20081104 auctions nikolenko_lecture05

Îïòèìàëüíûå ìåõàíèçìû
Ýôôåêòèâíûå ìåõàíèçìû
AGV è budget balance

Îïòèìàëüíûå è ýôôåêòèâíûå ìåõàíèçìû

Ñåðãåé Íèêîëåíêî

Òåîðèÿ ýêîíîìè÷åñêèõ ìåõàíèçìîâ " ÈÒÌÎD âåñíà PHHV

Ñåðãåé Íèêîëåíêî Îïòèìàëüíûå è ýôôåêòèâíûå ìåõàíèçìû

Îïòèìàëüíûå ìåõàíèçìû Ââåäåíèå
Ýôôåêòèâíûå ìåõàíèçìû Àóêöèîí âòîðîé öåíû ñ ðåçåðâíîé öåíîé
AGV è budget balance Îáùàÿ ïîñòàíîâêà: äîõîä ïðîäàâöà

Outline

1 Îïòèìàëüíûå ìåõàíèçìû
Ââåäåíèå
Àóêöèîí âòîðîé öåíû ñ ðåçåðâíîé öåíîé
Îáùàÿ ïîñòàíîâêàX äîõîä ïðîäàâöà

2 Ýôôåêòèâíûå ìåõàíèçìû
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è
Ìåõàíèçì †gq

3 eq† è ˜udget ˜—l—n™e
Ìåõàíèçì eq†
fudget ˜—l—n™e ó õîðîøèõ ìåõàíèçìîâ



Ýôôåêòèâíûå è îïòèìàëüíûå ìåõàíèçìû

Ìû áû õîòåëèD ÷òîáû ìåõàíèçì áûë õîðîøèìF
Äëÿ êîãî îí ìîæåò áûòü õîðîøèìc Êàêèå âû ìîæåòå
ïðèäóìàòü ñìûñëû äëÿ ýòîãî ñëîâàc




ÌåõàíèçìD õîðîøèé äëÿ àãåíòîâ " ýôôåêòèâíûé
ìåõàíèçìF
Îí ìàêñèìèçèðóåò so™i—l welf—re " ñóììàðíûé äîõîä âñåõ
àãåíòîâF




Äëÿ ïðÿìîãî ìåõàíèçìà (Q , M ) ïðàâèëî ðàñïðåäåëåíèÿ Q
ýôôåêòèâíî D åñëè

∀x Q (x ) ∈ argmaxQ Qj xj .
j =1..N
Èíà÷å ãîâîðÿD îáúåêò äîñòà¼òñÿ òîìóD êîìó îí
äåéñòâèòåëüíî áîëüøå âñåãî íóæåíF




À ìîæåò áûòü ýôôåêòèâíûì äëÿ ïðîäàâöàF
Ýòî çíà÷èòD ÷òî íóæíî ìàêñèìèçèðîâàòü îæèäàåìûé äîõîäF
Òàêèå ìåõàíèçìû íàçûâàþòñÿ îïòèìàëüíûìèF




Äëÿ îïòèìàëüíîãî ìåõàíèçìà íóæíî ìàêñèìèçèðîâàòü
N
E (R ) = E [mi (Xi )],
i =1
ãäå mi (Xi ) " âûïëàòà àãåíòà i @Xi " åãî ðàñïðåäåëåíèåAF



Íàøè ïëàíû

Ìû ñåé÷àñ ðàññìîòðèì îïòèìàëüíûå ìåõàíèçìûF
Íà÷í¼ì ñ ïðèìåðàD à ïîòîì áóäåì ñòðîèòü áîëåå îáùèå
êîíñòðóêöèèF
À â ñëåäóþùåì ðàçäåëå çàéì¼ìñÿ ýôôåêòèâíûìèF



×òî ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü

Çäåñü ìû ðàññìàòðèâàåì ïðÿìûå ìåõàíèçìûD â êîòîðûõ ó
êàæäîãî àãåíòà ïðîñòî ñïðàøèâàþò åãî òèïF
Áîëåå òîãîD ìû îãðàíè÷èìñÿ ñèòóàöèåé àóêöèîíàD â
êîòîðîì ïðîäàþò îäíó âåùü @îäèí ëîò àóêöèîíàAF
Ìíîæåñòâî òèïîâ àãåíòà " ìíîæåñòâî [H, ωi ] âîçìîæíûõ
öåííîñòåéF
x X
Öåííîñòü i D âçÿòàÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ i D îñòà¼òñÿ
ñêðûòîéD èçâåñòíîé òîëüêî àãåíòó F i
Ïðè íà÷àëå àóêöèîíà àãåíò ïîäà¼ò íåêîòîðóþ ñòàâêó i F b



×òî ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü

Ïðÿìîé ìåõàíèçì ïîëíîñòüþ îïèñûâàåòñÿ äâóìÿ
ïàðàìåòðàìèX ïðàâèëîì ðàñïðåäåëåíèÿ Q è ïðàâèëîì
âûïëàòû M F
Â ñëó÷àå àóêöèîíà ñ îäíîé âåùüþ Q : B → I.. D à N
B B
M : B → RN D ãäå B = 1 × . . . × N " ìíîæåñòâî
âîçìîæíûõ âåêòîðîâ ñòàâîê àãåíòîâF
N
Ïðàâèëî Q îïðåäåëÿåòD êàêîé èç àãåíòîâ ïîëó÷èò
ïðîäàâàåìóþ âåùüD à ïðàâèëî M îïðåäåëÿåòD ñêîëüêî
êàæäûé àãåíò ïðè ýòîì çàïëàòèò àóêöèîíåðóF




Äàâàéòå îïÿòü ðàññìîòðèì àóêöèîí âòîðîé öåíû @îí æå
àóêöèîí ÂèêðèAF
Íî íà ýòîò ðàç ñäåëàåì îäíó ìîäèôèêàöèþX äîáàâèì
òàêóþ ðåçåðâíóþ öåíó r D ÷òîX
âûèãðàâøèé àãåíò ïëàòèò ìàêñèìóì ìåæäó âòîðîé ñòàâêîé
r
è Y
r
åñëè âñå ñòàâêè íèæå D ïðîäàâåö îñòàâëÿåò òîâàð ñåáåF
Ðåçåðâíàÿ öåíà " ìèíèìàëüíàÿD ïî êîòîðîé ïðîäàâåö
ñîãëàñåí ðàññòàòüñÿ ñ òîâàðîìF



Ñòðàòåãèè è âûïëàòû

ÂîEïåðâûõD ñòðàòåãèè íå èçìåíÿòñÿ " ïîEïðåæíåìó
äîìèíàíòíàÿ ñòðàòåãèÿ â òîìD ÷òîáû ãîâîðèòü ïðàâäó
@ïðîâåðüòå3AF
ÂîEâòîðûõD êàê èçìåíÿòñÿ âûïëàòûc Ðàíüøå áûëà âûïëàòà
x
m(x ) = yg (y )dy ,
0

gx
ãäå ( ) = ( N − I)f (x )F (x )N −2F
×òî áóäåò òåïåðüc



Âûïëàòà â àóêöèîíå ñ ðåçåðâíîé öåíîé

r
Òåïåðü òîòD êòî ñòàâèò D îæèäàåò çàïëàòèòü ïðîñòî rG (r )
r
@ìåíüøå íå áûâàåòAF
r
À òîòD êòî ñòàâèò áîëüøå D îæèäàåò çàïëàòèòü
x
m(x , r ) = rG (r ) + yg (y )dy .
r



Àóêöèîí ïåðâîé öåíû ñ ðåçåðâíîé öåíîé

Íåìíîæêî îòâëå÷¼ìñÿ è åù¼ ðàç ïðîèëëþñòðèðóåì
ïðèíöèï ýêâèâàëåíòíîñòè äîõîäíîñòèF
Â àóêöèîíå ïåðâîé öåíû àíàëèç áóäåò òî÷íî òàêèì æåD êàê
ðàíüøåD òîëüêî òåïåðü ó÷àñòíèê ñ öåííîñòüþ < âîîáùå x r
íå áóäåò ó÷àñòâîâàòüD è îñòàíåòñÿ

x
β( ) = E [m—x{ Y1, r }|Y1 < x ]



Àóêöèîí ïåðâîé öåíû ñ ðåçåðâíîé öåíîé

Â àóêöèîíå ïåðâîé öåíû àíàëèç áóäåò òî÷íî òàêèì æåD êàê
ðàíüøåD òîëüêî òåïåðü ó÷àñòíèê ñ öåííîñòüþ < âîîáùå x r
íå áóäåò ó÷àñòâîâàòüD è îñòàíåòñÿ

x
β( ) = E [m—x{ Y1, r }|Y1 < x ] =
=r
G (r ) + I x yg (y )dy
G (x ) G (x ) r
Gx
Óìíîæàÿ íà ( )D ïîëó÷èì òó æå ñàìóþ äîõîäíîñòü @òó æå
âûïëàòó äëÿ àãåíòà AF i



Äîõîäíîñòü

ÍîD õîòü äîõîäíîñòü è îäèíàêîâàÿ ó äâóõ àóêöèîíîâD ìîæåò
áûòüD îíà èçìåíèëàñü ïî ñðàâíåíèþ ñ àóêöèîíàìè áåç
ðåçåðâíîé öåíûc
ω
E [m(X , r )] = m(x , r )f (x )dx =
r
ω x
= rG (r ) + yg (y )dy f (x )dx =
r r
ω
= rG (r )(I − F (r )) + y (I − F (y ))g (y )dy .
r
@ìû ìåíÿëè ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ âî âòîðîì
ñëàãàåìîìAF



Êàê ìàêñèìèçèðîâàòü?

Êàê ïðîäàâöó ìàêñèìèçèðîâàòü äîõîäíîñòüc
x
Îáîçíà÷èì ÷åðåç 0 åãî ñîáñòâåííóþ öåííîñòü îáúåêòà @âî
ñêîëüêî îí îöåíèâàåò òîò ôàêòD ÷òî îáúåêò îñòàíåòñÿ ó
íåãîAF
Òîãäà åãî îáùèé äîõîä îò ðåçåðâíîé öåíû r ïîëó÷àåòñÿ êàê
Π0 = N E [m(X , r )] + F (r )N x0.




Π0 = N E [m(X , r )] + F (r )N x0.
Íàäî ìàêñèìèçèðîâàòüY ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî X r
d Π0 = N (I − F (r ) − rf (r ))G (r ) + NG (r )f (r )x .
dr 0



Ôóíêöèÿ ðèñêà

Â ñòàòèñòèêå åñòü òàêàÿ ôóíêöèÿ ðèñêàX
λ(x ) =
f (x ) .
I − F (x )

Îíà ïîêàçûâàåòD ãðóáî ãîâîðÿD ìãíîâåííóþ âåðîÿòíîñòü
¾ñìåðòè¿F
F
Åñëè " âåðîÿòíîñòü òîãîD ÷òî ñîáûòèå ñëó÷èòñÿ äî
x x
âðåìåíè D òî λ( ) " ìãíîâåííàÿ âåðîÿòíîñòü òîãîD ÷òî
ñîáûòèå ñëó÷èòñÿ âî âðåìÿ x ïðè óñëîâèè
D ÷òî ðàíüøå íå
ñëó÷èëîñüF



Ôóíêöèÿ ðèñêà

Ïðè x → ω λ(x ) → ∞F
Ìîæíî âûðàçèòü è íàîáîðîòX

x d
−λ( ) =
dx ln(I − F (x )), çíà÷èò,
F (x ) = I − e − 0 λ(t )dt .
x




Â òåðìèíàõ ôóíêöèè ðèñêà ïîëó÷àåòñÿ

d Π0 = N (I − (r − x )λ(r ))(I − F (r ))G (r ).
dr 0

ÒFåF ïðè x0 > H ddr 0 â x0 ïîëîæèòåëüíàD òFåF ïðîäàâöó
Π

âûãîäíî óñòàíîâèòü ðåçåðâíóþ öåíó r > x0 F
Ïðè x0 = H òîæå âûãîäíî @ïðîâåðüòåAF Èíà÷å ãîâîðÿD
ðåçåðâíàÿ öåíà äîëæíà áûòü âûøå öåííîñòè ïðîäóêòà äëÿ
ïðîäàâöàF




d Π0 = N (I − (r − x )λ(r ))(I − F (r ))G (r ).
dr 0
À ìàêñèìóì ïîëó÷èòñÿD åñëè

r x0)λ(r ) = I,
( − èëè r ∗ − λ(I∗) = x0.
r



Ïðèìåð

Ïîäñ÷èòàåì îïòèìàëüíóþ ðåçåðâíóþ öåíó äëÿ
ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ öåííîñòåé àãåíòîâ íà [H, I]F
Íóæíî íàéòè îæèäàåìûé äîõîä ó ïðîäàâöà â îáîèõ
ñëó÷àÿõF
ÂîEïåðâûõD ïîñêîëüêó öåííîñòè ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû
íà [H, I]D
Fx
( )= , x fx
( ) = I.



Ïðèìåð

Ýòî çíà÷èòD ÷òî

x f (x ) = I .
I − F (x ) I−x
λ( ) =

Ïîäñ÷èòàåì îïòèìàëüíóþ ðåçåðâíóþ öåíó r ∗X
x0 = r ∗ − λ(I∗) = Pr ∗ − I.
r
Ïóñòü x0 = HD òîãäà r ∗ = 1 " èñêîìàÿ ðåçåðâíàÿ öåíàF
2



Ïðèìåð

Íàéä¼ì òåïåðü îæèäàåìûé äîõîä ïðîäàâöàX
1
Π0 = NrG (r ) Fr
I− ( ) + y F y g (y )dy + F (r )N x0.
I− ( )
r
Ïîñêîëüêó G (x ) = x N D à çíà÷èòD g (x ) = Nx N −1D
N2 Nr N +1 − PNr N +2 .
(N + I)(N + P) N +I N +P
Π0 = +



Ïðèìåð

ÑëåäîâàòåëüíîD îæèäàåìûé äîõîä ïðîäàâöà áåç ðåçåðâíîé
r
öåíû @ = HA ðàâåí (N +1N N +2) F
2
)(
À ïðè ðîñòå ðåçåðâíîé öåíû îæèäàåìûå äîõîäû ïîíåìíîãó
ðàñòóòD äîñòèãàÿ ìàêñèìóìà ïðè = 1 F
2 r



Ïëàòà çà ó÷àñòèå

Âìåñòî ðåçåðâíîé öåíû ìîæíî ââåñòè ïëàòó çà ó÷àñòèåF
r
Ðåçåðâíàÿ öåíà îòñåêàåò ó÷àñòíèêîâ ñ öåííîñòÿìè x < rF
Òî æå ñàìîå ïîëó÷èòñÿD åñëè çàñòàâèòü ¾çà âõîä¿
çàïëàòèòü r
= e ( ) , G y dy
0
òFåF îæèäàåìûé äîõîä ó÷àñòíèêà ñ öåííîñòüþ ðîâíî F r
Íî ýòî âåðíîD òîëüêî åñëè àãåíòû íåéòðàëüíû ê ðèñêóF



Îáùàÿ ïîñòàíîâêà

Òåïåðü âåðí¼ìñÿ ê íàøåé áîëåå îáùåé ñèòóàöèèF
Äëÿ ïðÿìîãî ìåõàíèçìà (Q , M ) ìû ìàêñèìèçèðóåì
N
E (R ) = E [mi (Xi )],
i =1
ãäå mi (Xi ) " âûïëàòà àãåíòà i @Xi " åãî ðàñïðåäåëåíèåAF
Äàâàéòå ýòî ÿâíî ïîäñ÷èòàåìF



Âñïîìíèì îáîçíà÷åíèÿ

qi (zi ) " îæèäàåìàÿ äîõîäíîñòü àãåíòà i D êîãäà îí ãîâîðèò
zi D à îñòàëüíûå ãîâîðÿò ïðàâäóX
qi (zi ) = Qi (zi , x −i )f−i (x −i )dx −i .
X−i

mi (zi ) " îæèäàåìàÿ âûïëàòà àãåíòà i X
mi (zi ) = Mi (zi , x −i )f−i (x −i )dx −i .
X−i



Âûâîä îæèäàåìîãî äîõîäà ïðîäàâöà

ωi
E [mi (Xi )] = mi (xi )fi (xi )dxi =
0
ωi ωi x
mi (H) + qi (xi )xi fi (xi )dxi − qi (ti )fi (xi )dti dxi .
i

=
0 0 0

Ïîìåíÿåì ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿX
ωi x ωi ωi
qi (ti )fi (xi )dti dxi = qi (ti )fi (xi )dxi dti =
i

0 0 0 t i

ωi
= F t q t dt
(I − i ( i )) i ( i ) i .
0




ωi
E [mi (Xi )] = mi (xi )fi (xi )dxi =
0
ωi ωi x
mi (H) + qi (xi )xi fi (xi )dxi − qi (ti )fi (xi )dti dxi .
i

=
0 0 0

Èòîãî @âñïîìíèì îïðåäåëåíèå i AX q
xi − I − (Fxi ()xi ) qi (xi )fi (xi )dxi =
ωi
E [mi (Xi )] = mi (H)+
0 fi i
= xi − I − (Fxi ()xi ) Qi (x )f (x )d x .
fi i
X




Èòîãî äîõîä ïðîäàâöà ïîëó÷àåòñÿ êàê

N
E [R ] = E [mi (Xi )] =
i =1
N N
= mi (H) + xi − I − (Fxi ()xi ) Qi (x )f (x )d x .
f
i =1 i =1 X i i

Åãî íóæíî îïòèìèçèðîâàòü ïðè ñëåäóþùèõ óñëîâèÿõX
ïðàâäèâîñòüD ÷òî ðàâíîñèëüíî íåóáûâàíèþ i Y q
ðàöèîíàëüíîñòüD ÷òî ðàâíîñèëüíî i (H) ≤ HF m



Âèðòóàëüíûå öåííîñòè

Ìû ââåä¼ì ïîíÿòèå âèðòóàëüíîé öåííîñòè ïðåäìåòà äëÿ
i
àãåíòà X
I − Fi (xi )
ψi (xi ) = xi −
fi (xi ) .
Êàê äîêàçàòüD ÷òî E [ψi (Xi )] = Hc



Âèðòóàëüíûå öåííîñòè

ÏåðåïèøåìX

E [ψi (Xi )] = E (Xi ) −
F x
I − i( i)
Xi
f x f x dx
i( i)
( i) i =

= E (Xi ) − (I − Fi (xi )) dxi .
X i

Ðàññìîòðèì òåïåðü îòäåëüíî èíòåãðàë ñïðàâàD ïîìåíÿâ
ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿX
ωi ωi ωi
F x dxi =
(I − i ( i )) fi (y )dy dxi =
0 0 x i

ωi y ωi
= dxi fi (y )dy = fi (y )ydy = E (Xi ).
0 0 0



Ðåãóëÿðíûå çàäà÷è

Çàäà÷à äèçàéíà ìåõàíèçìîâ íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíîé
D åñëè
i
äëÿ âñåõ ψi ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòàþùåé ôóíêöèåé îò i F x
Ýòî ýêâèâàëåíòíî òîìóD ÷òî ôóíêöèÿ ðèñêà λi âîçðàñòàåòD
òFêF
I
x
ψi ( i ) = i − x
λi ( i )
.
x
Â äàëüíåéøåì áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ðåãóëÿðíûå
çàäà÷èF



Ïîñìîòðèì íà ôóíêöèþ âíèìàòåëüíî

Ïîñìîòðèì íà íàøó ôóíêöèþ âíèìàòåëüíîX
N N
mi (H) + x Q f dx.
ψi ( i ) i (x ) (x )
i =1 i =1 X
Äàâàéòå ïîêà ñêîíöåíòðèðóåìñÿ íà ïîäûíòåãðàëüíîì
âûðàæåíèèX
N
x Q
ψi ( i ) i (x ).
i =1



Ïîñìîòðèì íà ôóíêöèþ âíèìàòåëüíî

Äàâàéòå ïîêà ñêîíöåíòðèðóåìñÿ íà ïîäûíòåãðàëüíîì
âûðàæåíèèX
N
x Q
ψi ( i ) i (x ).
i =1
Q ïîõîæà íà âåñîâóþ ôóíêöèþD âçâåøèâàþùóþ ψi F
Ðåçîííî áûëî áû äàòü ìàêñèìàëüíûé âåñ ìàêñèìàëüíîìó
ψi @åñëè îí ïîëîæèòåëüíûéAD à íà îñòàëüíûå ïëþíóòüF
Ýòî áû ìàêñèìèçèðîâàëî ôóíêöèþ â êàæäîé òî÷êå D
çíà÷èòD è èíòåãðàë òîæåF
Ýòî è áóäåò èäååé êîíñòðóêöèèD íî ìû åù¼ íå ó÷èòûâàëè
îãðàíè÷åíèÿ @ïðàâäèâîñòü è ðàöèîíàëüíîñòüAF



Êîíñòðóêöèÿ îïòèìàëüíîãî ìåõàíèçìà

Ðàññìîòðèì ïðÿìîé ìåõàíèçì (Q , M )D â êîòîðîìX
Q ðàñïðåäåëÿåò îáúåêò ïîêóïàòåëþ i ñ ïîëîæèòåëüíîé
x x
âåðîÿòíîñòüþ i' ψi ( i ) = m—xj =1..N ψj ( j )X

Qi (x ) > H i' ψi (xi ) = j =1..N ψj (xj ) ≥ H.
m—x

ïëàòà M ðàâíà
x
Mi (x ) = Qi (x )xi − Qi (zi , x −i )dzi .
i

0

Ìû ñåé÷àñ äîêàæåìD ÷òî ýòî è åñòü îáåùàííûé
îïòèìàëüíûé ìåõàíèçì @åñëè çàäà÷à ðåãóëÿðíàAF



Ïðàâäèâîñòü

m—x
x
i

0

z x
Ïóñòü i < i F ÒîãäàD ïî ðåãóëÿðíîñòèD ψi ( i ) < ψi ( i )D èDz x
Q z Q z
çíà÷èòD äëÿ âñåõ x −i i ( i , x −i ) ≤ i ( i , x −i )F
q
Çíà÷èòD i íåóáûâàþùàÿD òFåF ìåõàíèçì ïðàâäèâûéF



Ðàöèîíàëüíîñòü

m—x
x
i

0

M
Î÷åâèäíîD ÷òî i (H, x −i ) = HD çíà÷èòD mi (H) = HD è
ìåõàíèçì ðàöèîíàëüíûéF



Èòîãî

m—x
x
i

0

Ýòî ðàöèîíàëüíûé ïðàâäèâûé ìåõàíèçìF
Îí îïòèìàëåíD òFêF ìàêñèìèçèðóåò êàæäîå èç äâóõ
ñëàãàåìûé ôîðìóëû äîõîäà ïî îòäåëüíîñòèF



Åãî ñâîéñòâà

ÂîEïåðâûõD ìàêñèìàëüíûé äîõîä ïîëó÷àåòñÿ ïî ïðîñòîé
ôîðìóëåX

R
m—x E [ ] = E [m—x{ψ1 ( X1), . . . , ψN (XN ), H}].
Äðóãîé âîïðîñX ñêîëüêî @èíòóèòèâíîA ïëàòèò ïîáåäèòåëüc




Ðàññìîòðèì íîâóþ ôóíêöèþ

yi (x −i ) = inf {zi | ψi (zi ) > H è ∀j = i ψi (zi ) ≥ ψj (xj )}.
ÒFåF ýòî ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ñòàâêè èãðîêà i D êîòîðîå
âûèãðûâàåò ó âñåõ îñòàëüíûõF
Òîãäà îïðåäåëåíèå Q áóäåò òàêèìX

Qi (zi , x −i ) = I, zi > yi (x −i ),
H, zi < yi (x −i ).




ÌîæíîD çíà÷èòD è èíòåãðàë ïîñ÷èòàòüX

Qi (zi , x −i )dzi = xi − yi (x −i ), xi > yi (x −i ),
x i

0 H, xi < yi (x −i ).
Çíà÷èòD

Mi (x ) = yi (x −i ), xi > yi (x −i ),
H, xi < yi (x −i ).




Òî åñòü òîëüêî ïîáåäèòåëü ÷òîEòî ïëàòèòD è îí ïëàòèò
ìèíèìàëüíóþ ñòàâêóD êîòîðàÿ îáåñïå÷èâàåò åìó âûèãðûøF
Ýòî â òî÷íîñòè îñíîâíîé ïðèíöèï àóêöèîíà âòîðîé öåíûF
Ìû òîëüêî ÷òî äîêàçàëèD ÷òî îí îïòèìàëåíF Òî÷íååD îí ñ
ðåçåðâíîé öåíîéF



Åù¼ ðàç îáùèé ðåçóëüòàò

Òåîðåìà
Äëÿ ðåãóëÿðíîé çàäà÷è äèçàéíà ìåõàíèçìîâ ìåõàíèçì (Q , M ),
ãäå
Qi (x ) = I, ψi (xi ) ≥ m—xj =i ψj (xj ) è ψi (xi ) ≥ H,
H, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå,

Mi (x ) = yi (x −i ), x x è ψi (xi ) ≥ H,
ψi ( i ) ≥ m—xj =i ψj ( j )
H, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ,
ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì.



Ñèììåòðè÷íûé ñëó÷àé

f
Ïóñòü âñå i ðàâíû @àãåíòû ñèììåòðè÷íûAF Òîãäà âñå
ψi = ψF
È ïîëó÷àåòñÿD ÷òî

yi (x −i ) = m—x x
m—x j , ψ−1 (H) .
j =i
Òî åñòü ïîëó÷àåòñÿ â òî÷íîñòè àóêöèîí âòîðîé öåíû ñ
r
ðåçåðâíîé öåíîé = ψ−1 (H)F
Êàêèì áóäåò ψ−1 (H) äëÿ ðàâíîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé íà
[H, I]c


Îïòèìàëüíûå ìåõàíèçìû Ïîñòàíîâêà çàäà÷è
Ýôôåêòèâíûå ìåõàíèçìû Ìåõàíèçì VCG

Outline

Ââåäåíèå





Ñóòü

Ìû íàó÷èëèñü ìàêñèìèçèðîâàòü äîõîä ïðîäàâöàF
Òåïåðü äàâàéòå ñòàíåì àëüòðóèñòàìè è áóäåì
ìàêñèìèçèðîâàòü so™i—l welf—reF
Òî åñòü áóäåì ïûòàòüñÿ ðàñïðåäåëèòü âåùü òîìóD êîìó îíà
áîëüøå âñåãî íðàâèòñÿF



Îïòèìàëüíûé àóêöèîí íåýôôåêòèâåí

Ìû óæå çíàåìD ÷òî àóêöèîí âòîðîé öåíû @áåç ðåçåðâíîé
öåíûA ýôôåêòèâåíF
À âîòD íàïðèìåðD îïòèìàëüíûé àóêöèîíD êîòîðûé ìû
òîëüêî ÷òî ðàññìàòðèâàëèD ìîæåò îêàçàòüñÿ è
íåýôôåêòèâíûìF
ÂîEïåðâûõD ðåçåðâíàÿ öåíà àâòîìàòè÷åñêè ïðåäïîëàãàåòD
÷òî èíîãäà îáúåêò íèêîìó íå äîñòàíåòñÿD äàæå åñëè åñòü
ïîëîæèòåëüíûå ñòàâêèF
ÂîEâòîðûõD ìàêñèìèçèðóåòñÿ âèðòóàëüíàÿ
öåííîñòüY åñëè
ðàñïðåäåëåíèÿ íåñèììåòðè÷íûåD òî ýòî âîâñå íå
ýêâèâàëåíòíî ìàêñèìèçàöèè ñàìèõ i F x



Îïðåäåëåíèå

Ìû ñåé÷àñ áóäåì îáîáùàòü àóêöèîí âòîðîé öåíûF
x
ÂîEïåðâûõD ÷óòü îáîáùèì X X îí òåïåðü áóäåò i ∈ [αi , ωi ]D
÷òîáû ðàçðåøèòü îòðèöàòåëüíûå öåííîñòèF

Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Q ∗ íàçûâàåòñÿ ýôôåêòèâíîé, åñëè îíà
ìàêñèìèçèðóåò social welfare, ò.å. ∀x ∈ X
N
Q (x ) ∈ argmaxQ
∗
Qj xj .
j =1




N
Q ∗ (x ) ∈ argmaxQ Qj xj .
j =1

Òî åñòü ïðîñòî äà¼ì âåùü àãåíòó ñ ìàêñèìàëüíîé
öåííîñòüþ @åñëè íåò íè÷üèõAF
Ýôôåêòèâíûé ìåõàíèçì " ìåõàíèçì ñ ýôôåêòèâíîé
ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿF




N
Q ∗ (x ) ∈ argmaxQ Qj xj .
j =1

È åù¼ îäíî îáîçíà÷åíèå " åñëè Q ∗ óæå ýôôåêòèâíàD òî
ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç W
çíà÷åíèå ýòîãî ñàìîãî so™i—l
welf—reX
N
W (x ) = Qj∗(x )xj , W−i (x ) = Qj∗(x )xj .
j =1 j =i



Èñòîðèÿ

†gq " ýòî ÂèêðèEÊëàðêEÃðîóâñ @†i™kreyEgl—rkeEqrovesAF
Ýòî íå ñîâìåñòíàÿ ðàáîòàD à òðè ðàçíûõX
†i™krey @IWTIA " âûäâèíóë èäåþ àóêöèîíà âòîðîé öåíûY
gl—rke @IWUIA " ïðåäëîæèë àíàëîãè÷íûé ìåõàíèçì â
êîíòåêñòå pu˜li™ goodsY
qroves @IWUQA " âñ¼ îáîáùèë è ñôîðìóëèðîâàëF




Ìåõàíèçì VCG (Vickrey-Clarke-Groves) ýòî ýôôåêòèâíûé
ìåõàíèçì ñ ïðàâèëîì ïëàòåæà MV : X → RN :
MiV (x ) = W (αi , x −i ) − W−i (x ).
Îí ýôôåêòèâíûéD òFåF ïðàâèëî ðàñïðåäåëåíèÿ Q óæå
çàäàíîX
N
Q (x ) ∈ argmaxQ
∗
Qj xj .
j =1




MiV (x ) = W (αi , x −i ) − W−i (x ).
MiV (x ) ýòî ðàçíèöà ìåæäó îáùèì welf—re ïðè
íàèìåíüøåé âîçìîæíîé ñòàâêå àãåíòà i è welf—re âñåõ
îñòàëüíûõ àãåíòîâ ïðè òåêóùåé ñòàâêåF
Òî åñòüD ãðóáî ãîâîðÿD íàñêîëüêî àãåíò ñóììàðíî ñäåëàë
õóæå äðóãèìF




MiV (x ) = W (αi , x −i ) − W−i (x ).
Â êîíòåêñòå àóêöèîíîâ αi = HD è ïîëó÷àåòñÿ â òî÷íîñòè
àóêöèîí âòîðîé öåíû @ïðîâåðüòå3AF



Ïðàâäèâîñòü

Åñëè äðóãèå àãåíòû ãîâîðÿò x −i D òî ïðèáûëü àãåíòà i îò
ñòàâêè i z
N
Q ∗(zi , x −i )xi − MiV (zi , x −i ) = Qj∗(zi , x −i )xj − W (αi , x −i ).
j =1
z
Âû÷èòàåìîå îò íå çàâèñèòD à óìåíüøàåìîå ïî
îïðåäåëåíèþ Q ∗ ìàêñèìèçèðóåòñÿD êîãäà ãîâîðèò ïðàâäóF i
Çíà÷èòD àóêöèîí †gq ïðàâäèâF



Ðàöèîíàëüíîñòü

Ìû ìíîãî óæå ñâîéñòâ çíàåì ó ïðàâäèâûõ ìåõàíèçìîâF Â
÷àñòíîñòèD îæèäàåìàÿ äîõîäíîñòü

UiV (xi ) = E [W (xi , X −i ) − W (αi , X −i )]
áóäåò âîçðàñòàþùåé è âûïóêëîé ôóíêöèåéF
U V
i (αi ) = H èD ïî ìîíîòîííîñòèD ìû ïîëó÷àåìD ÷òî †gq
ðàöèîíàëåíF



Ìàêñèìàëüíàÿ ýôôåêòèâíîñòü

Ðàññìîòðèì òåïåðü äðóãîé êàêîéEíèáóäü ýôôåêòèâíûé
ìåõàíèçìD êîòîðûé òîæå ïðàâäèâF
ÒîãäàD ïî ïðèíöèïó ýêâèâàëåíòíîñòè äîõîäíîñòèD åãî
U U
äîõîäíîñòü i îòëè÷àåòñÿ îò iV íà êîíñòàíòóF
U U
Íî åñëè i (αi ) iV (αi ) = HD òî ìåõàíèçì áóäåò
i
íåðàöèîíàëüíûì @ó àãåíòà ñ öåííîñòüþ αi îòðèöàòåëüíàÿ
îæèäàåìàÿ äîõîäíîñòüAF
U z U z
Çíà÷èòD i ( ) iV ( )D òFåF äðóãîé ìåõàíèçì áîëüøå äà¼ò
àãåíòàìY ïðè îäèíàêîâîì ðàñïðåäåëåíèè Q ∗ ýòî çíà÷èòD
÷òî àãåíòû ïëàòÿò ìåíüøåF



Òåîðåìà

Òåîðåìà
Ñðåäè âñåõ ìåõàíèçìîâ, êîòîðûå ðàñïðåäåëÿþò îäèí îáúåêò è
ÿâëÿþòñÿ ýôôåêòèâíûìè, ïðàâäèâûìè è ðàöèîíàëüíûìè,
ìåõàíèçì VCG ìàêñèìèçèðóåò îæèäàåìûå âûïëàòû êàæäîãî
àãåíòà.



Îáñóæäåíèå

Òåîðåìà
àãåíòà.
Íà ñàìîì äåëå äàæå ìàêñèìèçèðóÿ âûïëàòûD †gq âñ¼
ðàâíî íå ìîæåò äîáèòüñÿ òîãîD ÷òîáû áàëàíñ ñõîäèëñÿF
Ìû ñåé÷àñ ðàññìîòðèì äðóãîé àëãîðèòìD â í¼ì áàëàíñ
áóäåò ñõîäèòüñÿD íî íå áóäåò ðàöèîíàëüíîñòèF



Îáñóæäåíèå

Òåîðåìà
àãåíòà.
Íî çàòî ýòà òåîðåìà ïîìîæåò íàì ïîíÿòüD à áûâàåò âîîáùå
òàêD ÷òî áàëàíñ ñõîäèòñÿF



Âû÷èñëèòåëüíàÿ ýôôåêòèâíîñòü

Åù¼ íóæíî ïîíèìàòüD ÷òî ìåõàíèçì †gqD ïðè âñåõ ñâîèõ
õîðîøèõ ñâîéñòâàõD ìîæåò îêàçàòüñÿ ñîâåðøåííî
íåðåàëèñòè÷åíF
Íàäî ðåøàòü ñëîæíóþ çàäà÷ó îïòèìèçàöèèF Ìîæíî ëè ýòî
ñäåëàòü áûñòðîc Êîãäà êàêF
Çàäà÷à ñäåëàòü âû÷èñëèòåëüíî ýôôåêòèâíûé ìåõàíèçìD
òFåF ìåõàíèçìD êîòîðûé áûD íàïðèìåðD ðàáîòàë
ïîëèíîìèàëüíî äîëãîD ýòî ñîâñåì äðóãàÿ çàäà÷àF
Àíàëîãè÷íî äëÿ îïòèìàëüíûõ ìåõàíèçìîâF


Îïòèìàëüíûå ìåõàíèçìû Ìåõàíèçì AGV
Ýôôåêòèâíûå ìåõàíèçìû Budget balance ó õîðîøèõ ìåõàíèçìîâ

Outline

Ââåäåíèå





Budget balance

Ìû áû õîòåëèD ÷òîáû ó íàøèõ ìåõàíèçìîâ ñõîäèëñÿ
áàëàíñ @˜udget ˜—l—n™e propertyAF
Èíà÷å ãîâîðÿD ÷òîáû îíè ìîãëè ñóùåñòâîâàòü áåç âíåøíèõ
âëèâàíèéF
Ôîðìàëüíî ýòî âûðàæàåòñÿ êàê
N
Mi (x ) = H,
i =1
òFåF ñóììà âûïëàò âñåõ àãåíòîâ ðàâíà íóëþF



Ìåõàíèçì AGV

eq† îò errow!d9espremont!q¡r—rdE†—retF
e
Èñòîðèÿ òîæå íåïðîñòàÿX
Äâå íåçàâèñèìûõ ðàáîòû errow @IWUWA è
d9espremont!q¡r—rdE†—ret @IWUWAF
e
Áîëåå òîãîD q¡r—rdE†—ret ýòî îäèí ÷åëîâåêD à íå äâàF XA
e




Ýòîò ìåõàíèçì òîæå ýôôåêòèâåí @òFåF èñïîëüçóåò Q ∗ AF
Åãî âûïëàòû MA îïðåäåëÿþòñÿ êàê

MiA(x ) = N I I
−
E X − [W−j (xj , X −j )]−E X − [W−i (xi , X −i )].
j i

j =i
Òåïåðü î÷åâèäíîD ÷òî äëÿ âñåõ x
N
MiA(x ) = H.
i =1




Ìåõàíèçì eq† ïðàâäèâX åñëè äðóãèå àãåíòû ãîâîðÿò x −i D à
i z
àãåíò ãîâîðèò i D îí ïîëó÷àåò

E X − [Qi∗ (zi , X −i ) + W−i (zi , X −i )]−
i
 
I
− EX−  E X − [W−j (Xj , X −j )] .
i
N −I
j =i
j

z
Âû÷èòàåìîå íå çàâèñèò îò i D à ïåðâîå ìàêñèìèçèðóåòñÿ
z
ïðè i = i F x



Òåîðåìà

Òåîðåìà
Ýôôåêòèâíûé, ïðàâäèâûé è ðàöèîíàëüíûé ìåõàíèçì, ó
êîòîðîãî ñõîäèòñÿ áàëàíñ, ñóùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà ìåõàíèçì VCG äà¼ò ïîëîæèòåëüíóþ îæèäàåìóþ ïðèáûëü
àóêöèîíåðó.



Äîêàçàòåëüñòâî

Â îäíó ñòîðîíó òðèâèàëüíîX †gq äîëæåí äàâàòü ïðèáûëüD
ïîòîìó ÷òî îí ñàìûé ýôôåêòèâíûéF
Íàì íóæíî äîêàçàòü â äðóãóþ ñòîðîíóX ïðåäúÿâèòü
êîíñòðóêöèþ òàêîãî çàìå÷àòåëüíîãî ìåõàíèçìà â òîì
ñëó÷àåD êîãäà †gq äà¼ò ïðèáûëüF




Íà÷í¼ì ñ ìåõàíèçìà eq† MA F Ïðèíöèï ýêâèâàëåíòíîñòè
äîõîäíîñòè íàì ãîâîðèòD ÷òî åñòü òàêèå êîíñòàíòû iA D ÷òî c
UiA(xi ) = E [W (xi , X −i )] − ciA.
Äëÿ †gq ýòî òîæå âåðíîX ñóùåñòâóþò òàêèå êîíñòàíòû iV D c
÷òî
A U x Wx V
i ( i ) = E [ ( i , X −i )] − i . c
Ìû ñåé÷àñ ïîäïðàâèì eq† òàêD ÷òîáû îí ïðèáûëü äàâàëD
îñòàâàÿñü ðàöèîíàëüíûìF




ÄàíîD ÷òî †gq ïðèíîñèò ïðèáûëüX
N
E MiV (X ) ≥ H.
i =1
Ïîñêîëüêó eq† ïî îïðåäåëåíèþ â íóëåX
N N
E MiV (X ) ≥ E MiA(X ) .
i =1 i =1
ÈëèD â òåðìèíàõ íàøèõ êîíñòàíòD
N N
ciV ≥ ciA.
i =1 i =1




N c V ≥ N c A.
i =1 i i =1 i
Îïðåäåëèì òåïåðü ïîïðàâêèX äëÿ i = P..N
N
di = ciA − ciV , d1 = − di .
i =2
Èñêîìûì ìåõàíèçìîì áóäåò

Mi (x ) = MiA(x ) + di .




Mi (x ) = MiA(x ) + di F
Î÷åâèäíîD áàëàíñ ñõîäèòñÿ @ýòî M A D ïîäïðàâëåííûé íà
êîíñòàíòûD êîòîðûå â ñóììå äàþò HAF
Ìåõàíèçì ïðàâäèâûéD ïîòîìó ÷òî âûïëàòû àãåíòà
îòëè÷àþòñÿ îò âûïëàò ïðàâäèâîãî M A íà êîíñòàíòóF
Íàäî òîëüêî ïðîâåðèòüD ÷òî îí ðàöèîíàëüíûéD òî åñòü
îæèäàíèå êàæäîãî àãåíòà áîëüøå íóëÿF




i
Äëÿ = I

Ui (xi ) = UiA(xi ) + di = UiA(xi ) + ciA − ciV = UiV (x ) ≥ H.
Äëÿ ïåðâîãî àãåíòà âñ¼ òî æå ñàìîåD íóæíî òîëüêî
çàìåòèòüD ÷òî
N N
d1 = − di = c c c
( iV − iA ) ≥ 1 − 1 ,
A V c
i =2 i =2

òFêF îáùàÿ ñóììà N cV ≥ N c AF
i =1 i i =1 i



Ñïàñèáî çà âíèìàíèå!

ve™ture notes è ñëàéäû áóäóò ïîÿâëÿòüñÿ íà ìîåé
homep—geX
http://logic.pdmi.ras.ru/∼sergey/index.php?page=teaching
Ïðèñûëàéòå ëþáûå çàìå÷àíèÿD ðåøåíèÿ óïðàæíåíèéD
íîâûå ÷èñëåííûå ïðèìåðû è ïðî÷åå ïî àäðåñàìX
sergey@logic.pdmi.ras.ruD snikolenko@gmail.com
Çàõîäèòå â ÆÆ smartnikF


20081104 auctions nikolenko_lecture05

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

En vedette

En vedette (20)

Similaire à 20081104 auctions nikolenko_lecture05

Similaire à 20081104 auctions nikolenko_lecture05 (8)

Plus de Computer Science Club

Plus de Computer Science Club (20)

20081104 auctions nikolenko_lecture05