Tema mcm

1. COLEGIO NTRA SRA DE LA PAZ
Código Centro 28008430
C/ Valderribas, 37 C.P. 28007
Tfno/fax 915528595
e-mail: nspazm@planalfa.es
1
M.C.D Y M.C.M. (MÉTODO DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES)
CALCULAR EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)
Para calcular el m.c.d de dos o más números de forma rápida y fácil tenemos que
realizar los siguientes pasos:
1º- Descomponemos los números en factores primos.
2º- Escribimos los factores primos en forma de potencia.
3º- Cogemos los factores comunes elevados al menor exponente.
Ejemplo:
m.c.d. de (40, 128 y 28)
1º.- Descomponemos 40, 128 y 28 en factores primos:
40 2 128 2 28 2
20 2 64 2 14 2
10 2 32 2 7 7
5 5 16 2 1
1 8 2
4 2
2 2
1
2º.- Escribimos los factores primos en forma de potencia:
40 = 23
x 5
128 = 27
28 = 22
x 7
3º.- Cogemos los factores comunes elevados al menor exponente. En este caso es
el factor 2 el único que se repite en las tres descomposiciones. Aparece como 23
,
27
y 22
. El que tiene menor exponente es 22
. No se coge ningún factor más ya que
no es común a los tres números. Por tanto,
El m.c.d. de (40, 128 y 28) = 22
= 4.

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CALCULAR EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.)
Para calcular el m.c.m de dos o más números de forma rápida y fácil tenemos que
realizar los siguientes pasos:
1º- Descomponemos los números en factores primos.
2º- Escribimos los factores primos en forma de potencia.
3º- Cogemos los factores comunes y no comunes, siempre todos elevados al
mayor exponente.
Ejemplo:
m.c.d. de (40, 128 y 28)
1º.- Descomponemos 40, 128 y 28 en factores primos:
40 2 128 2 28 2
20 2 64 2 14 2
10 2 32 2 7 7
5 5 16 2 1
1 8 2
4 2
2 2
1
2º.- Escribimos los factores primos en forma de potencia:
40 = 23
x 5
128 = 27
28 = 22
x 7
3º.- Cogemos los factores elevados al mayor exponente, tanto los comunes como
los no comunes. En este caso es el factor 2 el único que se repite en las tres
descomposiciones. Aparece como 23
, 27
y 22
. El que tiene mayor exponente es 27
.
Se coge el factor 5 y el factor 7 aunque no sean comunes y su mayor exponente
en este caso es 1 en cada uno. Por tanto,
El m.c.m. de (40, 128 y 28) = 27
x 5 x 7 = 128 x 5 x 7 = 640 x 7 = 4.480

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Ejercicio Resuelto 1.
Calcula el m.c.d y m.c.m de los siguientes números: 8, 12 y 14.
Lo primero que tenemos que hacer es descomponer en factores primos los tres
números.
8 2 12 2 14 2
4 2 6 2 7 7
2 2 3 3 1
1 1
Escribimos los factores primos en forma de potencia y así nos valdrá tanto para
calcular el m.c.d y m.c.m.
8 = 23
12 = 22
x 3
14 = 2 x 7
Para calcular el m.c.d. se cogen los factores que son comunes y el elevado al
menor exponente. Aquí el único común es el 2 y el menor exponente sería 1.
El m.c.d. de (8, 12 y 14) = 2
Para calcular el m.c.m. se cogen todos los factores, es decir, los comunes y los no
comunes pero siempre el factor que esté elevado al mayor exponente. En el
ejemplo factores comunes solo tenemos el 2 y el mayor exponente el 3 y factores
no comunes son el 3 elevado a uno y el 7 elevado a 1.
El m.c.m. de (8, 12 y 14) = 23
x 3 x 7 = 8 x 3 x 7 = 24 x 7 = 168

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Ejercicio Resuelto 2.
Calcula el m.c.d y m.c.m de los siguientes números: 24, 42 y 150.
Lo primero que tenemos que hacer es descomponer en factores primos los tres
números.
24 2 42 2 150 2
12 2 21 3 75 3
6 2 7 7 25 5
3 3 1 5 5
1 1
Escribimos los factores primos en forma de potencia y así nos valdrá tanto para
calcular el m.c.d y m.c.m.
24 = 23
x 3
42 = 2 x 3 x 7
150 = 2 x 3 x 52
Para calcular el m.c.d. se cogen los factores que son comunes y el elevado al
menor exponente. Aquí el factor 2 es común y aparece como 23
, 2 y 2. Cogeremos
el 2. También es común el factor 3 y aparece en las tres descomposiciones como
3. Por tanto se coge cualquiera de los tres ya que tienen el mismo exponente.
El m.c.d. de (24, 42 y 150) = 2 x 3 = 6
Para calcular el m.c.m. se cogen todos los factores, es decir, los comunes y los no
comunes pero siempre el factor que esté elevado al mayor exponente. En el
ejemplo factores comunes tenemos el 2 y el 3. Aparecen como hemos visto antes
como 23
, 2 y 2. Cogemos 23
. En el caso del tres aparece como 3, 3 y 3 en las tres
decomposiciones. Cogemos el 3. Tenemos también como no comunes el factor 7 y
el factor 5 y su mayor exponente es 7 y 52
.
El m.c.m. de (24, 42 y 150) = 23
x 3 x 52
x 7 = 8 x 3 x 25 x 7 = 4.200