2. NÚMEROS ENTEROS

3. La suma tiene cuatro propiedades. Las propiedades son conmutativa,
asociativa, distributiva y elemento neutro.
Propiedad conmutativa: Cuando se suman dos números, el resultado es
el mismo independientemente del orden de los sumandos.
Propiedad asociativa: Cuando se suman tres o más números, el resultado
es el mismo independientemente del orden en que se suman los sumandos.

4. Elemento neutro: La suma de cualquier número y cero es igual al
número original.
Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un
tercer número es igual a la suma de cada sumando multiplicado por el
tercer número.

5. RESTA O SUSTRACCION
RESTA O SUSTRACCION.
Dada la suma de dos
sumandos (minuendo) y
uno de ellos
(sustraendo), hallar el
otro sumando (resta,
exceso o diferencia).

6. RESTA O SUSTRACCION
Pruebas:
1)Sumando el 2) Restando la
sustraendo con diferencia del
la diferencia, minuendo,
debiendo dar el debiendo ser el
minuendo. sustraendo
15,200 15,200
93,254 58,076 13,896 1,304
58,076 35,178 1,304 13,896
35, 178 93,254

7. RESTA O SUSTRACCION
Representación
Grafica. De -7 a 4
7
A B
4
C D

8. RESTA O SUSTRACCION
Leyes de la resta:
Ley de uniformidad: La diferencia de dos
números tiene un valor único o siempre es igual.
11 – 3 = 8 únicamente por que 8 es el único número
que sumado con 3 da 11.

9. RESTA O SUSTRACCION
Ley de monotonía: se divide en tres partes.
1) Si una desigualdad (minuendo) se resta una
igualdad (sustraendo), siempre que la resta se
pueda efectuar resulta una desigualdad del mismo
sentido que la desigualdad minuendo.
8>5
2=2
8-2>5-2
6>3

10. RESTA O SUSTRACCION
Ley de monotonía:
2) Si una desigualdad (minuendo) se resta una
igualdad (sustraendo), siempre que la resta se
pueda efectuar resulta una desigualdad de
sentido contrario que la desigualdad
sustraendo.
9=9
5>3
9-5<9-3
4<6

11. RESTA O SUSTRACCION
Ley de monotonía:
3) Si una desigualdad se resta otra
desigualdad de sentido contrario,
siempre que la resta sea posible, resulta
una desigualdad del mismo sentido que
la desigualdad del minuendo. 7>4
2<3
7-2>4-3
5>1

12. RESTA O SUSTRACCION
Alteraciones del minuendo y
el sustraendo.
1) Si el minuendo aumenta o disminuye un número
cualquiera y el sustraendo no varía, la diferencia
queda aumentada o disminuida en el mismo
número.
9-7=2
(9+3)-7=2 + 3
12-7= 5

13. RESTA O SUSTRACCION
Alteraciones del minuendo y
el sustraendo.
2) Si el sustraendo aumenta o disminuye un
número cualquiera y el minuendo no varía, la
diferencia disminuye en el primer caso y
aumenta en el segundo el mismo número.
10-3=7
10-(3+5)= 7 – 5
10-8= 2

14. RESTA O SUSTRACCION
Alteraciones del minuendo y
el sustraendo.
3) Si el minuendo y el sustraendo
aumenta o disminuyen a la vez un
mismo número, la diferencia no varía.
15-6=9
(15+2)-(6+2)=9
17-8=9

15. Para sumar un numero con una suma indicada el numero con
uno cualquiera de los sumandos de la suma.
Sea la operación (2+3+4)+5, decimos que :
(2+3+4 )+5=2+(3+5)+4=14
En efecto: al sumar el numero 5 con el sumando 3, la suma
(2+3+4) queda aumentada en unidades porque si un
sumando se aumenta en un numero cualquiera la suma
queda aumentada en dicho numero.

16. Para sumar dos sumas indicadas se suman todos los sumandos que
la forman .
Sea la operación (5+6) +(7+8), decimos que:
(5+6)+(7+8)= 5+6+7+8=26
En efecto: al añadir la suma 7+8 al sumando 6 de la primera, esta
suma queda aumentada en 7 +8 unidades por la misma razón del
caso anterior.

17. Para sumar un numero con una diferencia indicada, se suma el
numero con el minuendo y de esta suma se resta el sustraendo.
Sea la operación (7-5)+4, decimos que:
(7-5)+4=(7+4)-5=11-5=6
En efecto: al sumar el numero 4 al minuendo, la diferencia 7-5
queda aumentada en 4 porque hemos visto que si el minuendo se
aumenta en un numero cualquiera, la diferencia que aumentada
en ese numero.

18. Para sumar dos o mas diferencias indicadas, se suman los minuendos y de
esta suma se resta la suma de los sustraendos.
Sea la operación (8-5)+(6-4), decimos que:
(8-5)+(6-4)= (8+6)-(5+4) = 14-9=5
En efecto: al sumar el minuendo 8 el minuendo6, la diferencia
(8-5) que da aumentada en 8 unidades, pero al restar el sustraendo 6
queda disminuida en 6 unidades, luego si la suma (4+5) aumenta 8 y
disminuye 6 aumenta 2 que es la diferencia
8-6

19. Para restar de un numero una suma indicada, se restan del numero,
uno a uno, todos los sumandos de la suma.
Sea la operación 25-(2+3+4)= 25-2-3-4= 16
En efecto: si 25 se disminuye primero en 2, después en 3 y luego en
4, queda disminuido en 9 unidades que es la suma 2+3+4.

20. Para resta de una suma indicada y un numero, se resta el numero de
cualquier sumando de la suma.
Sea la operación (4+5+6)-3, probar que:
(4+5+6)-3=(4-3)+5+6=12
en efecto: al restar el 3 de uno de los sumandos de la suma, esta queda
disminuida en 3 unidades.

21. Para restar de un numero una diferencia indicada, se suma el sustraendo
con el numero y de esta suma se resta el minuendo
Sea l a operación 50-(8-5), que decimos que :
50-(8-5)= (50+5)-8=47
En efecto: sabemos que si al minuendo y al sustraendo de una diferencia
se sum a un mismo numero, la diferencia no varia. Añadiendo 5 al
minuendo y al sustraendo de la diferencia 50-(8-5), tenemos.
50-(8-5)= (50+5)-(8-5+5) = (50+5)-8
por que si al 8 restamos 5 y le sumamos 5 queda 8

22. Para restar de una diferencia indicada un numero, se resta del minuendo
la suma del sustraendo y el numero.
Sea la operación (15-7) -6, decimos que:
(15-7) -6=15-(7+6)=15-13= 2
En efecto: al sumar 6 con el sustraendo 7, la diferencia 15-7 queda
disminuida en 6 unidades porque si al sustraendo se suma un numero
cualquiera. La diferencia queda disminuida en este numero.

23. Para restar dos sumas indicadas se restan de la primera suma, uno a uno,
todos los sumandos de la segunda suma.
Sea la operación (4+5)-82+3)= 4+5-2-3=4
En efecto: si de la suma (4+5) restamos primero 2 y después 3, esta suma
queda disminuida en 5 unidades que es la suma 2+3.

24. Para restar dos diferencias indicadas, se suma el minuendo de la primera con el
sustraendo de la segunda y de esta suma se resta del sustraendo de la primera
con el minuendo de la segunda.
Sea la operación (8-1) –(5-3)=(8+3)-(5+1)= 11 -6=5
En efecto: al sumar el sustraendo 3 con el minuendo 8 la diferencia (8-1) queda
aumentada en 3 unidades, pero al sumar el minuendo 5 con el sustraendo 1 la
diferencia (8-1) queda aumentada en 3 unidades, pero al sumar el minuendo 5
con el sustraendo 1 la diferencia (8-1) queda disminuida en 5 unidades; luego si
(8-1) aumenta 3 disminuye 5, en definitiva disminuye 2, que es la diferencia 5-3

25. .
Para restar de una suma una diferencia indica, se suma el sustraendo con la
suma indicada u de esta suma se resta el minuendo.
Sea la operación (8+4)-(3-2), probar que:
(8+4)-(3-2)=(8+4+2)-3= 14-3=11
En efecto: al sumar el sustraendo 2 con la suma (8+4) esta suma queda
aumentada en 2 unidades, pero al restar el minuendo 3 disminuye 3 unidades,
luego si aumenta 2 disminuye 3 , disminuye 1 unidad que es la diferencia (3-
2)

26. Sean los números 8y 5, decimos que :
(8+5 )+(8-5)=2x8= 16
En efecto : sabemos que para sumar una suma con una diferencia, se suma
el minuendo de la diferencia con uno de los sumandos de la suma y de esta
suma se resta el sustraendo, luego :
(8+5)+(8-5)=8+5+8-5=8+8+5-5=8+8= 2x8

27. Sean los números 8 y 5, decimos que:
(8+5)+(8-5)= 2x5=10
En efecto: sabemos que para restar de una suma una diferencia se suma el
sustraendo con la suma y de esta suma se resta el minuendo, luego :

28. El complemento aritmético de un número es la diferencia
entre dicho número y una unidad de un orden superior a su
cifra de mayor a menor.
1) El complemento aritmético de 98
es 100-98 = 2
2) El complemento aritmético de 356
es 1000-356 = 644

29. 3) El complemento aritmético de 1,250
es 10,000-1,250 = 8,750
4) El complemento aritmético de 14,200
es 100,000-14,200 = 85,800

30. …..Se resta de 9 todas las cifras del número, empezando por la
izquierda, menos la última cifra significativa, que se resta de 10.
si el número termina en ceros, a la derecha de la última resta se
escriben estos ceros .

31. 1) Hallar el complemento aritmético de 346.
diremos: de 3 a 9 = 6; de 4 a 9 = 5; de 6 a 10 = 4,
luego el complemento aritmético de 346 es 654.
2) Hallar el complemento aritmético de 578, 900.
diremos: de 5 a 9 = 4; de 7 a 9 = 2; de 8 a 9 = 1; de
9 a 10 = 1,
luego el complemento aritmético es 421,100

32. Para efectuar la resta por medio del complemento aritmético se
suma el minuendo con el complemento aritmético del sustraendo,
poniéndole a este delante una unidad son signo menos, que se
tendrá al efectuar la suma.
1) Efectuar 1,034 – 615 por medio del complemento aritmético.
Es el complemento aritmético con una unidad
con signo menos adelante, y tendremos
La diferencia entre 1,034 y 615 es 419, que se puede comprobar
efectuando la resta
1, 034 1, 034
+ 1, 385 - 615
0, 419 0, 419

33. Para efectuar sumas y restas combinadas por medio del
complemento aritmético se suman todos los sumandos
con los complementos aritméticos de los sustraendos ,
poniendo delante de cada complemento una unidad con
signo menos, que se tomara en cuenta al efectuar la suma.

34. Es una operación de composición que tiene por
objeto, dados números llamados multiplicando y
multiplicador, hallar un numero llamado producto
que sea respecto del multiplicando lo que el
multiplicador es respecto de la unidad.

35. El producto de dos números se indica con el signo
X o con punto colocado entre los factores, que es
el nombre que se le da al multiplicando y
multiplicador.
Así, el producto de 6 por 5 se indica 6 x 5 o 6 ·
5

36. 1) Si el multiplicador es cero, el producto es cero.
2) Si el multiplicador es 1, el producto es igual al
multiplicando.
3) Si el multiplicador es >1, el producto es > el
multiplicando.
4) Si el multiplicador es < 1, el producto es < el
multiplicando.

37. Cuando el multiplicador es un numero
natural, la multiplicación es una suma
abreviada que consta de tantos
sumandos iguales al multiplicando
como unidades tenga el multiplicador

38. Para multiplicar un entero por la unidad
seguida de ceros se añaden al entero
tantos ceros como ceros acompañen a la
unidad.
54 x 100 = 5400, por que el valor relativo de
cada cifra se ha hecho 100 veces mayor

39. Se multiplican los números como si no tuvieran
ceros y a la derecha de este producto se añaden
tantos ceros como haya en el multiplicando y
multiplicador.
4300 x 2500 = 107 500 000

40. En el producto hay siempre tantas cifras
como haya en el multiplicando y
multiplicador juntos o una menos.
Así, el producto 345 x 23 ha de tener cuatro
cifras o cinco.
345 x 23 > 345 x 10, y como este ultimo producto 345 x 10 =
3450 tiene cuatro cifras, el producto 345 x 23, que es mayor
que el, no puede tener menos de cuatro cifras.

41. Representar gráficamente 3x2
Se construye un rectángulo cuya base sea el segmento que representa
el 3 y cuya altura sea el segmento que representa el 2. El rectángulo
ABCD que consta de dos filas horizontales de 3 cuadrados cada una es
la representación grafica del producto 3 x 2 = 6

42. Para hallar el producto de mas de dos números como
2x3x4x
5
1. Se halla el producto de dos de ellos.
2. Luego se multiplica este producto por el tercero.
3. Luego este segundo producto por el factor
siguiente y así hasta el ultimo factor.
Así, en este caso, tendremos:

44. 1. El producto de dos números tiene un valor único o siempre
igual.
2. Los productos de números respectivamente iguales son
iguales.
3. Productos de dos igualdades. Multiplicando miembro a
miembro varias igualdades resulta otra igualdad.

45. 1. Que se trate de dos factores
2. que se trate de dos o mas factores.
Vamos a demostrar que 6 x 4 = 4 x 6.
Sea el producto 5 x 4 x 3 x 2
Se puede considerar descompuesto en dos factores: 5 . 4 y 3 . 2

46. El producto de varios números no varia
sustituyendo dos o mas factores por su
producto

48. Inversa de la multiplicación Su objeto dado el producto de 2 factores
(dividendo Y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente)
Dividir un número (dividendo) entre otro ( divisor) es hallar un número
(cociente) que multiplicado por el divisor de el dividendo.
Ejemplo 20/4 es hallar el número que multiplicado por 4 de 20
4x5=20

49. Todo número que divide a otros varios, divide a su suma
Sea el número 5 , que divide al 10, 15, 20=45, o sea que 10+25+20 es
m. 5
en efecto:
Sacando el valor común 5 en el segundo miembro de la ultima
igualdad, tenemos:
10+15+20= 45, contiene al 5, 9 veces y 5 divide a la suma
10+5+20

50. Todo número que no divide a otro vario divide a u suma, si la suma
de los residuos que resultan de dividir estos entre el número que no
los divide, es divisible entre este número.