O documento apresenta uma lista de exercícios de geometria para o 2o ano do ensino médio, com exercícios de equações, inequações e funções trigonométricas. A lista contém 16 exercícios de equações trigonométricas, 4 exercícios de inequações trigonométricas e 13 exercícios sobre funções trigonométricas, incluindo período, conjunto imagem e gráficos. O documento fornece também o gabarito das respostas para os exercícios propostos.

1. 2ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA - 2° ANO
TERESÓPOLIS, MARÇO DE 2011.
PROFESSOR: CARLINHOS
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTICAS 7. (Fgv) No intervalo [0, 2™], a equação trigonométrica
1. (Fgv) Resolva as seguintes equações sen 2x = sen x tem raízes cuja soma vale:
trigonométricas: a) ™ b) 2™ c) 3™ d) 4™ e) 5™
a) sen x = Ë2/2, onde 0 ´ x ´ 2™
b) sen x = cos2x, onde 0 ´ x ´ 2™ 8. (Fuvest) O dobro do seno de um ângulo š, 0 < š <
™/2, é igual ao triplo do quadrado de sua tangente.
2. (Uerj) Uma população P de animais varia, Logo, o valor de seu cosseno é:
aproximadamente, segundo a equação abaixo. a) 2/3 b) (Ë3)/2 c) (Ë2)/2 d) 1/2 e) (Ë3)/3
P = 800 - 100 sen [(t + 3) ™ / 6]
Considere que t é o tempo medido em meses e que 1¡. 9. (G1) No intervalo [0, 2™], o número de soluções
de janeiro corresponde a t = 0. distintas da equação sen£(x) = [1 + cos(x)]/2 é:
Determine, no período de 1¡. de janeiro a 1¡. de a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
dezembro de um mesmo ano, os meses nos quais a
população de animais atinge: 10. (Puc-rio) Assinale o valor de š para o qual sen 2š =
a) um total de 750; tg š.
b) seu número mínimo. a) ™/2 b) ™/3 c) 2™/3 d) 4™/3 e) 3™/4
3. (Uerj) O preço dos produtos agrícolas oscila de 11. (Pucrj) Os ângulos (em graus) š entre 0° e 360°
acordo com a safra de cada um: mais baixo no período para os quais sen š = cos š são:
da colheita, mais alto na entressafra. Suponha que o a) 45° e 90° b) 45° e 225° c) 180° e 360°
preço aproximado P, em reais, do quilograma de d) 45°, 90° e 180° e) 90°, 180° e 270°
tomates seja dado pela função P(t) = 0,8 × sen
[(2™/360) (t-101)] + 2,7, na qual t é o número de dias 12. (Pucrs) O conjunto solução da equação sen(x) -
contados de 1¡. de janeiro até 31 de dezembro de um cos(x) = 0 em [0; 2™] é
determinado ano. a) { } b) {0} c) {- ™/4, ™/4}
Para esse período de tempo, calcule: d) {™/4, 3™/4} e) {™/4, 5™/4}
a) o maior e o menor preço do quilograma de tomates;
b) os valores t para os quais o preço P seja igual a R$ 13. (Uece) O número de soluções da equação:
3,10. | sen 2x | = | cos x |, no intervalo [0, 2™], é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6
4. (Ufrj) A equação x£ - 2xcosš + sen£š = 0 possui
raízes reais iguais. 14. (Ufrrj) O número de soluções da equação 2cos£x -
Determine š, 0 ´ š ´ 2™. 3cosx - 2 = 0 no intervalo [0, ™] é
a) 1. b) 0. c) 2. d) 4. e) 3.
5. (Cesgranrio) O número de raízes reais da equação
(3/2) + cosx = 0 é: 15.(Ufrrj) sen£ (x¤ + 7x£ + x + 1) + cos£(x¤ + 5x£ + 2) = 1
a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) maior do que 3. Dentre os conjuntos abaixo, o que está contido no
conjunto solução da equação acima é
6. (Fatec) O conjunto solução da equação 2cos£x + a) S = {-1/2, 1}. b) S = {1/2, 1}. c) S = {-1, -1/2}.
cosx - 1 = 0, no universo U = [0, 2™], é d) S = {-2, 1/2}. e) S = {-1, 1/2}.
a) {™/3, ™, 5™/3}
b) {™/6, ™, 5™/6} 16. (Ufsm) A soma das raízes da equação
c) {™/3, ™/6, ™} cos£x + cos x = 0, no intervalo 0 < x < 2™, é
d) {™/6, ™/3, ™, 2™/3, 5™/3} a) ™ b) 4™ c) 3™ d) 7™/2 e) 5™/2
e) {™/3, 2™/3, ™, 4™/3, 5™/3, 2™}
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2. 2ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA - 2° ANO
TERESÓPOLIS, MARÇO DE 2011.
PROFESSOR: CARLINHOS
INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1. (Uff) Determine o(s) valor(es) de x Æ IR que
satisfaz(em) à desigualdade:
cos£ x µ 2(sen x + 1)
2. (Unirio) Obtenha o conjunto-solução da inequação
senxµ1/2, sendo 0´x´2™.
3. (Unirio) Resolva a sentença
2 cos£ x - 3 cos x + 1 ´ 0, sendo 0´x<2™. 4. (Fei) Na estação de trabalho de pintura de peças de
uma fábrica, a pressão em um tambor de ar
4. (Ufrj) A equação x£ - 2xcosš + sen£š = 0 possui comprimido varia com o tempo conforme a expressão
raízes reais iguais. P(t) = 50 + 50sen[t - (™/2)], t > 0.
Determine š, 0 ´ š ´ 2™. Assinale a alternativa em que o instante t
corresponda ao valor mínimo da pressão.
a) t = ™/2 b) t = ™ c) t = 3™/2
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
d) t = 2™ e) t = 3™
1. (Ufrrj) Determine os valores reais de k, de modo que
a equação 2 - 3cosx = k - 4 admita solução.
5. (Fgv) Um supermercado, que fica aberto 24 horas
por dia, faz a contagem do número de clientes na loja
2. (Unifesp) Considere a função y = f(x) = 1 + sen
a cada 3 horas. Com base nos dados observados,
[(2™x - (™/2)] definida para todo x real.
estima-se que o número de clientes possa ser
a) Dê o período e o conjunto imagem da função f.
calculado pela função trigonométrica:
b) Obtenha todos os valores de x no intervalo [0, 1],
f(x) = 900 - 800 sen [(x . ™)/12], onde f(x) é o número
tais que y = 1.
de clientes e x, a hora da observação (x é um inteiro tal
que 0 ´ x ´ 24).
3. (Uff) No processo de respiração do ser humano, o
Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre
fluxo de ar através da traquéia, durante a inspiração ou
o número máximo e o número mínimo de clientes
expiração, pode ser modelado pela função F, definida,
dentro do supermercado, em um dia completo, é:
em cada instante t, por F(t) = M sen wt.
a) 600. b) 800. c) 900.
A pressão interpleural (pressão existente na caixa
d) 1 500. e) 1 600.
torácica), também durante o processo de respiração,
pode ser modelada pela função P, definida, em cada
6. (G1) O gráfico abaixo representa o esboço, no
instante t, por P(t) = L - F(t + a).
intervalo [0, 2™], da função
As constantes a, L, M e w são reais, positivas e
dependentes das condições fisiológicas de cada
indivíduo.
(AGUIAR, A.F.A., XAVIER, A.F.S. e RODRIGUES,
J.E.M. Cálculo para Ciências Médicas e Biológicas, ed.
HARBRA Ltda. 1988.(Adaptado)
Um possível gráfico de P, em função de t, é:
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3. 2ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA - 2° ANO
TERESÓPOLIS, MARÇO DE 2011.
PROFESSOR: CARLINHOS
a) y = - cos x b) y = sen (- x) 12. (Ufsm) Uma gráfica que confeccionou material de
c) y = sen 2x d) y = 2 sen x campanha determina o custo unitário de um de seus
produtos, em reais, de acordo com a lei
7. (G1) O menor valor de y = 1/(3 - cos x) com x real é C(t) = 200 + 120 . sen (™ . t)/2, com t medido em horas
a) 1/6 b) 1/5 c) 1/4 d) 1/2 de trabalho. Assim, os custos máximos e mínimo
desse produto são
8. (Uel) Uma bomba de água aspira e expira água a a) 320 e 200
cada três segundos. O volume de água da bomba b) 200 e 120
varia entre um mínimo de 2 litros e um máximo de 4 c) 200 e 80
litros. Dentre as alternativas a seguir, assinale a d) 320 e 80
expressão algébrica para o volume (y) de água na e) 120 e 80
bomba, em função do tempo (t).
a) y = 2 + 2 sen [(™/3) . t] 13. (Unirio) Seja f: R ë R, onde R denota o conjunto
b) y = 2 + 2 sen [(2™/3) . t] dos números reais, uma função definida por
c) y = 3 + sen [(™/3) . t] f(x) = [3/(4 + cosx)] + 1. O menor e o maior valor de
d) y = 3 + sen [(2™/3) . t] f(x), respectivamente, são:
e) y = - 3 + 2 sen [(™/3) . t] a) 1, 6 e 2
b) 1, 4 e 3
9. (Ufes) O período e a imagem da função c) 1, 6 e 3
f(x) = 5 - 3 cos [(x-2)/™], x Æ R, são, respectivamente, d) 1, 4 e 1,6
a) 2™ e [-1, 1] b) 2™ e [2, 8] e) 2 e 3
c) 2™£ e [2, 8] d) 2™ e [-3, 3]
e) 2™£ e [-3, 3]
10. (Ufrrj) Carlos propõe o seguinte exercício para
seus alunos: Calcule o período da função
f(x) = 2 + sen [6™x + (1/2)]. A resposta correta é
a) 6™ b) 1/3 c) ™/3 d) ™ e) 2™
11. (Ufrrj) Dada a função trigonométrica
y = 1 + 2 sen x.
Pode-se afirmar que o seu conjunto imagem é o
intervalo
a) [-2, 1]
b) [-2, 2]
c) [-1, 2]
d) [-1, 3]
e) [-1, 4]
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4. 2ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA - 2° ANO
TERESÓPOLIS, MARÇO DE 2011.
PROFESSOR: CARLINHOS
GABARITO
INEQUAÇÕES
1. x = 2k™ - ™/2, k Æ Z
EQUAÇÕES 2. S=[™/6, 5™/6]
1. a) {™/4, 3™/4} 3. 0 ´ x ´ ™/3 ou 5 ™/3 ´ x < 2™
b) {™/6, 5™/6, 3™/2} 4. š = ™/4 ou 3™/4 ou 5™/4 ou 7™/4
2. a) Novembro e março.
FUNÇÕES
b) Somente no mês de janeiro.
1. 3 ´ k ´ 9
3. a) R$3,50 e R$1,90
2. a) P = 1; Im = [0; 2]
b) t = 131 ou t = 251
b) {1/4, 3/4}
4. š = ™/4 ou 3™/4 ou 5™/4 ou 7™/4
3. [D]
5. [A]
4. [D]
6. [A]
5. [E]
7. [E]
6. [B]
8. [B]
7. [C]
9. [D]
8. [D]
10. [E]
9. [C]
11. [B]
10. [B]
12. [E]
11. [D]
13. [D]
12. [D]
14. [A]
13. [A]
15. [E]
16. [C]
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