Apostila mb cefet

Apostila de Matemática Básica
Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior

APOSTILA MATEMÁTICA BÁSICA

Este material serve como introdução aos conceitos matemáticos,
adequando-se às necessidades dos alunos do CEFET/ SP, UNED de
Sertãozinho.
Nele estão conteúdos dos níveis básico e intermediário da
matemática, dos ensinos fundamental e médio. Os pontos, aqui
abordados, fazem parte de um grupo de requisitos necessários à ascensão
nos cursos oferecidos pela unidade.
Este material tem por objetivo oferecer subsídios e conhecimento
básicos aos alunos que deles necessitam, a modo de proporcionar aos
discentes a base matemática para prosseguir em seus estudos.
O material contém as definições matemáticas de uma maneira
clara e objetiva, exemplos e uma série de exercícios de fixação.

Aluno: _____________________________________________________

Curso: _____________________________________ Turma: ________

1


ÍNDICE GERAL

I. Conjuntos numéricos 2
II. As quatro operações fundamentais (números decimais) e
Expressões 2
III. Frações Ordinárias 9
IV. Potências 13
V. Operações algébricas 20
VI. Equações do 1º grau 23
VII. Equações do 2º grau 28
VIII. Inequações do 1º grau 30
IX. Proporcionalidade 31
X. Juros 38
XI. Relações Trigonométricas 41
XII. Plano Cartesiano (seu produto, relações e funções) 44
XIII. Noções de Geometria Plana e Espacial 48

2


I - CONJUNTOS NUMÉRICOS São todos os números na forma decimal exata, periódica
ou na forma de fração.

 17 5 4 1 1 1 7 
Q=  , - ,− ,− ,− ,0, , , ,
 6 2 3 2 3 2 4 
Exemplos:
Números decimais na forma exata: {1,2 ; 3,654 ; 0,00005 ; 105,27272};
Números decimais na forma periódica:

2,333333 = 2, 3 3,0222 = 3,02 10,232323 = 10, 23
Esta figura representa a classe dos números.
I  Irracionais
Veja a seguir:
São todas as decimais não exatas e não periódicas.

 2 π 
N  Naturais I=  , - , 3 , π , ,
 6 6 
São os números positivos inclusive o zero, que representem uma
contagem inteira.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} R  Reais
Não há números naturais negativos. É a união dos conjuntos numéricos citados acima. Portanto, todo
número, seja N, Z, Q ou I é um número R (real).
Z  Inteiros As raízes em que o radicando seja negativo e o índice par não são
São os números naturais e seus opostos – negativos. reais.
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Não há números inteiros em fração ou decimal. II - AS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS (NÚMEROS
Q  Racionais DECIMAIS)
1) Adição

3


Na adição os números são chamados de parcelas, sendo a operação Na subtração os números são chamados de subtraendo, sendo a
aditiva, e o resultado é a soma. operação a subtração, e o resultado é o minuendo.

2+2=4 Subtração

Parcelas adição Soma 3–2=1

Exemplos: Minuendo Subtraendo diferença
4,32 + 2,3 + 1,429 = 8,049
Exemplos: As regras para a subtração são as mesmas da adição,

4,32  portanto podemos utilizar os mesmos exemplos apenas alterando a
 Observe que as parcelas são operação. Numa subtração do tipo 4-7 temos que o minuendo é
+ 2,3  parcelas dispostas de modo que se tenha
1,429  menor que o subtraendo; sendo assim a diferença será negativa e
 vírgula sobre vírgula.
igual a -3.
8,049 } soma

3) Multiplicação
Na multiplicação os números são chamados de fatores, sendo a
1 2 1 15 + 40 + 12 67 operação multiplicativa, e o resultado é o produto.
+ + = = ≅ 1,1166
4 3 5 60 60
ou 22 * 3 = 66
1 2 1 2,25 + 6 + 1,8 10,05
+ + = = ≅ 1,1166
4 3 5 9 9 Fatores Multiplicação Produto
Pode-se representar a multiplicação por: *, x ou .
2) Subtração Exemplo:

4


7,32 * 12,5 = 91,500 Exemplo:
Existe na divisão, o que se pode chamar de resto. Isto é, quando uma
Na multiplicação começa-se divisão não é exata irá sempre sobrar um determinado valor, veja no
7,32 
 fatores operar da esquerda para a direita.
*12,5 exemplo a seguir:
 Quando a multiplicação envolver
3660 números decimais (como no 843 / 5 = 168
exemplo ao lado), soma-se a Para verificar se o resultado é
1464 + 34
quantidade de casas após a verdadeiro basta substituir os valores
732 + 43 na seguinte fórmula:
vírgula.
3  resto (r) D=d*q+r
91,500 } produto 843 = 5 * 168 + 3
1 2 8 16 8
* * = = ≅ 2,6 Se o resto for igual a zero a divisão é chamada exata.
2 3 1 6 3
5) Casos particulares da multiplicação e divisão
Na multiplicação de frações multiplica-se divisor com divisor, dividendo
Multiplicação
com dividendo (ou simplesmente, o de cima pelo de cima e o de baixo
N*1=N
pelo de baixo).
N*0=0

4) Divisão
Divisão
Na divisão, os números são chamados de dividendo( a parte que está
N/1=N
sendo dividida) e divisor (a quantia de vezes que esta parte está
N/N=1
sendo dividida), a operação é a divisão, e o resultado é o quociente.
0 / N = 0 (N ≠ 0 )
Divisão
N / 0 = Não existe!!!!

7 / 4 = 1,75
6) Exercícios
Dividendo (D) Divisor (d) Quociente (q)
a) 2,31 + 4,08 + 3,2 =

5


b) 4,03 + 200 + 51,2 = −9=9
c) 32,4 – 21,3 = − 2= 2
d) 48 – 33,45 = Exemplos:
0= 0
e) 2,1 * 3,2 =
7= 7
f) 48,2 * 0,031 =
g) 3,21 * 2,003 =
h) 8,4708 / 3,62 = 8) Soma e subtração algébrica

i) 682,29 / 0,513 = Sinais iguais: Somam-se os valores absolutos e dá-se o sinal

j) 2803,5 / 4450 = comum.
Sinais diferentes: Subtraem-se os valores absolutos e dá-se o sinal
0,2 * 0,3
k) (FUVEST) = do maior.
3,2 − 2,0
Exemplos:
l) 0,041 * 21,32 * 401,05 ≅
a) 2 + 4 = 6
m) 0,0281 / 0,432 ≅
b) – 2 – 4 = – 6
2,31 * 4,82 c) 5 – 3 = 2
n) ≅
5,1 d) – 5 + 3 = – 2
0,021 * 4,32 e) 2 + 3 – 1 – 2 = 5 – 3 = 2
o) ≅
0,285 f) – 1 – 3 + 2 – 4 + 21 – 5 – 32 = 23 – 45 = – 22

7) Valor absoluto ou Módulo 9) Multiplicação e divisão algébrica

Representa a distância de um número até o zero (ou origem). Sendo Sinais iguais  resposta positiva

assim, o módulo, por representar distância, é sempre positivo e Sinais diferentes  resposta negativa

representado por | |.
Isto é: (+ ) * (+ ) = (+ ) (+ ) : (+ ) = (+ )
(− ) * (− ) = (+ ) (− ) : (− ) = (+ )
6
(+ ) * (− ) = (− ) (+ ) : (− ) = (− )
(− ) * (+ ) = (− ) (− ) : (+ ) = (− )


aparecem sinais de reunião: ( ): parênteses, [ ]: colchetes e { }:
chaves, efetuam-se as operações eliminando-se, na ordem:
parênteses, colchetes e chaves, isto é, dos sinais interiores para os
exteriores. Quando à frente do sinal da reunião eliminado estiver o
sinal negativo, trocam-se todos os sinais dos termos internos.
Exemplos:
Exemplo:
a) 12 * 3 = 36
b) (-12) * (-3) = 36 a) 2 + [ 2 – ( 3 + 2 ) – 1 ] = 2 + [ 2 – 5 – 1 ] = 2 + [ 2 – 6 ]
c) 2 * (-2) = -4 b) 2 + { 3 – [ 1 + ( 2 – 5 + 4 ) ] + 8 } = 11
d) (-2) * 3 = -6 c) { 2 – [ 3 * 4 : 2 – 2 ( 3 – 1 ) ] } + 1 = { 2 – [ 12 : 2 – 2 *
4 2 ] } + 1 = { 2 – [ 6 – 4] } + 1
e) =2
2
20 11) Números Primos
f) = -4
(− 5) São aqueles números divisíveis somente por eles mesmos e por 1.
Obs.: O número 1, por definição, não é primo.
(− 20)
g) =4
(− 5)
Método para obtenção de números primos
(− 20)
h) = -4 Faremos isso através de um exemplo:
5

Encontre os números primos compreendidos entre 1 e 50.
10) Expressões numéricas
Para resolver expressões numéricas realizamos primeiro as operações
1º Passo: Enumera-los
de multiplicação e divisão, na ordem em que estas estiverem
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
indicadas, e depois adições e subtrações. Em expressões que

7


11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 30 2
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 15 3
30 = 2 * 3 * 5
5 5
2º Passo: Encontrar a raiz quadrada do maior número quadrado dentre 1 30
os indicados, ou seja, encontrar o maior número que se conheça a raiz
quadrada exata.
21 3
No caso, 49 = 7 .
7 7 21 = 3 * 7
1 21
3º Passo: Extrair da lista acima os números múltiplos dos números {2, 3,
4, 5, 6, 7}, nesta ordem, onde o 7 provém do 2º passo.
OBS: Número primo é aquele divisível somente por ele mesmo e pelo

4º Passo: Os números que sobraram são os números primos procurados: número 1.

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}.
13) Mínimo múltiplo comum (m.m.c.)

Obs.: O número 2 é o único número primo e par. O mínimo múltiplo comum a vários números é o menor número
divisível por todos eles.
12) Decomposição de um número em um produto de fatores Exemplo:

primos
A decomposição de um número em um produto de fatores primos é a) Calcular o m.m.c. entre 12, 16 e 45

feita por meio do dispositivo prático que será mostrado nos exemplos
a seguir.

Exemplos:

8


12 12 45 2 Agora tomemos as menores potências dos fatores em comum

06 08 45 2 apresentados acima:

03 04 45 2 m.d.c.(12, 18, 36) = 2.3 = 6.

03 02 45 2
03 01 45 3 Quando o m.d.c. entre dois números é igual a 1, dizemos que eles são

01 01 15 3 relativamente primos.

01 01 05 5 Exemplo: 5 e 9 são relativamente primos, pois 5 = 5.1 e 9 = 32.1.

01 01 01 720 Sendo 1 o único fator comum a estes números.

O m.m.c. entre 12, 16 e 45 é 720
Confirme os resultados abaixo:
Confirme os resultados abaixo.
b) m.m.c. (9, 6) = 3
b) m.m.c. (4, 3) = 12
c) m.m.c. (36, 45) = 9
c) m.m.c. (3, 5, 8) = 120
d) m.m.c. (12, 64) = 4
d) m.m.c. (8, 4) = 8
e) m.m.c. (20, 35, 45) = 5
e) m.m.c. (60, 15, 20, 12) = 60

14)Máximo Divisor Comum (m.d.c.)
15) Exercícios:
O m.d.c. a vários números é o maior número que os divide.
Exemplo: Encontrar o m.d.c. entre 12, 18 e 36.
a) 2 + 3 – 1 =
b) – 2 – 5 + 8 =
Fatorando cada um dos números em fatores primos, temos:
c) – 1 – 3 – 8 + 2 – 5 =
12 = 22.3
d) 2 * (-3) =
18 = 2.32
e) (-2) * (-5) =
36 = 22.32.
f) (-10) * (-1) =

9


g) (-1) * (-1) * (-2) = c. 12, 18 e 32
4
h) =
− 2 IV - FRAÇÕES ORDINÁRIAS

−8
i) =
2 Definição: Fração é um quociente indicado onde o dividendo é o

− 20 numerador e o divisor é o denominador.
j) =
− 5
As frações que serão apresentadas a seguir, partem de um círculo
inteiro que ao ser dividido em partes iguais formam as frações
(− 4) * (− 1)
k) =
− 2
(− 1 + 3 - 5) * (2 - 7)
l) =
−1 1 3
(2 + 3 * 4 - 2 * 5 - 3) 2 4
m) = =0,5 =0,75
−1
n) 2 { 2 - 2 [ 2 - 4 ( 3 * 2 : 3 ) + 2 ] } + 1 =
o) 8 - { - 20 [ ( - 3 + 3 ) : ( - 58 )] + 2 ( - 5 ) } =
p) 0,5 * 0,4 : 0,2 = 1 1
4 8
q) 0,6 : 0,03 * 0,05 = =0,25 =0,125
r) 5 : 10 =
s) 3 : 81 * 0,5 =
t) Calcule o m.m.c. e o m.d.c. entre:
a. 36 e 60 7
b. 18, 20 e 30 8
= 0,875

1


Exemplos:
A fração é própria quando o numerador é menor do que o
1 1* 2 2
1 3 120 a) = =
denominador: , , , etc. 2 2*2 4
2 5 210
3 3 * 5 15
A fração e imprópria quando o numerador é maior que o b) = =
4 4 * 5 20
denominador, sendo possível representá-la por um número misto e
20 20 :10 2
reciprocamente. c) = =
30 30 :10 3
Exemplos:
4 4:4 1
d) - = - = -
8 8: 4 2
10 3 10
a) =1 pois possui resto 3
7 7 7
17) Soma algébrica de frações
28 25 + 3 25 3 3 28
b) = = + =5 pois possui resto 3 Reduzem-se ao menor denominador comum e somam-se
5 5 5 5 5 5
algebricamente os numeradores.
11 2
c) =3 OBS: O menor denominador comum é o m.m.c. dos denominadores.
3 3
1 7
d) 2 = Exemplos:
3 3
1 5
e) -1 =- 1 1 3 2 3+ 2 5
4 4 a) + = + = =
2 3 6 6 6 6
1 5 2 3 5 4 3+ 5-4 4 2
16) Propriedade b) + - = + - = = =
2 6 3 6 6 6 6 6 3
Multiplicando ou dividindo os termos de uma fração por um número
1 3 4 1 9 16 24 1 - 9 + 16 - 24 16 4 1
diferente de zero obtém-se uma fração equivalente à inicial. c) - + -2= - + - = = - = - = -1
12 4 3 12 12 12 12 12 12 3 3
1


1
2 = 1 * 3 = 3 = 11
18) Multiplicação de frações a)
1 2 1 2 2
Multiplicam-se os numeradores entre si, da mesma maneira se faz 3
com os denominadores. (− 2 3 ) =  - 2  * 2 = - 4 = - 1 1
b)  
1  3 1 3 3
Exemplos: 2
1
c) 2 = 1*1 = 1
1 3 3 3 2 3 6
a) * =
2 5 10
5 5 3 15 1
 1 1 1 d) 2 = 1 * 2 = 2 = 7 2
b)  −  * = - 3
 4 2 8
41 13
 1  2 2 3 = 3 = 13 *  − 4  = - 52 = - 1 25
c)  −  *  −  =
 3   5  15
e)
( − 21
4
) (
− 9
4
) 
3  9

27 27

d) ( − 3) *  − 1  2
 * −  = -
3
 4  7 14
3 1 11 16 44 4 20) Comparação de Frações
e) 2 * 3 = * = =8
4 5 4 5 5 5 Para comparar as frações devemos reduzi-las ao mesmo denominador
e comparar os numeradores, a qual tiver o numerados maior será a

19) Divisão de frações maior fração.

Multiplica-se a fração dividenda pelo inverso da fração divisora. OBS.: a < b lê-se “a é menor do que b”
a > b lê-se “a é maior do que b”

Exemplos:

1


6 2 2
Exemplo: Comparar e : a) =
7 3 4
Para isto, calculamos o m.m.c. entre 7 e 3: 9
b) =
m.m.c.(3, 7) = 21. 27
Então, ao transformar os denominadores em 21, devemos multiplicar 12
os numeradores pelo fatores de transformações.
c) =
48
6 * 3 2 * 7 ⇒ 18 14
e e
7 *3 3* 7 21 21 Comparar as frações :
Como 18 é maior que 14, podemos afirmar que: 1 2
a) ,
18 14 2 3
> .
21 21 2 5
b) ,
3 6
O fator de transformação da fração é 3
pois 3*7 = 21, e o da fração é 7, pois 3*7 = 4 3
21. c) ,
7 8

Resolva:
1 1
a) + =
5 10
2 4
b) - =
3 3
21) Exercícios
1 1 1
c) - + =
2 3 6
Simplifique as frações, ou coloque-as na forma irredutível:

1


1 2 Simplifique:
d) * =
3 5
3 1 2 1
e) * * = 1+
7 3 5 1+ 1 =
a) 1
 1  2 1+
f)  -  *  -  = 1
1+
 6  5 1+ 1
1 1 1 1
g)
3= + +
1 2 3 4 :  9 + 1 =
2 b)  
2 3  17 
+
2  1 3 4
h) : -  =
3  5 V - POTÊNCIAS

1 2 1
i) : * = Definição: Potência de grau n de um número A é o produto de n
2 3 4
fatores iguais a A.
2 1
j) 2 :1 = A n =
A∗A∗.. .∗A
5 5
n vezes

 1 2 1
k)  +  : = A é a base da potência e n é o expoente da potência, que determina
 3 4 2
seu grau.
1+ 1 Assim:
l) 3=
3 2³ = 2 * 2 * 2 = 8 ∴ 2³ = 8
(- 1) = (- 1) * (- 1) * (- 1) * (- 1) = 1 ∴
4
(- 1)4 = 1
1+ 1
1+ 2
m) 2 = CASOS PARTICULARES:
1
2 a) A potência de expoente 1 (1º grau) é igual à base:

1


A1 = A; 21 = 2 6 vezes

6
b) Toda potência de 1 é igual a 1: 5 5*5*5*5*5*5
Realmente: = = 56 - 4 = 52
4 5 * 55 * 5
*
1² = 1; 1³ = 1 5   
4 vezes
c) Toda potência de 0 é igual a 0:
Exemplo: 37 : 33 = 34 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81
0² = 0; 0³ = 0
d) Toda potência de expoente par é positiva:
24) Multiplicação de potências de mesmo grau (semelhantes)
(- 2)4 = 16; 24 = 16; (- 3)² = 9; 3² = 9
Multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente comum.
e) Toda potência de expoente ímpar tem o sinal da base:
3³ = 27 ; (- 3)³ = - 27
Realmente: 2² * 7² = 2 * 2 * 7 * 7 = (2 * 7)²
25 = 32 ; (- 2)5 = - 32
Exemplo: 3³ * 5³ = 3 * 3 * 3 * 5 * 5 * 5 = (3 * 5)³ = 15³ = 3 375

22) Multiplicação de potências de mesma base
25) Divisão de potências de mesmo grau (semelhantes)
Mantém-se a base comum e soma-se os expoentes.
Dividem-se as bases e conserva-se o expoente comum.

2³ * 2² = 2 ** 2 * 2 * 2 = 2 3 + 2 = 2 5
 2 
  2
Realmente:
vezesvezes
3  2  22 2*2 2 2  2
 Realmente: = = * =  
5 vezes 72 7*7 7 7  7
Exemplo:
5² * 57 = 59 = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 1 953 125 Exemplo: 8³ : 2³ = 4³ = 64

23) Divisão de potências de mesma base 26) Potenciação de potência
Mantém-se a base comum e diminuem-se os expoentes. Eleva-se a base ao produto dos expoentes.
3 2 3∗2 6.
Realmente: 2  =2 =2

1


Exemplo: (35 )2 = 310 = 59 049 Exemplo: 5
−2
=
1
52
=
1
=
1
5 * 5 25

27) Expoente nulo
29) Potências de 10
Toda potência de base diferente de zero e expoente zero é igual a
Efetuam-se as potências de 10 escrevendo à direita da unidade tantos
unidade.
zeros quantas forem as unidades do expoente.

 a4 :a4 = a4 - 4 = a0
 Exemplos:
Realmente:  a0 = 1
 a4 :a4 = 1

a) 10² = 100

Exemplo: (- 5)0 = 1 b) 107 = 10 000 000
c) 200 = 2 * 100 = 2 * 10²
28) Expoente negativo d) 4000 = 4 * 10³
Qualquer número diferente de zero, elevado a expoente negativo é e) 300 000 = 3 * 105
igual a uma fração cujo numerador é a unidade e cujo denominador é f) 3 * 108 = 300 000 000
a mesma base da potência elevada ao mesmo expoente com o sinal
positivo. 30) Números decimais
Todo número decimal equivalente a um produto do qual um fator é o
 23 23 1 número escrito como inteiro, e outro é uma potência de dez com
 7 = 3 4= 4
2 2 *2 2 1 expoente negativo, com tantas unidades no expoente quantas são as
Realmente:  2-4 =
 23 3-7 24 ordens decimais.
 7 = 2 = 2- 4
2
−n 1
a = n
a 1


25 25 j) 34 : 3² * 35 =
Realmente: 0,0025 = = = 25 * 10 - 4
10 000 10 4
k) 24 * 54 =
l) (- 3)5 * (- 5)5 =
Exemplos:
m) 153 : 33 =
n) (- 4)6 : 26 =
a) 0,001 = 10 -3

o) (3³)2 =
b) 0,002 = 2 * 10 -3

p) (2³)5 =
c) 0,00008 = 8 * 10 -5

q) (33)2 =
d) 1,255 = 1255 * 10 -3

r) [ (3³)² ]² =
e) 2 * 10 = 0,002
-3
s) (2 * 3)³ =
t) (3² * 5 * 2)4 =
31) Exercícios
5
u)   =
5
 
a) 1³ =
 3

b) 04 = 3
 2 
v) 
 4 =

c) (- 2)³ = 3 
d) (- 4)³ =
2
e) (- 2)4 =  2 2 * 33 
w)   =
 53 
f) (- 4)4 =  
g) 2³ * 25 = x) (2 * 3²)0 =
h) 3² * 3 * 35 = y) 4-2 =
i) 35 : 34 = z) 2 * 3-1 =

1


2 Definição: Denomina-se raiz de índice n (ou raiz n-ésima) de A, ao
aa) −4 =
3 número ou expressão que, elevado à potência n reproduz A.

bb) (2-3 * 5-2)-4 = OBS: Representa-se a raiz pelo símbolo

cc) 2x + 1 * 4x =  n - índice da raiz
dd) 32x * 24x = n A  A - radicando


ee) 54x : 252x =  - radical

Exprimir, utilizando potências de 10: Assim:
a) 20 000 =
b) 4 800 000 =
a) 16 = 4 porque 4² = 16
c) 0,01 =
d) 0,000045 = b) 3 8 = 2 porque 2³ = 8

c) 4 81 = 3 porque 34 = 81
Efetuar, utilizando potência de 10:
2 000 * 48 000
a) = 32) Propriedade
80
É possível retirar um fator do radical, bastante que se divida o
28 * 0,000032 expoente do radicando pelo índice do radical.
b) =
0,00002

Exemplos:

a) 12 = 22 * 3 = 2 3
RADICAIS
b) 180 = 2 2 * 32 5 = 2 * 3 5 = 6 5

1


Exemplo:
c) 4 38 * 5 4 * 2 = 3 2 * 5 4 2
a) 2* 3= 2*3 = 6
d) 4 38 = 38 : 4 = 3 2
6 6
b) = = 3
2 2
Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplica-se o
expoente do fator pelo índice do radical. Assim: c) 3* 5* 2 = 3*5* 2 = 30
4 5 *4 3 4 15 15
d) = = 4
3 3 42 42 2
33 2 = 3 *2

33) Adição e subtração de radicais semelhantes 35) Potenciação de radicais

Radicais de mesmo índice e mesmo radicando são semelhantes. Na Eleva-se o radicando à potência indicada e conserva-se o índice.

adição e subtração de radicais semelhantes, operam-se os coeficientes
e conserva-se o radical. Exemplo:

a) (4 3 )3 = 4 33 = 4 27
Exemplos:

( )
2 2
b)  5 2 2 * 3  = 5 2 2 * 3 = 5 2 4 * 3 2
 
 
a) 3 2 + 5 2 - 10 2 = 8 2 - 10 2 = - 2 2
36) Radiciação de radicais
b) 3 3 2 + 6 3 2 - 5 3 2 - 3 2 = 9 3 2 - 6 3 2 = 3 3 2 Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando.

34) Multiplicação e divisão de radicais de mesmo índice Exemplos:
Multiplicam-se (dividem-se) os radicandos e dá-se ao produto
a) 3 = 2*2 3 = 4 3
(quociente) o índice comum.

1


b) 3 4 3 = 24 3 1 1* 2 2 2
a) = = =
2 2* 2 4 2

37) Expoente fracionário 1 1* 3 3 3 3
b) = = = =
Uma potência com expoente fracionário pode ser convertida numa 2 3 2 3* 3 2 9 2*3 6
raiz, cujo radicando é a base, o índice é o denominador do expoente, 2 2* 3 6 6
c) = = =
sendo o numerador o expoente do radicando. 3 3* 3 9 3

2 2 2 2* 6 2 12 2 12 2 12 12
Exemplos: d) = = = = =
5 6 5 6* 6 5 36 5*6 30 15
p
a) q
a q = ap
2º Caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois termos em
1
b) a 2 = a que um deles, ou ambos, são radicais do 2º grau. Neste caso
2 multiplica-se o numerador e o denominador pela expressão conjugada
c) 2 3 = 3 2 2 = 3 4
do denominador.
3 OBS: A expressão conjugada de a + b é a – b.
d) 4 6 3 = 6 4
Na racionalização aparecerá no denominador um produto do tipo:
(a + b) * (a – b) = a² - b²
38) Racionalização de denominadores
Assim:
1º Caso: O denominador é um radical do 2º grau. Neste caso
(5 + 3) * (5 – 3) = 5² - 3² = 25 – 9 = 16
multiplica-se pelo próprio radical o numerador e o denominador da
fração.
Exemplos:

1
=
(
1* 5 - 2 ) =
5- 2
=
5- 2
=
5- 2
Exemplo: a)
5+ 2 ( )(
5+ 2 * 5- 2 ) ( 5)2 - ( 2)2 5-2 3

2


5 (
5* 2 - 3 ) (
5* 2 - 3 ) ( ) (
5* 2 - 3 5* 2 - 3 ) ( ) l) 3 3 3
2 2 2 =
b) 2 + 3 = ( 2 + 3 ) * ( 2 - 3 ) = 2 = = = 5* 2 - 3
2 - ( 3)
2 4-3 1

Dar a resposta sob forma de radical, das expressões seguintes:
39) Exercícios
a) 2 3 4 =
Efetuar:
b) 2 − 1 2 =
a) 5 - 2 5 + 10 5 =
1
 1  2
b) 32 + 3 2 - 8 = c)  2 2 
 
=
 
c) 3 3 + 3 - 4 729 =

d) 3* 6 =
d) ( 2* 3 6 = )1
e) (- 3 2 ) * (- 3 4 ) = Racionalizar o denominador das frações seguintes:
48
f) =
42
1
a) =
g) (3 2 ) 6
=
5
3
2 b) =
h)  3 2 * 3 2  =
 
7
 
3
33 c) =
i) 3= 2 2

j) 32 = 2
d) =
5-2
k) 3 2 2 =

2


5
e) =
4 - 11 41) Operações com expressões algébricas
1. Soma algébrica

Simplifique: Somente é possível somar ou subtrair termos semelhantes
(monômios que possuem a mesma parte literal). Para somar ou
50 - 8
a) = subtrair termos semelhantes (reduzir termos semelhantes)
2
repete-se a parte literal e opera-se com os coeficientes.
b) 2352 = Exemplo:
1 1 3x²y – 4xy² + 7xy² + 5x²y = 8x²y + 3xy²
c) - =
1- 2 2+1
2. Multiplicação
VII – OPERAÇÕES ALGÉBRICAS Multiplica-se cada termo do primeiro fator por todos
os termos do segundo fator e reproduzem-se os

40) Expressões algébricas termos semelhantes.

São indicações de operações envolvendo letras ou letras e números. Exemplo:
(3a²y) * (2ay) = 6a³y²

Exemplos:
a) 5ax – 4b
b) ax² + bx + c
c) 7a²b

OBS: No exemplo 3, onde não aparece indicação de soma ou de
diferença, temos um monômio em que 7 é o coeficiente numérico e
a²b é a parte literal.

2


3. Divisão
(a - b)² = a² - 2ab + b²
1º Caso: Divisão de monômios: Divide-se o
coeficiente numérico do dividendo pelo 1º O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro
coeficiente do divisor, e a parte literal do dividendo menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado
pela do divisor, observando-se as regras para do segundo.
divisão de potências de mesma base.
2º Caso: Divisão de polinômio por monômio: Divide-se cada Exemplo:
termo do dividendo pelo monômio divisor. (x – 3) = x² + 2 * x * (- 3) + (- 3)² = x² - 6x + 9
Exemplo: III. Produto da soma de dois termos por sua diferença:
(42a³bx4) : (7ax²) = 6a²bx²
(a + b) * (a – b) = a2 – b2
42) Produtos notáveis
Há certos produtos de polinômios, que, por sua importância, devem O produto da soma de dois termos por sua diferença é igual ao quadrado
ser conhecidos desde logo. Vejamos alguns deles: do primeiro menos o quadrado do segundo.
I. Quadrado da soma de dois termos:
Exemplo:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(1 - 3 ) * (1 + 3 ) = 1² - ( 3 )² = 1 – 3 = - 2
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro mais
duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do
43) Fatoração
segundo.
Fatorar um polinômio é escreve-lo sob a forma de um produto
indicado.
Exemplo:
(2 + x)² = 2² + 2 * 2x + x² = 4 + 4x + x²
Fator comum dos termos de um polinômio é o monômio cujo
coeficiente numérico é o máximo divisor comum dos coeficientes dos
II. Quadrado da diferença de dois termos:

2


termos do polinômio e cuja parte literal é formada pelas letras comuns e) (x 3 - 3x 2 y + x ) * (x 2 - y) =
com os menores expoentes.
Apresentando um fator comum, o polinômio pode ser escrito como o f) (6 x 2 - 4x 5 + 2x 4 - 2x 2 ) : 2x =

produto de dois fatores: o 1º é o fator comum e o 2º é obtido g) (2a 2 bc + 3a 3 b 3 c 2 − abc ) : abc =
dividindo-se o polinômio original pelo fator comum.
h) ( x + 2) 2 + ( 3x - 3) 2 =

Exemplos:
a) Fatorando o polinômio 4ax² + 8a²x³ + 2a³x tem-se:
i) (3xy + 8a 2 )2 =
j) ( 5ab + 3c ) * ( 5ab − 3c ) =
 4ax ² 8a ² x ³ 2a ³x 
4ax ² + 8a ² x ³ + 2a ³x = 2ax  + +  = 2ax ( 2x + 4ax² + a² )
 2ax 2ax 2ax 
Fatorar:

b) Fatorar: 5x²y + x4y³ + 2x². O fator comum é x².
a) 15a² - 10ab =
Assim: 5x²y + x4y³ + 2x² = x² (5y + x²y³ + 2)
b) 3a²x – 6b²x + 12x =

44) Exercícios
VIII – EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Efetuar:
UM BREVE RELATO DA HISTÓRIA DA EQUAÇÃO

a) 3a 2 - 7ab + 4b 2 - 5a 2 + 3ab - 4b 2 = As equações foram introduzidas pelo conselheiro do rei da França,

b) (3xy 2 - 7x 2 y + 3y3 ) - (2y3 - 8x 2 y + 3xy 2 ) = Henrique IV, o francês François Viète, nascido em 1540. Através da
matemática Viète decifrava códigos secretos que era mensagens escritas
c) (7xy 2 ) * (- 8x 2 y) * ( xy) = com a substituição de letras por numerais. Desta forma Viète teve uma

d) (a + b + c) * ( a - b) =

2


idéia simples, mas genial: fez o contrário, ou seja, usou letras para Incógnita: Quantidade desconhecida de uma equação ou de um
representar os números nas equações. problema; aquilo que é desconhecido e se procura saber; enigma;
O sinal de igualdade foi introduzido por Robert Recorde mistério. (Dicionário Silveira Bueno – Editora LISA)
(matemático inglês) que escreveu em um de seus livros que para ele não
existiam duas coisas mais parecidas que duas retas paralelas. Um outro Exemplo:
matemático inglês, Thomas Harriot, gostou da idéia de seu colega e
a) - =
x2 5
 só é verdade para x = 7
começou a desenhar duas retas para representar que duas quantidades 1º membro 2º membro

são iguais: b) 3x + y = 7 só é verdade para alguns valores de x e y,
Exemplo: como por exemplo x = 2 e y = 1 ou x = 1 e y = 4.
_________
400 cm _________ 4m Os valores atribuídos às incógnitas que tornam verdadeiras as
igualdades denominam-se raízes da equação.
Assim, diminuiu-se um pouco este sinal, =, passando a usá-lo nas Se a equação contiver apenas uma incógnita e se o maior expoente
equações de Viète. dessa incógnita for 1 então a equação é dita equação do 1º grau a
Até o surgimento deste sistema de notação as equações eram uma incógnita.
expressas em palavras e eram resolvidas com muita dificuldade. A
notação de Viète significou o passo mais decisivo e fundamental para 46) Resolução de uma equação do 1º grau a uma incógnita
construção do verdadeiro idioma da Álgebra: as equações. Por isso, Resolver uma equação é determinar sua raiz. No caso de uma
Fraçois Viète é conhecido como o Pai da Álgebra. equação do 1º grau a uma incógnita, consegue-se resolvê-la isolando-
se a incógnita no 1º membro, transferindo-se para o 2º membro os
45) Equação termos que não contenham a incógnita efetuando-se a operação
Equação é uma igualdade que só se verifica para determinados inversa (as operações inversas são: adição e subtração; multiplicação
valores atribuídos às letras (que se denominam incógnitas). e divisão; potenciação e radiciação).

2


Exemplos: 3x - 2 3x + 1 4x - 6
- =
a) x + 2 = 7 ⇒ x+2–2=7–2 ⇒ x=5 2 3 5
b) x – 3 = 0 ⇒ x–3+3=0+3 ⇒ x=3
1º Passo: Eliminam-se os denominadores, se houver:
2x 8
c) 2 x = 8 ⇒ = ⇒ x= 4 m.m.c. (2; 3; 5) = 30
2 2
Logo: 15 * (3x – 2) – 10 * (3x + 1) = 6 * (4x – 6)
x 3* x
d) =5⇒ = 3 * 5 ⇒ x = 15
3 3
2º Passo: Eliminam-se os parênteses, efetuando as multiplicações
indicadas:
Se o coeficiente da incógnita for negativo, convém utilizar as
45x – 30 – 30x – 10 = 24x – 36
operações dos sinais:

3º Passo: Transpõem-se os termos que contém a incógnita para o 1º
- 2x - 8
− 2x = - 8 ⇒ = ∴ x= 4 membro, e os independentes (os que não contém a incógnita) para o
-2 -2
2º, efetuando as operações necessárias:
Se a equação envolver simultaneamente denominadores e adição ou
45x – 30x – 24x = - 36 + 30 + 10
subtração, o primeiro passo será eliminar os denominadores, o que se
faz mediante a aplicação da seguinte regra:
4º Passo: Reduzem-se os termos semelhantes em cada membro:
-9x = 4

Calcula-se o m.m.c. dos denominadores; divide-se o m.m.c.
encontrado por cada um dos denominadores e 5º Passo: Divide-se os dois membros pelo valor que o x está sendo
multiplicam-se os resultados pelos respectivos multiplicado, desta maneira isola-se a incógnita:
numeradores.
− 9x 4
=
− 9 -9
Os passos seguintes são descritos no exemplo a seguir:

2


6º Passo: Sendo o divisor ou o dividendo negativo, a fração passa a valores de x e y que satisfaçam simultaneamente às duas
ser negativa também: equações. Por exemplo, o sistema:

x= -
4  5x + y = 16 x = 3
 tem solução para 
9  2 x − 3y = 3 y= 1
Pois apenas estes valores satisfazem simultaneamente às
VERIFICAÇÃO OU “PROVA REAL” duas igualdades. (Verifique!)
Substitui-se a raiz encontrada em cada um dos membros da equação Estudar-se-á nesta apostila três métodos de solução para um sistema,
dada. Os valores numéricos devem ser iguais são eles: Substituição, comparação e adição.

47) Sistema de equação do 1º grau com duas incógnitas SUBSTITUIÇÃO

A forma genérica de um sistema é:
 2 x + 3y = 8 equação 1
 ax + by = c 1º) Seja o sistema: 
 onde a, b, c, m, n, p ∈ ℜ (Reais) e x e y são as  5x − 2 y = 1 equação 2
 mx + ny = p
ingógnitas. 2º) Isola-se uma das incógnitas em uma das equações, por exemplo,
o valor de x na equação 1:
a. Equação a duas incógnitas: Uma equação a duas incógnitas 2 x + 3y = 8
admite infinitas soluções. Por exemplo, a equação 2x – y = 2 x = 8 − 3y
4 é verificada para um número ilimitado de pares de valores 8 − 3y
x= equação 3
de x e y; entre estes pares estariam: 2
(x = 4; y = 4), (x = 2; y = 0), (x = -1; y = -6), etc.

3º) Substitui-se x da equação 2 pelo seu valor (equação 3):
b. Sistema de duas equações a duas incógnitas: resolver um
sistema de suas equações a duas incógnitas é determinar os

2


 8 - 3y  2º) Isola-se a mesma incógnita nas duas equações:
5*  − 2y = 1 equação 4
 2  33 − 3y 7 + 2y
x= e x=
4º) Resolve-se a equação 4 determinando-se o valor de y: 7 5
5 * ( 8 − 3y ) − 4 y = 2
3º) Igualam-se os segundos membros pois os primeiros são iguais (x
40 − 15 y − 4 y = 2
19 y = 38 = x):

∴ y= 2 33 - 3y 7 + 2 y
=
7 5

5º) O valor obtido para y é levado à equação 3 (em que já está
4º) Resolve-se a equação e determina-se y:
isolado) e determina-se x:
5 * ( 33 − 3y ) = 7 * ( 7 + 2 y )
8 − 3 * ( 2)
x= 165 − 15 y = 49 + 14 y
2
8− 6 29 y = 16
x=
2 ∴ y= 4
∴ x= 1
5º) O valor de y é levado a qualquer das equações em que x está
6º) A solução do sistema é: isolado e determina-se o valor de x:
x=1 e y=2 33 - 3y 33 − 3 * ( 4 ) 33 − 12 21
x= = = =
7 7 7 7
COMPARAÇÃO ∴ x= 3

 7 x + 3y = 33 6º) A solução do sistema é:
1º) Seja o sistema: 
 5x − 2 y = 7 x=3 e y=4

2


ADIÇÃO 3 *1 + 2y = 7 ∴ 3 + 2y = 7 ∴ 2y = 4 ∴ y = 2

Este método consiste em somar, membro a membro, as duas 48) Exercícios
equações com o objetivo de, nesta operação, eliminar uma das
incógnitas e só é vantajoso no caso de os coeficientes de uma das Resolver as seguintes equações:
incógnitas serem simétricos.
a) 4 x = 8
b) − 5x = 10
Exemplos:
c) 7 + x = 8
d) 3 − 2 x = − 7
x+ y= 4 equação 1
a)  e) 16 + 4 x − 4 = x + 12
x− y= 0 equação 2
Somando, membro a membro, vem: f) 8 + 7 x − 13 = x − 27 − 5x
2x = 4 ∴ x = 2 2x 3
g) =
Substituindo o valor de x na equação 1 (ou na equação 2, fica a 3 4
critério do aluno), vem: 1 3x
h) =
2+ y = 4 ∴ y = 2 4 10
i) 9 x + 2 − ( 4 x + 5) = 4 x + 3

 3x + 2 y = 7  3x + 2y = 7 j) 3 * ( 2 − x ) − 5 * ( 7 − 2 x ) = 10 − 4x + 5
b)  ⇒ 
 5x − y = 3 → * (2)  10x - 2y = 6 x − 2 12 − x 5x − 36
k) − = −1
Somando, membro a membro, vem: 3 2 4
13x = 13 ∴ x = 1 5x + 3 3 − 4 x x 31 9 − 5x
l) − + = −
Substituindo o valor de x na 1ª equação (ou na 2ª, fica a critério 8 3 2 2 6
do aluno), vem:

2


Resolver os seguintes sistemas de equações: A equação é chamada de 2º grau ou quadrática devido à incógnita x

 x + y = 12 apresentar o maior expoente igual a 2.
a)  Se tivermos b ≠ 0 e c ≠ 0 teremos uma equação completa.
 3x + y = 24
Se tivermos b = 0 ou c = 0 teremos uma equação incompleta.
 5x + 6 y = 19
b) 
 7x + 2y = 1
49) Resolvendo Equações de 2º Grau
 x + 5 y = 12
c) 
 3x − 4 y = − 2 Quando a equação de 2º grau for incompleta sua resolução é bastante
simples, veja:
x y
4+ 5= 2

d) 
 2x + 1 − y − 3 = 2 1º caso: b = 0 e c = 0; temos então:
 3
 2
a . x² = 0

Considere o problema: Exemplo:

A idade do pai é o dobro da idade do filho. Há 10 anos atrás, a idade 3 x² = 0 ⇒ x² = 0 ⇒ x = 0 ⇒ S = {0}
do pai era o triplo da idade do filho. Qual é a idade do pai e do filho?
2º caso: c = 0 e b ≠ 0; temos então:
IX – EQUAÇÕES DO 2º GRAU
a . x² + b . x = 0

Equação do 2º grau na incógnita x, é toda igualdade do tipo: Exemplo:

a . x² + b . x + c = 0 3 x² - 12 x = 0 ⇒ x . (3 x – 12) = 0 ⇒ x = 0 ou 3 x – 12 =

0 ⇒ 3 x = 12 ⇒ x = 4 ⇒ S = {0; 4}
onde a, b, c são números reais e a é não nulo (a ≠ 0).

3º caso: b = 0 e c ≠ 0; temos então:

3


50) Exercícios
a . x² + c = 0
Determinar as raízes das seguintes equações quadráticas:
Exemplo: a) x 2 − 7 x + 6 = 0
x² - 4 = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x= ± 4 ⇒ x’ = 2 e x’’ = -2 ⇒
b) x 2 + 3x − 28 = 0
⇒ S = {-2; 2}
c) 3x 2 − 5x + 2 = 0

A resolução da equação completa de 2º grau é obtida através de uma d) 16 x 2 + 16 x + 3 = 0
fórmula que foi demonstrada por Bhaskara, matemático hindu nascido
e) 4 x 2 − 16 = 0
em 1 114, por meio dela sabemos que o valor da incógnita satisfaz a
igualdade: f) 2 x 2 − 18 = 0

g) 3x 2 = 5x
− b± b ² − 4.a.c
Fórmula de Bhaskara x =
2.a h) 2 x 2 + 8x = 0

i) ( 2x − 3) 2 = ( 4x − 3) 2
A fórmula apresentada é uma simplificação de duas fo’rmulas; veja:

Prever a natureza das raízes das equações:
∆ = b 2 − 4ac
a) 2 x 2 − 3x + 1 = 0
∆ > 0 têm-se duas raízes reais e diferentes
∆ = 0 têm-se duas raízes reais e iguais b) x 2 + x + 3 = 0
∆ < 0 têm-se duas raízes imaginárias
c) 2 x 2 − 4 x + 2 = 0

OBS: Nunca teremos a = 0, pois se houver, não existirá a equação de
Determinar mentalmente as raízes das equações:
segundo grau visto que o x² seria anulado.
a) x 2 − 6 x + 5 = 0

3


b) x 2 + 2x − 15 = 0 d) y ≥ 4 (y é maior ou igual a 4).

e) 1 < x ≤ 4 (x é maior do que 1 e menor ou igual a
c) x 2 − 4 x − 12 = 0
4).
d) x 2 − 10x + 21 = 0

e) x 2 + 5x − 50 = 0 51) Inequação do 1º grau
Inequação do 1º grau é uma desigualdade condicionada em
que a incógnita é de 1º grau.
Resolver as seguintes equações:
Exemplo:
a) ax 2 = b
2x > 4
b) x ( x − 1) = x ( 2 x − 1) − 18 A veracidade da desigualdade está condicionada ao valor de x.
Observa-se que o 1º membro será maior do que o 2º membro quando
XI – INEQUAÇÕES DO 1º GRAU se atribui a x qualquer valor maior do que 2. Isto é:
Símbolos de desigualdades x>2
São símbolos que permitem uma comparação entre duas grandezas. x > 2 indica um conjunto de valores denominado solução da
inequação. Para determinar-se o conjunto-solução de uma inequação
a > b (a é maior do que b)
do 1º grau isola-se x no 1º membro de forma à solução de uma
a < b (a é menor do que b)
equação do 1º grau, e sempre que se multiplicar ou dividir a
a ≥ b (a é maior ou igual a b) inequação por um número negativo, inverte-se o sinal da
a ≤ b (a é menor ou igual a b) desigualdade.
Exemplos:
Exemplos:

a) 7 > 5 (7 é maior do que 5).
b) 3 < 6 (3 é menor do que 6).

c) x ≤ 1 (x é menor ou igual a 1).
3


4− x ≤ 2 2x + 1 ≥ 1 Seja dois números genéricos a e b. A razão entre a e b é
− x ≤ 2− 4 2x ≥ 1− 1
a) b) a
− x≤ −2 2x ≥ 0 representada por , a/b ou a : b, sendo b ≠ 0.
b
x≥ 2 x≥ 0

VII - PROPORÇÃO
52) Exercícios
Proporção é a igualdade de duas razões.
a c
Resolver as seguintes inequações: Seja a proporção: = ou a : b = c : d ou a : b :: c : d.
b d
Seus elementos se denominam:
a) 2 x + 1 ≤ − 1
b) − 3x ≤ x + 2 a - primeiro termo a e b - extremos
c) x > 5x − 16 b - segundo termo b e c - meios
d) 2( x + 1) + 3x > 5 − 7 x c - terceiro termo a e c - antecedentes

2 1 4x d - quarto termo b e d - conseqüentes
e) x− ≥ −1
5 2 5
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL: Em toda proporção o produto dos
7x 2
f) − 7≤ x+ meios é igual ao produto dos extremos.
3 3
Considerando as proporções:
3x 2x
g) − 9< + 4 a c
4 7 = então a * d = b * c
b d
4 8
XII – PROPORCIONALIDADE = então 4 * 6 = 3 * 8
3 6

53) Razão

3

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