Este documento presenta una unidad sobre anualidades y gradientes en matemáticas financieras. Explica conceptos como anualidades, tipos de anualidades, cálculo de valor presente, futuro, número de pagos y tasa de interés para diferentes tipos de anualidades. También cubre gradientes aritméticos y geométricos. Al final, los estudiantes podrán calcular operaciones financieras con pagos periódicos iguales, crecientes o decrecientes usando los modelos matemáticos.

1. Matemáticas Financieras
Unidad 4 Anualidades y Gradientes
Carlos Mario Morales C

2. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
 Concepto de anualidad
 Tipos de anualidad
 Anualidad - valor presente
 Anualidad – pagos a partir del valor presente
 Anualidad - valor futuro
 Anualidad – pagos a partir del valor Futuro
 Anualidad - Número de Pagos a partir del Valor Presente
 Anualidad - Número de Pagos a partir del Valor futuro
 Anualidad - Tasa de interés a partir del VP o VF
 Anualidades anticipadas
 Anualidades anticipadas – Valor presente
 Anualidades anticipadas – Valor futuro

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 Anualidad diferidas – valor presente
 Anualidad diferida – valor futuro
 Anualidad perpetua – valor presente
 Gradiente: definición
 Gradiente aritmético – Valor presente
 Gradiente aritmético – valor futuro
 Gradiente aritmético infinito
 Gradiente geométrico – Valor presente
 Gradiente geométrico – Valor futuro
 Gradiente geométrico infinito.

4. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Al finalizar la unidad los estudiantes estarán en capacidad de
calcular operaciones financieras en las cuales la contraprestación se
hace a través de cuotas periódicas iguales, crecientes o
decrecientes
Para esto deducirá los modelos matemáticos para calcular el valor
actual, futuro, interés y número de pagos para diferentes tipos de
operaciones y aplicará estos en situaciones de la vida empresarial.

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Serie de pagos de una operación financiera que cumple
con las siguientes condiciones:
1. Pagos de igual valor
2. Intervalos de pago iguales
3. La misma tasa de Interés para todos los pagos
4. Número de pagos igual número de periodos
Anualidades
Concepto

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1 2 …. n0
VP = ¿?
A
AnualidadesModelo: Valor presente de una serie de pagos
𝑉𝑃 = 𝐴
1 − (1 + 𝑖 −𝑛
𝑖
; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 0
[VA] en EXCEL
Para estudiar la deducción de la formula ver el libro: Introducción a las Matemáticas financieras de Carlos Mario Morales C

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1 2 …. n0
VP
A = ¿?
Anualidades
Modelo: Pagos a partir del Valor Presente
De la formula de VP se puede deducir el valor de 𝐴.
𝐴 = 𝑉𝑃
𝑖
1 − (1 + 𝑖 −𝑛
[PAGO] en EXCEL

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1 2 …. n0
VF = ¿?
A
Anualidades
Modelo: Valor Futuro a partir de una serie de pagos
Para determinar el VF se utiliza el siguiente modelo.
𝑉𝐹 = 𝐴
(1 + 𝑖 𝑛
−1
𝑖
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 0
[VF] en EXCEL

9. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
1 2 …. n0
VF
A = ¿?
Anualidades
Modelo: Pagos a partir del Valor Futuro
𝐴 = 𝑉𝐹
𝑖
1 + 𝑖 𝑛 − 1
[PAGO] en EXCEL
De la formula de VF se puede deducir el valor de 𝐴.

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1 2 …. n = ¿?0
VP
A
Anualidades
Modelo: Número de Pagos a partir del Valor Presente
𝑛 =
log 𝐴 − 𝐿𝑜𝑔 (𝐴 − 𝑖𝑉𝑃
log 1 + 𝑖
[NPER] en EXCEL

11. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
1 2 …. n = ¿?0
VF
A
Anualidades
Modelo: Número de Pagos a partir del Valor Futuro
𝑛 =
𝐿𝑜𝑔(𝑉𝐹𝑖 + 𝐴 − 𝐿𝑜𝑔𝐴
𝐿𝑜𝑔(1 + 𝑖
[NPER] en EXCEL

12. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Anualidades
Modelo: Tasa de interés a partir del Valor Presente o Valor Futuro
1 2 …. n0
VP
A
𝑖 = ¿?
Cuando se tienen los demás elementos de la anualidad, es decir: el valor
presente 𝑉𝑃 o valor futuro 𝑉𝐹, el valor y numero de pagos 𝐴 se puede
determinar el valor de la tasa de interés 𝑖 a partir de la formulas de VP o
VF, no obstante por tratarse de ecuaciones con más de una raíz, no es
posible hallar la solución analíticamente; por esta razón se debe utilizar un
método de tanteo y error
La forma de proceder en estos casos, es la siguiente:
1. Se asigna un valor inicial a la tasa de interés 𝑖 y se calcula la ecuación.
2. Si el valor es menor que la igualdad VP 𝑜 VF entonces se disminuye la
tasa y se vuelve a calcular, en caso contrario se aumenta la tasa y se
vuelve a calcular
3. Cuando se logre determinar dos valores, uno mayor y otro menor,
suficientemente aproximados a los valores de la igualdad, se procede a
calcular la tasa de interés por interpolación
[TASA] en EXCEL
𝑉𝑃 = 𝐴
1 − 1 + 𝑖 −𝑛
𝑖
𝑉𝐹 = 𝐴
(1 + 𝑖 𝑛
−1
𝑖

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Anualidades
Ejemplos Pagos
Tasa de interes 24% N_t
Pazo 10 años
#periodos 20 semestres
Valor Presente 45.000.000,00$
PAGOS ¿?
Tasa de interes 6,00% trimestral
Tasa de interes 12,36% semestral
Pagos $6.160.984,38
Si un banco aplica una tasa de interés del 24% N-t; ¿Cuál deberá ser el valor de los pagos
semestrales vencidos, hechos durante un periodo de 10 años, para amortizar una deuda de
$45´000.000?

14. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Anualidades
Ejemplos Pagos
Tabla de amortización
Periodo cuota Interes
Amortización
Capital
Saldo
0 0 0 0 45.000.000,00$
1 $6.160.984,38 5.562.000$ 598.984$ 44.401.016$
2 $6.160.984,38 5.487.966$ 673.019$ 43.727.997$
3 $6.160.984,38 5.404.780$ 756.204$ 42.971.793$
4 $6.160.984,38 5.311.314$ 849.671$ 42.122.122$
5 $6.160.984,38 5.206.294$ 954.690$ 41.167.432$
6 $6.160.984,38 5.088.295$ 1.072.690$ 40.094.742$
7 $6.160.984,38 4.955.710$ 1.205.274$ 38.889.468$
8 $6.160.984,38 4.806.738$ 1.354.246$ 37.535.222$
9 $6.160.984,38 4.639.353$ 1.521.631$ 36.013.591$
10 $6.160.984,38 4.451.280$ 1.709.705$ 34.303.886$
11 $6.160.984,38 4.239.960$ 1.921.024$ 32.382.862$
12 $6.160.984,38 4.002.522$ 2.158.463$ 30.224.399$
13 $6.160.984,38 3.735.736$ 2.425.249$ 27.799.151$
14 $6.160.984,38 3.435.975$ 2.725.009$ 25.074.142$
15 $6.160.984,38 3.099.164$ 3.061.820$ 22.012.321$
16 $6.160.984,38 2.720.723$ 3.440.261$ 18.572.060$
17 $6.160.984,38 2.295.507$ 3.865.478$ 14.706.582$
18 $6.160.984,38 1.817.734$ 4.343.251$ 10.363.331$
19 $6.160.984,38 1.280.908$ 4.880.077$ 5.483.254$
20 $6.160.984,38 677.730$ 5.483.254$ 0$
1. La cuota se calcula, así como se
mostro anteriormente
2. El interés se calcula como el Saldo
del periodo anterior por la tasa de
interés
3. La amortización de capital se calcula
como la cuota del periodo menos el
interés calculado del periodo
4. El saldo del periodo se calcula como
el saldo del periodo anterior menos
la amortización de capital del
periodo
5. El saldo final debe ser igual a 0

15. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Anualidades
Ejemplos Valor Presente
Anualidad de 2´500.000 Anualidad de 5´000.000
PAGO 2.500.000,00$ mensual PAGO 5.000.000,00$ mensual
Plazo 10 años Plazo 10 años
# Periodos 120 meses # Periodos 10 años
Tasa de Interes 24,00% N_m Tasa de Interes 24,00% N_m
Tasa de Interes 2,00% mensual Tasa de Interes 2,00% mensual
Tasa de Interes 26,82% anual
Valor presente $113.388.471,26 Valor Presente $16.908.397,36
Valor de la Poliza $130.296.868,61
Un señor desea contratar una póliza de seguro que garantice a sus hijos el pago de $2´500.000 mensuales
durante quince años y adicionalmente $5´000.000 al final de cada año durante ese periodo. Si el primer
pago se realiza un mes después de la muerte del señor; ¿Cuál será el valor póliza? La compañía de seguros
aplica una tasa de interés del 24% N-m

16. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Anualidades
Ejemplos Valor Futuro
Plazo 24 meses Tabla de capitalización
#Periodos 24 meses periodo cuota interes capital saldo
Pagos 1.350.000,00$ 1 1.350.000,00$ 0 1.350.000,00$ 1.350.000,00$
Tasa de Interes 12% N_m 2 1.350.000,00$ 13.500,00$ 1.363.500,00$ 2.713.500,00$
Valor Vehículo 45.000.000,00$ 3 1.350.000,00$ 27.135,00$ 1.377.135,00$ 4.090.635,00$
4 1.350.000,00$ 40.906,35$ 1.390.906,35$ 5.481.541,35$
Tasa de interes 1,00% mensual 5 1.350.000,00$ 54.815,41$ 1.404.815,41$ 6.886.356,76$
Valor futuro $36.414.177,55 6 1.350.000,00$ 68.863,57$ 1.418.863,57$ 8.305.220,33$
7 1.350.000,00$ 83.052,20$ 1.433.052,20$ 9.738.272,53$
Valor a completar 8.585.822,45$ 8 1.350.000,00$ 97.382,73$ 1.447.382,73$ 11.185.655,26$
Úrsula Iguarán realiza un ahorro programado durante 24 meses de $1´350.000. Si Úrsula quiere con el
ahorro comprar un vehículo de contado que le cuesta $45´000.000 y el banco reconoce una tasa de Interés
del 12% N-m. ¿Cuánto dinero deberá completar para adquirir el vehículo o por el contrario le sobrara
dinero?

17. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Anualidades
Ejemplos Valor Futuro
Tabla de capitalización
periodo cuota interes capital saldo
1 1.350.000,00$ 0 1.350.000,00$ 1.350.000,00$
2 1.350.000,00$ 13.500,00$ 1.363.500,00$ 2.713.500,00$
3 1.350.000,00$ 27.135,00$ 1.377.135,00$ 4.090.635,00$
4 1.350.000,00$ 40.906,35$ 1.390.906,35$ 5.481.541,35$
5 1.350.000,00$ 54.815,41$ 1.404.815,41$ 6.886.356,76$
6 1.350.000,00$ 68.863,57$ 1.418.863,57$ 8.305.220,33$
7 1.350.000,00$ 83.052,20$ 1.433.052,20$ 9.738.272,53$
8 1.350.000,00$ 97.382,73$ 1.447.382,73$ 11.185.655,26$
9 1.350.000,00$ 111.856,55$ 1.461.856,55$ 12.647.511,81$
10 1.350.000,00$ 126.475,12$ 1.476.475,12$ 14.123.986,93$
11 1.350.000,00$ 141.239,87$ 1.491.239,87$ 15.615.226,80$
12 1.350.000,00$ 156.152,27$ 1.506.152,27$ 17.121.379,07$
13 1.350.000,00$ 171.213,79$ 1.521.213,79$ 18.642.592,86$
14 1.350.000,00$ 186.425,93$ 1.536.425,93$ 20.179.018,79$
15 1.350.000,00$ 201.790,19$ 1.551.790,19$ 21.730.808,97$
16 1.350.000,00$ 217.308,09$ 1.567.308,09$ 23.298.117,06$
17 1.350.000,00$ 232.981,17$ 1.582.981,17$ 24.881.098,24$
18 1.350.000,00$ 248.810,98$ 1.598.810,98$ 26.479.909,22$
19 1.350.000,00$ 264.799,09$ 1.614.799,09$ 28.094.708,31$
20 1.350.000,00$ 280.947,08$ 1.630.947,08$ 29.725.655,39$
21 1.350.000,00$ 297.256,55$ 1.647.256,55$ 31.372.911,95$
22 1.350.000,00$ 313.729,12$ 1.663.729,12$ 33.036.641,07$
23 1.350.000,00$ 330.366,41$ 1.680.366,41$ 34.717.007,48$
24 1.350.000,00$ 347.170,07$ 1.697.170,07$ 36.414.177,55$
1. El capital acumulado del periodo se
calcula como el valor de la cuota
más los intereses causados en el
periodo
2. El interés se calcula como el Saldo
del periodo anterior por la tasa de
interés
3. El saldo del periodo se calcula como
el saldo del periodo anterior más el
capital acumulado del periodo

18. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Anualidades
Ejemplos Número de Pagos
Valor presente 700.000.000,00$ Tabla de amortización
tasa de interes 15% N_m PeriodosCuotainteresamortizaciónsaldo
Pagos 35.000.000,00$ 0 ###
1 ### ### ### ###
Tasa de interes 1,25% mensual 2 ### ### ### ###
# periodos 23,15810902 meses 3 ### ### ### ###
# periodos 23 meses 4 ### ### ### ###
5 ### ### ### ###
Valor presente (23) $695.871.310,50 6 ### ### ### ###
Pago adicional presente $4.128.689,50 7 ### ### ### ###
Pago adicional futuro $5.494.117,66 8 ### ### ### ###
La Empresa “FLAVORS SAS” para cancelar una deuda de $700´000.000,
adquirida con el Banco Fortuna quien cobra una tasa de interés del 15%
N_m, realiza pagos mensuales de $35´000.000 cada uno. Determine
•¿Cuántos pagos deben hacerse para cancelar la deuda?
•¿Qué pago adicional es necesario para saldar la deuda?
•Si al cabo de 18 meses, decide pagar la deuda, ¿Cuál debe ser el pago?
Tabla de amortización
Periodos Cuota interes amortización saldo
0 700.000.000,00$
1 35.000.000,00$ 8.750.000,00$ 26.250.000,00$ 673.750.000,00$
2 35.000.000,00$ 8.421.875,00$ 26.578.125,00$ 647.171.875,00$
3 35.000.000,00$ 8.089.648,44$ 26.910.351,56$ 620.261.523,44$
4 35.000.000,00$ 7.753.269,04$ 27.246.730,96$ 593.014.792,48$
5 35.000.000,00$ 7.412.684,91$ 27.587.315,09$ 565.427.477,39$
6 35.000.000,00$ 7.067.843,47$ 27.932.156,53$ 537.495.320,85$
7 35.000.000,00$ 6.718.691,51$ 28.281.308,49$ 509.214.012,36$
8 35.000.000,00$ 6.365.175,15$ 28.634.824,85$ 480.579.187,52$
9 35.000.000,00$ 6.007.239,84$ 28.992.760,16$ 451.586.427,36$
10 35.000.000,00$ 5.644.830,34$ 29.355.169,66$ 422.231.257,71$
11 35.000.000,00$ 5.277.890,72$ 29.722.109,28$ 392.509.148,43$
12 35.000.000,00$ 4.906.364,36$ 30.093.635,64$ 362.415.512,78$
13 35.000.000,00$ 4.530.193,91$ 30.469.806,09$ 331.945.706,69$
14 35.000.000,00$ 4.149.321,33$ 30.850.678,67$ 301.095.028,03$
15 35.000.000,00$ 3.763.687,85$ 31.236.312,15$ 269.858.715,88$
16 35.000.000,00$ 3.373.233,95$ 31.626.766,05$ 238.231.949,82$
17 35.000.000,00$ 2.977.899,37$ 32.022.100,63$ 206.209.849,20$
18 35.000.000,00$ 2.577.623,11$ 32.422.376,89$ 173.787.472,31$
19 35.000.000,00$ 2.172.343,40$ 32.827.656,60$ 140.959.815,72$
20 35.000.000,00$ 1.761.997,70$ 33.238.002,30$ 107.721.813,41$
21 35.000.000,00$ 1.346.522,67$ 33.653.477,33$ 74.068.336,08$
22 35.000.000,00$ 925.854,20$ 34.074.145,80$ 39.994.190,28$
23 35.000.000,00$ 499.927,38$ 34.500.072,62$ 5.494.117,66$
24 35.000.000,00$ 68.676,47$ 34.931.323,53$ 29.437.205,87-$

19. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Anualidades
Ejemplos Pagos
valor de la maquina 90.000.000,00$
valor de venta vieja 20.000.000,00$
valor futuro del ahorro 70.000.000,00$
Tasa de interes 30% N_m
Plazo 2 años
# periodos 7 trimestres
tasa de interes 2,50% mensual
Tasa de interes 7,69% trimestral
PAGOS $7.920.081,65
Una máquina llegará al final de su vida útil dentro de 2 años; para esa época
se estima que una nueva costará $90´000.000; además que la máquina vieja
podrá ser vendida en $20´000.000; ¿Qué ahorro trimestral debe hacer un
empresario en una cuenta que paga el 30% N-m con el objeto de hacer la
compra en el momento oportuno; si tiene previsto hacer el primer deposito
al final del sexto mes?
Tabla de capitalización
Periodo cuota interes Saldo
1 $7.920.081,65 -$ $7.920.081,65
2 $7.920.081,65 608.980,03$ $16.449.143,33
3 $7.920.081,65 1.264.784,91$ $25.634.009,89
4 $7.920.081,65 1.971.015,04$ $35.525.106,58
5 $7.920.081,65 2.731.547,65$ $46.176.735,88
6 $7.920.081,65 3.550.558,08$ $57.647.375,61
7 $7.920.081,65 4.432.542,74$ $70.000.000,00

20. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Anualidades Anticipadas
En algunas operaciones es frecuente que los pagos se efectúen al comienzo de
cada periodo; es el caso de los arrendamientos, ventas a plazos, y contratos de
seguros, este tipo de operaciones financieras reciben el nombre de anualidades
anticipadas. Una anualidad anticipada es una sucesión de pagos o rentas que
se efectúan o vencen al principio del periodo del pago. En la gráfica se
comparan las anualidades vencidas y anticipadas
0
1 2 3 n-2 n-1 n
Anualidad Vencida
2 31 n-1 n
Anualidad Anticipada

21. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Anualidades Anticipadas
Modelo: Valor presente a partir de una serie de pagos anticipados
𝑉𝑃 = 𝐴 1 +
1 − (1 + 𝑖 −(𝑛−1
𝑖
0
𝑉𝑃 = ¿?
2 31 n-1 n
A

22. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Anualidades Anticipadas
Modelo: Valor futuro de una serie de pagos anticipados
𝑉𝐹 = 𝐴
1 + 𝑖 𝑛
− 1
𝑖
1 + 𝑖
0
𝑉𝐹 = ¿?
2 31 n-1 n
A

23. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Anualidades Diferidas
1 2 3 n-3 n-2 n-1 n
A
𝑽𝑷
𝒊
0
Hasta el momento se ha considerado que el pago de las rentas se inicia inmediatamente
después de que se plantea la operación; no obstante, existen transacciones donde los
pagos o rentas se realizan después de haber pasado cierta cantidad de periodos, en
estos casos la operación se denomina anualidad diferida. En la gráfica se ilustran este
tipo de actividades.

24. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Anualidades Diferidas
Para hallar el valor presente de este tipo anualidades, se determina el valor presente de
la anualidad un periodo antes de iniciarse los pagos (para el ejemplo n-4); utilizando
para ello la formula de anualidad vencida, para el valor hallado se halla el valor presente
en el periodo 0.
Modelo: Valor Presente de una serie de pagos diferidos
1 2 3 n-3 n-2 n-1 n
A
𝑽𝑷
𝒊
0

25. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Anualidades Diferidas
Para hallar el valor futuro de este tipo anualidades, se determina el valor presente de la
anualidad un periodo antes de iniciarse los pagos (para el ejemplo n-4); utilizando para
ello la formula de anualidad vencida, para el valor hallado se halla el valor futuro en el
periodo n.
Modelo: Valor Futuro de una serie de pagos diferidos
1 2 3 n-3 n-2 n-1 n
A
𝑽𝑭 = ?
𝒊
0

26. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Anualidades
Ejemplos Diferidas
VP modelo A 180.000.000,00$
VP modelo B 250.000.000,00$
Pagos 13.000.000,00$
tasa de interes 18% N_m
#periodos 24 meses
tasa de interes 1,50% mensual
VP (11) $260.395.269,76
VP (0) $221.058.198,28
Una empresa metalmecánica “METAL” tiene dos opciones hoy para la
compra de una equipo: el modelo A cuesta $180 millones y el modelo B,
$250 millones. Si la persona puede hacer 24 pagos mensuales de máximo
$13 millones comenzando al final del mes 12. ¿Cuál será el modelo más
costoso que podrá comprar? Suponga una tasa del 18% N-m
Tabla de amortización
Periodos Cuota interes amortización saldo
0 221.058.198,28$
1 3.315.872,97$ 224.374.071,25$
2 3.365.611,07$ 227.739.682,32$
3 3.416.095,23$ 231.155.777,55$
4 3.467.336,66$ 234.623.114,22$
5 3.519.346,71$ 238.142.460,93$
6 3.572.136,91$ 241.714.597,84$
7 3.625.718,97$ 245.340.316,81$
8 3.680.104,75$ 249.020.421,56$
9 3.735.306,32$ 252.755.727,89$
10 3.791.335,92$ 256.547.063,81$
11 3.848.205,96$ 260.395.269,76$
12 13.000.000,00$ 3.905.929,05$ 9.094.070,95$ 251.301.198,81$
13 13.000.000,00$ 3.769.517,98$ 9.230.482,02$ 242.070.716,79$
14 13.000.000,00$ 3.631.060,75$ 9.368.939,25$ 232.701.777,54$
15 13.000.000,00$ 3.490.526,66$ 9.509.473,34$ 223.192.304,21$
16 13.000.000,00$ 3.347.884,56$ 9.652.115,44$ 213.540.188,77$
17 13.000.000,00$ 3.203.102,83$ 9.796.897,17$ 203.743.291,60$
18 13.000.000,00$ 3.056.149,37$ 9.943.850,63$ 193.799.440,97$
19 13.000.000,00$ 2.906.991,61$ 10.093.008,39$ 183.706.432,59$
20 13.000.000,00$ 2.755.596,49$ 10.244.403,51$ 173.462.029,08$
21 13.000.000,00$ 2.601.930,44$ 10.398.069,56$ 163.063.959,51$
22 13.000.000,00$ 2.445.959,39$ 10.554.040,61$ 152.509.918,91$
23 13.000.000,00$ 2.287.648,78$ 10.712.351,22$ 141.797.567,69$
24 13.000.000,00$ 2.126.963,52$ 10.873.036,48$ 130.924.531,21$
25 13.000.000,00$ 1.963.867,97$ 11.036.132,03$ 119.888.399,17$
26 13.000.000,00$ 1.798.325,99$ 11.201.674,01$ 108.686.725,16$
27 13.000.000,00$ 1.630.300,88$ 11.369.699,12$ 97.317.026,04$
28 13.000.000,00$ 1.459.755,39$ 11.540.244,61$ 85.776.781,43$
29 13.000.000,00$ 1.286.651,72$ 11.713.348,28$ 74.063.433,15$
30 13.000.000,00$ 1.110.951,50$ 11.889.048,50$ 62.174.384,65$
31 13.000.000,00$ 932.615,77$ 12.067.384,23$ 50.107.000,42$
32 13.000.000,00$ 751.605,01$ 12.248.394,99$ 37.858.605,42$
33 13.000.000,00$ 567.879,08$ 12.432.120,92$ 25.426.484,51$
34 13.000.000,00$ 381.397,27$ 12.618.602,73$ 12.807.881,77$
35 13.000.000,00$ 192.118,23$ 12.807.881,77$ 0,00-$

27. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Anualidades Perpetuas
Modelo: Valor Presente de una serie de pagos perpetuo
1 2 3 n-3 n-2 n-1 ∞
A
𝑽𝑷
i
0
Cuando el número de pagos de una anualidad es muy grande, o cuando no se conoce con
exactitud la cantidad de pagos se dice que la anualidad es perpetua. Al deducirse los modelos
matemáticos se debe tener en cuenta que solo existe el valor presente ya que por tratarse de
una anualidad perpetua el valor futuro de este tipo de anualidades sería infinito
𝑉𝑃 =
𝐴
𝑖
; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 0

28. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Anualidades
Ejemplos PERPETUAS
Primer año Segundo año
Anualidad 10.000.000,00$ mes Anualidad 12.000.000,00$ mes
Tasa de interes 15% N_m Tasa de interes 15% N_m
# periodos 12 meses # periodos 12 meses
Tasa de interes 1,25% mensual Tasa de interes 1,25% mensual
Valor presente (0) $110.793.119,66 Valor presente (12) $132.951.743,59
Valor presente (0) $114.539.070,55
Tercer año
Anualidad 13.000.000,00$ mes Valor del deposito $997.217.141,56
Tasa de interes 15% N_m
# periodos infinito meses
Tasa de interes 1,25% mensual
Valor presente (24) $1.040.000.000,00
Valor presente (0) $771.884.951,35
Un filántropo ha creado una institución de caridad y desea asegurar su funcionamiento a perpetuidad. Se estima
que esta institución necesita para su funcionamiento $10´000.000, al final de cada mes, durante el primer año;
$12´000.000, al final de cada mes, durante el segundo año y $13´000.000, al final de cada mes, en forma
indefinida. Suponiendo que la fiducia que administrara el dinero reconoce una tasa de interés del 15% N-m; ¿Cuál
será el valor del depósito que deberá hacer el filántropo al inicio en la fiducia?

29. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Anualidades
Ejemplos PERPETUAS
Anualidad 200.000,00$ mensual
Plazo 20 años
Tasa de interes 7% anual
#Periodos 240 meses
tasa de interes 0,565% mensual
Valor Futuro $101.507.275,31
Anualidad 573.936,89$
Juan ha ahorrado en un fondo de pensiones durante los últimos 20 años, $200.000
mensuales en promedio, ¿Qué pensión mensual constante recibirá, si el fondo de
pensiones reconoce una tasa de interés del 7% anual? R/ $573.936,89