BLOQUE I LUGARES GEOMETRICOS MATEMATICAS III

1. UNIDAD I
LUGARES GEOMETRICOS
MATEMATICAS III
ING. JANETH HERNANDEZ TORRES

2. 1.- LUGARES GEOMETRICOS
DEFINICION:
Se conoce como lugar geométrico a un conjunto
de puntos que cumplen una determinada
propiedad, dicha propiedad debe expresarse en
leguaje algebraico.

3. 1.2 Sistemas de coordenadas
rectangulares
El plano cartesiano o sistema de
coordenadas rectangulares está formado por
dos rectas numéricas perpendiculares, una
horizontal y otra vertical que se cortan en un
punto. La recta horizontal es llamada eje de
las abscisas o de las "𝑥", y la vertical, eje de
las ordenadas o de las "𝑦"; el punto donde se
cortan recibe el nombre de origen y forma
cuatro cuadrantes numerados en sentido
contrario a las manecillas del reloj.

4. 1.3
Segmentos
rectilíneos
Concepto:
A la porción de una línea recta comprendida entre dos de sus puntos se
llama segmento rectilíneo o simplemente segmento. Los dos puntos se
conocen como extremos del segmento y se consideran parte de este.

5. SEGEMENTOS DIRIGIDOS Y
NO DIRIGIDOS
Segmento rectilíneo dirigido:
Es el segmento que se le asigna una
dirección. Por lo tanto, en un segmento
con extremos A y B se pueden
especificar dos direcciones así:
1.- El segmento dirigido que va de A a B.
Entonces, A es el origen o punto inicial, y B
es el extremo o punto final.
2.-
El segmento dirigido que va de A a B
Entonces, B es el origen o punto inicial, y
A es el extremo o punto final.

6. 1.4 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La distancia entre dos puntos equivale a la
longitud del segmento de recta que los une,
expresado numéricamente. Y se calcula
mediante la siguiente formula:
𝑑 = 𝑥2 − 𝑥1 − (𝑦2 − 𝑦1)

7. 1.5 DIVISION DE UN SEGMENTO EN
UNA RAZON DADA
Dividir un segmento AB en una relación
dada r es determinar un punto P de la recta
que contiene al segmento AB, de modo que
las dos partes, PA y PB, están en la relación
r:
𝑃𝐴
𝑃𝐵
= 𝑟

8. Ejercicios resueltos paso a paso
𝑥 =
𝑥1 + 𝑟𝑥2
1 + 𝑟
y =
𝑦1 + 𝑟𝑦2
1 + 𝑟

10. 1.6 perímetro y área de figuras en el plano
Para calcular el perímetro
de un polígono en el
sistema de ejes
coordenados (plano
cartesiano) será suficiente
conocer las coordenadas
de sus vértices, y a partir
de ellas(aplicando la
fórmula de distancia
entre dos puntos) se
calculan las longitudes de
cada uno de los lados del
polígono y se suman.

11. Ejemplo:
Encuentra el perímetro del triangulo cuyos vértices son los puntos 𝐴 −2, −3 , 𝐵(1,5) y 𝐶(6, −1).
Hacer la representación grafica.
Solucion:
1.- Calcular las distancia de 𝐴𝐵 utilizando la formula de distancia entre dos puntos 𝒅 = 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏
𝟐 + 𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏
𝟐
2.- Sustituir en la formula:
𝑑 𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦1
2
𝑑 𝐴𝐵 = 1 − (−2) 2 + 5 − (−3) 2
𝑑 = (1 + 2)2+ 5 + 3 2
𝑑 = 3 2 + 8 2
𝑑 = 9 + 64
𝑑 = 73
𝑑 = 8.54

12. Solucion:
1.- Calcular las distancia de 𝐵𝐶 utilizando la formula de distancia entre
dos puntos.
𝑑 𝐵𝐶 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦1
2
𝑑 𝐴𝐵 = 6 − 1 2 + −1 − 5 2
𝑑 𝐴𝐵 = 5 2 + −6 2
𝑑 𝐴𝐵 = 25 + 36
𝑑 𝐴𝐵 = 61
𝑑 𝐴𝐵 =7.81

13. Solucion:
1.- Calcular las distancia de 𝐴𝐶 utilizando la formula de distancia entre
dos puntos.
𝑑 𝐴𝐶 = 68
𝑑 𝐵𝐶 = 6 − (−2) 2 + −1 − (−3) 2
𝑑 𝐵𝐶 = 6 + 2 2 + −1 + 3 2
𝑑 𝐵𝐶 = 8 2 + 2 2
𝑑 𝐵𝐶 = 64 + 4
𝑑 𝐵𝐶 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦1
2
𝑑 𝐵𝐶 =8.24
𝑝 = 𝑑 𝐴𝐵 + 𝑑 𝐵𝐶 + 𝑑 𝐴𝐶
𝑝 = 8.54 + 7.81 + 8.24
𝑝 = 24.6

14. ÁREA
Existen distintos métodos para
determinar el área o superficie de
un polígono en el plano cartesiano.
• Fórmula de Herón
• Triangulación
• Determinante

15. Ejemplo:
Encuentra el área del triangulo cuyos vértices son 𝐴 −5, −2 , 𝐵 4,3 , y 𝐶(1, −6. Hacer la
representación gráfica
Solución método de Herón:
1.-Se aplicara la formula de Herón, que permite encontrar el área de un triangulo conociendo la medida de
sus lados.
𝐴 = 𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)
2.-Calcular las medidas de sus lados utilizando la formula de distancia entre dos puntos.
𝑑 𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦1
2
𝑑 𝐴𝐵 = 4 − (−5) 2 + 3 − (−2) 2
𝑑 𝐴𝐵 = (9)2+ 5 2
𝑑 𝐴𝐵 = 81 + 25
𝑑 𝐴𝐵 = 106
𝑑 𝐴𝐵 =10.29

16. 𝑑 𝐵𝐶 = 1 − 4 2 + −6 − 3 2
𝑑 𝐵𝐶 = −3 2 + −9 2
𝑑 𝐵𝐶 = 9 + 81
𝑑 𝐵𝐶 = 90
𝑑 𝐵𝐶 =9.48
𝑑 𝐴𝐶 = 1 − (−5 2 + −6 − (−2) 2
𝑑 𝐴𝐶 = (6)2+ −4 2
𝑑 𝐴𝐶 = 36 + 16
𝑑 𝐴𝐶 = 52
𝑑 𝐴𝐶 =7.21
𝑝 = 10.29 + 9.48 + 7.21
𝑝 = 27 s =
10.29 + 9.48 + 7.21
2
Calculo de área:
𝐴 = 13.5(13.5 − 10.29)(13.5 − 9.48)(13.5 − 7.21)
A = 13.5(3.21)(4.02)(6.29)
A = 1095.76
𝐴 = 33.1 𝑢2

17. Segundo método: Triangulación
1.- Inscribir el triangulo en un cuadrilátero, para lo cual se
trazan segmentos paralelos a los ejes que pasen por cada
uno de los vértices del triangulo.
2.- Se observan los triángulos rectángulos
∆𝐴𝐷𝐵, ∆𝐵𝐹𝐶, ∆𝐴𝐸𝐶, se calcula el área de cada uno.
𝐴 𝐴𝐷𝐵 =
𝐵𝑎𝑠𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
=
9 × 5
2
=
45
2
= 22.5 𝑢2
𝐴 𝐵𝐹𝐶 =
𝐵𝑎𝑠𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
=
3 × 9
2
=
27
2
= 13.5 𝑢2
𝐴 𝐴𝐸𝐶 =
𝐵𝑎𝑠𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
=
6 × 4
2
=
24
2
= 12 𝑢2
3.- El área del triangulo se encuentra restando la suma de
las areas de los triángulos rectángulos del cuadrilátero.
𝐴 = 81 − 22.5 + 13.5 + 12 = 81 − 42 = 33𝑢2
𝐴 = 𝑙 × 𝑙
𝐴 = 9 × 9 = 81 𝑢2