Este documento presenta una introducción a la estadística y la probabilidad. Explica que la estadística se ocupa de recopilar, organizar y analizar datos sobre colectivos para describirlos y hacer predicciones. Distingue entre estadística descriptiva, que organiza y resume datos, y estadística inferencial, que elabora conclusiones sobre una población a partir de una muestra. Introduce conceptos básicos como población, individuo, muestra y variables estadísticas, y explica cómo organizar datos en tablas y gr

1.
2010­2011 39
Matemáticas en la Educación Infantil
Mª del Consuelo García Cuesta
Escuela Universitaria CEU de Magisterio
Vigo 2010‐2011

3.
Índice
Índice .....................................................................................................................................................................
i
Tema 1.‐ Introducción a la Estadística y Probabilidad ......................................................................................... 1
Estadística y sus aplicaciones: clases y conceptos básicos .............................................................................. 1 i
Variables o Caracteres Estadísticos, tablas y gráficos ..................................................................................... 1
Tablas Estadísticas: Recuento ...................................................................................................................... 2
Frecuencias .................................................................................................................................................. 3
Otra forma de recuento: diagrama de tallos y hojas .................................................................................. 3
Representaciones Gráficas .......................................................................................................................... 5
Diagramas de barras ................................................................................................................................ 6
Histogramas ............................................................................................................................................. 7
Diagramas lineales ................................................................................................................................... 7
Diagramas de sectores ............................................................................................................................ 7
Pictogramas ............................................................................................................................................. 8
Observaciones a los gráficos estadísticos ............................................................................................... 8
.
Parámetros Estadísticos .............................................................................................................................. 8
Medidas de posición ................................................................................................................................ 8
Medidas de Dispersión .......................................................................................................................... 13
Medidas de forma: grado de concentración ......................................................................................... 15
Introducción a la Probabilidad ...................................................................................................................... 18
Experimentos aleatorios ........................................................................................................................ 18
Probabilidad de un suceso .................................................................................................................... 19
.
Frecuencia y probabilidad ..................................................................................................................... 20
Ejercicios ........................................................................................................................................................ 21
Ejercicio de examen resuelto .................................................................................................................... 21
Ejercicios propuestos ................................................................................................................................. 23
Bibliografía ..................................................................................................................................................... 24
Tema 2.‐ El Espacio ............................................................................................................................................ 25
¿Qué es el Espacio? ....................................................................................................................................... 25
Invariantes ................................................................................................................................................. 25
¿Qué es la topología? ................................................................................................................................ 26
La teoría de grafos ................................................................................................................................. 27
La teoría de nudos ................................................................................................................................. 30
Clasificación topológica de superficies compactas ............................................................................... 34
Geometría fractal .................................................................................................................................. 36

4. Índice
Geometría proyectiva ................................................................................................................................ 37
Breve reseña histórica ........................................................................................................................... 37
Sistemas de representación .................................................................................................................. 37
Obtención de las vistas de un objeto .................................................................................................... 39
Geometría métrica o euclídea ................................................................................................................... 41
Introducción didáctica de invariantes topológicos ....................................................................................... 42
ii
Materiales didácticos para la introducción de invariantes topológicos y situaciones correspondientes . 42
La bolsa de formas y el reconocimiento de formas por el tacto ........................................................... 43
Dominós Topológicos ............................................................................................................................ 43
La bolsa de formas, el tangram y la construcción de figuras ................................................................ 44
Los laberintos, la construcción de circuitos y los coloreados ................................................................ 45
La introducción de invariantes proyectivos .................................................................................................. 46
.
Materiales didácticos para la introducción de invariantes proyectivas y situaciones correspondientes . 46
Los juegos de posiciones ....................................................................................................................... 46
Dominós Proyectivos ............................................................................................................................. 47
Las cartas y las construcciones para el desarrollo del punto de vista ................................................... 47
La introducción de invariantes métricos ....................................................................................................... 48
Materiales didácticos para la introducción de invariantes métricos y situaciones correspondientes ..... 48
Los juegos de encastre de figuras geométricas ..................................................................................... 48
Los bloques lógicos, la bolsa de figuras básicas y el tangram ............................................................... 49
Los poliminos ......................................................................................................................................... 49
El geoplano y el mecano ........................................................................................................................ 50
Bibliografía ..................................................................................................................................................... 50
Tema 3.‐ La Medida ........................................................................................................................................... 51
Concepto de Magnitud y Cantidad ................................................................................................................ 51
Medir ......................................................................................................................................................... 51
Medida directa .......................................................................................................................................... 51
Errores en las medidas directas ................................................................................................................ 51
.
Error absoluto ........................................................................................................................................ 51
Error relativo ......................................................................................................................................... 51
.
Error estándar ....................................................................................................................................... 51
.
Propagación de errores en las operaciones más comunes ....................................................................... 51
Magnitud ................................................................................................................................................... 52
Magnitud física .......................................................................................................................................... 52
Cantidad .................................................................................................................................................... 52
Tipos de cantidades ................................................................................................................................... 52
Cantidad homogénea ............................................................................................................................ 53
Cantidad heterogénea ........................................................................................................................... 53

5. Matemáticas en la Educación Infantil Curso 2010/2011
Cantidad continua ................................................................................................................................. 53
Cantidad discreta ................................................................................................................................... 53
Conclusión ................................................................................................................................................. 53
Tipos de magnitudes ..................................................................................................................................... 53
Magnitudes físicas derivadas .................................................................................................................... 54
Unidades de medida ...................................................................................................................................... 55 iii
Necesidad de un sistema de medida. El Sistema Internacional de Unidades ............................................... 56
Sistema Internacional de Unidades de Medida ........................................................................................ 56
.
Unidades básicas ....................................................................................................................................... 56
Unidades derivadas ................................................................................................................................... 57
Ejemplos de unidades derivadas ........................................................................................................... 57
Tabla de múltiplos y submúltiplos ............................................................................................................. 57
Ejercicios ........................................................................................................................................................ 57
Bibliografía ..................................................................................................................................................... 62
Tema 4.‐ Geometría del plano ........................................................................................................................... 63
Introducción a la Geometría del Plano .......................................................................................................... 63
Ángulos de un polígono ................................................................................................................................. 63
Lugares Geométricos ..................................................................................................................................... 64
Mediatriz ............................................................................................................................................... 64
Bisectriz ................................................................................................................................................. 64
Circunferencia........................................................................................................................................ 65
Ángulos y arcos de circunferencia ............................................................................................................. 65
Ángulos centrales .................................................................................................................................. 65
Ángulos inscritos ................................................................................................................................... 66
.
Ángulos semiinscritos ............................................................................................................................ 66
Ángulos interiores ................................................................................................................................. 67
Ángulos exteriores ................................................................................................................................. 67
Partes del círculo ................................................................................................................................... 67
Triángulos: rectas y puntos notables ............................................................................................................ 68
.
Polígonos semejantes .................................................................................................................................... 69
Teorema de Thales .................................................................................................................................... 70
Teorema de Pitágoras ............................................................................................................................... 70
.
Longitudes y áreas de figuras poligonales ..................................................................................................... 71
Longitudes y áreas de figuras circulares ........................................................................................................ 71
Sector circular, corona circular y trapecio circular .................................................................................... 71
Área de un segmento circular ................................................................................................................... 72
Ejercicios ........................................................................................................................................................ 72
Ejercicios resueltos .................................................................................................................................... 72

6. Índice
Ejercicios propuestos ................................................................................................................................. 74
Bibliografía ..................................................................................................................................................... 77
Tema 5.‐ Geometría del Espacio ....................................................................................................................... 79
.
Introducción a la Geometría del Espacio ....................................................................................................... 79
Poliedros ........................................................................................................................................................ 80
Prismas y Pirámides ....................................................................................................................................... 81
iv
Cuerpos redondos o de revolución ............................................................................................................... 82
Simetría en Poliedros y Cuerpos Redondos .............................................................................................. 82
Áreas de Poliedros, Cilindros y Conos ........................................................................................................... 83
Volúmenes de Poliedros, Cilindros y Conos .................................................................................................. 84
La Esfera. Elementos, Área y Volumen .......................................................................................................... 85
Áreas y volúmenes de cuerpos compuestos ................................................................................................. 86
La Tierra ......................................................................................................................................................... 87
Meridianos y Paralelos .............................................................................................................................. 87
Coordenadas Geográficas .......................................................................................................................... 87
Ejercicios ........................................................................................................................................................ 88
Ejercicios resueltos .................................................................................................................................... 88
Ejercicios propuestos ................................................................................................................................. 89
Bibliografía ..................................................................................................................................................... 92

7.
Tema 1.­ Introducción a la Estadística y Probabilidad
Estadística y sus aplicaciones: clases y conceptos básicos
Aunque la palabra estadística proviene del latín “status” o “estado”, esta palabra sólo describe en parte su
significado real, es decir, sólo describe la función de la estadística de llevar registros ordenados de datos 1
para describir el “estado” de las cosas. Sin embargo, la estadística va más allá de esta simple función.
El concepto de Estadística es muy amplio, y sus aplicaciones directas o indirectas, muy numerosas; resulta
difícil, por ello, dar una definición. Sin embargo, la idea más adecuada es considerar que incumbe a la
Estadística la recogida, ordenación, resumen y análisis de datos de cualquier tipo sobre colectivos, lo que
significa que no tiene sentido pensar en un dato aislado o individual como terreno de trabajo de la
Estadística: es necesario, pues, considerar un grupo de elementos (personas, animales, cosas, experimentos,
etc.) a los que se refieren los datos que se consideran. Podemos concluir, dando la siguiente definición: la
Estadística es la ciencia que se ocupa de la recogida de datos, su organización y análisis; así como de las
predicciones que, a partir de estos datos, pueden hacerse. En palabras sencillas podríamos decir que la
estadística es la ciencia de los datos.
Según el problema que se estudie y el método utilizado, se distinguen dos clases de Estadística, la Estadística
descriptiva y la Estadística inferencial.
La Estadística descriptiva se ocupa de tomar los datos de un conjunto, organizarlos en tablas o en
representaciones gráficas y del cálculo de unos números (parámetros estadísticos) que nos informen de
manera global del conjunto estudiado.
Los conceptos básicos que aparecen en cualquier estudio estadístico son:
• Población. Es el conjunto formado por todos los elementos que existen para el estudio de un
determinado fenómeno.
• Individuo u objeto. Es cada elemento de la población.
• Muestra. Es el subconjunto que tomamos de la población para determinar el estudio del fenómeno.
• Tamaño de la muestra. Es el número de individuos que la componen.
La Estadística inferencial trata sobre la elaboración de conclusiones para la población, partiendo de los
resultados de una muestra y del grado de fiabilidad de estas conclusiones.
Variables o Caracteres Estadísticos, tablas y gráficos
Lo que se estudia en una muestra o población es una serie de variables en cada individuo o elemento. Lo
usual es considerar primero las variables una a una, sin plantearse problemas de asociación entre ellas, por
lo que podemos pensar sólo en una variable de cuyos datos imaginamos disponer en una muestra (el
número de datos es el llamado tamaño de muestra, para el que habitualmente se utiliza la letra N). Los tipos
de variables, y consecuentemente las clases de datos que se pueden encontrar, son básicamente las
siguientes:
 Variables CUALITATIVAS, también llamadas CARACTERES, VARIABLES CATEGÓRICAS o ATRIBUTOS, que
son aquellas que no necesitan números para expresarse; cada forma particular en que pueden
presentarse se denomina modalidad. Por ejemplo, el sexo de una persona es una variable cualitativa y
“varón” o “mujer” son sus únicas modalidades. En consecuencia, para una variable cualitativa, cada dato
no es más que la información de que un determinado elemento de la muestra presenta una
determinada modalidad. Entre la variables cualitativas cabe distinguir:
o Las variables cualitativas ORDINALES, que son las que teniendo más de dos modalidades tienen
establecido un orden natural entre las mismas, de forma que sus modalidades se enuncian

8. Introducción a la Estadística y Probabilidad
siguiendo una cierta ordenación ascendente o descendente y no de otra manera. Por ejemplo, la
variable “gravedad del pronóstico de lesiones traumáticas” podría tener como orden natural
entre sus modalidades “leve”, “moderado”, “grave”, etc., pero nunca diríamos “grave”, “leve”,
“moderado”, etc. en este orden.
o Las variables cualitativas PURAS, que no tienen un orden natural preestablecido entre sus
modalidades, y podemos utilizar cualquier ordenación para ellas, como por ejemplo el grupo
sanguíneo o la nacionalidad de una persona (no hay que confundirse con ordenaciones
arbitrarias, como el orden alfabético, pensando que convierten en ordinales a las variables, ya
que no significan una verdadera ordenación natural de las modalidades).
o Las variables DICOTÓMICAS, que tienen sólo dos modalidades posibles, y en las que ni siquiera
tiene sentido plantearse si son o no ordinales; el hecho de tener sólo dos modalidades les
confiere características especiales. Cabe citar como ejemplos el ya citado del sexo, el pertenecer
o no a una asociación, o en general cualquier situación que sólo admita una respuesta “sí” o
“no”.
 Variables CUANTITATIVAS o NUMÉRICAS, que son aquellas que necesitan números para ser expresadas,
como la edad de alguien o el número de páginas de un libro. Cada forma particular en que se presentan
es un valor numérico, y un dato es en estas variables un número que refleja el valor de la variable en un
elemento de la muestra. También pueden distinguirse al menos dos subtipos:
o Las variables cuantitativas DISCRETAS, cuyos valores son aislados (habitualmente números
enteros), de forma que pueden enumerarse y existen valores “consecutivos” entre los que no
puede haber otro. Por ejemplo, un resumen puede tener 349 ó 350, pero no 349,17 palabras.
o Las variables cuantitativas CONTINUAS, que pueden tomar cualquier valor numérico, entero o
decimal, de forma que teóricamente entre dos valores posibles siempre se pueden encontrar
otros (entre 65.3 Kg y 65.4 Kg de peso siempre está 65.37 Kg, por ejemplo), aunque en la
práctica el número de cifras decimales está limitado y la variable se maneja en cierto modo
como discreta.
La distinción entre los distintos tipos de variables es importante porque las técnicas a aplicar a cada uno
pueden ser muy diferentes, y muchos parámetros y cálculos tienen sentido para las variables de un tipo y no
para las de otro. Hay que tener en cuenta también que una misma variable de la realidad puede venir
expresada de diversas maneras, incluso como cualitativa o como cuantitativa, dependiendo de que usemos
valores numéricos o sólo modalidades; piénsese, por ejemplo, en que la estatura puede darse en
centímetros (variable cuantitativa continua) o diciendo de alguien que es “bajo”, “mediano” o “alto”
(variable cualitativa ordinal). En estos casos, debe quedar claro que la variable es en esencia cuantitativa y
que su tratamiento como cualitativa supone una pérdida de calidad en la información, sólo admisible si no
podemos disponer de los datos numéricos.
Tablas Estadísticas: Recuento
Después de la recogida de datos, a través de encuestas o entrevistas, éstos suelen ordenarse para un mejor
manejo. La forma usual de ordenarlos consiste en realizar un recuento y, posteriormente, formar una tabla.
En el caso de las variables cuantitativas continuas o discretas con muchos valores, los datos deben agruparse
en clases o intervalos.
El valor medio de cada clase o intervalo se llama marca de clase y se calcula como la semisuma de los
extremos del intervalo.
Para construir intervalos o clases hemos de tener en cuenta los siguientes puntos:
• Se halla N (N = nº total de datos) y este número va a ser el número de intervalos.
• Calculamos la diferencia entre el valor más grande y el más pequeño de la variable a estudio
(recorrido de la variable o rango) y se trabaja con una aproximación operativa.

9. Matemáticas en la Educación Infantil Curso 2010/2011
• Calculamos la amplitud de cada intervalo dividiendo el resultado anterior por el número de
intervalos que tomemos.
• Los intervalos se toman cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha.
Frecuencias
Se llama frecuencia absoluta del valor o cualidad xi, y la representamos por fi, al número de veces que se
repite dicho valor o cualidad.
3
Se llama frecuencia absoluta acumulada del valor o cualidad xi, y la representamos por Fi, a la suma de las
frecuencias absolutas de todos los valores o cualidades anteriores a xi más la frecuencia absoluta de
xi.
Se llama frecuencia relativa del valor o cualidad xi, y la representamos por hi, al cociente entre la frecuencia
absoluta de xi y el número total de datos que intervienen en la distribución.
Se llama frecuencia relativa acumulada del valor o cualidad xi, y se representa por Hi, al cociente entre la
frecuencia absoluta acumulada de xi y el número total de datos que intervienen en la distribución.
Se llama frecuencia porcentual o porcentaje del valor o cualidad xi, y se representa por pi, al tanto por
ciento que representa este valor o cualidad respecto del total. Se calcula multiplicando la frecuencia
relativa por 100.
Se llama frecuencia porcentual acumulada del valor o cualidad xi, y se representa por Pi, a la suma de las
frecuencias porcentuales correspondientes a los valores anteriores a xi y la suya propia.
Otra forma de recuento: diagrama de tallos y hojas
El diagrama de tallos y hojas es un procedimiento semigráfico que permite presentar la información para
variables cuantitativas y es especialmente útil cuando el número de datos es pequeño.
Veamos su construcción realizando el ejemplo que sigue:
Las puntuaciones obtenidas por 40 alumnas en un test han sido las siguientes:
41, 53, 72, 62, 81, 93, 81, 74, 56, 62, 45, 47, 62, 58, 88, 76, 77, 63, 43, 56, 76, 63, 78,
73, 65, 66, 91, 82, 61, 72, 36, 50, 91, 32, 60, 80, 51, 68, 61, 71
Para construir el diagrama de tallos y hojas, procedemos del siguiente modo:

10. Introducción a la Estadística y Probabilidad
• Los diagramas de tallos y hojas son, en sí mismos, diagramas de frecuencias, pues si trazamos una
poligonal que una los últimos números de cada fila obtenemos el polígono de frecuencias.
• Podemos ver que hay dos alumnos con puntuaciones entre 30 y 39; 4 alumnos con puntuaciones
entre 40 y 49, y así sucesivamente. Hay más alumnos con puntuaciones entre 70 y 79 que entre 50 y
59.
• La clase que tiene mayor frecuencia es la que tiene por extremos 60‐69.

11. Matemáticas en la Educación Infantil Curso 2010/2011
Representaciones Gráficas
5

12. Introducción a la Estadística y Probabilidad
Diagramas de barras

13. Matemáticas en la Educación Infantil Curso 2010/2011
Histogramas
7
Diagramas lineales
Diagramas de sectores

14. Introducción a la Estadística y Probabilidad
Pictogramas
Observaciones a los gráficos estadísticos
Un gráfico hecho correctamente debe representar fielmente los datos de una distribución estadística y para
ello debe cumplir dos condiciones:
• Reflejar con exactitud y sin ambigüedades los valores o modalidades de la variable y sus frecuencias
y porcentajes.
• Las unidades de la escala deben ser fiables.
En cuanto a la estructura general de un gráfico estadístico, este debe contener:
• Título: debe quedar claro el fenómeno que se estudia; además debe especificarse cuándo y dónde
se hicieron las observaciones.
• Cuerpo del gráfico: Es el gráfico en sí; hay que tener en cuenta el tipo que se debe emplear en orden
a la variable estudiada y al público que va dirigido.
Por último decir que el famoso dicho de que “una imagen vale más que mil palabras” no se puede aplicar a la
Estadística diciendo que “un gráfico estadístico vale más que mil tablas”, pues la tabla estadística es un
conjunto de datos asépticos, sin manipulaciones ni tendencias del investigador, en cambio un gráfico
estadístico se puede someter a deformaciones tendenciosas, simplemente manipulando la escala de
representación.
Parámetros Estadísticos
Medidas de posición
Las medidas de posición nos facilitan información sobre la serie de datos que estamos analizando. Estas
medidas permiten conocer diversas características de esta serie de datos.
Las medidas de posición son de dos tipos:
a) Medidas de posición central: informan sobre los valores medios de la serie de datos.
b) Medidas de posición no centrales: informan de como se distribuye el resto de los valores de la serie.

15. Matemáticas en la Educación Infantil Curso 2010/2011
Medidas de posición central
Las principales medidas de posición central son las siguientes:
 Media: es el valor medio ponderado de la serie de datos. Se pueden calcular diversos tipos de media,
siendo las más utilizadas:
o Media aritmética: es la suma de todos los valores de la variable dividida por el número de
valores. Se representa por x . Su cálculo está explicado en el resumen teórico de la página 16. 9
o Media geométrica: se eleva cada valor al número de veces que se ha repetido. Se multiplican
todo estos resultados y al producto final se le calcula la raíz "N" (siendo N el total de datos de la
muestra).
Según el tipo de datos que se analice será más apropiado utilizar la media aritmética o la media geométrica.
La media geométrica se suele utilizar en series de datos como tipos de interés anual, inflación, etc., donde el
valor de cada año tiene un efecto multiplicativo sobre el de los años anteriores. En todo caso, la media
aritmética es la medida de posición central más utilizada.
Observaciones a la media aritmética.
1. La media aritmética es la medida o parámetro de centralización que más se utiliza.
2. Presenta la ventaja de tener en cuenta todos los datos de la distribución, además de resultar muy
sencillo su cálculo.
3. Tiene el grave inconveniente de que si la distribución posee valores extremos, excepcionalmente
raros y poco significativos, éstos producen una distorsión sobre el valor de la media, alterando su
significado matemático.
4. No siempre es posible realizar el cálculo de la media aritmética, como por ejemplo: si los datos de la
distribución son cualitativos o cuando los datos de la distribución se encuentran agrupados en
clases, estando alguna de ellas abierta.
 Mediana: es el valor de la serie de datos que se sitúa justamente en el centro de la muestra (un 50% de
valores son inferiores y otro 50% son superiores). Se representa por M. Su cálculo está explicado en el
resumen teórico de la página 16.
Observaciones a la mediana.
1. La mediana es particularmente útil en los siguientes casos:
a) Cuando entre los datos existe alguno ostensiblemente extremo que, como hemos visto, afecta a
la media.
b) Cuando los datos están agrupados en clases y alguna de ellas es abierta.
2. No presenta el problema de estar influida por los valores extremos, pero en cambio no utiliza en su
cálculo toda la información de la serie de datos (no pondera cada valor por el número de veces que
se ha repetido).
3. La mediana es el primer parámetro de centralización que depende del orden de los datos y no de su
valor.
4. Geométricamente la mediana es el valor de la variable tal que la vertical levantada sobre el mismo
divide a la gráfica de la distribución en dos partes de igual área.
 Moda: es el valor que más se repite en la muestra. La moda no siempre es única, así, podemos tener
distribuciones de datos con varias modas, en tal caso se llaman multimodales. Se representa por Mo. Su
cálculo está explicado en el resumen teórico de la página 16.

16. Introducción a la Estadística y Probabilidad
Observaciones a la moda:
1. Puede ocurrir que existan distribuciones que no tengan moda; eso ocurre cuando las frecuencias de
todos los datos son iguales.
2. La moda es menos representativa que la media aritmética, pero en algunas ocasiones es más útil
que ésta; por ejemplo, cuando se trata de una distribución de datos cualitativos.
3. En la moda no intervienen todos los datos de la distribución.
4. Aún cuando la moda se considera una medida o parámetro de centralización, no siempre tiene por
qué situarse en la zona central; es frecuente encontrar la moda próxima a los valores extremos de la
distribución.
• Interpretación geométrica de la media aritmética, la mediana y la moda.
Una manera de visualizar de manera geométrica el significado de media, mediana y moda es considerando el
“perfil” del polígono de frecuencias como si fuera una figura plana, es decir, como si dibujamos el
histograma sobre una lámina plana de material homogéneo y lo recortamos. Podemos afirmar lo siguiente:
• La Moda es el punto más alto de la figura.
• La Mediana es el punto que divide a la figura en dos áreas iguales.
• La Media es el punto de equilibrio (centro de masa) de la figura.
• Posiciones de la media, la mediana y la moda.
Si al construir el polígono de frecuencias se observa que la distribución es simétrica o ligeramente asimétrica
se tiene que: media – moda = 3(media – mediana)
En general, cuando el gráfico que representa la distribución de valores no es simétrico, sino sesgado, la
media está desviada, en relación con la mayoría de los valores, hacia la cola más larga de la distribución:
• Cola hacia la derecha: media mayor que la mayoría de los valores.
• Cola hacia la izquierda: media menor que la mayoría de los valores.
• Cuanto más sesgada es la distribución: menos representativa es la media.
Observa las siguientes gráficas:

17. Matemáticas en la Educación Infantil Curso 2010/2011
11
Medidas de posición no central
Las medidas de posición no centrales permiten conocer otros puntos característicos de la distribución que
no son los valores centrales. Entre otros indicadores, se suelen utilizar una serie de valores que dividen la
muestra en tramos iguales:
• Cuartiles: son tres valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente,
en cuatro tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 25% de los resultados. Se representan
por Q1, Q 2 y Q3, y se designan cuartil primero, segundo y tercero, respectivamente.
• Quintiles: son cuatro valores que dividen la serie de datos en cinco partes iguales. Se representan por K1,
K2, K3 y K4 y se designan por quintil primero, segundo, tercero y cuarto, respectivamente.
• Deciles: son nueve valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente,
en diez tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 10% de los resultados. Se representan por
D1, D2,…, D9, y se designan por decil primero, segundo,…, noveno, respectivamente.
• Percentiles: son noventa y nueve valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o
decreciente, en cien tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 1% de los resultados. Se
representan por P1, P2,…, P99, y se designan percentil primero, segundo,…, nonagésimo noveno,
respectivamente.
Los percentiles son muy usados para llevar el seguimiento del peso, crecimiento e índice de masa corporal
de los niños y niñas. A continuación tienes lo gráficos de percentiles que habitualmente usan los pediatras en
sus consultas.

18. Introducción a la Estadística y Probabilidad

19. Matemáticas en la Educación Infantil Curso 2010/2011
• Relaciones entre cuantiles
Se tiene que:
D1 = P10 K1 = D2 = P20 D3 = P30 K2 = D4 = P40 Q2 = D5 = P50
K3 = D6 = P60 D7 = P70 K4 = D8 = P80 D9 = P90
• Cálculo de los cuantiles
El cálculo de los cuantiles está explicado en el resumen teórico de la página 16. 13
Observaciones a los cuantiles.
1. Los cuantiles, preferentemente los deciles y percentiles, son parámetros estadísticos muy
utilizados en las Ciencias Sociales.
2. El cuartil primero coincide con el percentil de orden 25, y el cuartil tercero coincide con el
percentil de orden 75.
Medidas de Dispersión
Estudian la distribución de los valores de la serie, analizando si estos se encuentran más o menos
concentrados, o más o menos dispersos.
Existen diversas medidas de dispersión, entre las más utilizadas podemos destacar las siguientes:
• Rango o recorrido: mide la amplitud de los valores de la muestra y se calcula por diferencia entre el valor
más elevado y el valor más bajo.
Observaciones al rango o recorrido:
1. Cuanto menor es el recorrido de una distribución mayor es el grado de representatividad de los
valores centrales.
2. El recorrido tiene la gran ventaja de su sencillez de cálculo.
3. Tiene una gran aplicación en procesos de control de calidad, y de una manera general, en
aquellos procesos que se pretenda verificar longitudes, pesos, volúmenes, estando prefijados de
antemano los límites permitidos.
4. El recorrido presenta el inconveniente de que sólo depende de los valores extremos. De esta
forma basta que uno de ellos se separe mucho para que el recorrido se vea sensiblemente
afectado.
5. Para paliar en alguna medida este inconveniente se utilizan en ocasiones otros dos rangos:
Rango intercuartílico: Q = Q3 – Q1
Rango entre percentiles: P = P90 – P10
Estos rangos son algo más estables, ya que tienden a eliminar aquellos valores extremadamente alejados.
Decimos que un valor de la variable está alejado cuando se encuentra bastante separado del resto de los
datos.
Un valor x está alejado si:
x > Q3 + 1,5 (Q3 – Q1)
x < Q1 ‐ 1,5 (Q3 – Q1)
• Rango intercuartílico: es la diferencia entre el cuartil superior y el cuartil inferior, es decir, Q3‐Q1.
• Rango semiintercuartílico: es la mitad del rango intercuartílico.

20. Introducción a la Estadística y Probabilidad
Esta medida es más representativa que las anteriores, ya que tiene la siguiente propiedad: en distribuciones
aproximadamente simétricas el 50% de los datos queda comprendido entre la media aritmética menos el
rango semiintercuartílico y la media aritmética más el rango semiintercuartílico.
• Desviaciones respecto a la media: son las diferencias entre cada valor de la variable y la media aritmética.
Observaciones a las desviaciones respecto a la media.
1. Las desviaciones dan una idea de la proximidad de cada valor respecto a la media.
2. Las desviaciones pueden ser positivas, negativas o nulas.
3. La suma de las desviaciones con respecto a la media es siempre 0. Por tanto, no podemos usar
esta suma para medir la dispersión. Para evitarlo, se recurre a dos procedimientos:
a. Utilizar el valor absoluto de las desviaciones con respecto a la media, lo que dará lugar a la
desviación media.
b. Utilizar el cuadrado de las desviaciones respecto a la media, lo que dará lugar a la varianza.
Desviación media: es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media. El
cálculo de la desviación media, que se representa por D x , está explicado en el resumen teórico de la página
17.
• Varianza: es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media.
Se representa por  (o s2). Su cálculo está explicado en el resumen teórico de la página 17.
2
Observaciones a la varianza.
1. La varianza depende de todos los valores de la distribución, así como de la media aritmética.
2. En los casos en que no sea posible calcular la media aritmética tampoco se puede calcular la
varianza.
3. La varianza es siempre positiva o nula. Es nula cuando todos los datos son iguales a la media.
Mientras más se aproxima a cero, más concentrados están los valores de la serie alrededor de la
media. Por el contrario, mientras mayor sea la varianza, más dispersos están.
4. La varianza presenta el problema de no ir expresada en las mismas unidades que los datos,
debido a que las desviaciones van elevadas al cuadrado.
• Desviación típica: se calcula como raíz cuadrada positiva de la varianza. Se representa por  (o s).
Observaciones a la desviación típica.
1. La desviación típica depende de todos los valores de la distribución, así como de la media
aritmética.
2. En los casos en que no sea posible calcular la media aritmética tampoco se puede calcular la
desviación típica.
3. La desviación típica se expresa en las mismas unidades que los datos de la distribución, de ahí
que resulte ser más interesante que la varianza.
• Utilización conjunta de media y desviación típica.
La media aritmética de un conjunto de datos se encuentra, aproximadamente, hacia el centro de la
distribución. La desviación típica nos informa sobre la dispersión de los datos respecto a la media.
Utilizando ambos parámetros conjuntamente podemos obtener resultados muy importantes sobre la
distribución.

21. Matemáticas en la Educación Infantil Curso 2010/2011
Para cualquier distribución estadística, mientras más pequeña sea la desviación típica, mayor será el
porcentaje de datos contenidos en un intervalo en torno a la media.
• Coeficiente de variación de Pearson: se calcula como cociente entre la desviación típica y la media.
Observaciones al coeficiente de variación.
1. El interés del coeficiente de variación es que al ser un porcentaje permite comparar el nivel de
dispersión de dos muestras. Esto no ocurre con la desviación típica, ya que viene expresada en las
mismas unidas que los datos de la serie. Por ejemplo, para comparar el nivel de dispersión de una 15
serie de datos de la altura de los alumnos de una clase y otra serie con el peso de dichos alumnos, no
se puede utilizar las desviaciones típicas (una viene expresada en cm y la otra en Kg). En cambio, sus
coeficientes de variación son ambos porcentajes, por lo que sí se pueden comparar.
2. Observa que cuando la media aritmética se acerca a cero el coeficiente de variación no tiene gran
utilidad, ya que toma valores infinitamente grandes.
3. El coeficiente de variación relaciona una medida de dispersión con una de centralización.
En resumen, el coeficiente de variación se utiliza cuando se quiere comparar la dispersión de las series
estadísticas con medias desiguales o que se midan en diferentes unidades.
Evidentemente, cuanto menor sea el coeficiente de variación, menor será la dispersión.
Para finalizar, debemos tener en cuenta que un estudio estadístico no es completo si las medidas de
centralización no vienen acompañadas de las de dispersión. Nos preguntamos, por tanto, ¿cuál es la mejor
medida de dispersión que debe acompañar a la de centralización? La respuesta viene dada por el siguiente
cuadro:
Medida de centralización Medida de dispersión
Media aritmética Varianza‐Desviación típica
Mediana Rango intercuartílico
Moda Rango o recorrido
Medidas de forma: grado de concentración
Las medidas de forma permiten conocer que forma tiene la curva que representa la serie de datos de la
muestra. En concreto, podemos estudiar las siguientes características de la curva:
a) Concentración: mide si los valores de la variable están más o menos uniformemente repartidos a lo
largo de la muestra.
b) Asimetría: mide si la curva tiene una forma simétrica, es decir, si respecto al centro de la misma
(centro de simetría) los segmentos de curva que quedan a derecha e izquierda son similares.
c) Curtosis: mide si los valores de la distribución están más o menos concentrados alrededor de los
valores medios de la muestra.

22. Introducción a la Estadística y Probabilidad
1.‐ Medidas de Centralización

23. Matemáticas en la Educación Infantil Curso 2010/2011
17
2.‐ Distribuciones unidimensionales

24. Introducción a la Estadística y Probabilidad
Introducción a la Probabilidad
Experimentos aleatorios

25. Matemáticas en la Educación Infantil Curso 2010/2011
Probabilidad de un suceso
19

26. Introducción a la Estadística y Probabilidad
Frecuencia y probabilidad

27. Matemáticas en la Educación Infantil Curso 2010/2011
Ejercicios
Ejercicio de examen resuelto
21
a. Construye la tabla de frecuencias y el diagrama de tallos y hojas.
b. Halla: Media aritmética, mediana, moda, cuartiles, deciles tercero y sexto, percentiles 30 y 70, rango,
rango intercuartílico, desviación media, varianza, desviación típica, coeficiente de variación, sesgo y tipo
de sesgo.
c. Haz el diagrama de barras correspondiente a las frecuencias absolutas, el polígono de frecuencias
asociado al mismo y un diagrama de sectores.
Llamadas fi Fi hi Hi pi Pi  xi*fi |xi‐ x |*fi (xi‐ x )2*fi
24 2 2 0,03 0,03 3,33% 3,33% 12 48 35,83 642,01
25 1 3 0,02 0,05 1,67% 5,00% 6 25 16,92 286,17
27 4 7 0,07 0,12 6,67% 11,67% 24 108 59,67 890,03
29 4 11 0,07 0,18 6,67% 18,33% 24 116 51,67 667,36
31 3 14 0,05 0,23 5,00% 23,33% 18 93 32,75 357,52
32 3 17 0,05 0,28 5,00% 28,33% 18 96 29,75 295,02
33 2 19 0,03 0,32 3,33% 31,67% 12 66 17,83 159,01
34 3 22 0,05 0,37 5,00% 36,67% 18 102 23,75 188,02
35 2 24 0,03 0,40 3,33% 40,00% 12 70 13,83 95,68
37 1 25 0,02 0,42 1,67% 41,67% 6 37 4,92 24,17
39 1 26 0,02 0,43 1,67% 43,33% 6 39 2,92 8,51
40 1 27 0,02 0,45 1,67% 45,00% 6 40 1,92 3,67
41 3 30 0,05 0,50 5,00% 50,00% 18 123 2,75 2,52
42 2 32 0,03 0,53 3,33% 53,33% 12 84 0,17 0,01
43 2 34 0,03 0,57 3,33% 56,67% 12 86 2,17 2,35
44 2 36 0,03 0,60 3,33% 60,00% 12 88 4,17 8,68
45 2 38 0,03 0,63 3,33% 63,33% 12 90 6,17 19,01
47 2 40 0,03 0,67 3,33% 66,67% 12 94 10,17 51,68
48 2 42 0,03 0,70 3,33% 70,00% 12 96 12,17 74,01
49 1 43 0,02 0,72 1,67% 71,67% 6 49 7,08 50,17
50 2 45 0,03 0,75 3,33% 75,00% 12 100 16,17 130,68
51 2 47 0,03 0,78 3,33% 78,33% 12 102 18,17 165,01
52 3 50 0,05 0,83 5,00% 83,33% 18 156 30,25 305,02
53 1 51 0,02 0,85 1,67% 85,00% 6 53 11,08 122,84
57 2 53 0,03 0,88 3,33% 88,33% 12 114 30,17 455,01
61 2 55 0,03 0,92 3,33% 91,67% 12 122 38,17 728,35
62 1 56 0,02 0,93 1,67% 93,33% 6 62 20,08 403,34
63 2 58 0,03 0,97 3,33% 96,67% 12 126 42,17 889,01
65 2 60 0,03 1,00 3,33% 100,00% 12 130 46,17 1065,68
Total 60 1,00 100,00% 360 2515 589 8090,58

28. Introducción a la Estadística y Probabilidad
Diagrama de tallos y hojas
2 4 4577779999
3 1 11222334445579
4 0 1112233445577889
5 0 011222377
6 1 123355
x  f i i
2515
Media Aritmética x i
  41,9
N 60
Mo= 27 y 29
M = 41,5 (media aritmética entre 41 y 42)
Cuartiles Q1= 32; Q2= 42; Q3= 51
Deciles D3= 33; D6= 45
Percentiles P30= 33; P70= 49
Rango o recorrido = 65 ‐ 24= 41
Rango intercuartílico = 51 ‐ 32 = 19
 x x  f i i
589
Desviación media Dx  i
  9,82
N 60
x  x   fi
2
i
8090,58
Varianza   2 i
  134,84
N 60
Desviación típica     11,61
2

Coeficiente de Variación d   0, 28
x
x  Mo 1, 28  M o  27 

Sesgo    Se trata de una distribución sesgada a la derecha1.
 1,11 M o  29 

Polígono de Frecuencias
Diagrama de frecuencias
Cuenta de llamadas
4,5
Cuenta de llamadas
4,5
4
4
3,5
3,5
3
Frecuencia Absoluta
3
2,5
2,5
Total 2
2
1,5
1,5
1
1
0,5
0,5
0
24 25 27 29 31 32 33 34 35 37 39 40 41 42 43 44 45 47 48 49 50 51 52 53 57 61 62 63 65
0
24 25 27 29 31 32 33 34 35 37 39 40 41 42 43 44 45 47 48 49 50 51 52 53 57 61 62 63 65 Número de Llamadas
llamadas llamadas
1
Aunque es bimodal, ambos valores para el sesgo son mayores que cero.

29. Matemáticas en la Educación Infantil Curso 2010/2011
Diagrama de Sectores
63
3%
62
2%
61 65 24 25
3%
Cuenta de llamadas3% 3% 2% 27
57 7%
3%
29
53
2%
7%
23
52
5% 31
5%
51
3%
32
50 5%
3%
49 33
2% 3%
48 34
3% 5%
47 35
3% 44 37 3%
3% 43 40392%
45 42 41 2%
3% 2%
3% 3% 5%
Ejercicios propuestos
1. Busca en la prensa gráficos estadísticos de todos los tipos estudiados en el tema 3. Clasifícalos e indica en cada uno
de ellos la fecha y el diario en el que aparecieron. Entrégalos en el portafolio. Se valorará positivamente si se hace
un breve comentario de cada gráfico.
2. En un grupo de sociología se han obtenido las siguientes puntuaciones en un test de habilidad mental:
50 23 45 36 56 34 56 67 45 34 23 45 23 67 54 21 34 31 23 47 52
43 12 78 36 49 53 27 66 31 45 22 33 44 48 53 57 77 33 37 64 21
Construye el diagrama de tallos y hojas.
3. Los resultados obtenidos al lanzar un dado 200 veces vienen reflejados en la siguiente tabla:
Número de puntos 1 2 3 4 5 6
Repeticiones ¿ 32 35 33 ¿ 35
Determina las frecuencias que faltan sabiendo que la puntuación media es 3,6 y calcula la mediana y la moda2.
4. Dada la distribución siguiente:
xi 2 4 6 7 9
fi 3 5 7 4 2
a. Construye la tabla de frecuencias.
a. Haz el diagrama de barras correspondiente a las frecuencias absolutas, el polígono de frecuencias
asociado al mismo y un diagrama de sectores.
b. Halla: Media aritmética, mediana, moda, cuartiles, deciles tercero y sexto, percentiles 30 y 70, rango,
rango intercuartílico, varianza, desviación típica, coeficiente de variación, sesgo y tipo de sesgo.
5. Los jugadores de un determinado equipo de baloncesto se clasifican, por alturas, según la tabla siguiente:
Altura [1.70,1.75) [1.75,1.80) [1.80,1.85) [1.85,1.90) [1.90,1.95) [1.95,2.00)
Nº de jugadores 1 3 4 8 5 2
Queremos analizar la variable altura, para lo cual se pide:
a. Clasificación de la variable.
2
x = 29, y = 36

30. Introducción a la Estadística y Probabilidad
b. Tabla de frecuencias.
c. Media aritmética, varianza y desviación típica.
d. Coeficiente de variación.
e. Moda.
f. Cuartiles.
g. Rango y rango intercuartílico.
h. Sesgo (coeficiente de asimetría de Fisher y coeficiente de asimetría de Pearson).
i. Tipo de sesgo.
j. Realizar la representación gráfica más adecuada.
6. Una persona A mide 1,75 m y reside en una ciudad donde la estatura media es de 1,60 m y la desviación típica es
de 20 cm. Otra persona B mide 1,80 m y vive en una ciudad donde la estatura media es de 1,70 m y la desviación
típica es de 15 cm. ¿Cuál de las dos será más alta respecto a sus conciudadanos?
7. A dos grupos de ocho profesores de un instituto (grupo A) y de otro instituto (grupo B) se les ha planteado un
cuestionario de cultura general con cien preguntas, arrojando el siguiente número de contestaciones acertadas:
Grupo A 46 48 49 50 50 51 52 54
Grupo B 10 18 30 50 50 70 82 90
Halla para cada uno de los dos grupos la media, la moda y la mediana, así como la desviación típica. Interpreta los
resultados.
8. Un grupo de alumnos ha obtenido las siguientes notas en Matemáticas e Historia:
MATEMÁTICAS HISTORIA
NOTAS INDIVIDUOS NOTAS INDIVIDUOS
1 0 1 5
2 10 2 4
3 15 3 6
4 20 4 15
5 30 5 50
6 10 6 15
7 10 7 3
8 5 8 2
Efectúa un análisis estadístico completo para ambas asignaturas.
Bibliografía
Arévalo, R; González, J. L. y Torresano, J. A. (2007). Esfera, Matemáticas 3º ESO. Madrid: SM.
Delgado Fernández, J. L. (2008). Apuntes de Estadística. Écija: IES Nicolás Copérico.
Delgado Fernández, J. L. (2008). Apuntes de Probabilidad. Écija: IES Nicolás Copérico.
Estocástico. (2010, 4) de marzo. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 15:41, marzo 19, 2010
desde http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Estoc%C3%A1stico&oldid=34651449.
Sánchez González, J. L. y Vera López, J (2000). Matemáticas 2º Secundaria. Madrid: Oxford University Press.

31.
Tema 2.­ El Espacio
¿Qué es el Espacio?
El Diccionario de la Lengua Española en su vigésima segunda edición lo define como: Extensión que contiene
toda la materia existente.
El estudio de las propiedades que quedan invariantes cuando se aplica una transformación constituye una
parte de la Geometría3 que resulta de especial interés por sus aplicaciones didácticas. 25
Se trata de reconocer una constancia en las figuras a pesar de las modificaciones a que pueda ser sometida
por las trasformaciones.
Los niños, en sus experiencias, pueden modificar los objetos elásticos estirándolos, pueden cambiar la
posición de los objetos en el espacio, y observar el efecto de las sombras proyectadas en una superficie.
La topología es una parte de la geometría que estudia las propiedades invariantes de las figuras al
aplicarles transformaciones bicontinuas (directa e inversa) como doblar‐desdoblar o estirar‐encoger.
La geometría proyectiva estudia las propiedades de las figuras que, proyectadas a partir de un foco
luminoso, quedan invariantes. Ésta es una transformación de sentido único, ya que no podemos plantear
una transformación inversa.
La geometría métrica o euclidiana estudia las propiedades de las figuras que quedan invariantes al
aplicarles desplazamientos en el espacio (traslación, giro, simetría). En este caso a toda transformación
directa le corresponde una transformación inversa que permite al objeto volver a su posición inicial.
El giro es una transformación geométrica en la que todos los puntos giran en un mismo ángulo alrededor
de un punto fijo: el centro de su rotación es el único punto que no varía su posición.
La simetría supone una inversión, como si se viese en un espejo. Una figura se transforma en otra dándole
la vuelta. Es una transformación geométrica del plano respecto a una recta que se llama eje de simetría. El
cuerpo humano es simétrico (exteriormente) respecto a un plano. La mano derecha es igual que la
izquierda pero no se pueden superponer sin salir del mismo plano.
Invariantes
Consecuencia inmediata de esa construcción de la representación del espacio en niños de edad temprana
es la introducción de una geometría que deja de estar uniformemente centrada en los aspectos métricos,
para diversificarse en otra serie de aspectos (topológicos, proyectivos y, por supuesto, métricos también)
que darán lugar a una consideración de los diversos tipos de geometría introducidos por las ideas
clasificatorias de Klein;) y desarrollados en las construcciones teóricas matemáticas. La escuela piagetiana
puso de manifiesto que los invariantes característicos de dichas geometrías aparecían en las primeras
representaciones espaciales del niño y por eso proponemos una línea didáctica que pase por la
construcción de un espacio representativo y desemboque en la introducción de los tres tipos de geometría
que se pueden detectar en la representación espacial del niño pequeño: la Geometría topológica la
Geometría proyectiva y la Geometría métrica.
Cada uno de estos tres tipos de geometría viene caracterizado por una serie de invariantes.
Los invariantes que caracterizan la Geometría topológica son:
 El tipo de lugar geométrico: abierto o cerrado, con la consiguiente determinación de distintas
regiones en el espacio: interior, exterior y frontera.
 Continuidad o discontinuidad del lugar geométrico.
3
La geometría, del griego geo (tierra) y métrica (medida), es una rama de la matemática que se ocupa de las
propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio (Geometría. (2010, 24) de febrero. Wikipedia, La
enciclopedia libre. Fecha de consulta: 15:46, marzo 2, 2010
desde http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometr%C3%ADa&oldid=34365836.)

32. El Espacio en la Educación Infantil
 Orden entre los elementos del lugar geométrico.
 Tipo de conexión entre los elementos del lugar geométrico.
 Tipo de compacidad del lugar geométrico.
Los principales invariantes que caracterizan la Geometría proyectiva son la orientación y la localización en
el espacio, invariantes que se traducen con términos como:
 delante‐detrás
 encima‐debajo
26
 sobre‐bajo
 derecha‐izquierda
 entre
 al lado
 enfrente
Los invariantes que caracterizan la Geometría métrica son:
 La medida de segmentos, superficies o volúmenes.
 La medida de los ángulos (la perpendicularidad, el paralelismo).
 La forma.
Hay que tener en cuenta, sin embargo, que la Geometría métrica comprende todos los invariantes de las
otras dos, y que la proyectiva comprende los invariantes topológicos, es decir, que la representación de una
figura en la Geometría métrica incluye sus características proyectivas o topológicas. Así mismo, la
representación de una figura en la Geometría proyectiva incluye sus características topológicas pero no así
sus características métricas. Por último, la representación de una figura en Geometría topológica tiene solo
en cuenta sus rasgos topológicos y no sus rasgos proyectivos o métricos.
Con todo y según lo expresado debemos tener en cuenta que, en la mente del niño, se desarrollan
simultáneamente los tres tipos de geometría, a pesar de la construcción matemática que implica esa
inclusión secuencial desde la Geometría métrica a la topológica. Por tanto, desde un punto de vista
pedagógico, es recomendable la propuesta indistinta de situaciones en que se introduzcan conceptos
topológicos métricos o proyectivos aunque nosotros optamos aquí por una presentación en apartados
separados, en aras de una mayor claridad expositiva.
¿Qué es la topología?
... Además de aquella parte de la geometría que trata sobre cantidades y que se ha estudiado en todo tiempo con gran
dedicación, el primero que mencionó la otra parte, hasta entonces desconocida, fue G. Leibniz, el cual la llamó geometría
de la posición. Leibniz determinó que esta parte se tenía que ocupar de la sola posición y de las propiedades provenientes de
la posición en todo lo cual no se ha de tener en cuenta las cantidades, ni su cálculo... Por ello, cuando recientemente se
mencionó cierto problema que parecía realmente pertenecer a la geometría, pero estaba dispuesto de tal manera que ni
precisaba la determinación de cantidades ni admitía solución mediante el cálculo de ellas, no dudé en referirlo a la
geometría de la posición...
L. Euler.
La topología es probablemente la más joven de las ramas clásicas de las matemáticas. En contraste con el
álgebra, la geometría y la teoría de los números, cuyas genealogías datan de tiempos antiguos, la topología
aparece en el siglo diecisiete, con el nombre de analysis situs, esto es, análisis de la posición.
De manera informal, la topología se ocupa de aquellas propiedades de las figuras que permanecen
invariantes, cuando dichas figuras son plegadas, dilatadas, contraídas o deformadas, de modo que no
aparezcan nuevos puntos, o se hagan coincidir puntos diferentes. La transformación permitida presupone,
en otras palabras, que hay una correspondencia biunívoca entre los puntos de la figura original y los de la

33. Matemáticas en la Educación Infantil Curso 2009/2010
transformada, y que la deformación hace corresponder puntos próximos a puntos próximos. Esta última
propiedad se llama continuidad, y lo que se requiere es que la transformación y su inversa sean ambas
continuas: así, trabajarnos con homeomorfismos.
El topólogo considera los mismos objetos que el geómetra, pero de modo distinto: no se fija en las
distancias o los ángulos, ni siquiera de la alineación de los puntos. Para el topólogo un círculo es
equivalente a una elipse; una bola no se distingue de un cubo: se dice que la bola y el cubo son objetos
topológicamente equivalentes, porque se pasa de uno al otro mediante una transformación continua y
reversible.
27
Se estudian tres teorías topológicas:
‐ la teoría de grafos, insistiendo en dos ejemplos clásicos, el problema de los siete puentes de
Könisberg y, el teorema de los cuatro colores que parecen un juego de niños, pero que involucran
en su resolución complicadas teorías matemáticas;
‐ la teoría de nudos, con sorprendentes aplicaciones en Biología Molecular, Física,...
‐ la teoría de superficies, apartado desarrollado con más rigor matemático que los anteriores: se
trata aquí de clasificar todas las superficies compactas... y clasificar es el objeto central de la
Topología.
La teoría de grafos
El estudio de grafos está ligado habitualmente a la topología. Un grafo es sencillamente un conjunto de
puntos, los vértices, algunos de los cuales están ligados entre ellos por medio de líneas, las aristas. La
naturaleza geométrica de estos arcos no tiene importancia, sólo cuenta la manera en la que los vértices
están conectados.
El problema de los siete puentes de Könisberg
En 1700, los habitantes de Könisberg (hoy en día Kaliningrado, Rusia),
se preguntaban si era posible recorrer esta ciudad pasando una vez y
sólo una por cada uno de los puentes sobre el río Pregel, y volviendo al
punto de partida. En aquella época, Könisberg tenía siete puentes (a,
b, c, d, e, f y g en la figura) uniendo las cuatro partes de la ciudad (A, B,
C y D) separadas por las aguas, y dispuestas como se indica:
En 1736 Euler probó que la respuesta era negativa, usando un grafo:
se dibujan sobre una hoja de papel cuatro vértices que simbolizan las
cuatro partes separadas de la ciudad, después se trazan entre estos vértices las aristas, simbolizando los
puentes:
Un grafo se llama conexo si existe un camino ligando cada par de vértices. Un camino
sobre un grafo se llama euleriano, si pasa por cada arista exactamente una vez. Un
circuito es un camino cerrado. El grado de un vértice es el número de aristas que llegan
al él.
El teorema de los cuatro colores
F. Guthrie (1831‐1899) plantea en 1852 la siguiente conjetura: para colorear cualquier mapa geopolítico
plano (suponiendo cada país formado por un único trozo), de tal modo que dos países con frontera común
sean de distinto color, basta (como máximo) con cuatro colores.