1. O documento discute lógica matemática e apresenta conceitos básicos como argumento, proposição, princípios da lógica clássica e contradição. 2. Apresenta exemplos de argumentos válidos e inválidos e explica a diferença entre validade e verdade das premissas. 3. Introduz a lógica sentencial e cálculo proposicional, definindo seus elementos como símbolos proposicionais, operadores e regras para construção de fórmulas.

1. LÓGICA MATEMÁTICA
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
1 Conceitos Básicos
1.1 O Que É a Lógica?
A palavra “lógica” tem sua origem etimológica no grego logos, que sig-
nifica razão. Na filosofia é o discurso que busca a razão. A lógica estuda a
relação de consequência que regula a relação entre as premissas e a conclusão
de um argumento válido. A lógica matemática estuda a verdade ou falsidade
dos enunciados matemáticos e a validade dos argumentos matemáticos.
1.2 Argumento
Um argumento é um sistema de sentenças declarativas, uma das quais é
chamada de conclusão e as outras de premissas. Um argumento é legı́timo
(ou válido) quando a conclusão decorre, ou é consequência, de suas premissas.
A validade de um argumento é independente da verdade ou falsidade de
suas premissas e conclusão.
EXEMPLOS
1.
Todos os homens são mortais;
Todos os gregos são homens;
Logo, todos os gregos são mortais
Este argumento é legı́timo, possuindo premissas verdadeiras e conclusão
verdadeira.
1

2. As premissas do argumento são:
1. “Todos os homens são mortais”
2. “Todos os gregos são homens”
e a conclusão é “todos os gregos são mortais”.
Para verificar se o argumento é válido, basta ver se a conclusão decorre das
premissas, independente de serem verdadeiras ou falsas, tanto as premissas,
quanto a conclusão. Neste caso, podemos usar as propriedades dos conjuntos:
H conjunto dos homens
M conjunto dos mortais
G conjunto dos gregos
Isso significa que o argumento é
se H ⊆ M e G ⊆ H então G ⊆ M
que é uma propriedade dos conjuntos. Isso prova que o argumento é legı́timo.
2.
Todos os homens são mortais;
Sócrates é homem;
Logo, Sócrates é mortal.
Argumento legı́timo, com premissas verdadeiras e conclusão verdadeira.
Basta ver que, se s é Sócrates, então o argumento é
se H ⊆ M e s ∈ H então s ∈ M
que é trivialmente verdadeiro pelas propriedades dos conjuntos.
3.
Todos os homens são hábeis;
Todos os primatas são homens;
Logo, todos os primatas são hábeis.
Argumento legı́timo com premissas e conclusão falsas.
2

3. 4.
Alguns homens são hábeis;
Alguns primatas são homens;
Logo, alguns primatas são hábeis.
Argumento ilegı́timo, com premissas e conclusão verdadeiras.
H conjunto dos homens
E conjunto dos seres hábeis
P conjunto dos primatas
Para verificar que este argumento não é válido, basta ver que o argumento,
em sua primeira premissa, não afirma que H ⊆ E, mas que H ∩ E não é um
conjunto vazio. Digamos que H ∩ E = A. Sua segunda premissa afirma que
P ∩ H = B e B é não-vazio. Como nada sabemos sobre os conjuntos A e B,
a não ser que são não-vazios, não podemos afirmar que A ∩ B é não-vazio,
exigência para que P ∩E seja não-vazio. Assim, a conclusão não decorre das
premissas e o argumento não é válido.
1.3 Proposição ou Sentença
Chama-se proposição ou sentença toda oração declarativa que pode ser
classificada em verdadeira ou em falsa. Toda proposição exprime um pensa-
mento de sentido completo, transmitindo um juı́zo.
EXEMPLOS
1. “Recife é a capital de Pernambuco” é uma proposição
2. 7 > 5 é uma proposição
3. 10 + 5 = 3 é uma proposição (neste caso falsa)
4. 5 × 3 + 10 não é uma proposição pois não denota um valor-verdade
(verdadeiro ou falso)
5. 2 ∈ R? não é uma proposição pois não é uma oração declarativa, mas
uma frase interrogativa
3

4. 6. x+1 = 5 não é uma proposição, pois não exprime uma ideia completa,
já que não está especificado o valor da variável x, sendo impossı́vel
determinar se a oração é verdadeira ou falsa
1.4 Os Dois Princı́pios Fundamentais da Lógica Clás-
sica
Princı́pio da não-contradição Uma proposição não pode ser verdadeira
e falsa ao mesmo tempo
Princı́pio do terceiro excluı́do Toda proposição é verdadeira ou é falsa,
isto é, verifica-se sempre um destes dois casos e nunca um terceiro
1.5 Por Que Não Podemos Permitir a Existência das
Contradições na Lógica?
Podemos mostrar que qualquer absurdo pode ser deduzido a partir de
uma contradição. Como exemplo disto, vamos demonstrar que a afirmação
“a bengala está no canto da sala” pode ser deduzida se afirmarmos “Sócrates
morreu em 399 a.C. e Sócrates não morreu em 399 a.C.”, que é uma con-
tradição.
1. Sócrates morreu em 399 a.C. e Sócrates não morreu em 399 a.C. [Pre-
missa, o que é tomado como verdade a priori]
2. Sócrates morreu em 399 a.C. [consequência de 1, pois se duas coisas
são verdadeiras, cada uma delas é verdadeira por si mesma]
3. Sócrates morreu em 399 a.C. ou a bengala está no canto da sala [decorre
de 2, pois basta que uma afirmação P seja verdade para que a afirmação
P ou Q seja verdade, para qualquer Q]
4. Sócrates não morreu em 399 a.C. [consequência de 1]
5. A bengala está no canto da sala [decorre de 3 e 4, já que para que P ou
Q ser verdade, pelo menos um deles deve ser verdade; como sabemos
que P é falso por 4, então necessariamente Q deve ser verdadeiro]
6. Está provado.
4

5. 1.6 Condicional ou Implicação
Uma oração declarativa do tipo “se P então Q” é chamada de condici-
onal ou implicação. Um condicional declara que se P é verdadeiro então,
necessariamente, Q deve ser verdadeiro.
EXEMPLOS
1. “Se é dia, então há luz”
2. “Se todos os homens são mortais e todos os gregos são homens, então
todos os gregos são mortais” (condicional equivalente ao argumento
apresentado anteriormente)
2 Lógica Sentencial e Cálculo Proposicional
2.1 Definição e Elementos
A lógica sentencial estuda a validade das proposições ou fórmulas, defi-
nidas a partir de uma notação especı́fica, e a relação de consequência lógica
entre fórmulas. A linguagem, formada pela notação da lógica sentencial e
regras de inferência, constitui o que chamamos de cálculo proposicional.
A lógica sentencial desconsidera a estrutura interna das fórmulas. Assim,
João é amigo de José
| {z }
P
e
|{z}
∧
Pedro é amigo de Paulo
| {z }
Q
ou
P ∧ Q
onde P e Q são as letras sentenciais ou sı́mbolos proposicionais. P, Q e
P ∧ Q são proposições do cálculo proposicional. Observe que P e Q tem
uma estrutura interna, que inclui os elementos “João”, “José”, “Pedro” e
“Paulo”, e o predicado “é amigo de”. No entanto, no cálculo proposicional,
estes elementos são desconsiderados.
Os elementos que formam a lógica sentencial (formando a sintaxe da
lógica sentencial) são os seguintes:
Sı́mbolos proposicionais P, Q, R, S, . . . (letras maiúsculas do meio do
alfabeto)
5

6. Operadores São os seguintes os operadores do cálculo proposicional:
¬ ou ˜ (negação),
∧ (conjunção),
∨ (disjunção),
→ (implicação) e
≡ ou ↔ (bicondicional)
Fórmulas As fórmulas da linguagem são construı́das usando-se as seguintes
regras de construção:
• Todo sı́mbolo proposicional P é fórmula da linguagem (chamada
de fórmula atômica)
• Sejam α e β fórmulas. Então, também são fórmulas da linguagem
as seguintes expressões:
1. (¬α)
2. (α ∧ β)
3. (α ∨ β)
4. (α → β)
5. (α ≡ β)
EXEMPLOS
Provar que as seguintes expressões são fórmulas do cálculo proposicional:
1. (¬(P ∧ Q))
(a) P e Q são fórmulas (fórmulas atômicas)
(b) (P ∧Q) [pela definição 2, com P e Q sendo fórmulas, como provado
no passo anterior]
(c) (¬(P ∧ Q)) [pela definição 1, com (P ∧ Q) sendo uma fórmula,
como provado no passo anterior]
(d) Está provado
6

7. 2. ((¬P) ∧ Q)
(a) P e Q são fórmulas
(b) (¬P) [pela definição 1, com P sendo uma fórmula por 2a]
(c) ((¬P) ∧ Q) [pela definição 2, com (¬P) sendo uma fórmula por
2b e Q sendo fórmula por 2a]
(d) Está provado
3. ((P → Q) ∨ (P ≡ R))
(a) P, Q e R são fórmulas atômicas
(b) (P → Q) [pela definição 4]
(c) (P ≡ R) [pela definição 5]
(d) ((P → Q) ∨ (P ≡ R)) [pela definição 3, sendo fórmulas (P → Q)
e (P ≡ R), como provado nas linhas anteriores]
(e) Está provado
4. ((P ∨ Q) → (Q ∧ P))
(a) P e Q são fórmulas atômicas
(b) (P ∨ Q) [pela definição 3]
(c) (Q ∧ P) [pela definição 2]
(d) ((P ∨ Q) → (Q ∧ P)) [pela definição 4]
(e) Está provado
5. (P → (Q → R))
(a) P, Q e R são fórmulas atômicas
(b) (Q → R) [pela definição 4]
(c) (P → (Q → R)) [pela definição 4]
(d) Está provado
6. (P → QR) não é uma fórmula válida pois falta um conectivo entre as
proposições Q e R.
7. (P → ∨Q) não é uma fórmula válida pois dois conectivos não podem
estar juntos sem uma proposição entre eles.
7

8. REGRAS DE SUPRESSÃO DE PARÊNTESES
1. Parênteses externos podem ser omitidos
2. A negação aplica-se à menor fórmula possı́vel
3. A conjunção e a disjunção aplicam-se às menores fórmulas possı́veis
4. A associatividade é à direita
EXEMPLOS
1. (¬(P ∧ Q)) é equivalente à ¬(P ∧ Q) pela regra 1 (observe que os
parênteses que sobraram não podem ser eliminados devido à regra 2)
2. ((¬P) ∧ Q) é equivalente à ¬P ∧ Q pelas regras 1 e 2
3. ((P → Q) ∨ (P ≡ R)) é equivalente à (P → Q) ∨ (P ≡ R) pela regra
1 (os parênteses remanescentes não podem ser omitidos pela regra 3)
4. ((P ∨ Q) → (Q ∧ P)) é equivalente à P ∨ Q → Q ∧ P pelas regras 1 e 3
5. (P → (Q → R)) é equivalente à P → Q → R pelas regras 1 e 4
PRECEDÊNCIA DE OPERADORES
Maior precedência ¬
∧
∨
→
Menor precedência ≡
EXEMPLO
A fórmula P ∨ Q ∧ R deve ser entendida como P ∨ (Q ∧ R).
8

9. 2.2 Operadores Lógicos e Tabelas-Verdade
2.2.1 Negação (Não)
A proposição ¬P ou ˜P (leia-se “Não P”) tem sempre o valor oposto de
P, ou seja, se P é V (verdade), ¬P é F (falsidade) e se P é F, ¬P é V.
A tabela a seguir, chamada de tabela-verdade, resume o critério de ava-
liação de ¬P,
P ¬P
V F
F V
2.2.2 Conjunção (E)
O conectivo ∧ pode ser lido como “E”. A conjunção P ∧ Q é V (verdade)
se P e Q são ambos V. Se ao menos uma das proposições P ou Q for F
(falsidade), então a conjunção é F.
P Q P ∧ Q
V V V
V F F
F V F
F F F
2.2.3 Disjunção (Ou)
O conectivo ∨ pode ser lido como “OU”. A disjunção P ∨ Q é V se ao
menos uma das proposições P ou Q for V. Se ambas as proposições P e Q
forem F, então a disjunção é F.
P Q P ∨ Q
V V V
V F V
F V V
F F F
9

10. 2.2.4 Condicional ou Implicação (Se . . . Então . . . )
O condicional P → Q (leia-se “Se P Então Q” ou “P Implica Q”) é
um conectivo lógico que é F somente quando P é V e Q é F. Isso significa
que a verdade nunca pode implicar em uma falsidade, mas a falsidade pode
implicar em qualquer coisa. Em P → Q, P é chamado de antecedente da
implicação e Q é chamado de consequente da implicação.
P Q P → Q
V V V
V F F
F V V
F F V
2.2.5 Bicondicional ou Equivalência (Se e Somente Se)
O bicondicional P ≡ Q ou P ↔ Q (leia-se “P equivalente à Q” ou “P se e
somente se Q”) é um conectivo lógico que é V sempre que os valores-verdade
de P e Q forem idênticos e F caso contrário.
P Q P ≡ Q
V V V
V F F
F V F
F F V
2.3 Construção de Tabelas-Verdade
O valor-verdade de uma proposição depende dos valores-verdade das pro-
posições simples (sı́mbolos proposicionais ou letras sentenciais) e dos conec-
tivos que unem estas proposições. Assim, podemos definir estes valores por
meio de uma tabela chamada de tabela-verdade. Cada uma das linhas de
uma tabela-verdade corresponde a uma combinação de valores-verdade de
seus sı́mbolos proposicionais que é chamada de interpretação.
Teorema 1 A tabela-verdade de uma proposição composta por n sı́mbolos
proposicionais contém 2n
linhas.
10

11. 2.3.1 Primeira Versão
Como estratégia para a contrução da tabela-verdade, iniciamos pelos ope-
radores mais internos (os que primeiro serão avaliados) e assim sucessiva-
mente em colunas da tabela.
EXEMPLOS
1. ¬(P ∧ ¬Q)
Como n = 2, a tabela tem 22
= 4 linhas.
P Q ¬Q P ∧ ¬Q ¬(P ∧ ¬Q)
V V F F V
V F V V F
F V F F V
F F V F V
2. ¬(P ∧ Q) ∨ ¬(Q ≡ P)
P Q P ∧ Q Q ≡ P ¬(P ∧ Q) ¬(Q ≡ P) ¬(P ∧ Q) ∨ ¬(Q ≡ P)
V V V V F F F
V F F F V V V
F V F F V V V
F F F V V F V
3. ¬(P ∨ Q) → R
Neste caso, n = 3 e a tabela tem 23
= 8 linhas.
P Q R P ∨ Q ¬(P ∨ Q) ¬(P ∨ Q) → R
V V V V F V
V V F V F V
V F V V F V
V F F V F V
F V V V F V
F V F V F V
F F V F V V
F F F F V F
11

12. 2.3.2 Segunda Versão
Podemos construir uma tabela-verdade mais compacta se dividirmos a
fórmula em seus sı́mbolos (letras sentenciais e operadores), atribuindo colunas
para cada sı́mbolo e preenchendo estas colunas com seus valores-verdade.
Marcamos a coluna que corresponde ao resultado final, que é aquela que
contém o operador mais externo da expressão (último a ser avaliado).
EXEMPLOS
1. ¬(P ∧ ¬Q)
P Q ¬ (P ∧ ¬ Q)
V V V V F F V
V F F V V V F
F V V F F F V
F F V F F V F
2. (P → Q) ∧ (Q → P)
P Q (P → Q) ∧ (Q → P)
V V V V V V V V V
V F V F F F F V V
F V F V V F V F F
F F F V F V F V F
3. ¬(P ∨ Q) → R
P Q R ¬ (P ∨ Q) → R
V V V F V V V V V
V V F F V V V V F
V F V F V V F V V
V F F F V V F V F
F V V F F V V V V
F V F F F V V V F
F F V V F F F V V
F F F V F F F F F
12

13. 2.4 Tautologias, Contingências e Contradições
Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira, ou
seja, aquela cuja tabela-verdade encerra apenas a letra V (verdade) em sua
última coluna. Representamos as tautologias usando o sı́mbolo |=. Assim,
se a proposição P é uma tautologia, dizemos que |= P. Importante enfatizar
que o sı́mbolo |= é uma notação que representa um resultado semântico, ou
seja, obtido por meio de valores lógicos.
Uma contradição ou proposição logicamente falsa é uma proposição com-
posta que é sempre falsa, ou seja, aquela cuja tabela-verdade encerra apenas
a letra F (falsidade) em sua última coluna.
Uma contingência é uma proposição composta que apresenta na última
coluna de sua tabela-verdade pelo menos um V e pelo menos um F.
O conjunto das tautologias e das contingências constitui-se no conjunto
das proposições que são satisfatı́veis, ou seja, que são verdadeiras em pelo
menos uma interpretação. As proposições contraditórias são as proposições
insatisfatı́veis, ou seja, aquelas que não são verdadeiras em nenhuma inter-
pretação.
EXEMPLOS
1. P ∨ ¬P
P ¬P P ∨ ¬P
V F V
F V V
Logo, P ∨ ¬P é uma tautologia. Ou seja, |= P ∨ ¬P.
2. P ∧ ¬P
P ¬P P ∧ ¬P
V F F
F V F
Logo, P ∧ ¬P é uma contradição.
13

14. 3. P ∨ Q → P
P Q P ∨ Q P ∨ Q → P
V V V V
V F V V
F V V F
F F F V
Logo, P ∨ Q → P é uma contingência.
4. ¬(P ∧ Q) ≡ (¬P ∨ ¬Q)
P Q P ∧ Q ¬(P ∧ Q) ¬P ¬Q ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∧ Q) ≡ (¬P ∨ ¬Q)
V V V F F F F V
V F F V F V V V
F V F V V F V V
F F F V V V V V
Logo, ¬(P ∧ Q) ≡ (¬P ∨ ¬Q) é uma tautologia. Ou seja,
|= ¬(P ∧ Q) ≡ (¬P ∨ ¬Q)
2.5 Relação de Consequência Lógica
Uma proposição P é consequência lógica de um conjunto qualquer de
proposições A se, para cada interpretação v (linha da tabela-verdade) que
satisfaz todas as fórmulas do conjunto A, v também satisfaz a proposição P.
Usamos a notação A |= P para indicar que P é consequência lógica de
A, ou A acarreta P, ou A implica logicamente P. Novamente é importante
enfatizar que, assim como na notação para tautologias, |= é uma relação
semântica, obtida por meio da análise de valores lógicos.
EXEMPLOS
1. Verificar se {P, P → Q} |= Q
P Q P P → Q Q
V V V
○ V
○ V
○
V F V F F
F V F V V
F F F V F
14

15. Logo, verifica-se a relação de consequência lógica.
2. Verificar se {P ∨ Q, P → Q} |= P
P Q P ∨ Q P → Q P
V V V
○ V
○ V
○
V F V F V
F V V
○ V
○
S
S
F
F F F V F
Logo, não verifica-se a relação de consequência lógica.
3. Verificar se {P ∧ ¬P} |= Q
P Q P ∧ ¬P Q
V V F V
V F F F
F V F V
F F F F
Para concluir que a relação de consequência lógica não verifica-se é
necessário encontrar uma linha em que P ∧¬P é V, e encontrar um F na
última coluna desta linha. No entanto, como P ∧¬P é uma contradição,
não há como provar que a consequência não se verifica. Portanto,
por vacuidade, a relação de consequência lógica verifica-se neste caso.
Assim, podemos dizer que uma contradição acarreta qualquer coisa.
2.6 Regra da Substituição e Esquemas de Tautologias
Teorema 2 Seja α uma fórmula contendo o sı́mbolo proposicional X e seja
α∗
o resultado da substituição de todas as ocorrências de X em α pela fórmula
β. Logo, se |= α então |= α∗
.
Chamamos α∗
de uma instância de α e o processo de aplicação do Teo-
rema 2 de instanciação. Fica óbvio que, por meio da regra da substituição,
podemos obter infinitas instâncias de uma fórmula α qualquer.
15

16. EXEMPLOS
1. Sejam α = (P → (Q → P)), X = P e β = P ∨ Q. Então, α∗
= (P ∨
Q → (Q → P ∨ Q)). Assim, como |= (P → (Q → P)), pelo teorema
da substituição, podemos afirmar que |= (P ∨ Q → (Q → P ∨ Q)).
2. Sejam α = (P → (Q → P)), X = P e β = Q → P. Então, α∗
=
((Q → P) → (Q → (Q → P))). Assim, como |= (P → (Q → P)), pelo
teorema da substituição, podemos afirmar que |= ((Q → P) → (Q →
(Q → P))).
3. Se |= ((P → (Q → R)) → ((P → Q) → (P → R))) então, pelo
teorema da substituição, |= ((P → (Q → (Q → P))) → ((P → Q) →
(P → (Q → P)))), onde substitui-se R por Q → P.
Um esquema de fórmula representa uma infinidade de fórmulas, obtidas
por instanciamento de seus sı́mbolos proposicionais. Qualquer fórmula obtida
a partir de um esquema de tautologia, por meio de instanciação, também é
uma tautologia.
2.7 Algumas Leis da Lógica
2.7.1 Introduções e Eliminações de Sı́mbolos Lógicos
1. |= P → (Q → P)
2. |= (P → Q) → ((P → (Q → R)) → (P → R))
3. |= P → (Q → P ∧ Q)
4. |= P ∧ Q → P
5. |= P ∧ Q → Q
6. |= P → P ∨ Q
7. |= Q → P ∨ Q
8. |= (P → R) → ((Q → R) → (P ∨ Q → R))
9. |= (P → Q) → ((P → ¬Q) → ¬P)
10. |= ¬¬P → P
16

17. 11. |= (P → Q) → ((Q → P) → (P ≡ Q))
12. |= (P ≡ Q) → (P → Q)
13. |= (P ≡ Q) → (Q → P)
2.7.2 Princı́pio da Identidade, Cadeia de Inferências, Troca de
Premissas, Importação e Exportação
1. |= P → P
2. |= (P → Q) → ((Q → R) → (P → R))
3. |= P → (Q → R) ≡ Q → (P → R)
4. |= P → (Q → R) ≡ P ∧ Q → R
2.7.3 Negação do Antecedente e Contraposição
1. |= ¬P → (P → Q)
2. |= P → Q ≡ ¬Q → ¬P
2.7.4 Reflexividade, Simetria, e Transitividade da Equivalência
1. |= P ≡ P
2. |= (P ≡ Q) ≡ (Q ≡ P)
3. |= (P ≡ Q) ∧ (Q ≡ R) → (P ≡ R)
2.7.5 Associatividade, Comutatividade, Distributividade, Idem-
potência e Leis da Eliminação
1. |= (P ∧ Q) ∧ R ≡ P ∧ (Q ∧ R)
2. |= (P ∨ Q) ∨ R ≡ P ∨ (Q ∨ R)
3. |= P ∧ Q ≡ Q ∧ P
4. |= P ∨ Q ≡ Q ∨ P
5. |= P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
17

18. 6. |= P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
7. |= P ∧ P ≡ P
8. |= P ∨ P ≡ P
9. |= P ∧ (P ∨ Q) ≡ P
10. |= P ∨ (P ∧ Q) ≡ P
2.7.6 Lei da Dupla Negação, Negação da Contradição, Lei do Ter-
ceiro Excluı́do
1. |= ¬¬P ≡ P
2. |= ¬(P ∧ ¬P)
3. |= P ∨ ¬P
2.7.7 Leis de De Morgan, Negação de uma Implicação
1. |= ¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q
2. |= ¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q
3. |= ¬(P → Q) ≡ P ∧ ¬Q
2.7.8 Expressando Conectivos em Termos de Outros
1. |= P ∨ Q ≡ ¬(¬P ∧ ¬Q)
2. |= P ∧ Q ≡ ¬(¬P ∨ ¬Q)
3. |= P → Q ≡ ¬(P ∧ ¬Q)
4. |= P → Q ≡ ¬P ∨ Q
5. |= P ∧ Q ≡ ¬(P → ¬Q)
6. |= P ∨ Q ≡ ¬P → Q
7. |= (P ≡ Q) ≡ (P → Q) ∧ (Q → P)
18

19. 2.8 Método Dedutivo da Lógica Sentencial
O cálculo proposicional oferece um sistema de regras de inferência que são
capazes de gerar todas as formas de argumentos válidas da lógica sentencial.
O sistema de inferência trata apenas da manipulação de sı́mbolos, por meio de
um conjunto de regras, sem considerar os valores lógicos das expressões. Isso
significa que o sistema de inferência do cálculo proposicional é um sistema
puramente sintático. Para diferenciar este sistema do sistema semântico, que
usa o sı́mbolo |= e baseia-se em valores-verdade, o método dedutivo da lógica
sentencial usa o sı́mbolo ` para indicar as inferências.
Teorema 3 A ` P se e somente se A |= P.
2.8.1 Regras Não-Hipotéticas
Premissa (P) Qualquer premissa fornecida no enunciado da prova pode ser
introduzida na prova.
Modus Ponens (MP) De α e α → β podemos deduzir β.
Eliminação de Negação (¬E) De ¬¬α podemos deduzir α.
Introdução de Conjunção (∧I) De α e β podemos deduzir α ∧ β.
Eliminação de Conjunção (∧E) De α ∧ β podemos deduzir α ou β.
Introdução de Disjunção (∨I) De α podemos deduzir α∨β ou β∨α para
qualquer β.
Eliminação de Disjunção (∨E) De α ∨ β, α → γ e β → γ podemos
deduzir γ.
Introdução de Bicondicional (≡I) De α → β e β → α podemos deduzir
α ≡ β.
Eliminação de Bicondicional (≡E) De α ≡ β podemos deduzir α → β
ou β → α.
19

20. EXEMPLOS
• (3.4, p. 102) Provar ¬P → (Q → R), ¬P, Q ` R
1 ¬P → (Q → R) [P]
2 ¬P [P]
3 Q [P]
4 Q → R [MP 2,1]
5 R [MP 3,4]
• (3.5, p. 104) Provar ¬P → ¬¬Q, ¬¬¬P ` Q
1 ¬P → ¬¬Q [P]
2 ¬¬¬P [P]
3 ¬P [¬E 2]
4 ¬¬Q [MP 3,1]
5 Q [¬E 4]
• (3.6, p. 105) Provar P → (Q ∧ R), P ` P ∧ Q
1 P → (Q ∧ R) [P]
2 P [P]
3 Q ∧ R [MP 2,1]
4 Q [∧E 3]
5 P ∧ Q [∧I 2,4]
• (3.7, p. 105) Provar P ∧ Q ` Q ∧ P
1 P ∧ Q [P]
2 P [∧E 1]
3 Q [∧E 1]
4 Q ∧ P [∧I 3,2]
• (3.9, p. 106) Provar P ` P ∧ P
1 P [P]
2 P ∧ P [∧I 1,1]
• (3.10, p. 107) Provar P ` (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
1 P [P]
2 P ∨ Q [∨I 1]
3 P ∨ R [∨I 1]
4 (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) [∧I 2,3]
20

21. • (3.15, p. 110) Provar
(P ∨ Q) ∧ (P ∨ R), P → S, Q → S, P → T, R → T ` S ∧ T
1 (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) [P]
2 P → S [P]
3 Q → S [P]
4 P → T [P]
5 R → T [P]
6 P ∨ Q [∧E 1]
7 S [∨E 6,2,3]
8 P ∨ R [∧E 1]
9 T [∨E 8,4,5]
10 S ∧ T [∧I 7,9]
• (3.17, p. 112) Provar F ≡ (S ∨ D), S ` F
1 F ≡ (S ∨ D) [P]
2 S [P]
3 (S ∨ D) → F [≡E 1]
4 S ∨ D [∨I 2]
5 F [MP 4,3]
• (3.19, p. 112) Provar P ≡ Q ` Q ≡ P
1 P ≡ Q [P]
2 P → Q [≡E 1]
3 Q → P [≡E 1]
4 Q ≡ P [≡I 3,2]
2.8.2 Regras Hipotéticas
As regras hipotéticas fazem uso de hipóteses que são proposições tomadas
como verdadeiras a priori e, ao final do uso da regra, descartadas.
Prova do Condicional (PC) Dada uma derivação de β a partir da hipó-
tese α, podemos descartar a hipótese α e deduzir α → β.
Redução ao Absurdo (RAA) Dada uma derivação de uma contradição
a partir de uma hipótese α, podemos descartar a hipótese α e deduzir
¬α.
21

22. Observe-se que, uma vez que a hipótese foi descartada, todas as linhas que
dependem daquela hipótese já não podem mais ser usadas na prova. Para
facilitar a visualização do que foi descartado, usaremos uma linha vertical
para marcar o escopo da hipótese em uma regra hipotética.
Como estratégia de prova, devemos pensar que a regra PC serve para
provar implicações e a regra RAA serve para provar proposições negadas.
EXEMPLOS
• (3.20, p. 116) Provar P → Q, Q → R ` P → R
1 P → Q [P]
2 Q → R [P]
3

24. P [H p/PC]
4

26. Q [MP 3,1]
5

28. R [MP 4,2]
6 P → R [PC 3-5]
• (3.22, p. 118) Provar (P ∧ Q) → R ` P → (Q → R)
1 (P ∧ Q) → R [P]
2

30. P [H p/PC]
3

34. Q [H p/PC]
4

38. P ∧ Q [∧I 2,3]
5

42. R [MP 4,1]
6

44. Q → R [PC 3-5]
7 P → (Q → R) [PC 2-6]
• (3.23, p. 119) Provar P ∨ Q ` Q ∨ P
1 P ∨ Q [P]
2

46. P [H p/PC]
3

48. Q ∨ P [∨I 2]
4 P → (Q ∨ P) [PC 2-3]
5

50. Q [H p/PC]
6

52. Q ∨ P [∨I 5]
7 Q → (Q ∨ P) [PC 5-6]
8 Q ∨ P [∨E 1,4,7]
22

53. • (3.25, p. 122) Provar P → Q, ¬Q ` ¬P
1 P → Q [P]
2 ¬Q [P]
3

55. P [H p/RAA]
4

57. Q [MP 3,1]
5

59. Q ∧ ¬Q [∧I 4,2]
6 ¬P [RAA 3-5]
Observação: O argumento provado chama-se Modus Tollens.
• (3.27, p. 124) Provar ¬P → P ` P
1 ¬P → P [P]
2

61. ¬P [H p/RAA]
3

63. P [MP 2,1]
4

65. P ∧ ¬P [wedgeI 3,2]
5 ¬¬P [RAA 2-4]
6 P [¬E 5]
• (3.29, p. 125) Provar ¬P ∨ ¬Q ` ¬(P ∧ Q)
1 ¬P ∨ ¬Q [P]
2

67. ¬P [H p/PC]
3

71. P ∧ Q H p/RAA]
4

75. P [∧E 3]
5

79. P ∧ ¬P [∧I 4,2]
6

81. ¬(P ∧ Q) [RAA 3-5]
7 ¬P → ¬(P ∧ Q) [PC 2-6]
8

83. ¬Q [H p/PC]
9

87. P ∧ Q [H p/RAA]
10

91. Q [∧E 9]
11

95. Q ∧ ¬Q [∧I 10,8]
12

97. ¬(P ∧ Q) [RAA 9-11]
13 ¬Q → ¬(P ∧ Q) [PC 8-12]
14 ¬(P ∧ Q) [∧E 1,7,13]
23

98. 2.8.3 Estratégias para a Construção das Provas
Se a fórmula for Então faça
Fórmula atômica Se nenhuma estratégia é imediata (como por
exemplo um MP que tenha a fórmula atômica
como consequente de uma implicação), coloca-se
como hipótese a negação da fórmula para RAA.
Após, usa-se ¬E.
Fórmula negada Coloca-se como hipótese para RAA a fórmula, sem
o sı́mbolo de negação.
Conjunção Prove cada um dos conjunctos separadamente e
depois aplique a regra ∧I.
Disjunção
1. Caso trivial ocorre quando é possı́vel pro-
var diretamente um dos disjunctos e depois
aplicar a regra ∨I;
2. No caso em que existe uma premissa disjun-
tiva e queremos provar uma fórmula qual-
quer, tenta-se provar os condicionais ne-
cessários para obter a conclusão desejada
por ∨E;
3. Caso tenham falhado todas as opções ante-
riores, coloca-se como hipótese para RAA a
disjunção que se quer provar negada. Ao fi-
nal, aplica-se ¬E.
Condicional Coloca-se como hipótese para PC o antecedente
do condicional e deriva-se o consequente.
Bicondicional Usar PC duas vezes para obter os dois condicionais
necessários e obter o bicondicional com a regra ≡I.
24

99. EXEMPLO
(3.31, p. 128) Provar ¬(P ∧ Q) ` ¬P ∨ ¬Q
1 ¬(P ∧ Q) [P]
2

101. ¬(¬P ∨ ¬Q) [H p/RAA] ⇐ 1
○
3

105. ¬P [H p/RAA] ⇐ 2
○
4

109. ¬P ∨ ¬Q [∨I 3]
5

113. (¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬(¬P ∨ ¬Q) [∧I 4,2]
6

115. ¬¬P [RAA 3-5]
7

117. P [¬E 6]
8

121. ¬Q [H p/RAA] ⇐ 3
○
9

125. ¬P ∨ ¬Q [∨I 8]
10

129. (¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬(¬P ∨ ¬Q) [∧I 9,2]
11

131. ¬¬Q [RAA 8-10]
12

133. Q [¬E 11]
13

135. P ∧ Q [∧I 7,12]
14

137. (P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ Q) [∧I 13,1]
15 ¬¬(¬P ∨ ¬Q) [RAA 2-14]
16 ¬P ∨ ¬Q [¬E 15]
Estratégias usadas na prova:
1
○ Não havendo estratégia trivial e não existindo premissa disjuntiva, resta
tentar provar a disjunção por RAA, lançando como hipótese a negação
de ¬P ∨ ¬Q.
2
○ Para provar o RAA de 1
○ precisamos obter uma contradição, e a única
possibilidade para isso é obter a negação da linha 1, ou seja P ∧ Q.
Para isso precisamos provar os disjunctos separadamente. Nesta linha
começa a prova de P, que sendo uma fórmula atômica, consiste em
lançar a fórmula negada (¬P) para RAA. Neste caso, a única possibi-
lidade de deduzir uma contradição é com a linha 2, pois tentar com a
linha 1 seria uma volta ao problema inicial e sem saı́da.
3
○ Aqui começa a prova de Q por RAA, o segundo conjuncto necessário
para construir a contradição com a linha 1 que foi citada em 2
○.
25

138. 2.8.4 Teoremas
Algumas proposições compostas podem ser provadas sem o uso de pre-
missas ou hipóteses. Essas expressões são os teoremas ou leis do cálculo
proposicional. Para indicar que uma fórmula P é um teorema, usamos a
notação ` P.
Teorema 4 ` P se e somente se |= P.
Devido a não haver premissas para a prova de um teorema, este tipo de
demonstração sempre inicia pela aplicação de uma regra hipotética, PC ou
RAA.
EXEMPLOS
• (3.41, p. 138) Provar ` ¬(P ∧ ¬P)
1

140. P ∧ ¬P [H p/RAA]
2 ¬(P ∧ ¬P) [RAA 1-1]
• (3.42, p. 139) Provar ` P → (P ∨ Q)
1

142. P [H p/PC]
2

144. P ∨ Q [∨I 1]
3 P → (P ∨ Q) [PC 1-2]
• (3.43, p. 139) Provar ` P → ((P → Q) → Q)
1

146. P [H p/PC]
2

150. P → Q [H p/PC]
3

154. Q [MP 1,2]
4

156. (P → Q) → Q [PC 2-3]
5 P → ((P → Q) → Q) [PC 1-4]
26

157. • (3.44, p. 140) Provar ` P ≡ ¬¬P
1

159. P [H p/PC]
2

163. ¬P [H p/RAA]
3

167. P ∧ ¬P [∧I 1,2]
4

169. ¬¬P [RAA 2-3]
5 P → ¬¬P [PC 1-4]
6

171. ¬¬P [H p/PC]
7

173. P [¬E 6]
8 ¬¬P → P [PC 6-7]
9 P ≡ ¬¬P [≡I 5,8]
2.8.5 Equivalências
Um bicondicional que é um teorema é chamado de equivalência, ou seja,
` P ≡ Q. Para provar equivalências, devemos provar os dois condicionais
necessários, P → Q e Q → P, e aplicar a regra ≡I. O exemplo anterior
ilustra isso.
Vejamos mais exemplos de demonstrações de equivalências.
EXEMPLOS
• (3.47, p. 142) Provar ` (P → Q) ≡ ¬(P ∧ ¬Q)
1

175. P → Q [H p/PC] ⇐ 1
○
2

179. P ∧ ¬Q [H p/RAA] ⇐ 2
○
3

183. P [∧E 2]
4

187. Q [MP 3,1]
5

191. ¬Q [∧E 2]
6

195. Q ∧ ¬Q [∧I 4,5]
7

197. ¬(P ∧ ¬Q) [RAA 2-6]
8 (P → Q) → ¬(P ∧ ¬Q) [PC 1-7]
9

199. ¬(P ∧ ¬Q) [H p/PC] ⇐ 3
○
10

203. P [H p/PC] ⇐ 4
○
11

209. ¬Q [H p/RAA]
12

215. P ∧ ¬Q [∧I 10,11]
13

221. (P ∧ ¬Q) ∧ ¬(P ∧ ¬Q) [∧I 12,9]
14

225. ¬¬Q [RAA 11-13]
15

229. Q [¬E 14]
16

231. P → Q [PC 10-15]
27

232. 17 ¬(P ∧ ¬Q) → (P → Q) [PC 9-16]
18 (P → Q) ≡ ¬(P ∧ ¬Q) [≡I 8,17]
Estratégias usadas na prova:
1
○ Precisamos provar os dois condicionais (P → Q) → ¬(P ∧ ¬Q) e
¬(P ∧ ¬Q) → (P → Q) para, ao final, aplicar a regra ≡I. Então,
lançamos P → Q como hipótese para PC, para provar o primeiro
condicional.
2
○ Para provar ¬(P ∧ ¬Q), lançamos a fórmula, sem a negação, como
hipótese para RAA. A contradição óbvia para concluir este RAA
é Q ∧ ¬Q, pois temos como obter Q por MP com a linha 1 e ¬Q
por ∧E na linha 2.
3
○ Lançamos ¬(P ∧ ¬Q) como hipótese para PC para deduzir o se-
gundo condicional.
4
○ Usamos PC para deduzir P → Q. Para obter Q usamos RAA e a
contradição deve ser obtida com a linha 9 (não há outra opção).
Portanto, precisamos deduzir P ∧ ¬Q, como foi feito na linha 12
usando ∧I.
• (VII, 2, p. 155) Provar ` (P ∨ Q) ≡ ¬(¬P ∧ ¬Q)
1

234. P ∨ Q [H p/PC]
2

238. P [H p/PC]
3

244. ¬P ∧ ¬Q [H p/RAA]
4

250. ¬P [∧E 3]
5

256. P ∧ ¬P [∧I 2,4]
6

260. ¬(¬P ∧ ¬Q) [RAA 3-5]
7

262. P → ¬(¬P ∧ ¬Q) [PC 2-6]
8

266. Q [H p/PC]
9

272. ¬P ∧ ¬Q [H p/RAA]
10

278. ¬Q [∧E 9]
11

284. Q ∧ ¬Q [∧I 8,10]
12

288. ¬(¬P ∧ ¬Q) [RAA 9-11]
13

290. Q → ¬(¬P ∧ ¬Q) [PC 8-12]
14

292. ¬(¬P ∧ ¬Q) [∨E 1,7,13]
15 (P ∨ Q) → ¬(¬P ∧ ¬Q) [PC 1-14]
28

293. 16

295. ¬(¬P ∧ ¬Q) [H p/PC]
17

299. ¬(P ∨ Q) [H p/RAA]
18

305. P [H p/RAA]
19

311. P ∨ Q [∨I 18]
20

317. ¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ Q) [∧I 17,19]
21

321. ¬P [RAA 18-20]
22

327. Q [H p/RAA]
23

333. P ∨ Q [∨I 22]
24

339. ¬(P ∨ Q) ∧ (P ∨ Q) [∧I 17,23]
25

343. ¬Q [RAA 22-24]
26

347. ¬P ∧ ¬Q [∧I 21,25]
27

351. ¬(¬P ∧ ¬Q) ∧ (¬P ∧ ¬Q) [∧I 16,26]
28

353. ¬¬(P ∨ Q) [RAA 17-27]
29

355. P ∨ Q [¬E 28]
30 ¬(¬P ∧ ¬Q) → (P ∨ Q) [PC 16-29]
31 (P ∨ Q) ≡ ¬(¬P ∧ ¬Q) [≡I 15,30]
3 Cálculo de Predicados
Uma vez que a lógica sentencial é uma simplificação da lógica que descon-
sidera a estrutura interna das proposições, ela não consegue expressar todos
os argumentos necessários para a lógica matemática. Um exemplo simples é
um argumento que envolvesse as sentenças “Sócrates é um homem” e “todos
os homens são mortais”. A lógica sentencial não é capaz de fazer inferências
em casos assim.
Para isso, será necessário estender a linguagem da lógica matemática
pela adição de predicados e quantificadores, introduzindo o que é chamado
de lógica de predicados.
O sistema formado por essa notação, junto com o sistema de inferência
do cálculo proposicional e regras para tratar os quantificadores, é chamado
de cálculo de predicados.
29

356. 3.1 Predicados e Quantificadores
Vamos considerar a sentença “todos os homens são mortais”. Podemos
representar o conjunto dos seres humanos como H e o conjunto dos seres
mortais como M. Assim, a sentença está afirmando que
Todo H é M
ou
H ⊆ M
Introduzimos uma variável x para representar os objetos individuais deste
argumento, expressando o enunciado como
Para todo x, se x é H então x é M
ou
Para todo x, x ∈ H → x ∈ M
Adotamos o sı́mbolo ∀, chamado de quantificador universal, para repre-
sentar “para todo” e representamos x ∈ H como H(x), significando que x
é um elemento que satisfaz o predicado H. Assim, podemos reescrever a
expressão como
∀x(H(x) → M(x))
A mesma coisa pode ser feita com a sentença “alguns primatas são ho-
mens”. Consideramos os conjuntos P, para representar os primatas, e H,
para representar os seres humanos. Assim,
Existe algum x tal que x ∈ P → x ∈ H
Adotamos o sı́mbolo ∃, chamado de quantificador existencial, para repre-
sentar “existe algum”. Assim, a sentença pode ser representada como
∃x(x ∈ P → x ∈ H)
Substituindo-se x ∈ P e x ∈ H por predicados, obtemos
∃x(P(x) → H(x))
30

357. Um predicado é uma função cujo domı́nio é um conjunto arbitrário U,
chamado de universo, formado por indivı́duos de um contexto especı́fico
qualquer, e o codomı́nio é {V, F}. Para um a ∈ U, uma proposição P(a) é V
se e somente se a satisfaz o predicado P, ou seja, se e somente se a é um dos
indivı́duos pertencentes ao conjunto associado ao predicado P. Chamamos
a de letra nominal.
Por exemplo, se considerarmos o predicado H, que é satisfeito por todos
os indivı́duos que são seres humanos, então no conjunto
U = {João, José, Pedro, Paulo, Maria, Chimpanzé, Mico-leão-dourado},
os individuos de U que satisfazem o predicado H são os do subconjunto
{João, José, Pedro, Paulo, Maria}.
Podemos afirmar que
H(João) ≡ V e H(Chimpanzé) ≡ F
Neste exemplo, H(João) ≡ V significa que “João é um ser humano”.
3.2 Semântica da Lógica de Predicados
O significado do quantificador universal na fórmula ∀xP(x) é que a fór-
mula é verdadeira se e somente se todos os elementos a ∈ U satisfazem
o predicado P. Considerando o exemplo anterior, ∀xH(x) é falso pois os
indivı́duos do subconjunto {Chimpanzé, Mico-leão-dourado} não satisfazem
o predicado H.
O significado do quantificador existencial na fórmula ∃xP(x) é que a
fórmula é verdadeira se e somente se existe pelo menos um a ∈ U que satisfaz
P. No exemplo, ∃xH(x) é verdadeiro pois os indivı́duos do subconjunto
{João, José, Pedro, Paulo, Maria} satisfazem o predicado H.
O subconjunto de indivı́duos de U que satisfazem um predicado P é cha-
mado de extensão de P. Assim, o conjunto {João, José, Pedro, Paulo, Maria}
é a extensão do predicado H. Para que o quantificador existencial seja ver-
dadeiro é necessário que o predicado possua extensão não-vazia. Para que o
quantificador universal seja verdadeiro é necessário que sua extensão coincida
com o conjunto U.
31

358. 3.3 Sentenças Abertas e Fechadas
Ao estudar as proposições, vimos que a oração declarativa x + 1 = 5 não
é uma proposição pois não podemos determinar se a oração é verdadeira ou
falsa, já que não temos o valor da variável x. Uma oração declarativa deste
tipo é chamada de sentença aberta, pois nela há a ocorrência de pelo menos
uma variável livre. Uma variável livre é uma variável a qual não podemos
determinar o valor. Para tornar x + 1 = 5 uma proposição ou sentença
fechada precisamos mudar a ocorrência da variável x, que está livre, para
uma ocorrência de variável amarrada. Para isso podemos:
• Atribuir um valor arbitrário à variável x, como em x = 10 ∧ x + 1 = 5,
que é uma proposição falsa, ou x = 4∧x+1 = 5, que é uma proposição
verdadeira
• Aplicar o quantificador universal, como em ∀x(x+1 = 5), para U = R,
que é obviamente uma proposição falsa
• Aplicar o quantificador existencial, como em ∃x(x+1 = 5), para U = R,
que é uma proposição verdadeira
3.4 Método Dedutivo da Lógica de Predicados
Assim como no cálculo proposicional, o cálculo de predicados usa regras de
inferência para fazer deduções. O sistema dedutivo do cálculo de predicados
inclui todas as regras do cálculo proposicional, mais regras para tratar os
quantificadores.
3.4.1 Substituição Uniforme
Definimos a substituição uniforme da variável x em α por β, α[x/β], como
sendo a fórmula α∗
em que cada ocorrência livre de x está substituı́da por β.
EXEMPLOS
1. (x + 1 = 5)[x/10] resulta em 10 + 1 = 5
2. (x ≤ 10 ∧ x 6= 0)[x/2] resulta em 2 ≤ 10 ∧ 2 6= 0
3. (x + 1 10)[x/y + 3] resulta em (y + 3) + 1 10
32

359. 4. (H(x) → M(x))[x/s] resulta em H(s) → M(s)
5. (∀x(H(x) → M(x)))[x/s] resulta em ∀x(H(x) → M(x)) (nenhuma
substituição ocorre pois a variável não está livre)
6. (P(x)∧(∀xQ(x)))[x/a] resulta em P(a)∧(∀xQ(x)) (apenas a ocorrência
livre da variável é afetada pela substituição)
Importante observar que, na substituição uniforme, todas as ocorrências
livres da variável serão substituı́das.
3.4.2 Regras de Inferência
O sistema dedutivo do cálculo de predicados possui quatro regras de in-
ferência: Eliminação universal; introdução universal; introdução existencial;
e eliminação existencial. As regras de eliminação retiram de uma fórmula um
quantificador e as de introdução colocam um quantificador em uma fórmula.
Eliminação universal (EU) A partir da fórmula ∀xP(x) podemos deduzir
a fórmula P(x)[x/a], onde a é uma letra nominal.
Vamos usar a eliminação universal para provar o seguinte argumento:
Todos os homens são mortais;
Sócrates é um homem;
Logo, Sócrates é mortal.
Usamos os predicados H para “é um homem”, M para “é mortal” e a
letra nominal s para Sócrates. Assim, a formalização deste argumento
é
∀x(H(x) → M(x)), H(s) ` M(s)
A prova é:
1 ∀x(H(x) → M(x)) [P]
2 H(s) [P]
3 H(s) → M(s) [EU 1]
4 M(s) [MP 2,3]
Importante observar que na regra EU, todas as ocorrências de x, no es-
copo do quantificador, devem ser substituı́das. Assim, estaria incorreto
deduzir H(s) → M(x) na linha 3.
33

360. Introdução universal (IU) Dada uma fórmula P(a) = P(x)[x/a], con-
tendo a letra nominal a que não ocorra em qualquer uma das premis-
sas ou hipóteses da linha vigente, podemos deduzir a fórmula ∀xP(x),
sendo x uma variável que não ocorre em P(a).
Como exemplo de uso da introdução universal, vamos deduzir
∀x(P(x) → Q(x)), ∀xP(x) ` ∀xQ(x)
1 ∀x(P(x) → Q(x)) [P]
2 ∀xP(x) [P]
3 P(a) → Q(a) [EU 1]
4 P(a) [EU 2]
5 Q(a) [MP 4,3]
6 ∀xQ(x) [IU 5]
Observe-se que podemos usar a regra IU, pois a linha 5, da qual ela é
deduzida, depende das premissas das linhas 1 e 2, cujas fórmulas não
incluem a letra nominal a.
Vamos mostrar um contra-exemplo em que a regra IU não pode ser
usada:
1 ∀x(P(x) → Q(x)) [P]
2 P(a) → Q(a) [EU 1]
3

362. P(a) [H p/PC]
4

364. Q(a) [MP 3,2]
5

366. ∀xQ(x) [IU 4 (aplicado de forma incorreta!)]
6 P(a) → ∀xQ(x) [PC 3-5]
A razão para a aplicação da regra IU estar incorreta é que a linha 4,
da qual ela é deduzida, depende da hipótese para PC na linha 3, que
contém a letra nominal a.
Introdução existencial (IE) Dada uma fórmula P(a), contendo pelo me-
nos uma ocorrência da letra nominal a, podemos deduzir a fórmula
∃xP(x) pela substituição de uma ou mais ocorrências de a por x, desde
que x não ocorra em P(a).
Vamos mostrar um exemplo de aplicação da regra IE:
1 P(a) ∧ Q(a) [P]
2 ∃x(P(x) ∧ Q(x)) [IE 1]
34

367. Em contraste com a regra IU, na aplicação desta regra não é usada
a substituição uniforme, ou seja, não é necessário substituir todas as
ocorrências da letra nominal a:
1 P(a) ∧ Q(a) [P]
2 ∃x(P(x) ∧ Q(a)) [IE 1]
Eliminação existencial (EE) Dada uma fórmula ∃xP(x), lançamos como
hipótese para EE a fórmula P(x)[x/a] e deduzimos uma fórmula α
qualquer. Podemos descartar a hipótese e inferir α, desde que a letra
nominal a não ocorra na fórmula ∃xP(x), nem em α, nem em qualquer
premissa ou hipótese da linha vigente onde a regra EE é aplicada.
Vamos mostrar um exemplo de uso de eliminação existencial provando
∃x(P(x) ∧ Q(x)) ` ∃xP(x).
1 ∃x(P(x) ∧ Q(x)) [P]
2

369. P(a) ∧ Q(a) [H p/EE]
3

371. P(a) [∧E 2]
4

373. ∃xP(x) [IE 3]
5 ∃xP(x) [EE 1,2-4]
Devemos enfatizar que a aplicação desta regra tem as seguintes res-
trições:
1. A letra nominal a não pode ocorrer em em ∃xP(x).
2. A letra nominal a não pode ocorrer em α.
3. A letra nominal a não pode ocorrer em nenhuma premissa ou
hipótese da linha vigente onde se aplica a regra EE.
• No exemplo dado, a restrição 1 não é violada pois na linha 1 da
prova não ocorre a.
• A restrição 2 não é violada pois na linha 4 não ocorre a.
• Assim também, a restrição 3 não é violada, pois a linha 5, onde
se aplica a regra EE, depende apenas da premissa da linha 1, que
não contém a letra nominal a.
35

374. Um exemplo de mau uso da regra EE é o seguinte:
1 ∀x∃yP(y, x) [P]
2 ∃yP(y, a) [EU 1]
3

376. P(a, a) [H p/EE]
4

378. ∃xP(x, x) [IE 3]
5 ∃xP(x, x) [EE 2, 3-4 (aplicado de forma incor-
reta!)]
A razão do erro é que a regra EE foi aplicada violando a restrição 1,
pois a letra nominal a ocorre na linha 2.
EXEMPLOS
Vamos apresentar alguns exemplos de inferências feitas usando-se o método
dedutivo da lógica sentencial.
• (6.7, p. 257) Provar ¬P(a) ` ¬∀xP(x)
1 ¬P(a) [P]
2

380. ∀xP(x) [H p/RAA]
3

382. P(a) [EU 2]
4

384. P(a) ∧ ¬P(a) [∧I 3,1]
5 ¬∀xP(x) [RAA 2-4]
• (6.8, p. 257) Provar ∀x∀yP(x, y) ` P(a, a)
1 ∀x∀yP(x, y) [P]
2 ∀yP(a, y) [EU 1]
3 P(a, a) [EU 2]
Observe-se que foram necessárias duas aplicações da regra EU. Não é
possı́vel eliminar dois quantificadores em uma única aplicação de EU.
• (6.14, p. 265) Provar ∀xP(x) → ∀xQ(x), ¬Q(a) ` ¬∀xP(x)
1 ∀xP(x) → ∀xQ(x) [P]
2 ¬Q(a) [P]
3

386. ∀xP(x) [H p/RAA]
4

388. ∀xQ(x) [MP 3,1]
5

390. Q(a) [EU 4]
6

392. Q(a) ∧ ¬Q(a) [∧I 5,2]
7 ¬∀xP(x) [RAA 3-6]
36

393. • (6.18, p. 271) Provar ¬∃x(P(x) ∧ ¬Q(x)) ` ∀x(P(x) → Q(x))
1 ¬∃x(P(x) ∧ ¬Q(x)) [P]
2

395. P(a) [H p/PC]
3

399. ¬Q(a) [H p/RAA]
4

403. P(a) ∧ ¬Q(a) [∧I 2,3]
5

407. ∃x(P(x) ∧ ¬Q(x)) [IE 4]
6

411. ∃x(P(x) ∧ ¬Q(x)) ∧ ¬∃x(P(x) ∧ ¬Q(x)) [∧I 5,1]
7

413. ¬¬Q(a) [RAA 3-6]
8

415. Q(a) [¬E 7]
9 P(a) → Q(a) [PC 2-8]
10 ∀x(P(x) → Q(x)) [IU 9]
• (6.20, p. 278) Provar ∃x(P(x) ∨ Q(x)) ` ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x)
1 ∃x(P(x) ∨ Q(x)) [P]
2

417. P(a) ∨ Q(a) [H p/EE]
3

421. P(a) [H p/PC]
4

425. ∃xP(x) [IE 3]
5

429. ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x) [∨I 4]
6

431. P(a) → (∃xP(x) ∨ ∃xQ(x)) [PC 3-5]
7

435. Q(a) [H p/PC]
8

439. ∃xQ(x) [IE 7]
9

443. ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x) [∨I 8]
10

445. Q(a) → (∃xP(x) ∨ ∃xQ(x)) [PC 7-9]
11

447. ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x) [∨E 2,6,10]
12 ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x) [EE 1,2-11]
37

448. • (6.23, p. 281) Provar
∀x(P(x) → ∃yR(x, y)), ∃x(P(x) ∧ Q(x)) ` ∃x∃y(Q(x) ∧ R(x, y))
1 ∀x(P(x) → ∃yR(x, y)) [P]
2 ∃x(P(x) ∧ Q(x)) [P]
3

450. P(a) ∧ Q(a) [H p/EE]
4

452. P(a) → ∃yR(a, y) [EU 1]
5

454. P(a) [∧E 3]
6

456. ∃yR(a, y) [MP 5,4]
7

460. R(a, b) [H p/EE]
8

464. Q(a) [∧E 3]
9

468. Q(a) ∧ R(a, b) [∧I 8,7]
10

472. ∃y(Q(a) ∧ R(a, y)) [IE 9]
11

476. ∃x∃y(Q(x) ∧ R(x, y)) [IE 10]
12

478. ∃x∃y(Q(x) ∧ R(x, y)) [EE 6,7-11]
13 ∃x∃y(Q(x) ∧ R(x, y)) [EE 2,3-12]
• (6.25, p. 285) Provar ` ∀x(P(x) → P(x))
Observe-se que esta prova é sem premissas, portanto trata-se da prova
de um teorema. Assim, a primeira linha sempre será a aplicação de
uma regra hipotética.
1

480. P(a) [H p/PC]
2 P(a) → P(a) [PC 1-1]
3 ∀x(P(x) → P(x)) [IU 2]
A aplicação da regra IU na linha 3 é legı́tima pois, embora a ocorra na
hipótese P(a), esta hipótese foi descartada na linha 2.
• (6.26, p. 286) Provar ` (∀xP(x)) → P(a)
1

482. ∀xP(x) [H p/PC]
2

484. P(a) [EU 1]
3 (∀xP(x)) → P(a) [PC 1-2]
38

485. • (6.30, p. 290) Provar ` ¬∀x¬P(x) ≡ ∃xP(x)
1

487. ¬∀x¬P(x) [H p/PC]
2

491. ¬∃xP(x) [H p/RAA]
3

497. P(a) [H p/RAA]
4

503. ∃xP(x) [IE 3]
5

509. ∃xP(x) ∧ ¬∃xP(x) [∧I 4,2]
6

513. ¬P(a) [RAA 3-5]
7

517. ∀x¬P(x) [IU 6]
8

521. ∀x¬P(x) ∧ ¬∀x¬P(x) [∧I 7,1]
9

523. ¬¬∃xP(x) [RAA 2-8]
10

525. ∃xP(x) [¬E 9]
11 ¬∀x¬P(x) → ∃xP(x) [PC 1-10]
12

527. ∃xP(x) [H p/PC]
13

531. P(a) [H p/EE]
14

537. ∀x¬P(x) [H p/RAA]
15

543. ¬P(a) [EU 14]
16

549. P(a) ∧ ¬P(a) [∧I 13,15]
17

553. ¬∀x¬P(x) [RAA 14-16]
18

555. ¬∀x¬P(x) [EE 12,13-17]
19 ∃xP(x) → ¬∀x¬P(x) [PC 12-18]
20 ¬∀x¬P(x) ≡ ∃xP(x) [≡I 11,19]
Observe-se que a aplicação da regra IU na linha 7 é válida pois o P(a),
usado como hipótese na linha 3 para deduzir ¬P(a), foi descartado e
a linha 6 só depende das hipóteses das linhas 1 e 2, que não contêm
a letra nominal a. O mesmo se pode dizer da aplicação da regra EE
na linha 18, que é válida pois a letra nominal a não ocorre na linha 12
nem na linha 17.
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