1. Introducci´n a
o
los Vectores
Claudia Alarc´n Mustieles
o
Juan Carlos Espinoza Tapia
Jorge Salazar Serrano
Gilberto Varela Carmona

2. Definici´n
o
Un vector es una cantidad que posee magnitud y direcci´n.
o
Se representan por medio de segmentos de recta dirigidos.
Vectores equivalentes:

3. Representaci´n de un vector
o
• Cualquier vector equivalente representa a los dem´s
a
• Un vector de posici´n tiene su punto inicial en el origen
o

4. Representaci´n algebraica
o
Si v es un vector de posici´n, entonces v queda dado me-
o
diante sus componentes de la siguiente manera:
• En R2 : v = v1, v2
• En R3 : v = v1, v2, v3
• En Rn : v = v1, v2, . . . , vn

5. Vector del punto P al punto Q
Sean P (p1, p2) y Q(q1, q2) ∈ R2; el vector de P a Q se denota
−→
como P Q y est´ dado por:
a
−→
P Q = q1 − p1, q2 − p2
En Rn, Sean P (p1, p2, . . . , pn) y Q(q1, q2, . . . , qn) ∈ Rn; el
vector de P a Q est´ dado por:
a
−→
P Q = q1 − p1, q2 − p2, . . . , qn − pn

6. Tipos de vectores
Vector columna: Las componentes se escriben en forma de
columna  
u1
 u2 
 
u= . 
 . 
.
un
Vector fila Sus componentes se escriben en el mismo rengl´n
o
separados por comas.
u = (u1, u2, . . . , un)

7. Operaciones con vectores
Sean u = u1, u2, . . . , un y v = v1, v2, . . . , vn vectores en Rn
y sea c un escalar.
1. Suma: u + v = u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn
2. Multiplicaci´n escalar: c u = cu1, cu2, . . . , cun
o
3. Negativo: −u = −u1, −u2, . . . , −un
4. Diferencia: u − v = u1 − v1, u2 − v2, . . . , un − vn
5. Igualdad: u = v si y s´lo si u1 = v1, u2 = v2, . . . , un = vn.
o
6. Vector 0: Todas sus componentes son nulas 0 = 0, 0, . . . , 0

8. Geometric´mente
a
Suma:

9. Propiedades de las operaciones con vec-
tores
Sean u, v, w vectores en Rn, y sean c y d escalares.
1. u + v = v + u Propiedad conmutativa
2. (u + v) + w = u + (v + w) Propiedad asociativa
3. u + 0 = u Propiedad de la identidad aditiva
4. u + (−u) = 0 Propiedad del inverso aditivo
5. c(du) = (cd)u
6. (c + d)u = cu + du Propiedad distributiva
7. c(u + v) = cu + cv Propiedad distributiva
8. 1u = u, 0u = 0

10. Magnitud y vector unitario
Magnitud
Sea u = u1, u2, . . . , un un vector en Rn. Entonces la mag-
nitud de u est´ dada por:
a
||u|| = u2 + u2 + . . . + u2
1 2 n
Vector unitario
Un vector que tiene magnitud 1 se llama vector unitario.
Si v es un vector distinto de cero en Rn, entonces el
vector
v
u=
||v||
tiene longitud 1 y la misma direcci´n que v.
o
El proceso de obtener un vector unitario se llama normalizar.

11. Producto punto
Sean u = u1, u2, . . . , un y v = v1, v2, . . . , vn vectores en Rn.
El producto punto de u y v es el escalar dado por:
u · v = u1 · v1 + u2 · v2 + . . . + un · vn
El producto punto tambi´n se conoce como producto
e
escalar. Esto se debe que da como resultado un escalar.
Otro nombre es producto interno.

12. Propiedades del producto punto
Sean u, v, w vectores en Rn y sea c un escalar
1. u · v = v · u Propiedad conmutativa
2. u · (v + w) = u · v + u · w Propiedad distributiva
3. c(u · v) = cu · v = u · cv
4. 0 · v = 0
5. v · v = ||v||2