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Propriedades básicas da álgebra. Módulo. Potenciação e radiciação.
Lista 2a - com respostas no livro/folha de exercícios e atendimento.
Atenção. As respostas devem ser completas, contendo todo o desenvolvimento lógico devido.
Somente conclusões nais não serão aceitas.
Demana p.12:
N46 N49 N51 N52
Demana p.20-21:
N1 N6 N9 N12 N23 N30 N41 N44 N49 N51 N53 N58 N62 N65 N67 N70 N71 N77
Observação. Os exercícios 71 e 77 é melhor resolver de modo diferente do livro. As soluções
correspondentes se encontram a seguir.
71. Compare
√
2 + 6 e
√
2 +
√
6. Solução:
Vamos mostrar que para quaiquer dois números positivos a e b tem a propriedade de que
√
a + b
√
a +
√
b. Realmente, como todos os números envolvidos são positivos (inclusive as raízes), então
elevação ao quadrado mantem o sinal: (
√
a + b)2
= a+b a+b+2
√
ab = (
√
a+
√
b)2
. Simplicando,
obtemos 0 2
√
ab, o que é uma desigualdade verdadeira. Então todas as anteriores (equivalentes
a última) também são verdadeiras, em particular a
√
a + b
√
a +
√
b.
77. Compare 22/3
e 33/4
. Solução:
Para comparar, podemos levar a mesma base ou a mesma expoente. Vamos levar a mesma expoente
(raiz): 22/3
= 28/12
= (28
)1/12
e 33/4
= 39/12
= (39
)1/12
. Como 28
39
, então 22/3
33/4
. Ou de
modo alternativo, 22/3
23/4
33/4
(na primeira desigualdade a base é a mesma e a expoente é
maior, e na segunda a expoente é a mesma e a base é maior). Usamos aqui as seguintes propri-
edades de comparação: se a b 0, então ac
bc
, para qualquer c 0; se c d, então ac
ad
para qualquer a 1 e ac
ad
para qualquer 0 a 1.
Exercícios de módulos
1. Calcule:
a) | − 4| + |3|, b) | − 4 + 3|, c) |
√
6 − 6|
Respostas: a) 7, b) 1, c) 6 −
√
6 ≈ 3, 55
2. Encontre:
a) todos os números cujo módulo é igual a 2,
b) todos os pontos cuja distãncia até o ponto 1 é igual a 3.
Respostas: a) ±2, b) −2, 4
3. Dados dois números reais a e b, verique se a seguinte armação é verdadeira:
a) a2+b2
2
≥ |ab| , b) |a| 10 ⇒ a 10 .
Respostas:
a) verdadeira: a2
+ b2
− 2|ab| = (|a| − |b|)2
≥ 0 ⇒ a2
+ b2
≥ 2|ab|;
b) falsa, para exemplicar, basta tomar a = −11 (ou qualquer número menor que −10).
