2. MATRICES E DETERMINANTES
Definición de matriz
Chámase matriz de dimensión mxn a unha táboa rectangular
formada por m filas e n columnas de números reais:
aij representa o elemento que está na fila i e na columna j
o elemento a25 será o elemento da fila 2 e columna 5.
4. TIPOS DE MATRICES
Matriz diagonal:
Matriz unidade ou identidade:
Matriz Triangular:
matriz triangular inferior matriz triangular superior
5. MATRIZ TRASPOSTA
Chámase TRASPOSTA dunha matriz A, a matriz que se
obtén ao cambiar na matriz A as filas polas columnas
Matriz simétrica: Unha matriz cadrada A é simétrica cando A = At
Matriz antisimétrica: Unha matriz cadrada é antisimétrica cando -A = At
6. SUMA E DIFERENCIA DE
MATRICES
non se poden sumar.
A + (B + C) = (A + B) + C Propiedade Asociativa
A+B=B+A Propiedade conmutativa
A + 0 = A (0 é a matriz nula) Matriz Nula
7. PRODUCTO DUNHA MATRIZ POR UN
NÚMERO
PROPIEDADES PRODUCTO DUN Nº POR UNHA MATRIZ
a.(b.A)=(a.b).A
a.(A+B)=a-A+a.B
(a+b).A=a.A+b.A
1.A=A
8. PRODUCTO DE MATRICES
PROPIEDADES DO PRODUCTO DE MATRICES
ASOCIATIVA: (A.B).C=A.(B.C).
DISTRIBUTIVA : A.(B+C) = A.B+A.C.
(A+B).C = A.C+B.C..
NON É CONMUTATIVO : A.B ≠ B. A.
10. DETERMINANTE DE ORDEN n
MENOR COMPLEMENTARIO. ADXUNTO.
Sexa A unha matriz cadrada de orden n, chámase menor
complementario do elemento aij ao determinante da
matriz que resulta o suprimir en A a fila i e a columna j,
designase M ij
Chámase adxunto do elemento aij e denotase Aij a
Aij= (-1) i+ j
Mij
Defínese determinante de A como a suma dos elementos
dunha liña polos seus respectivos adxuntos.
11. PROPIEDADES DOS
DETERMINANTES
Todas as propiedades que se enuncian para filas tamén son certas para
columnas.
Se se multiplican todos os elementos dunha fila por un nº o determinante
queda multiplicado por dito número.
Se se permutan dúas filas o determinante cambia de signo.
Se todos os elementos dunha fila son 0 o determinante é 0.
Se dúas filas son iguais ou proporcionais o determinante é 0.
Se cada elemento dunha fila é suma de 2 sumandos , o determinante é igual
á suma de dous determinantes que teñan nesa fila os primeiros e os
segundos sumandos respectivamente e nas demais os mesmos elementos
que o determinante inicial.
Se a unha fila se lle suma un múltiplo doutra o determinante non varía.
Se as filas son linearmente dependentes o determinante é 0.
12. MATRIZ INVERSA
Chámase inversa dunha matriz cadrada A de orden n a outra
matriz de orden n, B que verifique que A·B = B· A = I n
Unha matriz cadrada ten inversa cando e só cando o seu
determinante é distinto de 0
Unha matriz cadrada que ten inversa dise que é inversible ou
regular; en caso contrario recibe o nome de singular.
Hai varios métodos para calcular a matriz inversa dunha matriz dada:
método de Gauss
Usando determinantes
Directamente
13. Cálculo Directo da Matriz Inversa
Dada a matriz buscamos unha matriz que cumpra A·A-1 = I2, é dicir
Para elo propoñemos o sistema de ecuacións:
A matriz que se calculou realmente sería a inversa pola "dereita", pero é fácil
comprobar que tamén cumpre A-1 · A = I, co que é realmente a inversa de A.
14. Cálculo de la Matriz Inversa por
Queremos calcular a inversa de
el método de Gauss - Jordan
1º.- Escribese a matriz A seguida da matriz identidade,
2º.- Triangularizamos a matriz A de arriba a abaixo e realizamos as mesmas operacións na matriz da dereita
Como podemos observar o rango da matriz A é máximo (neste caso 3), polo tanto a matriz A ten inversa,
ímola calcular
3º.- Triangularizamos a matriz de abaixo a arriba, realizando as mesmas operacións na matriz da dereita
4º.- Por último divídese cada fila polo elemento diagonal correspondiente.
16. RANGO DUNHA MATRIZ
Chámase “menor” de orden p dunha matriz ao
determinante que resulta de eliminar certas filas e columnas
ata quedar una matriz cadrada de orden p.
É dicir, ao determinante de calquera submatriz cadrada de A
Nunha matriz A m×n pode haber varios menores de orden
p.
Definición:
Rango dunha matriz é a orde do maior menor non nulo que
se poida formar na matriz.
Consecuencia
O rango non pode ser maior ao número de filas ou de
columnas.
17. RANGO DUNHA MATRIZ
Vectores fila dunha matriz:
As filas dunha matriz poden ser consideradas como vectores. É posible que
sexan linealmente Independentes (L.I.) e é posible que uns dependan
linealmente de outros. Por exemplo:
2 3 2 5
A=
1 3 4 2 As súas dúas son linealmente independentes
1 3
2 1 As dúas primeiras líñas son L.I., as outras dúas dependen
B=
0 5 linealmente das primeiras
3 4
F 3 = 2 ⋅ F1 − F 2 F 4 = F1 + F 2
1 5 3
As dúas primeiras filas son L.I. a terceira depende linealmente das
C = 9 0 2
dúas primeiras
8 − 5 − 1
F 2 − F1 = F 3
Chámase rango dunha matriz ao número de filas Linealmente Independentes
18. RANGO DUNHA MATRIZ
Vectores columna dunha matriz:
Tamén as columnas dunha matriz poden ser consideradas como vectores.
Poderíamos definir rango da matriz como o número de columnas linealmente
independentes, pero aparece a dúbida de se esa definición pode contradecir á
anterior.
Teorema
Nunha matriz o número de filas L.I. coincide co número de
columnas L.I.
Rango dunha matriz é o número de filas, ou columnas,
linealmente independentes.
19. RANGO DUNHA MATRIZ
O rango dunha matriz podémolo calcular por dous métodos
diferentes:
Polo método de Gauss
Usando Determinantes
20. Cálculo do rango: método de Gauss
Se se permutan dúas filas o rango non
varía
Se se multiplica unha fila por un nº non
nulo o rango non varía
Se a unha fila se lle suma ou resta outra
paralela o rango non varía
