1. Statistika për ekonomiks dhe biznes
Ligjërata 4:
Treguesit e tendencës qendrore dhe kuartilet

2. Përmbajtja
 Treguesit përmbledhës
 Treguesit e tendencës qendrore
 Mesatarja aritmetike,
 Mediana,
 Moda,
 Mesatarja gjeometrike
 Kuartilet
 Llogaritja e këtyre treguesve
 Disa çështje etike

3. Treguesit përmbledhës
Përshkrimi numerik i të dhënave
Tendenca qendrore Kuartilet Variacioni Forma
Mesatarja aritmetike Rangu Animi
Mediana Rangu interkuartal
Moda Varianca
Mesatarja gjeometrike Devijimi standard
Mesatarja e ponderuar Koeficienti i variacionit
Për këtë do të flasim më vonë

4. Treguesit e tendencës qendrore
Tendenca qendrore
Mesatarja Mediana Moda Mesatarja
aritmetike gjeometrike
n
∑X i
X G = ( X1 × X 2 ×  × Xn )1/ n
X= i =1
Mesi i Vlera e
n
vlerave të vrojtuar më
renditura së shpeshti

5. Mesatarja aritmetike
 Mesatarja aritmetike është treguesi më i
përhapur i tendencës qendrore
 Për një mostër me madhësi n (pra me n
njësi):
Vlerat e vrojtuara
n
∑X i
X1 + X 2 +  + Xn
X= i=1
=
n n
Madhësia e mostrës
(numri i vrojtimeve)

6. Mesatarja aritmetike (2)
 Kur themi “mesatare”, i referohemi mesatares aritmetike
 Mesatarja aritmetike = shuma e vlerave e pjesëtuar me
numrin e vlerave
 Ndikohet shumë nga vlerat e ekstreme (skajshmërisht të
vogla apo të mëdha)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Mesatarja = 3 Mesatarja = 4
1 + 2 + 3 + 4 + 5 15 1 + 2 + 3 + 4 + 10 20
= =3 = =4
5 5 5 5

7. Mediana
 Në një varg numrash të renditur sipas madhësisë,
mediana është numri i “mesit” (50% të numrave janë nën
të, e 50% mbi të)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Median = 3 Median = 3
 Nuk ndikohet fare nga vlerat ekstreme
7

8. Gjetja e medianës
 Gjetja e medianës në një varg numrash të renditur sipas
madhësisë:
n +1
Pozicioni i Medianës = …në vargun e numrave
2
 Nëse numri i vlerave në varg është tek, mediana është numri i mesit
 Nëse numri i vlerave në varg është çift, mediana është mesatarja
(aritmetike) e dy numrave të mesit
n +1
Vërejtje: nuk është vlera e medianës, por vetëm pozita e
2
medianës në vargun e të dhënave të renditur sipas madhësisë

9. Moda
 Tregues i tendencës qendrore
 Është vlera që përsëritet më së shpeshti
 Nuk ndikohet nga vlerat ekstreme
 Mund të përdoret edhe për të dhëna numerike
edhe për kategorike
 Mund të ketë disa moda në të dhëna
 Por mund të mos ketë asnjë modë
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0 1 2 3 4 5 6
S’ka modë
Moda = 9

10. Shembull
 Pesë shtëpi në bregdet, në largësi të ndryshme nga
plazhi shiten me çmime të ndryshme:
$2,000 K
€ 2,000,000
$500 K
€ 500,000
$300 K
€ 300,000
€ 100,000
$100 K
€ 100,000
$100 K

11. Shembull (2):
Çmimet e shtëpive:
 Mesatarja: (€ 3,000,000/5)
= € 600,000
€ 2,000,000
€ 500,000
€ 300,000  Mediana: vlera që qëndron në
€ 100,000
€ 100,000 mes të vargut të dhënave të
Shuma € 3,000,000 rradhitur sipas madhësisë
= € 300,000
 Moda: vlera më e shpeshtë
= € 100,000
11

12. Cili tregues është “më i mirë”?
 Mesatarja përdoret në përgjithësi,
përveç nëse ka vlera ekstreme
(“skajshme”) në të dhënta
 Pastaj mediana përdoret shpesh, pasi
që nuk ndikohet vlerat ekstreme
 P.sh.: Mund të themi se mediana e
çmimeve të shtëpive në një rajon – më pak
e ndjeshme ndaj vlerave ekstreme
12

13. Kuartilet
 Kuartilet e ndajnë vargun e të dhënave (të
rradhitura sipas madhësisë) në 4 segmente me
numër të njëjtë të vlerave për çdo segment
25% 25% 25% 25%
Q1 Q2 Q3
 Kuartilja e parë, Q1, është vlera në krahasim me të cilën
25% të vlerave janë të të vogla, ndërsa 75% janë më të
mëdha
 Q2 është e njejtë sikur mediana (50% janë të të vogla, 50%
janë më të mëdha)
 Vetëm 25% të vlerave janë më të mëdha se kuartilja e tretë
(Q3)
13

14. Formulat e kuartileve
Kuartilet gjenden duke gjetur pozitën e duhur në
vargun e të dhënave të renditura sipas madhësisë, ku
 Pozita e kuartiles së parë: Q1 = (n+1)/4
 Pozita e kuartiles së dytë: Q2 = (n+1)/2 (pozicioni i medianës)
 Pozita e kuartiles së dytë: Q3 = 3(n+1)/4
ku n është numri i vlerave të vrojtuara
14

15. Kuartilet: shembull
 Shembull: Gjej kuartilen e parë
Të dhënat e renditura sipas madhësisë: 11 12 13 16 16 17 18 21 22
(n = 9)
Q1 është në (pozicionin (9+1)/4 = 2.5 të të dhënave të
renditura sipas madhësisë, kështu që është në mes numrit
të 2-të dhe të 3-të (të vargun të renditur sipas madhësisë),
pra Q1 = 12.5
Q1 dhe Q3 janë tregues të pozicionit joqendror
Q2 = mediana, është tregues i tendencës qendrore
15

16. Kuartilet: shembull (2)
 Shembull:
Të dhënat e renditura sipas madhësisë: 11 12 13 16 16 17 18 21 22
(n = 9)
 Q1 është në pozitën (9+1)/4 = 2.5 të vargut,
pra Q1 = 12.5
 Q2 është në pozitën (9+1)/2 = 5th të vargut,
pra Q2 = mediana = 16
 Q3 është në pozitën 3(9+1)/4 = 7.5 position të vargut,
pra Q3 = 19.5 16

17. Mesatarja gjeometrike
 Mesatarja gjeometrike
 Përdoret për të llogaritur normën e ndryshimit të
variablave gjatë kohës
XG = ( X1 × X 2 ×  × Xn ) 1/ n
 Mesatarja gjeometrike e normës së kthimit të
investimit
 Mat statusin e investimit gjatë kohës
R G = [(1 + R1 ) × (1 + R 2 ) ×  × (1 + Rn )] 1/ n
−1
 Ku Ri është norma e kthimit në periudhën i
17

18. Shembull
Vlera e investimit është ulur nga €100,000 në
€50,000 në fund të vitit të parë, dhe pastaj është
kthyer prap në €100,000 në fund të vitit të dytë:
X1 = €100,000 X2 = €50,000 X3 = €100,000
50% ulje 100% rritje
Kthimi i përgjithshëm gjatë dy viteve është zero, sepse
ka filluar dhe ka mbaruar në të njejtin nivel.
18

19. Shembull (2)
Përdor kthimin e vitit 1 për të llogaritur mesataren
aritmetike dhe atë gjeometrike:
Mesatarja ( −50%) + (100%)
aritmetike: X= = 25% Rezultat që dezinformon
2
Mesatarja R G = [(1 + R1 ) × (1 + R 2 ) ×  × (1 + Rn )]1/ n − 1
gjeometrike:
= [(1 + ( −50%)) × (1 + (100%))]1/ 2 − 1 Rezultat
më i
= [(.50) × (2)] 1/ 2
−1= 1
1/ 2
− 1 = 0% saktë
19

20. Treguesit numerikë për popullacionin
 Treguesit përmbledhës për popullacionin quhen parametera
 Mesatarja aritmetike e popullacion është shuma e vlerave të
popullacionit e pjesëtuar me madhësinë e popullacionit, N
N
∑X i
X1 + X 2 +  + XN
µ= i=1
=
N N
Ku μ = mesatarja aritmetike e popullacionit
N = madhësia e popullacionit
Xi = vlerat e variablës X për secilin element (i)
20

21. Disa çështje etike
Treguesit përshkrues numerik:
 Duhet të dokumentojnë edhe rezultatet “e mira”
edhe ato të “këqijat”
 Duhet të prezentohen në mënyrë të drejtë (fer),
objektive dhe neutrale
 Nuk duhet të përdoren tregues përmbledhës që
nuk janë të përshtatshëm për t’i paraqitur faktet
ndryshe nga ç’janë
21

22. Pyetje dhe Komente?
Chap 3-22