Este documento apresenta os conceitos e propriedades das inequações lineares e quadráticas, incluindo suas definições, resolução, estudo de sinal e casos possíveis. As inequações lineares podem ser resolvidas aplicando propriedades como adição, subtração, multiplicação e divisão. Já as inequações quadráticas requerem análise de sinal da função, dependendo dos valores de a e Δ. Exemplos detalhados ilustram os procedimentos de resolução.

1. INEQUAC¸ ˜OES
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
1 Inequa¸c˜oes Lineares
DEFINIC¸ ˜AO
Uma inequa¸c˜ao linear ou inequa¸c˜ao do 1o
grau ´e aquela da forma:
ax + b < 0 ax + b ≤ 0 ax + b > 0 ax + b ≥ 0
PROPRIEDADES
1. Se u < v e v < w ent˜ao u < w (Transitiva)
2. Se u < v ent˜ao u + w < v + w e se u < v e w < z ent˜ao u + w < v + z
(Adi¸c˜ao)
3. Se u < v e c > 0 ent˜ao uc < vc e se u < v e c < 0 ent˜ao uc > vc
(Multiplica¸c˜ao)
Observa¸c˜ao: estas propriedades podem ser adaptadas para ≤, > e ≥.
SOLUC¸ ˜AO DE INEQUAC¸ ˜OES LINEARES
• Resolva 3(x − 1) + 2 ≤ 5x + 6
1. 3(x − 1) + 2 ≤ 5x + 6
2. 3x − 3 + 2 ≤ 5x + 6 (prop. distributiva)
3. 3x − 1 ≤ 5x + 6 (simplifica¸c˜ao)
4. (3x − 1) + 1 ≤ (5x + 6) + 1 (adi¸c˜ao)
1

2. 5. 3x ≤ 5x + 7 (simplifica¸c˜ao)
6. (3x) + (−5x) ≤ (5x + 7) + (−5x) (adi¸c˜ao)
7. −2x ≤ 7 (simplifica¸c˜ao)
8. −1
2
(−2x) ≥ 7 −1
2
(multiplica¸c˜ao)
9. x ≥ −7
2
(simplifica¸c˜ao)
Solu¸c˜ao: S = [−7/2, +∞) = {x ∈ R|x ≥ −7/2}
• Determine a solu¸c˜ao da inequa¸c˜ao
x
3
+
1
2
>
x
4
+
1
3
1. x
3
+ 1
2
> x
4
+ 1
3
2. 12 x
3
+ 1
2
> 12 x
4
+ 1
3
[multiplica¸c˜ao pelo MMC(2,3,4)=12]
3. 4x + 6 > 3x + 4 (simplifica¸c˜ao)
4. (4x + 6) + (−6) > (3x + 4) + (−6) (adi¸c˜ao)
5. 4x > 3x − 2 (simplifica¸c˜ao)
6. (4x) + (−3x) > (3x − 2) + (−3x) (adi¸c˜ao)
7. x > −2 (simplifica¸c˜ao)
Solu¸c˜ao: S = (−2, +∞) = {x ∈ R|x > −2}
• Determine a solu¸c˜ao de
−3 <
2x + 5
3
≤ 5
1. −3 < 2x+5
3
≤ 5
2. (3)(−3) < (3) 2x+5
3
≤ (3)(5) (multiplica¸c˜ao por 3)
3. −9 < 2x + 5 ≤ 15 (simplifica¸c˜ao)
2

3. 4. (−9) + (−5) < (2x + 5) + (−5) ≤ 15 + (−5) (adi¸c˜ao)
5. −14 < 2x ≤ 10 (simplifica¸c˜ao)
6. 1
2
(−14) < 1
2
(2x) ≤ 10 1
2
(multiplica¸c˜ao)
7. −7 < x ≤ 5 (simplifica¸c˜ao)
Solu¸c˜ao: S = (−7, 5] = {x ∈ R| − 7 < x ≤ 5}
• Resolva −1 ≤ 5x + 2 < 2x + 1
Neste caso, pela express˜ao possuir x ocorrendo no meio e na direita das de-
sigualdades, n˜ao ´e poss´ıvel operar direto, sendo necess´ario dividir a inequa¸c˜ao
em duas partes.
1. −1 ≤ 5x + 2 < 2x + 1
2. −1 ≤ 5x + 2 e 5x + 2 < 2x + 1 (dividindo a inequa¸c˜ao em duas partes)
3. (−1) + 1 ≤ (5x + 2) + 1 e (5x + 2) + (−2) < (2x + 1) + (−2) (adi¸c˜ao)
4. 0 ≤ 5x + 3 e 5x < 2x − 1 (simplifica¸c˜ao)
5. 0+(−5x) ≤ (5x+3)+(−5x) e 5x+(−2x) < (2x−1)+(−2x) (adi¸c˜ao)
6. −5x ≤ 3 e 3x < −1 (simplifica¸c˜ao)
7. −1
5
(−5x) ≥ 3 −1
5
e 1
3
(3x) < 1
3
(−1) (multiplica¸c˜ao)
8. x ≥ −3
5
e x < −1
3
(simplifica¸c˜ao)
Solu¸c˜ao: S = [−3/5, −1/3) = {x ∈ R| − 3/5 ≤ x < −1/3}
INEQUAC¸ ˜OES COM VALOR ABSOLUTO
1. |u| < a se e somente se −a < u < a
2. |u| > a se e somente se u < −a ou u > a
Observa¸c˜ao: < e > podem ser substitu´ıdos por ≤ e ≥
3

4. • Resolva |x − 10| < 5
SOLUC¸ ˜AO ALG´EBRICA
1. |x − 10| < 5
2. −5 < x − 10 < 5 (aplica¸c˜ao da def. 1)
3. −5 + 10 < (x − 10) + 10 < 5 + 10 (adi¸c˜ao)
4. 5 < x < 15 (simplifica¸c˜ao)
Solu¸c˜ao: S = (5, 15) = {x ∈ R|5 < x < 15}
SOLUC¸ ˜AO POR GR´AFICOS DE FUNC¸ ˜OES
Observe que os gr´aficos de y = |x − 10| (em verde) e y = 5 (em vermelho)
se interceptam em x = 5 e x = 15. O intervalo dos x entre estes dois valores
´e o intervalo aberto em que o valor da primeira fun¸c˜ao ´e menor que o da
segunda.
• Resolva |3x − 2| ≥ 5
1. |3x − 2| ≥ 5
2. 3x − 2 ≤ −5 ou 3x − 2 ≥ 5 (aplica¸c˜ao da def. 2)
4

5. 3. (3x − 2) + 2 ≤ (−5) + 2 ou (3x − 2) + 2 ≥ 5 + 2 (adi¸c˜ao)
4. 3x ≤ −3 ou 3x ≥ 7 (simplifica¸c˜ao)
5. 1
3
(3x) ≤ 1
3
(−3) ou 1
3
(3x) ≥ 7 1
3
(multiplica¸c˜ao)
6. x ≤ −1 ou x ≥ 7/3 (simplifica¸c˜ao)
Solu¸c˜ao: S = [−∞, −1] ∪ [7/3, +∞] = {x ∈ R|x ≤ −1 ∨ x ≥ 7/3}
INEQUAC¸ ˜OES COM PRODUTOS DE FUNC¸ ˜OES DO 1o
GRAU
• Resolva (2x + 3)(1 − x) > 0
A solu¸c˜ao desta inequa¸c˜ao s˜ao aqueles valores x que tornam o resultado
do produto de 2x+3 por 1−x positivo (> 0). Para isso calculamos as ra´ızes
das equa¸c˜oes 2x + 3 = 0 e 1 − x = 0, que s˜ao, respectivamente, x = −3/2 e
x = 1.
Ap´os, montamos os gr´aficos de ambas as fun¸c˜oes y = 2x + 3 e y = 1 − x,
que s˜ao retas que interceptam o eixo x em x = −3/2 e x = 1. A primeira
reta ´e crescente, pois o coeficiente que multiplica o x ´e positivo (2), enquanto
a segunda reta ´e decrescente pois o coeficiente ´e negativo (−1).
Agora montamos a solu¸c˜ao, colocando as retas R da primeira fun¸c˜ao,
da segunda e da solu¸c˜ao sobrepostas, fazendo a an´alise de sinal, ou seja
⊕ × ⊕ = ⊕, ⊕ × = , × ⊕ = e × = ⊕.
5

6. Observe que o intervalo ´e aberto pois a inequa¸c˜ao era com >, se fosse
com ≥ seria um intervalo fechado. Assim, a solu¸c˜ao ´e:
S = (−3/2, 1) = {x ∈ R| − 3/2 < x < 1}
INEQUAC¸ ˜OES COM FRAC¸ ˜OES DE FUNC¸ ˜OES DO 1o
GRAU
• Resolva a inequa¸c˜ao
3x + 2
x + 3
≤ 1
Inicialmente percebemos que esta inequa¸c˜ao n˜ao permite a an´alise de
sinal, pois `a direita da desigualdade n˜ao temos zero. Assim, primeiro temos
de manipular a inequa¸c˜ao para permitir a an´alise de sinal.
1. 3x+2
x+3
≤ 1
2. 3x+2
x+3
+ (−1) ≤ 1 + (−1) (adi¸c˜ao)
3. 3x+2
x+3
− 1 ≤ 0 (simplifica¸c˜ao)
4. 3x+2−(x+3)
x+3
≤ 0 (soma de fra¸c˜oes)
5. 3x+2−x−3
x+3
≤ 0 (inversa aditiva)
6. 2x−1
x+3
≤ 0 (simplifica¸c˜ao)
6

7. Ent˜ao, a solu¸c˜ao da inequa¸c˜ao original pode ser obtida por an´alise de
sinal na inequa¸c˜ao equivalente
2x − 1
x + 3
≤ 0
As equa¸c˜oes a serem resolvidas s˜ao 2x − 1 = 0, cuja raiz ´e x = 1/2, e
x + 3 = 0, cuja raiz ´e x = −3. Ambos os coeficientes, que multiplicam o x
nas duas equa¸c˜oes, s˜ao positivos, e isso significa que ambas as fun¸c˜oes s˜ao
crescentes. Assim, os diagramas ficam como segue.
Como a desigualdade ´e ≤ 0, estamos interessados nos valores x que tor-
nam a fra¸c˜ao negativa. A an´alise de sinal ´e mostrada na seguinte figura:
Observe que a desigualdade ´e ≤, o que pressup˜oe intervalo fechado, no
entanto, o extremo −3 ´e aberto pois ´e raiz da equa¸c˜ao do denominador.
S = (−3, 1/2] = {x ∈ R| − 3 < x ≤ 1/2}
7

8. 2 Inequa¸c˜oes Quadr´aticas
DEFINIC¸ ˜AO
Uma inequa¸c˜ao quadr´atica ou inequa¸c˜ao do 2o
grau ´e aquela da forma:
ax2
+ bx + c > 0 ax2
+ bx + c ≥ 0 ax2
+ bx + c < 0 ax2
+ bx + c ≤ 0
A solu¸c˜ao da equa¸c˜ao ax2
+ bx + c = 0 ´e dada pela f´ormula de Baskara:
x =
−b ±
√
∆
2a
∆ = b2
− 4ac
ESTUDO DE SINAL
O a e o ∆ determinam as possibilidades para a an´alise de sinal. Os casos
s˜ao os seguintes (veja as figuras):
1. a > 0 e ∆ > 0: duas ra´ızes distintas, x1 e x2, com o gr´afico da fun¸c˜ao
apresentando concavidade para cima, o que determina que o intervalo
de valores negativos da fun¸c˜ao fica entre x1 e x2;
2. a > 0 e ∆ = 0: uma raiz com duplicidade e concavidade para cima, o
que significa que a fun¸c˜ao ´e positiva em toda a reta R, excess˜ao a raiz,
em que o valor ´e zero;
3. a > 0 e ∆ < 0: n˜ao possui ra´ızes e a concavidade ´e para cima, sendo
que a fun¸c˜ao ´e positiva em toda a reta R;
4. a < 0 e ∆ > 0: duas ra´ızes distintas, x1 e x2 , e o gr´afico da fun¸c˜ao apre-
sentando concavidade para baixo, com o intervalo de valores positivos
da fun¸c˜ao entre x1 e x2;
5. a < 0 e ∆ = 0: uma raiz com duplicidade e concavidade para baixo, o
que significa que toda a reta R ´e negativa, excess˜ao a raiz;
6. a < 0 e ∆ < 0: n˜ao possui ra´ızes e a concavidade ´e para baixo, sendo
assim, os valores da fun¸c˜ao s˜ao negativos para toda a reta R.
8

9. a > 0
∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0
a < 0
∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0
SOLUC¸ ˜AO DE INEQUAC¸ ˜OES QUADR´ATICAS
• Resolva x2
+ x > 6
Primeiro colocamos a inequa¸c˜ao na forma canˆonica para que se possa
fazer a an´alise de sinal:
x2
+ x − 6 > 0
Nesta caso, estamos interessados nos valores positivos (>), e a solu¸c˜ao da
equa¸c˜ao x2
+ x − 6 = 0, aplicando Baskara, ´e:
∆ = b2
− 4ac = 12
− (4)(1)(−6) = 25 > 0
x =
−b ±
√
∆
2a
=
−1 ±
√
25
(2)(1)
=
−1 ± 5
2
= 2 e − 3
9

10. Neste caso, temos a > 0 e ∆ > 0, o que significa que os valores negativos
ficam no intervalo (−3, 2) e o intervalo positivo, que ´e a solu¸c˜ao da inequa¸c˜ao
´e S = (−∞, −3) ∪ (2, +∞). Os intervalos s˜ao abertos porque a desigualdade
da inequa¸c˜ao ´e >, se fosse ≥ seriam intervalos fechados nos extremos −3 e
2.
• Determine a solu¸c˜ao da inequa¸c˜ao
x2
+ x − 6
−x2 + 2x + 3
> 0
A an´alise do numerador resulta em a > 0, ∆ = 25 > 0, x1 = −3 e x2 = 2.
A an´alise do denominador resulta em a < 0, ∆ = 16 > 0, x1 = −1 e x2 = 3.
Os gr´aficos do numerador e do denominador s˜ao os seguintes:
A an´alise de sinal ´e mostrada na seguinte figura:
Estamos interessados nos valores positivos, maiores que zero. Concluimos
que a solu¸c˜ao da inequa¸c˜ao ´e S = (−3, −1) ∪ (2, 3).
10