –
com febre alta, dor atrás dos olhos e dores nas costas – e, como não existem vacinas específicas
para o seu tratamento, a forma de prevenção é a única arma para combater a doença.”
Fonte (adaptado): prdu.unicamp.br/dengue/dengue.html
Assim sendo, suponha que 450 mulheres e 575 homens inscreveram-se como voluntários para
percorrer alguns bairros do ABC paulista, a fim de orientar a população sobre os procedimentos a
serem usados no combate à Dengue. Para tal, todas as 1.025 pessoas inscritas serão divididas em
grupos, segundo o seguinte critério: todos os grupos deverão ter a mesma quantidade de pessoas e
em cada grupo só haverá pessoas de um mesmo sexo. Nessas condições, se grupos distintos deverão
visitar bairros distintos, o menor número de bairros a serem visitados é:
(A) 25
(B) 29

5. (C) 37
(D) 41
(E) 45
Solução
Quanto maior o número de pessoas em cada grupo, menor será o número total de grupos e, portanto,
menor será o número de bairros visitados. Então, o número máximo de pessoas por grupo será o
m.d.c. entre o número de homens e o número de mulheres, ou seja, mdc 450,575 = 25 pessoas por
grupo. O número total de grupos será o número total de bairros visitados. Como temos 450/25=18
grupos de mulheres e 575/25=23 grupos de homens, teremos um total de 18+23=41 grupos e,
portanto, 41 bairros visitados.
Resposta: letra D.