Dokumen tersebut menjelaskan tentang program integer yang merupakan bentuk lain dari program linier dimana asumsi divisibilitas melemah. Terdapat tiga jenis program integer yaitu integer murni, campuran, dan 0-1. Diberikan contoh soal program integer dan penyelesaiannya melalui pencabangan untuk mendapatkan solusi optimal berupa bilangan bulat.

1. *****

2. Merupakan bentuk lain dari programa linier
dimana asumsi divisibilitas melemah.
Asumsi divisibilitas melemah artinya sebagian
nilai variabel keputusan harus berupa
bilangan bulat dan sebagian yang lain boleh
berupa bilangan pecahan. Oleh karena itu
terdapat 3 macam programa intejer yaitu
Intejer Murni, Intejer Campuran dan Intejer 01

3. Contoh Intejer Murni (Pure Integer):
Maks. f = 3x1 + 2x2
kendala: x1 + x2 ≤ 6
x1, x2 ≥ 0 ; x1, x2 : intejer
Contoh Intejer Campuran (Mixed Integer):
Maks. f = 3x1 + 2x2
kendala: x1 + x2 ≤ 6
x1, x2 ≥ 0 ; x1: intejer

4. Contoh Intejer ) 0 – 1 (Zero – One)
Maks.
f = x1 − x2
kendala:
x1 + 2x2 ≤ 2
2x1 − x2 ≤ 1
x1, x2 = 0 atau 1

5. Contoh 1:
Maks. f = 10x1 + x2
kendala:
2x1 + 5x2 ≤ 11
x1, x2 ≥ 0 dan intejer
Solusi Grafis akan diperoleh:

6. x2
A(0;2,2) maka f = 2,2 (tdk fisibel)
B(5,5;0) maka f = 55 (fisibel)
6
5 < x1 < 6
3
A
B
0
3
6
x1

7. Solusi fisibel dibagi 2 menjadi:
(1) Maks.
f = 10x1 + x2
kendala:
2x1 + 5x2 ≤ 11
x1
≤ 5
x1, x2 ≥ 0 dan intejer, dan
(2) Maks. f = 10x1 + x2
kendala:
2x1 + 5x2 ≤ 11
x1
≥ 6
x1, x2 ≥ 0 dan intejer

8. Problem (2) infeasible.
Problem (1) mempunyai solusi fisibel dengan:
x1 = 5 ; x2 = 0,2 dengan f = 50,2
Pencabangan dilakukan pada x2 karena:
0 ≤ x2 ≤ 1, sehingga terbentuk dua
permasalahan lagi yaitu:

9. (3)
Maks.
kendala:
f = 10x1 + x2
2x1 + 5x2 ≤ 11
x1
≤5
x2 ≤ 0
x1, x2 ≥ 0 dan intejer, dan
(4) Maks. f = 10x1 + x2
kendala:
2x1 + 5x2 ≤ 11
x1
≤5
x2 ≥ 1
x1, x2 ≥ 0 dan intejer

10. Problem (3) diperoleh solusi:
x1 = 5 ; x2 = 0 dan f=50
Problem (4) diperoleh solusi:
x1 = 3 ; x2 =1 dan f=31
Karena keduanya sudah intejer, maka tidak ada
lagi pencabangan.
Permasalahannya Maksimasi, maka solusi
optimumnya adalah x1* = 5 ; x2* = 0 dengan f
= 50

11. f* = 50
4
f* = 50,2
2
f*=55
1
(5,5;0)
f* = 31
(5; 0,2)
5
infeasible
3

12. Contoh 2:
Maks.
kendala:
f = 3x1 + 4x2
2x1 + x2 ≤ 6
2x1 + 3x2 ≤ 9
x1, x2 ≥ 0 dan intejer
Dengan mengikuti solusi dari programa linier,
diperoleh solusi fisibel dengan:
x1* = 2,25 ; x2* =1,5 dan f =12,75
I. Gunakan pencabangan pada x2: 1≤ x2 ≤2

13. (2) Maks.
kendala:
f = 3x1 + 4x2
2x1 + x2 ≤ 6
2x1 + 3x2 ≤ 9
x2 ≤ 1
x1, x2 ≥ 0 dan intejer, dan
(3) Maks.
f = 3x1 + 4x2
kendala:
2x1 + x2 ≤ 6
2x1 + 3x2 ≤ 9
x2 ≥ 2
x1, x2 ≥ 0 dan intejer, dan

14. Solusi fisibel (2) diperoleh:
x1 = 2,5 ; x2 = 1 dan f = 11,5
Solusi fisibel (3) diperoleh:
x1 = 1,5 ; x2 = 2 dan f = 12,5
Keduanya belum intejer. Pencabangan dilanjutkan
pada (3) karena lebih dekat ke solusi optimal
sesuai fungsi tujuan.
Pencabangan dilakukan pada x1 : 1≤ x1≤ 2

15. (4) Maks.
f = 3x1 + 4x2
kendala: 2x1 + x2 ≤ 6
2x1 + 3x2 ≤ 9
x2 ≥ 2
x1
≤ 1, x1, x2 ≥ 0 dan intejer
(5) Maks.
f = 3x1 + 4x2
kendala: 2x1 + x2 ≤ 6
2x1 + 3x2 ≤ 9
x2 ≥ 2
x1
≥2
x1
≤ 1, x1, x2 ≥ 0 dan intejer

16. Solusi (5) infeasible.
Solusi fisibel (4) diperoleh:
x1 = 1 ; x2 = 7/3 dan f = 12,33
Selanjutnya dilakukan pencabangan pada x2
dengan : 2 ≤ x1 ≤ 3

17. (6)
Maks.
f = 3x1 + 4x2
kendala: 2x1 + x2 ≤ 6
2x1 + 3x2 ≤ 9
x2 ≥ 2
x1
≤1
x2 ≤ 2
x1, x2 ≥ 0 dan intejer

18. (7)
Maks.
f = 3x1 + 4x2
kendala: 2x1 + x2 ≤ 6
2x1 + 3x2 ≤ 9
x2 ≥ 2
x1
≤1
x2 ≥ 3
x1, x2 ≥ 0 dan intejer

19. Solusi fisibel (6) adalah:
x1 =1 ; x2 = 2 dengan f = 11
Solusi fisibel (7) adalah:
x1 = 0 ; x2 = 3 dengan f = 12
Keduanya intejer, maka solusi optimum adalah
(7) sesuai fungsi tujuan.

20. f* = 11
f* = 11,5
6
2
x2≤1
(2,5;1)
1 f* = 12,75
x2≤2
f* = 12,33
4
(2,25;1,5)
x2≥2
f* = 12,5 3
(1,5;2)
x2≥3
f* = 12
7
(1;7/3)
(0;3)
x1≤1
x1≥2
(1;2)
infeasible
5