1. Referat
Operaţi

2. Capitolul I
Operaţii cu mulţimi
§1.1 Reuniunea mulţimilor
Definiţie: Se numeşte reuniunea a două mulţimi A şi B, mulţimea tuturor
elementelor ce aparţin cel puţin uneia dinte ele.
Notăm: A∪B
Citim: mulţimea A reunită cu mulţimea B
Deci: A∪B = {x│x ∈ A sau x ∈ B}
Grafic, reuniunea a două mulţimi este reprezentată în fig. I, prin porţiunea
evidenţiată.
Exemplu: A={1,5,6,8,10} şi B={5,8,9,12,17}, atunci
A∪B={1,5,6,8,10}∪{5,8,9,12,17}={1,5,6,8,9,10,12,17}, adică:
A B
10 9
5 17
1
6 8
12
AUB

3. Observaţie: Aşa cum am definit reuniunea a două mulţimi putem defini reuniunea
unui număr finit de mulţimi, dacă A1, A2, A3,...,An sunt n mulţimi, atunci
reuniunea lor va fi: A1∪A2∪A3∪...∪An.
Exemplu :A={2,4,5,7,9}, B={1,2,4,7,11,20} şi C={20,22}, atunci
A∪B∪C={2,4,5,7,9}∪{1,2,4,7,11,20}∪{20,22}={1,2,4,5,7,9,11,20,22}.
§1.2 Intersecţia mulţimilor
Definiţie: Se numeşte intersecţia a două mulţimi A şi B, mulţimea tuturor
elementelor care sunt comune celor două mulţimi.
Notăm: A∩B
Citim: mulţimea A intersectată cu mulţimea B
Deci: A∩B = {x | x ∈ A şi x ∈ B}
Grafic, intersecţia a două mulţimi este reprezentată în fig. II prin porţiunea
evidenţiată.
Exemplu: A={1,2,3,4,5} şi B={2,4,7,8}, atunci:
A∩B={1,2,3,4,5}∩{2,4,7,8}={2,4}, adică:
A B
2 7
5
1 3 4
8
A∩B

4. Notă: În fig. II.c) avem mulţimile A şi B, care nu au în comun nici un element,
adică A∩B=∅, atunci mulţimile A şi B se numesc disjunctive.
Observaţie: Aşa cum am definit intersecţia a două mulţimi putem defini intersecţia
unui număr finit de mulţimi, dacă A1, A2, A3,...,An sunt n mulţimi, atunci
intersecţia lor va fi: A1∩A2∩A3∩...∩An.
Exemplu: A=(- ∞ ,1] şi B=(-2,3), atunci
A∩B=(- ∞ ,1]∩(-2,3)=(-2,1], adică:
§1.3 Diferenţa a două mulţimi
Definiţie: Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte diferenţa dintre mulţimea A şi
mulţimea B mulţimea tuturor elementelor care aparţin lui A şi care nu aparţin lui
B.
Notăm: AB (sau A-B)
Citim: diferenţa dintre mulţimea A şi mulţimea B
Deci: AB ={x | x ∈ A şi x ∉B}
Grafic, diferenţa dintre mulţimea A şi mulţimea B este reprezentată în fig. III, prin
porţiunea evidenţiată.
Exemplu: A={a,b,c,d,e} şi B={b,e,f,g,h,k}, atunci:
AB={a,b,c,d,e}{b,e,f,g,h,k}={a,c,d},

5. BA={b,e,f,g,h,k}{a,b,c,d,e}={f,g,h,k}, adică:
A B
f
c h
a b k
e
d g
AB BA
§1.4 Complementara unei submulţimi
Definiţie: Fie dată mulţimea A şi B o submulţime a lui A. Submulţimea lui A
formată din acele elemente ce nu aparţin lui B se numeşte complementara lui B în
raport cu A.
Notăm: CAB (sau A-B)
Citim: complementara lui B în raport cu A.
Deci: CAB = {x | x ∈ A şi x ∉B, A⊂B }
Grafic, complimentara unei submulţimi B în raport cu
mulţimea A este reprezentată în fig. IV, prin porţiunea
evidenţiată.
Exemplu: Fie A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} şi B={3,7,8}, atunci
CAB={1,2,3,4,5,6,7,8,9}-{3,7,8}={1,2,4,5,6,9}, adică:
1 9
A 7
a B 4
5
8 6
2 3
CAB
§1.5 Produsul cartezian
Definiţie: Mulţimea formată din toate perechile ordonate (x; y) care au primul
element din mulţimea A şi al doilea element din mulţimea B se numeşte produs
cartezian al mulţimilor A şi B.

6. Definiţie: O pereche (x; y) se numeşte ordonată dacă (x; y) ≠ (y; x), pentru x ≠ y şi
(x; y) = (y; x), pentru x = y.
Definiţie: Două perechi ordonate (x, y) şi (u, v) sunt egale, dacă şi numai dacă
x = u şi y = v.
Notăm: A × B
Citim: produs cartezian al mulţimii A cu mulţimea B
Deci: A × B = {(x, y)|x ∈ A şi y ∈ B}
Imaginea, intuitivă a produsului cartezian a două mulţimi este în figura de mai jos.
Exemplu: Se dau mulţimile: A={1;2;3}; B={3;4;5}.
Calculaţii A×B şi reprezentaţi în sistemul ortogonal de axe:
A×B={1;2;3}×{3;4;5}={(1,3);(2,3);(3,3);(1,4);(2,4);(3,4);(1,5);(2,5);(3,5)} şi
reprezentăm în figura de mai jos:
Prin analogie, produsul cartezian a trei mulţimi, este o mulţime de triplete:
A×B×C = {(x, y, z)|x ∈ a, y ∈ B, z ∈ C}
Imaginea, intuitivă produsului cartezian a trei mulţimi este în figura de mai jos.

7. Observaţie, prin produsul cartezian al mulţimilor X1, X2, …, Xn, înţelegem mulţimea
sistemelor numerice ordonate (x1, x2, …, xn) cu xi ∈ Xi, ∀i = 1, n , adică
X1×X2×...×Xn={(x1,x2,...,xn) | xi ∈ Xi, ∀ =
i 1, n }
Notă, numărul de elemente (perechile produsului cartezian A×B) este egal cu
numărul de elemente a lui A îmulţite cu numărul de elemente ale lui B
card (A×B) = card A*card B
Exemplu: Fie A={1,2} şi B={3,4}; A×B={1,2}×{3,4}={(1,3);(1,4);(2,3);(2,4)};
Vom nota: numărul de elemente a mulţimii A cardA=2, numărul de elemente a
mulţimii B cardB=2. Numărul de elemente al mulţimii A×B
card(A×B)=2*2=4.
Prin urmare card (A×B) = card A*card B
§1.6 Diferenţa simetrică a două mulţimi
Fie date
mulţimile A
şi B, iar
diferenţa
dinte aceste
mulţimi este reprezentată în figura de mai jos:

8. Definiţie: Se numeşte diferenţa simetrică a mulţimii A şi B, reuniunea
diferenţelor A - B şi B - A.
Notăm: Diferenţa simetrică cu ∆ şi se defineşte prin relaţia A ∆B =(A-B) ∪ (B-A).
Grafic, diferenţa simetrică dintre mulţimea A şi mulţimea B este reprezentată în
fig.V, prin porţiunea evidenţiată.
Exemplu: A={ ϕ,η , µ ,ϖ , τ } şi B={ α ,η , λ ,ϖ , ϑ ξ}, atunci:
,
A ∆B ={ ϕ, µ , τ } ∪ { α , λ , ϑ ξ}={ ϕ, µ , τ , α , λ , ϑ ξ}, adică:
, ,
A B
ϕ ξα
µ
ϖη λ
ϑ
AB BA
AB
ELEMENTE DE LOGICĂ MATEMATICĂ
Enunţuri şi propoziţii
Definiţie: O mulţime finită de semne se numeşte alfabet.

9. Definiţie: Se numeşte enunţ orice succesiune de semne dintr-un alfaben
dat.
Logica matematică studiază acele enunţuri care sunt fie adevărate, fie
false.
Definiţie: Se numeşte propoziţie un enunţ care poate fi adevărat sau fals,
niciodată adevărat şi fals simultan.
p, q, r-notate
Balena este un peşte. F
Propoziţiile sunt legate între ele cu ajutorul conectări logicii:
„ ”- „non” (negaţia propoziţie);
„ Λ ” - „şi” (conjuncţia propoziţiei);
„V ”- „sau” (disjuncţia propoziţiei);
„ → ”-„implică” (implicaţia propoziţiei);
„ ↔ ”-„echivalent” (echivalenţa propoziţiei);
Dacă o propoziţie este adevărată spunem că ea apare ca valoare de
adevăr, adevărul şi notăm „A” sau „1” .
Dacă o propoziţie este falsă spunem că ea are ca valoare de adevăr falsul
notăm „F” sau „0” .
Valoarea de adevăr a unei propoziţii p se notează v(p).
Negaţia propoziţiei
Definiţie: Negaţia unei propoziţii p este propoziţia notată p care are
valoarea de adevăr v( p)=1-v(p).
p p
1 0
0 1
Exemplu:
1. Propoziţia ”România se află în Asia.” are negaţia „ România nu se
află în Asia.”.
2. Propoziţia „3<7” are negaţia „3≥7”.
Conjuncţia propoziţiei
Definiţie: Conjuncţia a două propoziţii p,q este propoziţia notată p Λ q
cu valoarea de adevăr v(p Λ q)=v(p) v(q).
p q pΛ q

10. 1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Conjuncţia a două propoziţii este o propoziţie adevărată doar atunci când
ambele propoziţii sunt adevărate şi este falsă în celelalte cazuri.
Exemple:
1.”Crapul este un peşte şi 8 este par.” este adevărată.
2. 3=5 şi 11:3” este falsă.
Disjuncţia propoziţiei
Definiţie: Disjuncţia a două propoziţii p,q este propoziţia notată p V q
cu v(p V q)=v(p)+v(q)-v(p) v(q).
p q pV q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Disjuncţia a două propoziţii este o propoziţie falsă doar atunci când
ambele propoziţii sunt false.
Exemple:
1. „20:4=5 sau 3⋅4=12” este adevărată.
2. „25:5=3 sau 12<5” este falsă.
Implicaţia
Definiţie: Implicaţia propoziţiilor p,q este propoziţia notată p→ q, cu
v(p→ q)=1-v(p)+v(p) v(q).
p → q sau p→ q
p q q
1 1 0 1
1 0 0 0
0 1 1 1
0 0 1 1
Implicaţia a două propoziţii este o propoziţie falsă doar atunci când
adevărul implică falsul.

11. p- premisă sau ipostază
q- concluzie
Exemplu: 3=3, pentru că 2>3.” este falsă.
Echivalenţa
Definiţie: Echivalenţa propoziţiei p,q este propoziţia p↔q cu v(p↔ q)
=1-v(p)-v(q)+2v(p) v(q).
p ↔ q sau (p → q) (q → p)
p q p→q q↔p p↔q
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0
0 1 1 0 0
0 0 1 1 1
Două propoziţii sunt echivalente doar atunci când ambele propoziţii au
aceeaşi valoare de adevăr.
Două propoziţii compuse sunt echivalente (↔) atunci când pentru
aceeaşi valoare ale propoziţiei componente prop compuse au aceeaşi
valoare de adevăr.
Exemple:
1.”3>2 dacă şi numai dacă 5<6” este propoziţie adevărată.
2. „3=5 dacă şi numai dacă urşii se hrănesc cu beton” este propoziţie
falsă.
Definiţie:O expresie a cărui valoare de adevăr este adevărul indiferent
de valorile propoziţiei componente se numeşte tautologie.
Teoremă: Fie p,q propoziţii. Avem [(p→q) Λ (q →p)] ↔(p↔q).
p q p→q q→p (p→q) Λ(q→p) p↔
q
0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0 0 1
1 1 1 1 1 1 1

12. Teoremă: Legea dublei negaţii : p ↔ q
p p p p↔ q
0 1 0 1
1 0 1 1
Exemplu:
Este fals că „Ana nu
mers la cinema”, adică
„Ana a mers la cinema.”
Legea terţului exclus : Propoziţia p V q este adevărată.
P p p p
0 1 1
1 0 1
Exemple: „3²+4²=5² sau 3²+4²≠5²”
Metoda reducerii la absurd: Fie p,q propoziţii. Avem
(p→q) ↔ ( q→ p).
p q P→q q → p (p →q)→ ( q→p)
0 1 1 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 1 1 1 1
Exemple: „Dacă 4>3, atunci 2 >2³” este echivalent cu „Dacă 2 ≤2³,
atunci 4≤3”.

13. Teoremă: Legea dublei negaţii : p ↔ q
p p p p↔ q
0 1 0 1
1 0 1 1
Exemplu:
Este fals că „Ana nu
mers la cinema”, adică
„Ana a mers la cinema.”
Legea terţului exclus : Propoziţia p V q este adevărată.
P p p p
0 1 1
1 0 1
Exemple: „3²+4²=5² sau 3²+4²≠5²”
Metoda reducerii la absurd: Fie p,q propoziţii. Avem
(p→q) ↔ ( q→ p).
p q P→q q → p (p →q)→ ( q→p)
0 1 1 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 1 1 1 1
Exemple: „Dacă 4>3, atunci 2 >2³” este echivalent cu „Dacă 2 ≤2³,
atunci 4≤3”.