Aplicaciones de la_integral_doble

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
75
3. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLES
En este capítulo se presentan algunas de las aplicaciones tanto físicas como
geométricas de las integrales múltiples, específicamente para las integrales dobles y
para las integrales triples.
3.1 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES
Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las
aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se
encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de
volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas
están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas,
centros de masa y momentos de inercia para una región
bidimensional.
3.1.1. ÁREA DE UNA FIGURA PLANA
En el capítulo 1 de este trabajo, se explicó el significado intrínseco
de la integral doble de una función f positiva en una región
bidimensional D, ( )D
f x,y dA∫∫ , como el volumen del sólido S
definido sobre la región D y bajo la gráfica de la función f . Ahora,
si se considera que ( ), 1f x y = , entonces la integral anterior queda
como:
( )D D
f x,y dA dA=∫∫ ∫∫ (III.1)
Por lo tanto, empleando la definición de la integral doble, se tiene
que:
0
1 1
n m
ijD P
i j
dA Lim A
→
= =
= ∆∑∑∫∫ (III.2)
Recuerde que la integral
doble ( )D
f x,y dA∫∫ ,
también puede escribirse
como
( )0
1 1
n m
* *
i j ij
P
i j
Lim f x ,y A
→
= =
∆∑∑

76
donde ijA∆ es el área del rectángulo genérico denotado ijD , el
cual puede observarse en la figura 3.1
D
a = x0
y
x
xi xn= bxi-1
c = y0
d = ym
yj-1
yj
yj
xi
(xi
*
,yj
*
)
Dij
Figura 3.1
Región D dividida en subrectángulos ijD
En otras palabras, la integral
D
dA∫∫ representa el volumen de un
sólido de sección transversal constante, cuya base es la región D
y cuya altura es igual a la unidad. Para un sólido con estas
características, el volumen se obtiene como el producto del área
de la base y la altura del mismo.
A partir de todo lo anterior, se define el cálculo del área de una
región plana.
ÁREA DE UNA FIGURA PLANA
Sea D una región bidimensional D , tal que 2
D ⊆ . Sea A el
área de la región D , entonces:
D
A dxdy= ∫∫ (III.3)

77
Observe que si la región D es de tipo 1, la ecuación anterior
queda como:
( )
( )
[ ] ( )
( )b g x b g x
f xa f x a
A dydx y dx= =∫ ∫ ∫ (III.3)
( ) ( )
b
a
A g x f x dx= −  ∫ (III.4)
Donde la última integral, representa el área comprendida entre las
gráficas de ( )y f x= y ( )y g x= en el intervalo cerrado [ ]a,b . Esta
integral se estudia en la asignatura Análisis Matemático II, dentro
de las aplicaciones de la integral definida.
Dibuje la región D y calcule su área, empleando las integrales
dobles:
D
dxdy∫∫ y
D
dydx∫∫ , ( ){ }2 2
2 4D x,y x y y x y= ≥ − ∧ ≤ −
Solución:
La región D se encuentra acotada por las gráficas de las
parábolas horizontales 2
2x y y= − y 2
4x y= − , tal como se puede
observar en la siguiente figura.
Figura 3.2
Región D del ejemplo 3.2
EJEMPLO 3.1
Recuerde que la gráfica
de la ecuación:
2
x ay by c= + +
Es una parábola
horizontal
Recuerde que una región
D es de tipo 1 si se
cumple:
( )
( ) ( )
x,y a x b
D
f x y g x
 ≤ ≤ ∧ 
=  
≤ ≤  
2
4x y= −
2
2x y y= −
D

78
a) Para calcular el área de la región por medio de la integral doble
D
dxdy∫∫ , es necesario definir los límites de integración, que se
ilustran en la figura 3.3
Figura 3.3
Región D del ejemplo 3.1 como una región tipo 2
Por tanto el área se obtiene como:
2
2
2 4 2
2
1 2 1
4 2 2 9
y
y y
A dxdy y y dy
−
− − −
 = = − + = ∫ ∫ ∫
9
D
A dxdy= =∫∫
b) Cuando se desea calcular el área D con el orden de integración
inverso, esto es
D
A dydx= ∫∫ , entonces, se necesita conocer las
ecuaciones de las curvas en función de la variable x y además
identificar los límites de integración, que a continuación se
muestran en la figura 3.4
Observe que la región D
es una región tipo 2, por
lo cual el área se obtiene
empleando una sola
integral doble de la
forma
D
dxdy∫∫ .
Para la primera curva:
2
2x y y= −
Se tiene que:
1 1y x= ± +
Para la segunda curva:
2
4x y= −
entonces:
4y x= ± −
Valor de x a
la salida de D
2
4x y= −
D
Valor de x a
la entrada de D
2
2x y y= −

79
Figura 3.4
Región D del ejemplo 3.1 como tres regiones tipo 1
Entonces 1 2 3D D D D= ∪ ∪ , donde:
( ){ }
( ){ }
( ){ }
1
2
3
1 0 1 1 1 1
0 3 1 1 4
3 4 4 4
D x,y x x y x
D x,y x x y x
D x,y x x y x
= − ≤ ≤ ∧ − + ≤ ≤ + +
= ≤ ≤ ∧ − + ≤ ≤ −
= ≤ ≤ ∧ − − ≤ ≤ −
Así:
1 2 3D D D
A dydx dydx dydx= + +∫∫ ∫∫ ∫∫
0 1 1 3 4 4 4
1 1 1 0 1 1 3 4
x x x
x x x
A dydx dydx dydx
+ + − −
− − + − + − −
= + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )
0 3 4
1 0 3
2 1 4 1 1 2 4A xdx x x dx xdx
−
= + + − − + + + −∫ ∫ ∫
4 19 4
9
3 3 3
A = + + =
9
D
A dydx= =∫∫
En este caso, la región D
queda dividida en tres
regiones tipo 1,
identificadas como: D1,
D2 y D3..
Al comparar los dos
cálculos de área de la
región D del ejemplo 3.1,
resulta mucho más
sencillo emplear la
integral
D
dxdy∫∫ que
con el orden inverso.
Valor de y a
la salida de D1
1 1y x= + +
D2
Valor de y a
la entrada de D1
1 1y x= − +
D3
D1
Valor de y a
la salida de D2
4y x= −
Valor de y a
la salida de D 3
4y x= −
Valor de y a
la entrada de D2
1 1y x= − +
Valor de y a
la entrada de D3
4y x= − −
3x =
0x =

80
Dada la región D , determine las ecuaciones de las curvas que la
limitan y calcule su área empleando las integrales dobles:
D
dxdy∫∫
y
D
dydx∫∫ .
Figura 3.5
Solución:
Las ecuaciones de las curvas que limitan a la región D son:
1 16 20C : y x= +
2 2 20C : y x= − + y
2
3 4C : y x=
a) Para el cálculo del área de la región D por medio de la integral
doble
D
dxdy∫∫ , se necesita saber que valor toma la variable x a la
entrada y salida de la región. En la figura 3.6 se pueden observar
estos valores.
EJEMPLO 3.2
Las ecuaciones de las
curvas en función de la
variable y son:
1
20
16
y
C : x
−
=
2
20
2
y
C : x
−
=
1
2
y
C : x = ±
C1
D
C3
C2

81
Figura 3.6
Región D del ejemplo 3.2 como tres regiones tipo 2
Como 1 2 3D D D D= ∪ ∪ , entonces:
1 2 3D D D
A dxdy dxdy dxdy= + +∫∫ ∫∫ ∫∫
donde:
( )
( )
( )
1
2
3
0 4
2 2
20
4 16
16 2
20 20
16 20
16 2
y y
D x,y x y
yy
D x,y x y
y y
D x,y x y
  
= − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ 
  
 − 
= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ 
  
− − 
= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ 
 
20
4 16 20
2 2 2
20 20
0 4 16
16 162
y y y
y yy
A dxdy dxdy dxdy
−
− −
−
= + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
4 16 20
0 4 16
20 45 9
2 16 4 16
y y y
A ydy dy dy
 −  
= + − + −       
∫ ∫ ∫
16 157 9
36
3 6 2
A = + + =
La región D no es una
región tipo 2, sin
embargo se puede dividir
en tres regiones: D1, D2
y D3., que sí lo son. Por
esta razón, para resolver
la integral doble
D
dxdy∫∫ se debe
emplear la propiedad
aditiva respecto a la
región de integración.
Valor de x a
la salida de D3
20
2
y
x
−
=D3
Valor de x a
la entrada de D3
20
16
y
x
−
=
Valor de x a
la salida de D2
2
y
x =
D2
Valor de x a
la entrada de D2
20
16
y
x
−
=
Valor de x a
la salida de D1
2
y
x =
D1
Valor de x a
la entrada de D1
2
y
x = −
4y =
16y =

82
36
D
A dxdy= =∫∫
b) En la figura 3.7 se muestran los límites de integración para la
integral interna de
D
A dydx= ∫∫ .
Figura 3.7
Región D del ejemplo 3.2 como dos regiones tipo 1
Luego:
1 2D D
A dydx dydx= +∫∫ ∫∫ , donde:
( ){ }
( ){ }
2
1
2
2
1 0 4 16 20
0 2 4 2 20
D x,y x x y x
D x,y x x y x
= − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ +
= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ − +
2 2
0 16 20 2 2 20
1 4 0 4
x x
x x
A dydx dydx
+ − +
−
= +∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
0 2
2 2
1 0
32 76
16 20 4 2 20 4 36
3 3
A x x dx x x dx
−
= + − + − + − = + =∫ ∫
36
D
A dydx= =∫∫
La región D puede
dividirse en dos regiones
tipo 1, identificadas
como: D1 y D2 ; es decir:
1 2D D D= ∪
D2
D1
Valor de y a
la salida de D1
16 20y x= +
Valor de y a
la salida de D2
2 20y x= − +
Valor de y a
la entrada de D1
2
4y x=
Valor de y a
la entrada de D2
2
4y x=
0x =

83
Calcule, empleando integrales dobles, el área comprendida entre
dos círculos concéntricos de radios 2 y 4.
Solución:
Considere una corona circular con centro en el origen del sistema
de coordenadas tal como se observa a continuación.
Figura 3.8
Como
D
A dydx= ∫∫ y la región D es simétrica respecto al origen,
entonces para simplificar el cálculo de área, sólo se evaluará
1
1 D
A dydx= ∫∫ , donde 1A es el área de la región D que se encuentra
en el primer cuadrante, denotada como 1D , de manera que:
14A A=
La región denotada como D1, se muestra en la figura 3.9.
La región D planteada en
el ejemplo 3.3 recibe el
nombre de corona
circular, y su área es:
( )2 2
A R rπ= −
donde
R: Radio externo
r: radio interno
EJEMPLO 3.3
D
2 2
16x y+ =
2 2
4x y+ =

84
Figura 3.9
Región 1D del ejemplo 3.3
Luego:
1. 1.
1
A BD D
A dydx dydx= +∫∫ ∫∫ , donde:
( ){ }
( ){ }
2 2
1
2
1
0 2 4 16
2 4 0 16
.A
.B
D x,y x x y x
D x,y x y x
= ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ −
= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −
2 2
2
2 16 4 16
1 0 4 2 0
x x
x
A dydx dydx
− −
−
= +∫ ∫ ∫ ∫
( )2 4
2 2 2
1 0 2
16 4 16A x x dx x dx= − − − + −∫ ∫
1
8
2 3 2 3 3
3 3
A
π π
π
   
= + + − + =   
   
12
D
A dydx π= =∫∫
Valor de y a
la salida de D1.A
2
16y x= −
Valor de y a
la entrada de D1.A
2
4y x= −
D1.A
2x =
D1.B
Valor de y a
la salida de D1.B
2
16y x= −
Valor de y a
la entrada de D1.B
0y =
Para calcular el área de la
región D1, se puede
dividirla en dos regiones
tipo 1:
1 1 1.A .BD D D= ∪

85
3.1.2. VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
En el capítulo 1 de este trabajo, se determinó que la integral
( )D
f x,y dA∫∫ representa el volumen del sólido S definido sobre la
región D y bajo la gráfica de la función f ; sin embargo, la integral
doble también puede emplearse para determinar el volumen de un
sólido más general.
Dibuje el sólido S acotado por las superficies: 2 2
2z x y= + y
2 2
20z x y= − − y plantear su volumen empleando integrales
dobles.
Solución:
En la figura 3.10 se muestra el sólido S de este ejemplo, donde la
superficie superior es 2 2
20z x y= − − y la superficie inferior viene
dada por la ecuación 2 2
2z x y= + .
VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
Sean 2
:f → y 2
:g → dos funciones reales, continuas
en una región bidimensional D , tales que ( ) ( ), ,f x y g x y≤
( ),x y D∀ ∈ . Sea V el volumen del sólido acotado
superiormente por la gráfica de la función g y acotado
inferiormente por la gráfica de la función f, entonces:
( ) ( ), ,
D
V g x y f x y dA= −  ∫∫ (III.5)
EJEMPLO 3.4

86
Figura 3.10
Sólido S del ejemplo 3.4
El volumen del sólido S, mostrado en la figura anterior, se obtiene
mediante la integral doble:
2 2 2 2
20 2
D
V x y x y dA = − − − +
 ∫∫
donde D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta
proyección, para este ejemplo, resulta ser un círculo con centro en
el origen, al que se obtiene en la intersección de las dos
superficies:
2 2
2 2 2 2
2 2
2
2 20
20
z x y
x y x y
z x y
 = +
⇒ + = − −
= − −
( )2 2 2 2 2 2
4 20 4x y x y x y+ = − − ⇒ + =
Entonces:
( ){ }2 2
, 4D x y x y= + ≤
La superficie definida por
la ecuación:
2 2
20z x y= − −
Es una semiesfera (parte
superior).
La superficie definida por
la ecuación:
2 2
2z x y= +
Es un cono .
S
Valor de z a
la salida de S
2 2
20z x y= − −
Valor de z a
la entrada de S
2 2
2z x y= +

87
Figura 3.11
Es decir, ( ){ }2 2
, 2 2 4 4D x y x x y x= − ≤ ≤ − − ≤ ≤ −
Volviendo a la integral de volumen, se tiene que:
2
2
2 4
2 2 2 2
2 4
20 2
x
x
V x y x y dydx
−
− − −
 = − − − +
 ∫ ∫
Ahora, para resolver esta integral se requiere un procedimiento
muy riguroso y largo, por lo cual a continuación sólo se presenta el
resultado de esta integral, el cual fue obtenido con software
matemático:
2 2 2 2
20 2 19,77678464
D
V x y x y dA = − − − + =
 ∫∫
Valor de y a
la salida de D
2
4y x= −
Valor de y a
la entrada de D
2
4y x= − −
D
Donde D es una región
tipo 1 y también tipo 2,
pero en este ejemplo se
trabaja como una región
tipo 1.
En el siguiente capítulo,
se mostrará como
resolver una integral de
este tipo, empleando un
cambio de variable
apropiado.

88
Dibuje el sólido S acotado por las superficies: 4z xy= + y 1z = y
dentro del cilindro 2 2
1x y+ ≤ , calcule su volumen empleando
integrales dobles.
Solución:
En la figura siguiente se aprecia el sólido S, acotado por las
superficies 4z xy= + y 1z = y dentro del cilindro 2 2
1x y+ ≤ .
Figura 3.12
El volumen del sólido S, se obtiene mediante la integral doble:
[ ] [ ]4 1 3
D D
V xy dA xy dA= + − = +∫∫ ∫∫
donde D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta
proyección, se observa en la figura 3.13
EJEMPLO 3.5
S
2 2
1x y+ =
Valor de z a
la salida de S
4z xy= +
Valor de z a
la entrada de S
1z =

89
Figura 3.13
En este caso, la región D se define como:
( ){ }2 2
, 1 1 1 1D x y y x y y= − − ≤ ≤ − − ≤ ≤
Por lo tanto la integral de volumen queda como:
[ ]
2
2
1 1 1
2
1 1 1
3 6 1 3
y
y
V xy dxdy y dy π
−
− − − −
= + = − =∫ ∫ ∫
[ ]3 3
D
V xy dA π= + =∫∫
Dibuje el sólido S acotado por 3 3
1z x y xy= + + , 0z = , 3
y x x= − y
2
y x x= + y calcule su volumen empleando integrales dobles.
Solución:
En la figura 3.14 se observa el sólido S, acotado superiormente por
3 3
1z x y xy= + + e inferiormente por 0z = ; mientras que las
superficies 3
y x x= − y 2
y x x= + definen las paredes de dicho
cuerpo tridimensional.
EJEMPLO 3.6
Valor de x a
la salida de D
2
1x y= −
Valor de x a
la entrada de D
2
1x y= − −
D
En este ejemplo, la
región D es de tipo 1 y
también tipo 2, pero se
trabaja como una región
tipo 2.

90
Figura 3.14
Donde, el volumen del sólido S, se obtiene como:
3 3 3 3
1 0 1
D D
V x y xy dA x y xy dA   = + + − = + +   ∫∫ ∫∫
Al proyectar el sólido anterior en el plano xy, se obtiene la región
bidimensional D, la cual se aprecia en la figura 3.15
Figura 3.15
Valor de y a
la salida de D
3
y x x= −
Valor de y a
la entrada de D
2
y x x= +
D
En la figura 3.15, se
observa que la región D
del ejemplo 3.6 es una
región de tipo 1.
S
Valor de z a
la salida de S
3 3
1z x y xy= + +
Valor de z a
la entrada de S
0z =

91
Por lo tanto, la región D se define como:
( ){ }2 3
, 1 0D x y x x x y x x= − ≤ ≤ + ≤ ≤ −
La integral de volumen queda como:
3
2
0
3 3
1
1
x x
x x
V x y xy dydx
−
+−
 = + + ∫ ∫
13 9
0
11 8 7 6 3 2
1
7 517
4 2 2
4 4 1260
x x
V x x x x x x x dx
−
 
= − + − − − + − − = 
 
∫
3 3 517
1
1260D
V x y xy dA = + + = ∫∫
3.1.3. MASA DE UNA FIGURA PLANA
A continuación, se explica como determinar la masa de una figura
plana no homogénea, de área D , como la región mostrada en la
figura 3.16; es decir para regiones donde la densidad varía en
cada punto ( )x,y D∈ .
Figura 3.16
Región D no homogénea
La densidad tiene
unidades de masa por
área unitaria.
Para esta aplicación,
considere que la función
densidad ρ es continua
en la región D .
En la figura 3.16 la
región D es no
homogénea, por lo cual
su sombreado no es
uniforme.
Adicionalmente:
( ) ( )0x,y x,y Dρ = ∀ ∉

92
Si se escoge un punto arbitrario ( )* *
i j ijx ,y D∈ , entonces la masa
de este subrectángulo, denotada como ijm , se obtiene como:
( )* *
,ij i j ijm x y Aρ= ∆ (III.6)
Por lo tanto la masa de la placa plana de área A , se puede
estimar mediante la doble suma de Riemann:
( )* *
1 1
,
n m
i j ij
i j
m x y Aρ
= =
≈ ∆∑∑ (III.7)
Si se aumenta el número de subintervalos, de manera que la
norma de la partición P tienda a cero, se tiene:
( )* *
0
1 1
,
n m
i j ij
P
i j
m Lim x y Aρ
→
= =
= ∆∑∑ (III.8)
( ) ( )* *
0
1 1
, ,
n m
i j ij DP
i j
m Lim x y A x y dAρ ρ
→
= =
= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.9)
Entonces, el cálculo de la masa de una figura plana se obtiene
mediante:
MASA DE UNA FIGURA PLANA
Considere una lámina plana de densidad variable ( )x,yρ ,
que ocupa una región D en el plano xy, entonces su masa,
denotada m , se obtiene como:
( ),
D
m x y dAρ= ∫∫ (III.10)
El cálculo de masa de
una región D , también
puede emplearse para
calcular la carga
eléctrica, Q, distribuida
sobre una región D .
( ),
D
Q x y dAσ= ∫∫
Donde σ es la función
densidad de carga.

93
Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas
2
1x y= − y 2
2 2x y= − , cuya densidad es igual a la unidad.
Solución:
Recuerde que la densidad se calcula como ( ),
D
m x y dAρ= ∫∫ , por
lo tanto para esta placa se tiene:
D
m dA= ∫∫
Ahora, se debe identificar la región D para definir los límites de
integración.
Figura 3.17
Entonces la región D está definida como:
( ){ }2 2
2 2 1 1 1D x,y y x y y= − ≤ ≤ − ∧ − ≤ ≤
Por lo tanto:
( )
2
2
1 1 1
2
1 2 2 1
4
1
3
y
y
m dxdy y dy
−
− − −
= = − =∫ ∫ ∫
2
2
1 1
1 2 2
4
3
y
y
m dxdy
−
− −
= =∫ ∫
EJEMPLO 3.7
Valor de x a
la salida de D
2
1x y= −
Valor de x a
la entrada de D
2
2 2x y= −
D

94
Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas
23
6 4
2
y x x= − + y 2 2y x= − , cuya densidad varía de acuerdo a la
función ( ) 1 2x,y xρ = + .
Solución:
El cálculo de la masa se obtiene de la integral doble
( ),
D
m x y dAρ= ∫∫ , por lo tanto:
( )1 2
D
m x dA= +∫∫
A continuación se muestra la región D.
Figura 3.18
Entonces:
( ) ( ) ( )1 2
1 2 1 2 1 2
D D D
m x dA x dA x dA= + = + + +∫∫ ∫∫ ∫∫
Donde
( )
( )
2
1
2
2
3
0 2 6 4 2 4
2
3
2 4 6 4 2 4
2
D x,y x x x y x
D x,y x x x y x
 
= ≤ ≤ ∧ − + ≤ ≤ − + 
 
 
= ≤ ≤ ∧ − + ≤ ≤ − 
 
Según la definición del
valor absoluto
2 2 0
2
2 2 0
x si x
x
x si x
− − ≥

− = 
 − − <
entonces
2 4 2
4 2 2
x si x
y
x si x
− ≥

= 
 − <
EJEMPLO 3.8
La región D debe
dividirse en dos regiones
tipo 1, tal que:
1 2D D D= ∪
D
2 4y x= −
23
6 4
2
y x x= − +
2 4y x= − +

95
En la figura 3.19 se muestra el orden de integración para obtener
la masa de la placa con la forma de la región D.
Figura 3.19
Región D del ejemplo 3.8 como dos regiones tipo 1
Entonces:
( ) ( )2 2
2 4 2 4 2 4
3 3
0 6 4 2 6 4
2 2
1 2 1 2
x x
x x x x
m x dydx x dydx
− −
− + − +
= + + +∫ ∫ ∫ ∫
2 4
3 2 3 2
0 2
13 29
3 4 8 3 8
2 2
m x x x dx x x x dx
   
= − + + + − − + −   
   
∫ ∫
40 80
40
3 3
m = + =
( )1 2 40
D
m x dA= + =∫∫
D1
D2
Valor de y a
la salida de D1
4 2y x= −
Valor de y a
la salida de D 2
2 4y x= −
Valor de y a
la entrada de D1
23
6 4
2
y x x= − +
Valor de y a
la entrada de D2
23
6 4
2
y x x= − +
2x =

96
3.1.4. MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS
El momento estático de una partícula alrededor de un eje se
define como el producto de su masa y la distancia que la separa
de ese eje. A continuación, se trata específicamente, los
momentos estáticos de una figura plana D alrededor de los ejes
coordenados.
Considere una lámina o placa plana D , dividida en
subrectángulos ijD , tal como se muestra en la siguiente figura:
Figura 3.20
Región general D no homogénea
Entonces, el momento estático alrededor del eje x, para cada
subrectángulo ijD , denotado como ijxM , viene dado por:
( )* * *
,ijx j i j ijM y x y Aρ= ∆ (III.11)
Sumando el momento estático alrededor del eje x para cada
subrectángulo, se tiene que:
( )* * *
1 1
,
n m
x j i j ij
i j
M y x y Aρ
= =
≈ ∆∑∑ (III.13)
Los momentos estáticos
son momentos de
“equilibrio”.
xM es una medida de la
tendencia a girar en torno
al eje x, análogamente,
yM es una medida de la
tendencia a girar
alrededor del eje y.

97
Tomando el límite cuando el número de subrectángulos aumenta
en la expresión anterior:
( )* * *
0
1 1
,
n m
x j i j ij
P
i j
M Lim y x y Aρ
→
= =
= ∆∑∑ (III.14)
( ) ( )* * *
0
1 1
, ,
n m
x j i j ij DP
i j
M Lim y x y A y x y dAρ ρ
→
= =
= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.15)
Análogamente, el momento estático alrededor del eje y, que se
denota yM , se obtiene como:
( ) ( )* * *
0
1 1
, ,
n m
y i i j ij DP
i j
M Lim x x y A x x y dAρ ρ
→
= =
= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.16)
MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS
Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene
dada por la función 2
:ρ → , la cual es continua
( )x,y D∀ ∈ , entonces el momento estático alrededor del eje x,
denotado xM , se obtiene como:
( ),x D
M y x y dAρ= ∫∫ (III.17)
Mientras que el momento estático alrededor del eje y,
denotado yM , se calcula como:
( ),y D
M x x y dAρ= ∫∫ (III.18)

98
Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el
ejemplo 3.7.
Solución:
Los momentos estáticos se calculan de la siguiente manera:
( ),x D
M y x y dAρ= ∫∫ y ( ),y D
M x x y dAρ= ∫∫ .
Entonces:
( )
2
2
1 1 1
2
1 2 2 1
1 0
y
x y
M ydxdy y y dy
−
− − −
= = − =∫ ∫ ∫
2
2
1 1 1
4 2
1 2 2 1
3 3 8
3
2 2 5
y
y y
M xdxdy y y dy
−
− − −
 
= = − − + = − 
 
∫ ∫ ∫
Por lo tanto, los momentos estáticos para una lámina con la forma
de la región D del ejemplo 3.7 son:
0
8
5
x D
y D
M ydA
M xdA
= =
= = −
∫∫
∫∫
Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el
ejemplo 3.8.
Solución:
Los momentos estáticos se calculan como: ( ),x D
M y x y dAρ= ∫∫ y
( ),y D
M x x y dAρ= ∫∫ .
( ) ( )2 2
2 4 2 4 2 4
3 3
0 6 4 2 6 4
2 2
1 2 1 2
x x
x x x x x
M y x dydx y x dydx
− −
− + − +
= + + +∫ ∫ ∫ ∫
2
5 4 3 2
0
4
5 4 3 2
2
9 135
35 10 16
4 8
9 135
35 10 16
4 8
xM x x x x x dx
x x x x x dx
 
= − + − + + + 
 
 
+ − + − + + 
 
∫
∫
EJEMPLO 3.9
EJEMPLO 3.10
La región del ejemplo 3.7
se muestra a continuación
Y se encuentra acotada
por las curvas 2
1x y= −
y 2
2 2x y= − .
La densidad es :
( ) 1x,yρ =
( ) 2 2
2 2 1
1 1
x,y y x y
D
y
 − ≤ ≤ − ∧ 
=  
− ≤ ≤  
se muestra a continuación
La densidad:
( ) 1 2x,y xρ = +
Donde 1 2D D D= ∪
( )
( )
1 2
2 2
0 2
3
6 4 2 4
2
2 4
3
6 4 2 4
2
x,y x
D
x x y x
x,y x
D
x x y x
 ≤ ≤ ∧
 
=  
− + ≤ ≤ − + 
 
 ≤ ≤ ∧
 
=  
− + ≤ ≤ − 
 

99
8 56 64
3 3 3
xM = + =
Calculando el momento estático respecto al eje y se tiene:
( ) ( )2 2
2 4 2 4 2 4
3 3
0 6 4 2 6 4
2 2
1 2 1 2
x x
y x x x x
M x x dydx x x dydx
− −
− + − +
= + + +∫ ∫ ∫ ∫
262 1162 1424
15 15 15
yM = + =
Finalmente, para la región del ejemplo 3.8 se tiene que:
( )
( )
64
1 2
3
1424
1 2
15
x D
y D
M y x dA
M x x dA
= + =
= + =
∫∫
∫∫
3.1.5. CENTRO DE MASA
El centro de gravedad de una figura plana D, es un punto P de
coordenadas ( )x,y D∈ , en el cual la región se equilibra
horizontalmente. Las coordenadas de este punto se obtienen de
las ecuaciones:
yM
x
m
= (III.19)
xM
y
m
= (III.20)
Donde tanto la masa de la placa plana como los momentos
estáticos se calculan por medio de integrales dobles.
El centro de gravedad
también es llamado
centro de masa.
El significado físico del
centro de gravedad, es
que la lámina se
comporta como si su
masa estuviera
concentrada en ese punto.
El centro de gravedad
recibe el nombre de
centroide cuando la
densidad es constante.

100
Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el
ejemplo 3.7.
Solución:
El centro de masa es un punto ( )P x,y D∈ , tal que sus
coordenadas se obtienen empleando las ecuaciones III.21 y
III.22. Como ya se calculó la masa y los momentos estáticos para
esta región, entonces sólo queda sustituir en las ecuaciones III.19
y III.20
8
65
4 5
3
yM
x
m
= = − = −
0
0
4
3
xM
y
m
= = =
CENTRO DE MASA
( )x,y D∀ ∈ , entonces el centro de gravedad viene dado por:
( )
1
,
D
x x x y dA
m
ρ= ∫∫ (III.21)
( )
1
,
D
y y x y dA
m
ρ= ∫∫ (III.22)
Donde m es la masa de la placa D , que se obtiene como
( ),
D
x y dAρ∫∫ .
está acotada por las
curvas 2
1x y= − y
2
2 2x y= − .
Su densidad es :
( ) 1x,yρ =
Y adicionalmente se
obtuvo:
2
2
1 1
1 2 2
4
3
y
y
m dxdy
−
− −
= =∫ ∫
0
8
5
x D
y D
M ydA
M xdA
= =
= = −
∫∫
∫∫
EJEMPLO 3.11

101
Entonces:
( )
6
, ,0
5
P x y
 
= − 
 
En la siguiente figura se observa el centro de masa o de gravedad
de la placa D descrita en el ejemplo 3.7
Figura 3.21
Centro de masa de la región D del ejemplo 3.7
Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el
ejemplo 3.8.
Solución:
Sustituyendo el valor de la masa y los momentos estáticos en las
ecuaciones que permiten calcular las coordenadas del centro de
masa, se tiene:
1424
17815
40 75
yM
x
m
= = =
EJEMPLO 3.12
La región D del ejemplo
3.8, tiene una densidad
que varía según:
( ) 1 2x,y xρ = +
En los ejemplos 3.8 y
3.10, se obtuvo:
( )1 2 40
D
m x dA= + =∫∫
( )
( )
64
1 2
3
1424
1 2
15
x D
y D
M y x dA
M x x dA
= + =
= + =
∫∫
∫∫
6
0
5
,
 
− 
 
D

102
64
83
40 15
xM
y
m
= = =
Luego:
( )
178 8
, ,
75 15
P x y
 
=  
 
En la figura 3.22 se aprecia la región D y su centro de masa:
Figura 3.22
Centro de masa de la región D del ejemplo 3.8
3.1.6. MOMENTO DE INERCIA
El momento de inercia de una partícula alrededor de un eje se
define como el producto de su masa y el cuadrado de la distancia
que la separa de ese eje y se considera como una medida de la
oposición a girar del cuerpo cuando actúa sobre él una fuerza de
rotación. Los segundos momentos más importantes son los
momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados y del
origen.
Los momentos de inercia
también son llamados
segundos momentos.
Los momentos de inercia
son momentos de “giro”.
178 8
75 15
,
 
 
 
D

103
El procedimiento para obtener estos momentos como integrales
dobles es similar al que se ilustró para los momentos estáticos,
por lo tanto, el momento de inercia de una placa D, respecto al eje
x, denotado xI , se calcula como:
( ) ( ) ( )
2* * * 2
0
1 1
, ,
n m
x j i j ij DP
i j
I Lim y x y A y x y dAρ ρ
→
= =
= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.23)
Análogamente, el momento de inercia alrededor del eje y se
denota como yI y se obtiene como:
( ) ( ) ( )
2* * * 2
0
1 1
, ,
n m
y i i j ij DP
i j
I Lim x x y A x x y dAρ ρ
→
= =
= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.24)
La suma de estos dos momentos se conoce como momento de
inercia alrededor del origen, 0I , donde:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2* * * * 2 2
0
0
1 1
, ,
n m
i j i j ij DP
i j
I Lim x y x y A x y x y dAρ ρ
→
= =
 = + ∆ = +  ∑∑ ∫∫
(III.25)
MOMENTOS DE INERCIA DE FIGURAS PLANAS
( )x,y D∀ ∈ , entonces los momentos de inercia alrededor de
los ejes x y y, denotados xI e yI , se obtienen como:
( )2
,x D
I y x y dAρ= ∫∫ (III.26)
( )2
,y D
I x x y dAρ= ∫∫ (III.27)
El momento polar de inercia, 0I , es:
( ) ( )2 2
0 ,
D
I x y x y dAρ= +∫∫ (III.28)
El momento de inercia
alrededor del origen
también es conocido
como momento polar de
inercia.
0 x yI I I= +
En las ecuaciones III.23
y III.24, el cuadrado de x
o de y recibe el nombre
de brazo de palanca.

104
Determine los momentos de inercia de la placa plana descrita en
el ejemplo 3.7.
Solución:
Los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados se
calculan de la siguiente manera: ( )2
,x D
I y x y dAρ= ∫∫ ,
( )2
,y D
I x x y dAρ= ∫∫ y ( ) ( )2 2
0 ,
D
I x y x y dAρ= +∫∫ .
( )
2
2
1 1 1
2 2 2
1 2 2 1
4
1
15
y
x y
I y dxdy y y dy
−
− − −
= = − =∫ ∫ ∫
2
2
1 1 1
2 6 4 2
1 2 2 1
7 7 32
7 2
3 3 15
y
y y
I x dxdy y y y dy
−
− − −
 
= = − + − = 
 
∫ ∫ ∫
( )
2
2
1 1 1
2 2 6 4 2
0 1 2 2 1
7 7 12
6 6
3 3 5
y
y
I x y dxdy y y y dy
−
− − −
 
= + = − + − = 
 
∫ ∫ ∫
Nótese que el momento polar de inercia puede calcularse como se
acaba de ilustrar, sin embargo, también puede obtenerse a partir
de:
0
4 32 36 12
15 15 15 5
x yI I I= + = + = =
Entonces los momentos de inercia para la placa plana descrita en
el ejemplo3.7 son:
( )
2
2
2 2
0
4
15
32
15
12
5
x D
y D
D
I y dA
I x dA
I x y dA
= =
= =
= + =
∫∫
∫∫
∫∫
La gráfica de la región D
del ejemplo 3.7 se
muestra a continuación:
Cuya densidad es :
( ) 1x,yρ =
( ) 2 2
2 2 1
1 1
x,y y x y
D
y
 − ≤ ≤ − ∧ 
=  
− ≤ ≤  
EJEMPLO 3.13

105
Determine los momentos de inercia de la placa plana descrita en
el ejemplo 3.8.
Solución:
Calculando el momento de inercia respecto al eje x, se tiene:
( ) ( )2 2
2 4 2 4 2 4
2 2
3 3
0 6 4 2 6 4
2 2
1 2 1 2
x x
x x x x x
I y x dydx y x dydx
− −
− + − +
= + + +∫ ∫ ∫ ∫
( )
( )
( )
( )
3
2 3 2
0
3
4 3 2
2
1 2 3
4 2 6 4
3 2
1 2 3
2 4 6 4
3 2
x
x
I x x x dx
x
x x x dx
 +  
= − − − + +  
   
 +  
+ − − − +  
   
∫
∫
712 2168 576
35 35 7
xI = + =
Calculando el momento inercia respecto al eje y se tiene:
( ) ( )2 2
2 4 2 4 2 4
2 2
3 3
0 6 4 2 6 4
2 2
1 2 1 2
x x
y x x x x
I x x dydx x x dydx
− −
− + − +
= + + +∫ ∫ ∫ ∫
2 4
5 4 3 5 4 3 2
0 2
13 29
3 4 3 8 8
2 2
yI x x x dx x x x x dx
   
= − + + + − + − −   
   
∫ ∫
128 3472 3856
5 15 15
yI = + =
El momento polar de inercia puede obtenerse como:
( )( ) ( )( )2 2
2 4 2 4 2 4
2 2 2 2
3 30 0 6 4 2 6 4
2 2
1 2 1 2
x x
x x x x
I x y x dydx x y x dydx
− −
− + − +
= + + + + +∫ ∫ ∫ ∫
O también como: 0
576 3856 35632
7 15 105
x yI I I= + = + =
( )
( )
( )( )
2
2
2 2
0
576
1 2
7
3856
1 2
15
35632
1 2
105
x D
y D
D
I y x dA
I x x dA
I x y x dA
= + =
= + =
= + + =
∫∫
∫∫
∫∫
EJEMPLO 3.14
La gráfica de la región D
del ejemplo 3.8 se
observa a continuación:
Cuya densidad vienen
dada por:
( ) 1 2x,y xρ = +
Donde 1 2D D D= ∪
( )
( )
1 2
2 2
0 2
3
6 4 2 4
2
2 4
3
6 4 2 4
2
x,y x
D
x x y x
x,y x
D
x x y x
 ≤ ≤ ∧
 
=  
− + ≤ ≤ − + 
 
 ≤ ≤ ∧
 
=  
− + ≤ ≤ − 
 

106
3.2 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES
Las aplicaciones de las integrales triples, son similares a las
aplicaciones de las dobles. Sus definiciones se obtienen a partir
de la triple suma de Riemann; sin embargo a continuación se
presentan de una vez con la integral triple correspondiente para
cada una de ellas. Las aplicaciones que se mencionan a
continuación son: volúmenes de sólidos en el espacio, masa,
momentos estáticos, centros de masa y momentos de inercia de
cuerpos en el espacio.
3.2.1.VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
En el capítulo 2 se definió la integral triple de una función f sobre
una región tridimensional B , ( )B
f x,y,z dV∫∫∫ , como el límite de
una triple suma de Riemann , ( )0
1 1 1
n m l
* * *
i j k ijk
P
i j k
Lim f x ,y ,z V
→
= = =
∆∑∑∑ . Si la
función f es igual a la unidad; es decir, ( ) 1f x,y,z = , entonces, la
integral triple representa el volumen V del sólido B , resultando la
siguiente integral:
B
V dV= ∫∫∫ (III.29)
VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
Sea B una región tridimensional, entonces su volumen,
denotado como V , se obtiene como
B
V dV= ∫∫∫ (III.30)

107
Determine el volumen del sólido B acotado por las superficies:
0x = , y x= , 2y x= − , 1z = y 2 2
5z x y= − − .
Solución:
Para calcular el volumen del sólido B, se emplea la integral triple
B
dV∫∫∫ . En la siguiente gráfica se ilustra el sólido B acotado por
las superficies mencionadas en el ejemplo 3.15 y adicionalmente
se señalan los valores que toma la variable z a la entrada y la
salida del recinto B.
Figura 3.23
Sólido B del ejemplo 3.15
Por lo tanto el volumen se obtiene como:
2 2
5
1
x y
D
V dzdA
− −
= ∫∫ ∫
Donde D es la proyección del sólido B sobre el plano xy. Dicha
proyección se muestra en la figura 3.24.
EJEMPLO 3.15
B
2y x= −
y x=
Valor de z a
la salida de B
2 2
5z x y= − −
Valor de z a
la entrada de B
1z =

108
Figura 3.24
Proyección del sólido B del ejemplo 3.15 en el plano xy
Entonces la región D, está definida como:
( ){ }0 1 2D x,y x x y x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −
Luego:
( )
2 2
1 2 5 1 2
2 2
0 1 0
4
x x y x
x x
V dzdydx x y dydx
− − − −
= = − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1
3 2
0
16 8 8
4 4
3 3 3
V x x x dx
 
= + − − = 
 
∫
8
3B
V dV= =∫∫∫
Determine el volumen del sólido B acotado por las superficies:
4y = , 2
y x= , 0z = y 4z y= − .
Solución:
El cálculo de volumen del sólido B, se realiza por medio de la
integral triple
B
dV∫∫∫ . En la figura 3.25 se ilustra el sólido B de
este ejemplo. Adicionalmente se muestran los valores de la
variable z a la entrada y la salida del recinto B.
3.15 es una región tipo 1 D
Valor de y a
la salida de D
2y x= −
Valor de y a
la entrada de D
y x=
EJEMPLO 3.16

109
Figura 3.25
Por lo tanto el volumen se obtiene como:
4
0
y
D
V dzdA
−
= ∫∫ ∫
Donde D es la proyección del sólido B sobre el plano xy. Esta
proyección se observa en la figura 3.26.
Figura 3.26
Proyección del sólido B del ejemplo 3.16 en el plano xy
B
Valor de z a
la salida de B
4z y= −
Valor de z a
la entrada de B
0z =
3.16 es una región tipo 1
D
Valor de y a
la salida de D
4y =
Valor de y a
la entrada de D
2
y x=

110
La región D, del ejemplo 3.16 está definida como:
( ){ }2
2 2 4D x,y x x y= − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤
Luego:
( )2 2
4
2 4 4 2 4 2
2
2 0 2 2
256
4 8 4
2 15
y
x x
x
V dzdydx y dydx x dx
−
− − −
 
= = − = − + = 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
256
15B
V dV= =∫∫∫
Plantear mediante integrales triples el volumen comprendido entre
dos esferas concéntricas de radios 1 y 4.
Solución:
Sea B el sólido mencionado en el ejemplo 3.17. En la figura 3.27
se ilustran las dos esferas concéntricas de radios 1 y 4.
Figura 3.27
EJEMPLO 3.17
B
2 2 2
16x y z+ + =
2 2 2
1x y z+ + =
La región tridimensional
comprendida entre las
dos esferas concéntricas
es simétrica respecto al
origen, razón por la cual,
dicha región se divide en
8 partes correspondientes
a cada cuadrante.

111
A continuación se muestra la porción del sólido B que se
encuentra en el primer octante, el cual se denomina como B1.
También se muestran los valores de la variable z a la entrada y la
salida del recinto B1.
Figura 3.28
Sólido 1B del ejemplo 3.17
Entonces:
1
8
B B
V dV dV= =∫∫∫ ∫∫∫
Como el valor de la variable z cambia a la entrada del sólido B1,
entonces se debe emplear la propiedad aditiva respecto a la
región de integración, por lo cual:
2 2 2 2
2 2
1 1 2
16 16
0 1
8 8
x y x y
B D D x y
V dV dzdA dzdA
− − − −
− −
 
= = + 
 
∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫
Donde D1 y D2 son las regiones bidimensionales que se obtienen
al proyectar el sólido B1 sobre el plano xy. En la figura 3.29 se
aprecia dicha proyección.
Valor de z a
la salida de B1
2 2
16z x y= − −
Valor de z a
la entrada de B1
0z =
B1
Valor de z a
la salida de B1
2 2
16z x y= − −
Valor de z a
la entrada de B1
2 2
1z x y= − −
Figura 3.29
Proyección del sólido B1
sobre el plano xy
D1
D2

112
Figura 3.30
Entonces, la región D1 viene dada por la unión de las regiones:
( ){ }
( ){ }
2 2
1 1
2
1 2
0 1 1 16
1 4 0 16
.
.
D x,y x x y x
D x,y x y x
= ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ −
= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −
Figura 3.31
La región bidimensional
D1 se divide en dos
regiones tipo 1; es decir:
1 1.1 1.2D D D= ∪
D1.1
D1.2
Valor de y a
la salida de D1.1
2
16y x= −
Valor de y a
la salida de D1.2
2
16y x= −
Valor de y a
la entrada de D1.1
2
1y x= −
Valor de y a
la entrada de D1.2
0y =
1x =
D2
Valor de y a
la salida de D2
2
1y x= −
Valor de y a
la entrada de D2
0y =
D2 es una región tipo 1.

113
Con base a la figura 3.31, se tiene que:
( ){ }2
2 0 1 0 1D x,y x y x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −
Por lo tanto, las integrales triples que permiten calcular el volumen
comprendido entre dos esferas concéntricas de radios 1 y 4 son:
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
2 2
1 16 16 4 16 16
0 1 0 1 0 0
1 1 16
0 0 1
8 8
8
x x y x x y
x
x x y
x y
V dzdydx dzdydx
dzdydx
− − − − − −
−
− − −
− −
= + +
+
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
3.2.2.MASA DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
Considere una región tridimesional B , no homogénea, esto es que
su densidad ρ varía en cada punto ( )x,y,z B∈ , donde la función
densidad está expresada en unidades de masa por unidad de
volumen, entonces la masa se obtiene como la integral triple de la
función densidad sobre la región B, tal como se define a
continuación:
MASA DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
Considere un cuerpo tridimensional B de densidad variable
( )x,y,zρ , entonces su masa, denotada m , se obtiene como:
( ), ,
B
m x y z dVρ= ∫∫∫ (III.31)
Resolver estas integrales
es un proceso bastante
laborioso; sin embargo
con un software
matemático se puede
obtener que el volumen
planteado en el ejemplo
3.17 es:
( )8 32.98672287V =

114
Calcular la masa del sólido comprendido entre los planos: 0z = y
1z y= − y dentro de la superficie definida por la ecuación
2 2
4 4x y+ = , cuya densidad viene dada por ( ), , 2x y z zρ =
Solución:
El sólido B del ejemplo 3.18 se muestra en la figura 3.32, también
se muestran los valores que toma la variable z a la entrada y salida
de la región B.
Figura 3.32
Para calcular la masa del sólido mostrado en la figura anterior, se
emplea la ecuación III.31, donde al sustituir el primer orden de
integración y la función densidad, se obtiene:
1
0
2
y
D
m zdzdA
−
= ∫∫ ∫
donde D es la proyección del sólido B en el plano xy. Esta
proyección, junto con el segundo orden de integración se ilustra en
la figura 3.33
EJEMPLO 3.18
B
Valor de z a
la salida de B
1z y= −
Valor de z a
la entrada de B
0z =

115
Figura 3.33
La región D está definida como:
( )
2 2
4 4
2 2
2 2
x x
D x,y x y
 − − 
= − ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ 
  
Volviendo al cálculo de la masa:
( )
2 2
2 2
4 4
2 1 2 22 2
4 42 0 2
2 2
2 1
x x
y
x x
m zdzdydx y dydx
− −
−
− −− −− −
= = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
3 3
2 2
2
2
1 4 4 5
1 1
3 2 2 2
x x
m dx
π
−
    − − = + − − =   
        
∫
5
2
2B
m zdV
π
= =∫∫∫
Calcular la masa del sólido comprendido entre los paraboloides
2 2
4 4z x y= + y 2 2
8 4 4z x y= − − , cuya densidad viene dada por
( ), , 1x y z x y zρ = + + + .
EJEMPLO 3.19
D
Valor de y a
la salida de D
2
4
2
x
y
−
=
Valor de y a
la entrada de D
2
4
2
x
y
−
= −
La gráfica de la ecuación:
2 2
4 4x y+ =
Es una elipse horizontal.
D del ejemplo 3.18 es
una región tipo 1 y
también una región tipo
2.

116
Solución:
En la figura 3.34, se muestra el sólido B del ejemplo 3.19 y también
los valores que toma la variable z a la entrada y salida de la región
B, los cuales permiten establecer los límites para la primera
integración parcial.
Figura 3.34
Por lo tanto, la masa se obtiene como:
( )
2 2
2 2
8 4 4
4 4
1
x y
D x y
m x y z dzdA
− −
+
= + + +∫∫ ∫
siendo D la proyección del sólido B en el plano xy. Para determinar
la ecuación de la curva que delimita a esta región D, es necesario
resolver el siguiente sistema:
2 2
2 2
4 4
8 4 4
z x y
z x y
 = +

= − −
Sumando ambas ecuaciones se tiene que 4z =
B
Valor de z a
la salida de B
2 2
8 4 4z x y= − −
Valor de z a
la entrada de B
2 2
4 4z x y= +

117
Sustituyendo el valor de z en la primera ecuación del sistema, se
obtiene la ecuación 2 2
1x y+ = .
Figura 3.35
La región D queda definida como:
( ){ }2 2
1 1 1 1D x,y x x y x= − ≤ ≤ ∧ − − ≤ ≤ −
Luego, la masa se obtiene mediante la integral triple
( )
2 2 2
2 2 2
1 1 8 4 4
1 1 4 4
1
x x y
x x y
m x y z dzdydx
− − −
− − − +
= + + +∫ ∫ ∫
( )
2
2
1 1
3 2 2 2 2 3
1 1
40 8 40 8 8 8 8 40 8
x
x
m x x x xy x y y y y dydx
−
− − −
= − − + − − + − −∫ ∫
1
2 2 2 2 3 2
1
160 32 160 32
1 1 1 1 20
3 3 3 3
m x x x x x x x dx π
−
 
= − + − − − − − = 
 
∫
( )1 20
B
m x y z dV π= + + + =∫∫∫
Recuerde que la gráfica
de la ecuación:
2 2
1x y+ =
Es una circunferencia.
3.19 puede clasificarse
como una región tipo 1 y
también como una región
tipo 2. D
Valor de y a
la salida de D
2
1y x= −
Valor de y a
la entrada de D
2
1y x= − −

118
3.2.3.MOMENTOS ESTÁTICOS
El momento estático de una región B tridimensional respecto a los
planos coordenados xy, yz y xz, se definen de la siguiente manera:
Calcular los momentos estáticos alrededor de los planos
coordenados para el sólido descrito en el ejemplo 3.18.
Solución:
El sólido B del ejemplo 3.18 se definió como:
( )
2 2
4 4
2 2 0 1
2 2
x x
B x,y,z x y z y
 − − 
= − ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ − 
  
Calculando los momentos estáticos por medio de las ecuaciones:
III.32, III.33 y III.34, se tiene:
MOMENTOS ESTÁTICOS DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada
por la función 3
:ρ → , la cual es continua ( )x,y,z B∀ ∈ ,
entonces los momentos estáticos alrededor de los planos xy,
yz y xz, denotados xyM , yzM y xzM , respectivamente, se
obtienen a partir de las siguientes expresiones:
( ), ,xy B
M z x y z dVρ= ∫∫∫ (III.32)
( ), ,yz B
M x x y z dVρ= ∫∫∫ (III.33)
( ), ,xz B
M y x y z dVρ= ∫∫∫ (III.34)
EJEMPLO 3.20

119
( )
( )
2 2
2 2
34 4
2 1 2
2 2
4 42 0 2
2 2
2 1
2
3
x x
y
xy x x
y
M z z dzdydx dydx
− −
−
− −− −
− −
−
= =∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )
32
2 2 2
2
2 1 7
4 4
3 6 3
xyM x x dx
π
−
 
= − + − =  
∫
Respecto al plano yz:
( ) ( )
2 2
2 2
4 4
2 1 2 2
2 2
4 42 0 2
2 2
2 1
x x
y
yz x x
M x z dzdydx x y dydx
− −
−
− −− −
− −
= = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )
32
2 2 2
2
1
4 4 0
12
yzM x x x x dx
−
 
= − + − =  
∫
Y finalmente, respecto al plano xz:
( ) ( )
2 2
2 2
4 4
2 1 2 22 2
4 42 0 2
2 2
2 1
x x
y
xz x x
M y z dzdydx y y dydx
− −
−
− −− −
− −
= = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )
32
2 2
2
1
4
6
xzM x dx π
−
 
= − − = −  
∫
( )
( )
( )
7
2
3
2 0
2
xy B
yz B
xz B
M z z dV
M x z dV
M y z dV
π
π
= =
= =
= = −
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
Calcular los momentos estáticos alrededor de los planos
Solución:
El sólido B del ejemplo 3.19 está definido como:
( ){ }2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 4 8 4 4B x,y,z x x y x x y z x y= − ≤ ≤ ∧ − − ≤ ≤ − ∧ + ≤ ≤ − −
EJEMPLO 3.21

120
Calculando el momento estático respecto al plano xy:
( )
2 2 2
2 2 2
1 1 8 4 4
1 1 4 4
1
x x y
xy x x y
M z x y z dzdydx
− − −
− − − +
= + + +∫ ∫ ∫
( )( )
2
2
1 1
4 2 2 2 2 4 2 2
1 1
32
4 8 8 3 8 3 4 19 1
3
x
xy x
M x x x y x y y y x y dx
−
− − −
= − − + + − + + + + −∫ ∫
1
2 2 3 4 6
1
8832 128 34688 128 4096 4096 272
1
35 3 105 3 35 105 3
xyM x x x x x x
π
−
 
= − + − − + − = 
 
∫
Respecto al plano yz:
( )
2 2 2
2 2 2
1 1 8 4 4
1 1 4 4
1
x x y
yz x x y
M x x y z dzdydx
− − −
− − − +
= + + +∫ ∫ ∫
( )( )
2
2
1 1
2 2
1 1
8 5 1
x
yz x
M x x y x y dx
−
− − −
= − + + + −∫ ∫
1
2 2 3 4
1
160 32 160 32 2
1
3 3 3 3 3
yzM x x x x x
π
−
 
= − + − − = 
 
∫
Respecto al plano xz:
( )
2 2 2
2 2 2
1 1 8 4 4
1 1 4 4
1
x x y
xz x x y
M y x y z dzdydx
− − −
− − − +
= + + +∫ ∫ ∫
( )( )
2
2
1 1
2 2
1 1
8 5 1
x
xz x
M y x y x y dx
−
− − −
= − + + + −∫ ∫
( )
2
1
2 4
1
32 1 2
1 2
15 3
xz
x
M x x
π
−
−
= − + =∫
Entonces, para el sólido del ejemplo 3.19 se tiene:
( )
( )
( )
272
1
3
2
1
3
2
1
3
xy B
yz B
xz B
M z x y z dV
M x x y z dV
M y x y z dV
π
π
π
= + + + =
= + + + =
= + + + =
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫

121
3.2.4. CENTRO DE MASA
A continuación se define el centro de masa para un sólido
tridimensional como un punto ( )P x,y,z , donde las coordenadas
de este punto se obtienen de las ecuaciones:
yzM
x
m
= (III.35)
xzM
y
m
= (III.36)
xyM
z
m
= (III.37)
Entonces:
CENTRO DE MASA DE UN SÓLIDO DEL ESPACIO
por la función 3
entonces el centro de masa es un punto ( )P x,y,z , donde sus
coordenadas son:
( )
1
, ,
B
x x x y z dV
m
ρ= ∫∫∫ (III.38)
( )
1
, ,
B
y y x y z dV
m
ρ= ∫∫∫ (III.39)
( )
1
, ,
B
z z x y z dV
m
ρ= ∫∫∫ (III.40)
Donde m es la masa del sólido B , que se obtiene como
( ), ,
B
m x y z dVρ= ∫∫∫ .

122
Determine las coordenadas del centro de masa del sólido B
descrito en el ejemplo 3.18.
Solución:
Las coordenadas del centro de masa del sólido B se obtienen
empleando las ecuaciones III.38, III.39 y III.40; sin embargo,
como en el ejemplo 3.20 se calcularon los momentos estáticos
alrededor de los planos coordenados, a continuación se utilizan las
ecuaciones III.35, III.36 y III.37:
0
0
5
2
yzM
x
m π
= = =
2
5 5
2
xzM
y
m
π
π
−
= = = −
7
143
5 15
2
xyM
z
m
π
π
= = =
Entonces:
( )
2 14
0
5 15
P x,y,z , ,
 
= − 
 
Figura 3.36
Centro de gravedad del sólido B del ejemplo 3.18
EJEMPLO 3.22
2 14
0
5 15
, ,
 
− 
 
B
Para el ejemplo 3.18 se
obtuvo:
5
2
2B
m zdV
π
= =∫∫∫
( )
( )
( )
7
2
3
2 0
2
xy
B
yz B
xz B
M z z dV
M x z dV
M y z dV
π
π
= =
= =
= = −
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫

123
Determine las coordenadas del centro de gravedad del sólido
descrito en el ejemplo 3.19.
Solución:
Las coordenadas del centro de masa del sólido B, igual que en el
ejemplo anterior, se obtienen a partir de las ecuaciones III.35,
III.36 y III.37:
2
13
20 30
yzM
x
m
π
π
= = =
2
13
20 30
xzM
y
m
π
π
= = =
272
683
20 15
xyM
z
m
π
π
= = =
Entonces:
( )
1 1 68
30 30 15
P x,y,z , ,
 
=  
 
En la siguiente figura, se aprecia el centro de masa del sólido B.
Figura 3.37
Centro de gravedad del sólido B del ejemplo 3.19
EJEMPLO 3.23
1 1 68
30 30 15
, ,
 
 
 
B
Para el ejemplo 3.19 se
obtuvo:
( )1 20
B
m x y z dV π= + + + =∫∫∫
272
3
2
3
2
3
xy
yz
xz
M
M
M
π
π
π
=
=
=

124
3.2.5. MOMENTOS DE INERCIA
Los momentos de inercia del sólido B respecto a los planos
coordenados, se obtienen como sigue:
Calcular los momentos de inercia alrededor de los ejes
coordenados y respecto al origen para el sólido descrito en el
ejemplo 3.18.
Solución:
El sólido B mencionado está definido como:
( )
2 2
4 4
2 2 0 1
2 2
x x
B x,y,z x y z y
 − − 
= − ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ − 
  
Calculando los momentos estáticos por medio de las ecuaciones:
III.41, III.42 y III.43, se tiene:
MOMENTOS DE INERCIA DE FIGURAS PLANAS
por la función 3
entonces los momentos de inercia alrededor de los ejes
coordenados, denotados xI , yI e zI se obtienen a partir de:
( ) ( )2 2
, ,x B
I y z x y z dVρ= +∫∫∫ (III.41)
( ) ( )2 2
, ,y B
I x z x y z dVρ= +∫∫∫ (III.42)
( ) ( )2 2
, ,z B
I x y x y z dVρ= +∫∫∫ (III.43)
El momento polar de inercia, 0I , es:
( ) ( )2 2 2
0 , ,
B
I x y z x y z dVρ= + +∫∫∫ (III.44)
EJEMPLO 3.24

125
( )( )
2
2
4
2 1
2 22
42 0
2
2
x
y
x x
I y z z dzdydx
−
−
−−
−
= +∫ ∫ ∫
( ) ( )
2
2
4
2 4 222
42
2
1
1 1
2
x
x x
I y y y dydx
−
−−
−
 
= − + −  
∫ ∫
( ) ( )
5 32
2 2 22 2
2
1 3 1 27
4 4 4
2 160 3 8
xI x x x dx
π
−
 
= − + − + − =  
∫
Respecto al eje y:
( )( )
2
2
4
2 1
2 22
42 0
2
2
x
y
y x
I x z z dzdydx
−
−
−−
−
= +∫ ∫ ∫
( ) ( )
2
2
4
2 4 222
42
2
1
1 1
2
x
y x
I y x y dydx
−
−−
−
 
= − + −  
∫ ∫
( ) ( )
( )
5
2 22
32
2 2 22
2
4 3 1 119
4 4
160 12 2 24
y
x x
I x x x dx
π
−
 − +   = + − + − + =   
  
∫
Respecto al eje z:
( )( ) ( )( )
2 2
2 2
4 4
2 1 2 22 2 2 22 2
4 42 0 2
2 2
2 1
x x
y
z x x
I x y z dzdydx y x y dydx
− −
−
− −− −
− −
= + = + −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )( )
5 32
2 2 2 2 22 2
2
1 1 37
4 1 4 4
80 12 12
zI x x x x x dx
π
−
 
= − + + − + − =  
∫
Finalmente, el momento polar de inercia:
( )( )
2
2
4
2 1
2 2 22
0 42 0
2
2
x
y
x
I x y z z dzdydx
−
−
−−
−
= + +∫ ∫ ∫
( ) ( )( )
2
2
4
2 4 22 22
0 42
2
1
1 1
2
x
x
I y y x y dydx
−
−−
−
 
= − + + −  
∫ ∫

126
( ) ( )
( )
5
2 22 232
2 2 22
0 2
3 4 4 4 137
4 4
160 12 2 24
x x x
I x x x dx
π
−
 − + − = + − + + − =
 
  
∫
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
0
27
2
8
119
2
24
37
2
12
137
2
24
x B
y B
z B
B
I y z z dV
I x z z dV
I x y z z dV
I x y z z dV
π
π
π
π
= + =
= + =
= + + =
= + + =
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
Calcular los momentos de inercia alrededor de los ejes
Solución:
El sólido B del ejemplo 3.19 está definido como:
( ){ }2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 4 8 4 4B x,y,z x x y x x y z x y= − ≤ ≤ ∧ − − ≤ ≤ − ∧ + ≤ ≤ − −
Calculando los momentos de inercia:
( )( )
2 2 2
2 2 2
1 1 8 4 4
2 2
1 1 4 4
1
x x y
x x x y
I y z x y z dzdydx
− − −
− − − +
= + + + +∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ]
2
2
1 1
2 2 5 5 4
1 1
3 2 2 2 3 4
2 3 2
8
1 16 16 13
3
32 1 32 13 13 16 3
29 401 64 208 29 448
x
x x
I x y x y x y
x y x y y y x y
y x y y y dydx
−
− − −
= − + − + + + +
+ − + + − − + + +
+ − − + + − +
∫ ∫
EJEMPLO 3.25
Para resolver las integrales
que permiten calcular los
momentos de inercia
pedidos en el ejemplo 3.25
se ilustra sólo el segundo
momento respecto al eje x.
Los demás resultados
fueron calculados con un
software matemático.

127
(
)
2
1
2 3
1
4 5 6 7
1
143968 22240 251584 30656
105
160864 12512 53248 4096
x
x
I x x x
x x x x dx
−
−
= + − − +
+ + − −
∫
462xI π=
Los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados y al
origen para el sólido del ejemplo 3.19, se muestran a continuación:
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
0
1 462
1 462
20
1
3
1396
1
3
x B
y B
z B
B
I y z x y z dV
I x z x y z dV
I x y z x y z dV
I x y z x y z dV
π
π
π
π
= + + + + =
= + + + + =
= + + + + + =
= + + + + + =
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫

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