O documento apresenta os conceitos e métodos para resolução de equações do segundo grau. Em três frases ou menos, o documento resume: 1) Equações do segundo grau podem ser completas ou incompletas e são representadas pela forma geral ax2 + bx + c = 0, sendo resolvidas pela fórmula de Bháskara. 2) Uma equação do segundo grau pode ter zero, uma ou duas raízes reais, e as relações entre os coeficientes a, b e c determinam o número de soluções. 3) Além de equações numéricas,

1. Equação do 2º grau
e
Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:
ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com .
Exemplos:
Equação a b c
2) -x²+4x-4=0
x²+2x+1 1 2 1 a=-1, b=4 e c=-4
5x-2x²-1 -2 5 -1 = 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0
Sustituindo na fórmual de Bháskara:
Classificação:
- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos
» x=2
uma equação do 2º grau incompleta.
1º caso: b=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes
x²-9=0 » x²=9 » x= » x=
reais e iguais. ( )
2º caso: c=0
3) 5x²-6x+5=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
a=5 b=-6 c=5
x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0 » x=0,9 = (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64
3º caso: b=c=0 Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número
2x²=0 » x=0 negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real.
Resolução de equações do 2º grau:
Logo: » vazio
A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada
Propriedades:
acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou
seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.
- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem Duas raízes reais e diferentes
ser determinadas pela fórmula de Bháskara.
Duas raízes reais e iguais
Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações
do 2º grau? Nenhuma raiz real
Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a
fórmula de Bháskara:
Relações entre coeficientes e raízes
Multiplicamos os dois membros por 4a:
4a²x²+4abx+4ac=0
4a²x²+4abx=-4ac
Somamos b² aos dois membros: Vamos provar as relações descritas acima:
4a²x²+4abx+b²=b²-4ac
Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são:
Fatoramos o lado esquedo e chamamos de (delta)
b²-4ac:
(2ax+b)²= e
A soma das raízes será:
2ax+b=
2ax=-b
Logo:
Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:
ou
Fórmula de Bháskara: O produto das raízes será:
Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns
exercícios: Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:
1) 3x²-7x+2=0
a=3, b=-7 e c=2
Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.
= (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25
Substituindo na fórmula:
Obtendo:
=

2. Substituindo por e :
Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:
, Logo:
x = 2a e x = a » S={a,2a}
x² - Sx + P = 0
Resolução de equações biquadradas
Exemplos: Equacão biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas
1) Determine a soma e o produto das seguintes equações: quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é:
a) x² - 4x + 3=0
[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:
onde
b) 2x² - 6x -8 =0 Exemplo resolvido:
Sendo a=2, b=-6 e c=-8 1)
Fazendo x² = y , temos
Substituindo os valores na equação, temos:
c) 4-x² = 0 y² - 5y + 4 = 0
Sendo a=-1, b=0 e c=4: Aplicando Bháskara:
Resolução de equações fracionárias do 2º grau:
Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no Logo, y = 4 e y`= 1
denominador e o processo de resolução destas equações é o Voltando a variável x:
mesmo das equações não fracionárias. Como y=x², temos:
Exemplos resolvidos: x²=4 » e x²=1 »
Então a solução será » S={-2,-1,1,2}
a) Onde , pois senão anularia o denominador ou simplesmente
[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x
Então:
Eliminando os denominadores, pois eles são iguais:
»
Aplicando a fórmula de Bháskara:
Logo, x = 2 e x` = 4. » S={2,-4}
b) e
[Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2)
Então:
Eliminando os denominadores:
» » »
* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois
senão anularia o denominador, logo a solução da equação será
somente:
x=-1 » S={-1}
Resolução de equações literais do 2º grau:
Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além
da incógnita.
Equação a b c
x² - (m+n)x + p = 0 1 -(m+n) p
Exemplo: Determine o valor da incógnita x.
1) x²-3ax+2a²=0
[Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara:
a=1, b=-3a, c=2a²