лекція 9

2. Функції комплексної змінноїФункції комплексної змінної

3. CD ⊂ ( ),zfw =
Dz ∈
w
.CE ⊂
• Кажуть, що на множині визначена функція
якщо кожному комплексному
значенню
ставиться у відповідність одне
які належать деякій
множині
(однозначна функція) або декілька (многозначна функція) значень
• Множина D називається областю визначення, а множина Е – множиною
значень функції ( ).zf
,iyxz += ,ivuw += ( )zfw =
( ),, yxuu = ( ):, yxvv =
( ) ( ) ( ).,, yxivyxuzfw +==
• Якщо а то функцію можна задати з допомогою
двох дійсних функцій

4. ( )zfw =
.2
zizw +=
( ) ( ) ( ).22 22222
xxyiyyxyxiyxyixiyxiiyxivuw +++−=++−+=−++=+=
zizw += 2
,22
yyxu +−= .2 xxyv +=
• Таким чином функція
здійснює відображення точок z –
площини
Тоді
Тому
рівність
рівносильна двом
рівностям
на відповідні точки w-площини
Розглянемо наприклад функцію

5. Криві і області в комплексній
площині
 iyxz +=
( ),txx = ( ),tyy = 21 ttt ≤≤
( ) ( ) ( ),tiytxtzz +==
( ),tx ( )ty
, .
• Неперервна крива
в комплексній площині це множина
точок
таких,
що
(2.1)
неперервні функції дійсної змінної t. Рівняння (2.1) це параметричні
а (2.2) – комплексне параметричне рівняння к
(2.2)
де
рівняння кривої
[ ],, 21 tt
( ),tx ( )ty
( )tx′ ( ),ty′
Крива (2.1) називається гладкою (регулярною) на
відрізку
мають на цьому відрізку неперервні
похідні
та
які одночасно. не дорівнює нулю

6. • Гладка крива у кожній своїй точці має дотичну, причому нахил
дотичної змінюється неперервно, коли точка дотику переміщується
по кривій.
• Якщо крива складається із скінченого числа гладких кривих, то вона
називається кусково-гладкою.
• Множина комплексних чисел D називається областю, якщо D, як множина
точок площини, відкрита і зв’язна.
• Нагадаємо, що множина називається зв’язною, якщо довільні дві її точки
можна з’єднати неперервною кривою, яка повністю лежить в цій множині;
множина називається відкритою, якщо разом з кожною своєю точкою вона
містить деякий окіл цієї точки.

7. • Область D називається однозв’язною, якщо довільна неперервна замкнута
самонеперетинаюча крива, проведена в D, обмежує деяку область G, яка
цілком належить D.
• Крива, що обмежує область D називається межею області D.
• Область D разом із своєю межею називається замкненою областю і позначається
.D
• Розглянемо, наприклад, множину точок z, які задовольняють нерівності
.32 <−< iz
• Це множина точок, які містяться між двома колами радіусів 2 і 3 і з спільним
центром у точці ,iz = це кільце є обмеженою многозв’язною областю.
• Множина точок, які задовольняють нерівність
1Re0 ≤≤ z

8. Границя функції комплексної
змінної
biac += ( )zf
,0zz → 0>ε ( )εδδ =
,0zz ≠ δ<− 0zz
( ) ε<− czf ( ) .lim
0
czf
zz
=
→
• Число
називається границею
функції
якщо для
довільного знайде
таке, що для
всіх
які задовольнять
нерівності
виконується
нерівність
і
пишуть
Це означення коротко можна записати так:
( ) ( )( ) ( ) czfczfzz
zz
=⇔<−⇒<−<>=∃>∀
→ 0
lim0:00 0 εδεδδε

9. • Означення границі функції комплексної змінної аналогічне з означенням
границі дійсної функції дійсної змінної, лише замість абсолютної величини
використовується модуль комплексного числа. Тому багато властивостей
границь дійсних функцій дійсної змінної переноситься на границі функцій
комплексної змінної. Зокрема,
( ) ( )( ) ;0limlim
000
=−⇔=
→−→
czfczf
zzzz
якщо ( ) ,czf = то ( ) ;lim
0
czf
zz
=
→
( )zf 0z 3) якщо
функціямає у точці
границю, то вона в де
обмежена;
( )zf ( )zg 0z
( ) ( )( ) ( ) ( );limlimlim
000
zgzfzgzf
zzzzzz →→→
±=±
якщо функції і у точцімають границі, то:
4)
5
)
( ) ( ) ( ) ( );limlimlim
000
zgzfzgzf
zzzzzz →→→
=
( )
( )
( )
( )
,
lim
lim
lim
0
0
0 zg
zf
zg
zf
zz
zz
zz
→
→
→
= ( ) .0lim
0
≠
→
zg
zz
6
)

10. ( ) ( ) ( )yxivyxuzf ,, +=
000 iyxz +=
( )yxu , ( )yxv , ( ).; 00 yx
Теорема. Для того, щоб
функція
була неперервною в
точці
необхідно і
функції
і
були неперервними в
точці
Таким
чином
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).,,lim,,,limlim 00000
0
0
0
00
yxvyxvyxuyxuzfzf
yy
xx
yy
xxzz
==⇔=
→
→
→
→→

11. Функціональні ряди
Функціональним рядом називається вираз
( ) ( ) ( ) ( ) ...,...21
1
++++=∑
∞
=
zfzfzfzf n
n
n (2.3)
( )zfn
,0z ( )∑
∞
=1
0
n
n zf
де
– функція комплексної змінної, визначені в деякій області D.
якщо ч
ряд
збіжний, множина всіх точок z, в яких ряд (2.3) збіжний називається областю
його збіжності.
Кажуть, що ряд (2.3) збіжний в точці
Якщо ряд (2.3) збіжний на множині D, то його сума буде деякою функцією
від z
( ) ( )∑
∞
=
=
1
.
n
n zfzS
визначеною на D. Позначимо її через

12. ( )zS
0>ε ( ),εNN =
Dz∈ Nn >
Dz ∈
( ) ,ε<zrn ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑
=
−=−=
n
k
knn zfzSzSzSzr
1
Ряд (2.3) називається рівномірно збіжним
до
на
множині D,
знайдеться
число
яке не залежить
від
і таке, що для
всіх
і для
всіх
де
– п-й залишок
ряду.
якщо для довільного числа
Для дослідження ряду на рівномірну збіжність користуються такою достатньою
умовою рівномірної збіжності.

13. Теорема. (Ознака Вейєрштрасса).
∑
∞
=1
,
n
na
( ) ., Dzazf nn ∈∀≤∑
∞
=1
.
n
na
∑
∞
=1
3
n
n
n
z
,1≤z ,,
1
33
Dz
nn
zn
∈∀≤
∑
∞
=1
3
1
n n
• Ряд (2.3) збіжний на множині D абсолютно і рівномірно, якщо існує знакододатній
такий,
що
При цьому кажуть, що ряд (2.3) мажорується
рядом
Наприклад,
ряд
збіжний рівномірно у зам
крузі
оскільки
там
а чис
ряд
збіжний числовий ряд
– збіжний.
Відмітимо одну з властивостей рівномірно збіжних рядів: сума
членів рівномірно збіжного на деякій множині ряду
неперервних функцій є функція, неперервна на цій множині.

14. Степеневі ряди
( ) ( ) ( ) ( )∑
∞
=
+−++−+−+=−
0
0
2
020100 ...,...
n
n
n
n
n zzazzazzaazza
z ,0z ia
00 =z
∑
∞
=
+++++=
0
2
210 ...,...
n
n
n
n
n zazazaaza
0zz = 0=z
• Степеневим рядом в комплексній області називається функціональний ряд вигляду:
(2.4)
– комплексна змінна,
– сталі комплексні
числа.
з ряду (2.4) дістанемо
ряд
Збіжність рядів (2.4) та (2.5) відповідно в точках
де
При
(2.5)
очевидна.
• Для дослідження цих рядів на збіжність в інших точках
комплексної площини користуються теоремою Абеля.
Сформулюємо її для ряду (2.5).

15. Теорема
,00 ≠= zz
.0zz <
,1zz =
.1zz >
• Теорема. Якщо ряд (2.5) збіжний в точці
то він
• Якщо ряд (2.5) розбіжний в точці
то він розбіжний і
при
абсолютно збіжний і при всіх значеннях z, для яких
всіх значеннях z, для яких
,0>R Rz <
Rz >
Доведення цієї теореми таке саме, як і для степеневих рядів в дійсній області.
всіх
степеневий ряд (2.5) збіжний, а при
З неї випливає існування такого числа

16. Елементарні функції комплексної
змінної
• Нехай функція ( )xfy = дійсної змінної x розкладена в степ
ряд
( ) ......2
210 +++++== n
n xaxaxaaxfy
(2.14)
тоді функція
( ) ......2
210 +++++== n
n zazazaazfw (2.15)
є функцією комплексної змінної, яка відповідає функції( ).xfy =
Очевидно, що функція (2.15) визначена тільки для тих значень z, для яких
ряд (2.15) збіжний.
Розглянемо функції комплексної змінної, які відповідають елементарним
функціям
.sh,ch,arctg,arccos,arcsin,cos,sin,ln,,, xxxxxxxxaex xxn

17. Степенева функція
• Степенева функція числу z ставить у відповідність добуток п чисел, кожне з
яких дорівнює z.
• За означенням .10
=z

18. Показникова функція
z
ew =
• Оскільки для Rx∈ ...
!
...
!2
1
2
+++++=
n
xx
xe
n
x
то за означенням ...
!
...
!2
1
2
+++++=
n
zz
ze
n
z
(2.16)
iyz =
.sincos...
!5!3
...
!4!2
1...
!3!2
1
534232
yiy
yy
yi
yyiyy
iyeiy
+=





−+−+





−+−=+−−+=
Зокрема,
при маємо
.sincos yiyeiy
+=
ϕi
rez =
Таким чином вірна формула Ейлера
п.1.1
(2.17)
Звідси тригонометрична форма комплексного числа (1.2) приймає вигляд
(2.18)

19. z
e=ω
;2121 zzzz
eee +
=
,cosRe yee xz
= ,sinIm yee xz
= ;iyxz +=
,2 ziz
ee =+ π
iT π2=
• Ряд (2.16) абсолютно збіжний при довільному комплексному z і тому область
це множина всіх комплексних
чисел.
б
)
в
)
–
період.
визначення функції
• Властивості степеневої функції:
a)

20. Логарифмічна функція
zw Ln=
,Lnz 0≠z• За означенням логарифмічна функція це обернена функція до
показникової і
zizz ArglnLn += або
ikzizz π2arglnLn ++= (2.19)
Таким чином, логарифм комплексного числа дорівнює логарифму модуля
цього числа плюс і помножене на аргумент комплексного числа.
,Lnzw = :zew
=
За допомогою формули (2.19) і властивостей степеневої функції переконуємось,
то
що якщо
,arg2argln2argln ϕππ iziikzizikziz
reezeee === +++
,zr = .arg z=ϕ
( ) ;LnLnLn 2121 zzzz += ;LnLnLn 21
2
1
zz
z
z
−=
,2LnLn n
kiznz π+=
,...1,0 ±=k
• Властивості логарифмічної функції:
б)
в
)
a)

21. Тригонометричні функції
• За означенням
( )
( )
...
!12
1...
!3
sin
123
+
+
−++−=
+
n
zz
zz
n
n
( )
( )
...
!2
1...
!2
1cos
22
+−++−=
n
zz
z
n
n
(2.20)
(2.21)
,
cos
sin
tg
z
z
z =
z
z
z
sin
cos
ctg =
,∞=R
zsin zcos .Cz ∈
• Оскільки ряди (2.20) і (2.21) мають радіус збіжності
і
визначені для
всіх
• Легко переконатись, що формула Ейлера (2.17) виконується не
тільки при дійсному у , але і при довільному комплексному z:
zizeiz
sincos +=
.

22. • Зробимо в (2.22) заміну z на –z, тоді одержимо zize iz
sincos −=−
.
,
2
cos
iziz
ee
z
−
+
=
i
ee
z
iziz
2
sin
−
−
=
• Якщо почленно додати і відняти рівності (2.22) і (2.23), то матимемо іншу форму
запису формул Ейлера
(2.24)
zz cos,sin
.z
e
• Властивості тригонометричних функцій отримуються з формул
(2.24) і властивостей функції
;1cossin 22
=+ zz
( ) ;sinsincoscoscos 212121 zzzzzz −=+
( ) ;sincoscossinsin 212121 zzzzzz +=+
( ) ,coscos zz =− ( ) ;sinsin zz −=−
( ) ,cos2cos zz =+ π ( ) ,sin2sin zz =+ π π2=T
Наведемо деякі з
них:
а)
б
)
в
)
г
)

23. Гіперболічні функції
,
2
ch
zz
ee
z
−
+
= ,
2
sh
zz
ee
z
−
−
= ,
ch
sh
th
z
z
z = .
shz
zch
zcth = (2
.25)
,chz zhs ,Cz ∈ zht• Функції визначені для всіх
,
2
ikz 





+≠ π
π
zhct .ikz π≠ а – для
всіх
;hsch zzez
+=
;hsch zze z
−=−
;hssin,chcos ziziziz ==
.sinhs,cosch izziziz ==
• Очевидно вірні такі формули
(2.26)
(2.28)
(2.29)
(2.26)
Формули 2.26 – 2.29 задають зв’язок між
показниковою, гіперболічними і
тригонометричними функціями.
• Деякі властивості гіперболічних функцій, які відповідають відомим властивостям
тригонометричних функцій:
;1shch 22
=− zz ( ) ;hshschchch 212121 zzzzzz +=+
( ) ;hshcchhshs 212121 zzzzzz +=+ ( ) .
thth1
thth
th
21
21
21
zz
zz
zz
+
+
=+

24. Обернені гіперболічні функції
( );1LnshArc 2
++= zzz ( );1LnchArc 2
−+= zzz
;
1
1
Ln
2
1
thArc
z
z
z
−
+
= .
1
1
Ln
2
1
cthArc
−
+
=
z
z
z
,shz ,chz ,thz .cthz• Ці функції визначаються як функції обернені відповідно до
.zthArcw =
.zwth =
Знайдемо, наприклад, аналітичний вираз
функції За
означенням Тоді
z
ee
ee
ww
ww
=
+
−
−
−
або ,z
1e
1e
w2
w2
=
+
−
звідси
,
z1
z1
e w2
−
+
= .
z1
z1
Ln
2
1
w
−
+
=
,Arcsh z zArcch
,Cz∈ zArcth zArccth
.1±≠z
• Обернені гіперболічні функції многозначні. Функції
визначені для
всіх
а
функції

25. Загальна степенева функція
Cz,a,zw a
∈=
За
означенням Cz,a,zw a
∈=
• Ця функція визначена для всіх ,0≠z многозначна, її го
дорівнює
.ln zaa
ez =
,
1
n
a = ( )( )
.
2arg
2argln11
n
kz
i
n
kziz
nnn
ezezz
π
π
+
++
===
Я
кщо то

26. Загальна показникова функція
.0a,Cz,a,aw z
≠∈=
За
означенням
.Ln azz
ea =
z
a ,Cz∈
.ln azz
ea =
Фун
кція
многозначна і визначена для
всіх
її головне значення дорівнює