polígrafo

1. PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES
1 CONTINUIDADE
Um processo contı́nuo é um processo suave, sem mudanças abruptas ou in-
terrupções. A mesma ideia pode ser adaptada para funções. De uma forma
aproximada (adequada ao estudo introdutório de matemática), uma função é
contı́nua, em um intervalo I, se o valor da função está definido para todos os
x ∈ I, ou seja, I ⊆ dom(f), e se o valor da função não muda abruptamente
em algum x ∈ I.
EXEMPLOS
• Seja a seguinte função:
f(x) =



−2 se x ≤ −2
2 se − 2 < x ≤ 2
4 se x > 2
com dom(f) = R
1

2. Esta função apresenta descontinuidades de salto (ou pulo) em −2 e 2.
Então, os intervalos em que a função é contı́nua são (−∞, −2), (−2, 2)
e (2, +∞).
• Seja a seguinte função:
f(x) =
x se x 6= 0
1 se x = 0
com dom(f) = R
Esta função apresenta uma descontinuidade removı́vel em x = 0. Neste
caso, a função é contı́nua em (−∞, 0) e (0, +∞).
2

3. 2 FUNÇÕES LIMITADAS
Uma função f é limitada inferiormente se existe algum número b que seja
menor ou igual a todo número na imagem de f. Este número b é chamado
de cota inferior de f.
∀y ∈ img(f), b ≤ y
Uma função f é limitada superiormente se existe algum número b que seja
maior ou igual a todo número na imagem de f. Este número b é chamado
de cota superior de f.
∀y ∈ img(f), b ≥ y
EXEMPLO
Seja a seguinte função:
f(x) = 1 − x2
dom(f) = R
3

4. Essa função é limitada superiormente para qualquer b ≥ 1 e não é limitada
inferiormente.
3 FUNÇÕES PARES E SIMETRIA
Uma função par é aquela em que
Para todo x ∈ dom(f), f(−x) = f(x)
O gráfico de uma função par apresenta simetria em relação ao eixo y.
EXEMPLO
Seja a função f(x) = x2
. Então,
Para todo x ∈ dom(f), f(−x) = (−x)2
= x2
= f(x)
Logo, a função f é par. Observe no seu gráfico como ela apresenta simetria
em relação ao eixo y:
4 FUNÇÕES ÍMPARES E SIMETRIA
Uma função ı́mpar é aquela em que
Para todo x ∈ dom(f), f(−x) = −f(x)
O gráfico de uma função ı́mpar apresenta simetria em relação à origem.
4

5. EXEMPLO
Seja a função f(x) = x3
. Então,
Para todo x ∈ dom(f), f(−x) = (−x)3
= −x3
= −f(x)
Logo, a função f é ı́mpar. Observe no seu gráfico como ela apresenta
simetria em relação à origem:
EXEMPLO
Seja a função f(x) = x3
− 1. Então,
f(−x) = (−x)3
− 1 = −x3
− 1
que é diferente tanto de f(x) quanto −f(x). Essa função não é par nem
ı́mpar.
5 FUNÇÕES PERIÓDICAS
5.1 Definição de periodicidade
Uma função f é dita periódica se existe um t 6= 0 tal que f(x) = f(x + t)
para todo x ∈ dom(f). Isso significa que o gráfico da função repete-se a cada
deslocamento t no eixo horizontal.
5

6. EXEMPLO
Seja f(x) = sin(x), com t = 2π.
5.2 Verificando a periodicidade
Seja
f(x) =
2x
x2 + 1
Para determinar se a função é periódica ou não, devemos resolver a
equação f(x) = f(x+t) para t. A função é periódica se t 6= 0 e t é constante,
ou seja, independente de x.
f(x) = f(x + t)
2x
x2 + 1
=
2(x + t)
(x + t)2 + 1
2x((x + t)2
+ 1) = 2(x + t)(x2
+ 1)
t(2xt + 2x2
− 2) = 0
t = 0 ou t =
1 − x2
x
Então, a função não é periódica pois neste exemplo t é zero ou não é uma
constante (dependente de x).
6 INTERVALOS DE MONOTONIA
6.1 Função crescente e decrescente
Uma função é estritamente crescente num intervalo do seu domı́nio se para
quaisquer x1 e x2 neste intervalo, x2 x1 implica f(x2) f(x1). Uma
6

7. função é crescente num intervalo do seu domı́nio se para quaisquer x1 e x2
neste intervalo, x2 x1 implica f(x2) ≥ f(x1).
Uma função é estritamente decrescente num intervalo do seu domı́nio se
para quaisquer x1 e x2 neste intervalo, x2 x1 implica f(x2) f(x1). Uma
função é decrescente num intervalo do seu domı́nio se para quaisquer x1 e x2
neste intervalo, x2 x1 implica f(x2) ≤ f(x1).
6.2 Determinando os intervalos de monotomia algebri-
camente
EXEMPLO
Seja a função
f(x) = x2
dom(f) = R
Assumimos x2 x1 e consideremos
f(x2) − f(x1) = x2
2 − x2
1 = (x2 − x1)(x2 + x1)
• Intervalo (−∞, 0), então x1 x2 0
Neste caso, x2 − x1 0 e x2 + x1 0. Então f(x2) − f(x1) 0 e
f(x2) f(x1). A função é decrescente estritamente no intervalo.
• Intervalo (0, +∞), então 0 x1 x2
Neste caso, x2 − x1 0 e x2 + x1 0. Então f(x2) f(x1) e a função
é crescente estritamente no intervalo.
7

8. EXEMPLO
Seja a função
f(x) =
√
1 − x
dom(f) = (−∞, 1]
Consideremos x2 x1 e
f(x2) − f(x1) =
√
1 − x2 −
√
1 − x1 =
√
1 − x2 −
√
1 − x1
√
1 − x2 +
√
1 − x1
√
1 − x2 +
√
1 − x1
=
1 − x2 − (1 − x1)
√
1 − x2 +
√
1 − x1
=
x1 − x2
√
1 − x2 +
√
1 − x1
Como
√
1 − x2 ≥ 0,
√
1 − x1 0 e x1 − x2 0, f(x2 − f(x1) 0 e a
função é decrescente em todo seu domı́nio.
Uma forma alternativa de determinação da monotonia para esta função:
Sabemos que para a, b ≥ 0, a2
b2
implica a b. Então, trata-se de
comparar 1 − x2 e 1 − x1. Então,
1 − x2 − (1 − x1) = x1 − x2 0
o que significa que f(x2) f(x1).
8

9. EXEMPLO
Seja a função
f(x) = 1/x2
dom(f) = R − {0}
f(x2) − f(x1) =
1
x2
2
−
1
x2
1
=
x2
1 − x2
2
x2
2x2
1
=
(x1 − x2)(x1 + x2)
x2
2x2
1
• Intervalo (−∞, 0), x1 x2 0, então x1 − x2 0, x1 + x2 0 e
x2
2x2
1 0. Logo, f(x2) − f(x1) 0 e a função é crescente estritamente
no intervalo
• Intervalo (0, +∞), 0 x1 x2, então x1 − x2 0, x1 + x2 0 e
x2
2x2
1 0. Logo, f(x2)−f(x1) 0 e a função é decrescente estritamente
no intervalo
7 EXTREMOS
Um ponto a é chamado de máximo global da função y = f(x) num conjunto
I do seu domı́nio se, para qualquer x deste conjunto, diferente de a, vale a
seguinte propriedade: f(x) ≤ f(a).
Um ponto a é chamado de máximo global estrito da função y = f(x) num
conjunto I do seu domı́nio se, para qualquer x deste conjunto, diferente de
a, vale a seguinte propriedade: f(x) f(a).
Um ponto a é chamado de mı́nimo global da função y = f(x) num con-
junto I do seu domı́nio se, para qualquer x deste conjunto, diferente de a,
vale a seguinte propriedade: f(x) ≥ f(a).
9

10. Um ponto a é chamado de mı́nimo global estrito da função y = f(x) num
conjunto I do seu domı́nio se, para qualquer x deste conjunto, diferente de
a, vale a seguinte propriedade: f(x) f(a).
O ponto máximo ou mı́nimo global é chamado de extremo global.
EXEMPLOS
• Seja a função f(x) = 1 − x2
.
Consideremos I = [−1, 2]. Assim, a função apresenta um máximo
global estrito em x = 0 e um mı́nimo global estrito em x = 2.
• Seja a função f(x) = x com I = [0, 1).
10

11. Neste intervalo I a função apresenta um mı́nimo global estrito em x = 0
e não apresenta máximo global. Basta ver que o intervalo I é aberto à
direita, e assim podemos sempre escolher um número a ∈ [0, 1) maior
que qualquer número b ∈ [0, 1) dado, em que o valor da função é maior.
Basta fazer a = (b + 1)/2 e f(b) f(a).
11