El documento trata sobre varios conceptos relacionados con el análisis del movimiento de sistemas de partículas incluyendo: el centro de masa, que representa el movimiento de todo un sistema como una sola partícula; el centroide, que define el centro geométrico de un objeto; y el momento de inercia, que mide la inercia rotacional de un cuerpo. También explica conceptos como el radio de giro, el círculo de Mohr y áreas planas compuestas.

1. *Centro de Masa
La conservacióndel momentototal nosdaun métodoparaanalizarun "sistema de partículas". Un
sistematal puede servirtualmente cualquiercosa(unvolumende gas,aguaen unrecipiente ouna
pelotade béisbol).Otroconcepto importante nos permite el análisis del movimiento general de
un sistema de partículas. Comprende la representación del sistema entero, como una partícula
sencilla cuyo concepto se iniciará aquí.
Si no hay algunafuerzaexternaque actúe sobre unapartícula,su cantidadde movimientolineales
constante.Enuna forma similar,si nohayalgunafuerzaque actúe sobre un sistema de partículas,
la cantidadde movimientolineal del sistematambiénesconstante.Estasimilitud significa que un
sistema de partículas se puede representar por una sola partícula equivalente. Objetos móviles
taIescomo pelotas,automóviles y demás, se pueden considerar en la práctica como sistemas de
partículas yse puedenrepresentarefectivamente por partículas simples equivalentes cuando se
analiza su movimiento. Tal representación se hace por del concepto de centro de masa (CM).
El Centro de masa es el punto en el cual se puede considerar concentrada toda la masa de un
objeto o de un sistema.
Aun si el objeto esta en rotación, el centro de masa se mueve como si fuera partícula. Algunas
veces el centro de masa se describe como si estuviera en el punto de equilibrio de un objeto
sólido.Porejemplo,si usted equilibra un metro sobre su dedo, el centro de masa de la varilla de
madera está localizada directamente sobre su dedo y toda la masa parece estar concentrada ahí
La segunda ley de Newton se aplica a un sistema cuando se usa el centro de masa F=𝑴𝑨 𝑪𝑴.
Importancia Para la Ingenieria
El centrode masa casi siempre se refiere acuerposque constan de 2 dimensiones
o, esdecirson figurasque tienencaracterísticasde serfinasoque no tienen profundidad,
entonces el CM, nos sirve para, para determinar en esos cuerpos el punto donde se
concentra toda la masa , y esto nos ayuda a determinar el punto en el que si aplicamos
una fuerza no nos dará torque alguno.
*CENTROIDE
El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede
determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de
garvedad o el centro de masa del cuerpo. Se consideran tres casos especificos.
VOLUMEN. Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dv, la localización del
centroide para el volumen del objeto se puede determinar calculando los momentos de los
elementos en torno a los ejes de coordenadas. Las formulas que resultan son:

2. X = " x dv Y = " y dv Z = " z dv
" dv " dv " dv
AREA. De manera semejante, el centroide para el area para el area superficial de un
boleto, como una planca o un casco puede encontrase subdividiendo el area en elementos
diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de aerea en torno a los ejes de
coordenadas a saber.
X = " x dA Y = " y dA Z = " z dA
" dvA " dA " dA
LINEA.Si la geomentriadel objeto tal como una barra delgada un alambre, toma la forma
de una linea, la manera de encontrar su centoide es el siguiente:
X = " x dL Y = " y dL Z = " z dL
" dL " dL " dL
-DEFINICIÓN PARA LOS MOMENTOS DE INERCIA PARA LAS AREAS
El momentode inerciade unaarea se originacuandoesnecesariocalcularel momento de
una carga distibuidaque varialinealmentedesde el ejede momento.Un ejemplo característico de
esta clase de carga lo tenemos en la carga de presion debida a un liquido sobre la superficie de
una placa sumergida.
-MOMENTO DE INERCIA
Consideremos el area A, que se muestra en la figura situada en el plano x - y. Por
definiciónlosmomentosde inerciadel areaplanadiferencial dA entornoal eje x y al eje y son dlx
= y2 dA y dly = x2 dA, respectivamente. Para el area total los momentos de inercia se determina
por integración es decir,
Tambienpodemosformularel segundomomentodel area diferencial dA en torno al polo
O o el eje Z, a esto no referimos como el Momento Polar de Inercia, dJo = r2 dA. Aquí r es la
distancia perpendicular del polo (eje z) al elemento dA. Para el area total, el momento polar de
inercia es:
Importancia del Centroide en la Ingenieria
El centroide nosayudaa encontrarel puntoenel que se concentra las fuerzas que
actuan sobre una figura irregular, o figuras geométricas no muy conocidas

3. *Areas Planas Compuestas
El area de una figura compuesta es aquella que se constituye de dos o mas figuras. Toda la parte
de adentrode nuestraanteriorfiguraesa loque se le conoce comoarea y para obtenerel area de
la figura tenemos que calcular el area del cuadrado y despues el del rectangulo, para asi
podersumar las areas y obtener el de la figura completa.
Importancia de Areas Planas Compuestas
Es importante en el mundo de la ingeniería debido a que piezas, edificios,
instrumentos ralizados están formados por figuras geométricas y calculando sus centros de
gravedad al tener figuras compuestas se puede calcular mejor la magnitud y obtener un mejor
resultado.
*El Momento de Inercia
Es una medidade lainerciarotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los
ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud
escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia
rotacional debe representarse pormediode unconjuntode momentosde inercia y componentes
que formanel llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de
sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos.
El momentode inerciarefleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas
en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del
cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el
movimiento.
El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del
movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un
sólido rígido.
Teorema de Steiner o Teorema de los Ejes Paralelos
El teorema de Steiner establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje
paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto
al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la
distancia entre los dos ejes:

4. donde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de
masa; I(CM)eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro
de masa; M (Masa Total) y h (Distancia entre los dos ejes paralelos considerados).
La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de
coordenadas relativa al centro de masas C inmediata:
Donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en
torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa.
El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de
masa sólo depende de la geometría del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del
campo gravitacional en el que está inmerso dicho cuerpo.
*Radio de giro
Describe la forma en la cual el área transversal o una distribución de masa se distribuye
alrededor de su eje centroidal. Concretamente es el valor medio cuadrático de distancia de los
puntos de la sección o la distribución de masa respecto a un eje que pasa por el centro de la
misma.
El radio de giro de un área con respecto a un eje particular es igual a la raíz cuadrada del
cociente del segundo momento de área dividido por el área:
Donde ig es el radio de giro, Ieje es el segundo momento de área o momento de inercia de la
sección y A es el área de la sección transversal. Es una medida del alejamiento promedio de
la sección resistente del centro de gravedad, dadas dos secciones de la misma área la de
menor radio de giro presentará menor rigidez torsional y también un peor comportamiento
frente a pandeo.

5. El radio de giro para diversas secciones transversales es:
-Seccion Cuadrada de Lado:
-Seccion Circular de Radio:
*Círculo de Mohr
Es una técnica usada en ingeniería y geofísicapara representar gráficamente un tensor
simétrico y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los
mismos a las características de una circunferencia. También es posible el cálculo del esfuerzo
cortantemáximo absoluto y la deformación máxima absoluta.
Circunferencia de Mohr para esfuerzos
-Caso bidimensional
En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima
y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos
ángulos que forman 90º
Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa latensión normal y
el eje vertical representa la tensión cortante o tangencial para cada uno de los
planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la
siguiente manera:
 Centro del círculo de Mohr:

6.  Radio de la circunferencia de Mohr:
Las tensiones máxima y mínima vienen dados en términos de esas magnitudes
simplemente por:
Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor
tensión que en este caso viene dado por:
-Caso tridimensional
El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es más
complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que
existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.
En el caso general, las tensiones normal (σ) y tangencial (τ), medidas sobre cualquier
plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (σ,τ) caen siempre
dentro de una región delimitada por 3 círculos. Esto es más complejo que el caso
bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre una única circunferencia.
Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la región de posibles pares (σ,τ) se
conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.

7. Jose Jesus Chavez
20.942.665