1. Ñëîæíîñòü ïðîïîçèöèîíàëüíûõ äîêàçàòåëüñòâ
Ýäóàðä Àëåêñååâè÷ Ãèðø
http://logic.pdmi.ras.ru/~hirsch
ÏÎÌÈ ÐÀÍ
30 ñåíòÿáðÿ 2010 ã.
1/6

2. Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ Ôðåãå
Ïðåäñòàâëåíèå ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ
ïîáèòíîå êîäèðîâàíèå ÷èñåë ôîðìóëàìè;
íåðàâåíñòâà âèäà t ct yt ≥ c ,
ãäå ct , c ≥ 0, yt ∈ {0, 1} yt = xt
( èëè yt = ¬xt ).
2/6

3. Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ Ôðåãå
Ïðåäñòàâëåíèå ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ
ïîáèòíîå êîäèðîâàíèå ÷èñåë ôîðìóëàìè;
íåðàâåíñòâà âèäà t ct yt ≥ c ,
ãäå ct , c ≥ 0, yt ∈ {0, 1} (yt = xt èëè yt = ¬xt ).
ct · yt ýòî (Y0 , . . . , Yk ),
ãäå Yi = yt , åñëè (ct )i = 1; èíà÷å Yi = False.
2/6

4. Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ Ôðåãå
Ïðåäñòàâëåíèå ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ
ïîáèòíîå êîäèðîâàíèå ÷èñåë ôîðìóëàìè;
íåðàâåíñòâà âèäà t ct yt ≥ c ,
ãäå ct , c ≥ 0, yt ∈ {0, 1} (yt = xt èëè yt = ¬xt ).
ct · yt ýòî (Y0 , . . . , Yk ),
ãäå Yi = yt , åñëè (ct )i = 1; èíà÷å Yi = False.
íàäî âû÷èñëèòü ñóììó t ct yt äëÿ yt ∈ {0, 1} è ñðàâíèòü ñ c .
2/6

5. Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ Ôðåãå
Ïðåäñòàâëåíèå ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ
ïîáèòíîå êîäèðîâàíèå ÷èñåë ôîðìóëàìè;
íåðàâåíñòâà âèäà t ct yt ≥ c ,
ãäå ct , c ≥ 0, yt ∈ {0, 1} (yt = xt èëè yt = ¬xt ).
ct · yt ýòî (Y0 , . . . , Yk ),
ãäå Yi = yt , åñëè (ct )i = 1; èíà÷å Yi = False.
íàäî âû÷èñëèòü ñóììó t ct yt äëÿ yt ∈ {0, 1} è ñðàâíèòü ñ c .
Add((F0 , . . . , Fk ), (G0 , . . . , Gk ))i =
Fi ⊕ Gi ⊕ (Fj ∧ Gj ∧ (Fk ⊕ Gk )).
0≤j i j k i
2/6

6. Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ Ôðåãå
Ïðåäñòàâëåíèå ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ
ïîáèòíîå êîäèðîâàíèå ÷èñåë ôîðìóëàìè;
íåðàâåíñòâà âèäà t ct yt ≥ c ,
ãäå ct , c ≥ 0, yt ∈ {0, 1} (yt = xt èëè yt = ¬xt ).
ct · yt ýòî (Y0 , . . . , Yk ),
ãäå Yi = yt , åñëè (ct )i = 1; èíà÷å Yi = False.
íàäî âû÷èñëèòü ñóììó t ct yt äëÿ yt ∈ {0, 1} è ñðàâíèòü ñ c .
Add((F0 , . . . , Fk ), (G0 , . . . , Gk ))i =
Fi ⊕ Gi ⊕ (Fj ∧ Gj ∧ (Fk ⊕ Gk )).
0≤j i j k i
SAdd(F , G , H )i = Fi ⊕ Gi ⊕ Hi .
CAdd(F , G , H )i +1 = (Fi ∧ Gi ) ∨ (Fi ∧ Hi ) ∨ (Gi ∧ Hi ).
2/6

7. Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ Ôðåãå
Ïðåäñòàâëåíèå ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ
ïîáèòíîå êîäèðîâàíèå ÷èñåë ôîðìóëàìè;
íåðàâåíñòâà âèäà t ct yt ≥ c ,
ãäå ct , c ≥ 0, yt ∈ {0, 1} (yt = xt èëè yt = ¬xt ).
ct · yt ýòî (Y0 , . . . , Yk ),
ãäå Yi = yt , åñëè (ct )i = 1; èíà÷å Yi = False.
íàäî âû÷èñëèòü ñóììó t ct yt äëÿ yt ∈ {0, 1} è ñðàâíèòü ñ c .
Add((F0 , . . . , Fk ), (G0 , . . . , Gk ))i =
Fi ⊕ Gi ⊕ (Fj ∧ Gj ∧ (Fk ⊕ Gk )).
0≤j i j k i
SAdd(F , G , H )i = Fi ⊕ Gi ⊕ Hi .
CAdd(F , G , H )i +1 = (Fi ∧ Gi ) ∨ (Fi ∧ Hi ) ∨ (Gi ∧ Hi ).
SUM(c1 y1 , . . . , cn yn ): ñêëàäûâàåì SAdd, CAdd, ïîñëåäíèå Add.
2/6

8. Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ Ôðåãå
Ïðåäñòàâëåíèå ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ
ïîáèòíîå êîäèðîâàíèå ÷èñåë ôîðìóëàìè;
íåðàâåíñòâà âèäà t ct yt ≥ c ,
ãäå ct , c ≥ 0, yt ∈ {0, 1} (yt = xt èëè yt = ¬xt ).
ct · yt ýòî (Y0 , . . . , Yk ),
ãäå Yi = yt , åñëè (ct )i = 1; èíà÷å Yi = False.
íàäî âû÷èñëèòü ñóììó t ct yt äëÿ yt ∈ {0, 1} è ñðàâíèòü ñ c .
Add((F0 , . . . , Fk ), (G0 , . . . , Gk ))i =
Fi ⊕ Gi ⊕ (Fj ∧ Gj ∧ (Fk ⊕ Gk )).
0≤j i j k i
SAdd(F , G , H )i = Fi ⊕ Gi ⊕ Hi .
CAdd(F , G , H )i +1 = (Fi ∧ Gi ) ∨ (Fi ∧ Hi ) ∨ (Gi ∧ Hi ).
SUM(c1 y1 , . . . , cn yn ): ñêëàäûâàåì SAdd, CAdd, ïîñëåäíèå Add.
F G ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê (Fi ∧ ¬Gi ∧ (Fj ≡ Gj )).
i j i
2/6

9. Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ Ôðåãå
Ìîäåëèðîâàíèå ïðàâèë
ïðîñóììèðóåì ct yt ≥ c è dt yt ≥ d :
3/6

10. Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ Ôðåãå
Ìîäåëèðîâàíèå ïðàâèë
ïðîñóììèðóåì ct yt ≥ c è dt yt ≥ d :
äîêàæåì ïî èíäóêöèè, ÷òî
Add(SUM(. . . , ct yt , . . .), SUM(. . . , dt yt , . . .)) ≡ SUM(. . . , (ct + dt )yt , . . .
3/6

11. Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ Ôðåãå
Ìîäåëèðîâàíèå ïðàâèë
ïðîñóììèðóåì ct yt ≥ c è dt yt ≥ d :
äîêàæåì ïî èíäóêöèè, ÷òî
Add(SUM(. . . , ct yt , . . .), SUM(. . . , dt yt , . . .)) ≡ SUM(. . . , (ct + dt )yt , . . .
ðàâåíñòâî Add(c y , d y )
t t t t i ≡ (c + d ) y ðàçáîð ñëó÷àåâ.
t t i t
3/6

12. Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ Ôðåãå
Ìîäåëèðîâàíèå ïðàâèë
ïðîñóììèðóåì ct yt ≥ c è dt yt ≥ d :
äîêàæåì ïî èíäóêöèè, ÷òî
Add(SUM(. . . , ct yt , . . .), SUM(. . . , dt yt , . . .)) ≡ SUM(. . . , (ct + dt )yt , . . .
ðàâåíñòâî Add(c y , d y ) ≡ (c + d ) y ðàçáîð ñëó÷àåâ.
t t t t i t t i t
y + ¬y àíàëîãè÷íî.
t t
3/6

13. Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ Ôðåãå
Ìîäåëèðîâàíèå ïðàâèë
ïðîñóììèðóåì ct yt ≥ c è dt yt ≥ d :
äîêàæåì ïî èíäóêöèè, ÷òî
Add(SUM(. . . , ct yt , . . .), SUM(. . . , dt yt , . . .)) ≡ SUM(. . . , (ct + dt )yt , . . .
ðàâåíñòâî Add(c y , d y ) ≡ (c + d ) y ðàçáîð ñëó÷àåâ.
t t t t i t t i t
y + ¬y àíàëîãè÷íî.
t t
äîêàæåì F ≥G ∧ F ≥G ⊃ Add(F , F ) ≥ Add(G , G ).
3/6

14. Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ Ôðåãå
Ìîäåëèðîâàíèå ïðàâèë
ïðîñóììèðóåì ct yt ≥ c è dt yt ≥ d :
äîêàæåì ïî èíäóêöèè, ÷òî
Add(SUM(. . . , ct yt , . . .), SUM(. . . , dt yt , . . .)) ≡ SUM(. . . , (ct + dt )yt , . . .
ðàâåíñòâî Add(c y , d y ) ≡ (c + d ) y ðàçáîð ñëó÷àåâ.
t t t t i t t i t
y + ¬y àíàëîãè÷íî.
t t
äîêàæåì F ≥G ∧ F ≥G ⊃ Add(F , F ) ≥ Add(G , G ).
óìíîæåíèå (äåëåíèå) íà êîíñòàíòó. . .
3/6

15. Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ Ôðåãå
Ìîäåëèðîâàíèå ïðàâèë
ïðîñóììèðóåì ct yt ≥ c è dt yt ≥ d :
äîêàæåì ïî èíäóêöèè, ÷òî
Add(SUM(. . . , ct yt , . . .), SUM(. . . , dt yt , . . .)) ≡ SUM(. . . , (ct + dt )yt , . . .
ðàâåíñòâî Add(c y , d y ) ≡ (c + d ) y ðàçáîð ñëó÷àåâ.
t t t t i t t i t
y + ¬y àíàëîãè÷íî.
t t
äîêàæåì F ≥G ∧ F ≥G ⊃ Add(F , F ) ≥ Add(G , G ).
óìíîæåíèå (äåëåíèå) íà êîíñòàíòó. . .
îêðóãëåíèå
(act )yt ≥ ac + r
(r a)
ct yt ≥ c + 1
3/6

16. Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ Ôðåãå
Ìîäåëèðîâàíèå ïðàâèë
ïðîñóììèðóåì ct yt ≥ c è dt yt ≥ d :
äîêàæåì ïî èíäóêöèè, ÷òî
Add(SUM(. . . , ct yt , . . .), SUM(. . . , dt yt , . . .)) ≡ SUM(. . . , (ct + dt )yt , . . .
ðàâåíñòâî Add(c y , d y ) ≡ (c + d ) y ðàçáîð ñëó÷àåâ.
t t t t i t t i t
y + ¬y àíàëîãè÷íî.
t t
äîêàæåì F ≥G ∧ F ≥G ⊃ Add(F , F ) ≥ Add(G , G ) .
óìíîæåíèå (äåëåíèå) íà êîíñòàíòó. . .
îêðóãëåíèå
(act )yt ≥ ac + r
(r a)
ct yt ≥ c + 1
ðàçáîð ñëó÷àåâ (ò.å. äîê-âî îò ïðîòèâíîãî):
SUM(. . . , ct yt , . . .) ≥ c + 1 ∨ ¬(SUM(. . . , ct yt , . . .) ≥ c + 1),
èç âòîðîãî ñëåäóåò ≤ c, óìíîæèì îáðàòíî íà a. . . .
3/6

17. Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ Ôðåãå
Ìîäåëèðîâàíèå ïðàâèë
ïðîñóììèðóåì ct yt ≥ c è dt yt ≥ d :
äîêàæåì ïî èíäóêöèè, ÷òî
Add(SUM(. . . , ct yt , . . .), SUM(. . . , dt yt , . . .)) ≡ SUM(. . . , (ct + dt )yt , . . .
ðàâåíñòâî Add(c y , d y ) ≡ (c + d ) y ðàçáîð ñëó÷àåâ.
t t t t i t t i t
y + ¬y àíàëîãè÷íî.
t t
äîêàæåì F ≥G ∧ F ≥G ⊃ Add(F , F ) ≥ Add(G , G ) .
óìíîæåíèå (äåëåíèå) íà êîíñòàíòó. . .
îêðóãëåíèå
(act )yt ≥ ac + r
(r a)
ct yt ≥ c + 1
ðàçáîð ñëó÷àåâ (ò.å. äîê-âî îò ïðîòèâíîãî):
SUM(. . . , ct yt , . . .) ≥ c + 1 ∨ ¬(SUM(. . . , ct yt , . . .) ≥ c + 1),
èç âòîðîãî ñëåäóåò ≤ c, óìíîæèì îáðàòíî íà a. . . .
ñâîéñòâà íóëÿ: Add(F , 0)i ≡ Fi è 0 1.
SUM(0y1 , . . . , 0yn ) ≥ 1, î÷åâèäíî, ëîæíî.
3/6

18. Îïòèìàëüíûå ïîëóàëãîðèòìû
Îïðåäåëåíèå
A îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì äëÿ L ⇐⇒
äëÿ âñÿêîãî A èìååòñÿ ïîëèíîì p , ò.÷. ∀x ∈ L
timeA (x ) ≤ p(timeA (x ) + |x |).
4/6

19. Îïòèìàëüíûå ïîëóàëãîðèòìû
Îïðåäåëåíèå
A îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì äëÿ L ⇐⇒
äëÿ âñÿêîãî A èìååòñÿ ïîëèíîì p , ò.÷. ∀x ∈ L
timeA (x ) ≤ p(timeA (x ) + |x |).
Ëåâèíñêèé îïòèìàëüíûé àëãîðèòì äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïîèñêà SAT:
çàïóñòèòü ïàðàëëåëüíî âñå âîçìîæíûå àëãîðèòìû, ïðîâåðèòü
âûäàííûé âûïîëíÿþùèé íàáîð, åñëè âåðåí âûäàòü.
4/6

20. Îïòèìàëüíûå ïîëóàëãîðèòìû
Îïðåäåëåíèå
A îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì äëÿ L ⇐⇒
äëÿ âñÿêîãî A èìååòñÿ ïîëèíîì p , ò.÷. ∀x ∈ L
timeA (x ) ≤ p(timeA (x ) + |x |).
Ëåâèíñêèé îïòèìàëüíûé àëãîðèòì äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïîèñêà SAT:
çàïóñòèòü ïàðàëëåëüíî âñå âîçìîæíûå àëãîðèòìû, ïðîâåðèòü
âûäàííûé âûïîëíÿþùèé íàáîð, åñëè âåðåí âûäàòü.
Çàìå÷àíèå
Ëåâèíñêèé àëãîðèòì íå äëÿ ÿçûêà TAUT.
4/6

21. Îïòèìàëüíûå ïîëóàëãîðèòìû
Îïðåäåëåíèå
A îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì äëÿ L ⇐⇒
äëÿ âñÿêîãî A èìååòñÿ ïîëèíîì p , ò.÷. ∀x ∈ L
timeA (x ) ≤ p(timeA (x ) + |x |).
Ëåâèíñêèé îïòèìàëüíûé àëãîðèòì äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïîèñêà SAT:
çàïóñòèòü ïàðàëëåëüíî âñå âîçìîæíûå àëãîðèòìû, ïðîâåðèòü
âûäàííûé âûïîëíÿþùèé íàáîð, åñëè âåðåí âûäàòü.
Çàìå÷àíèå
Ëåâèíñêèé àëãîðèòì íå äëÿ ÿçûêà TAUT.
. . . è íå äëÿ ÿçûêà SAT.
4/6

22. Îïòèìàëüíûå ïîëóàëãîðèòìû vs ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâ
Òåîðåìà @ur—j¡™ekD €udl¡kD IWVWA
%§ —
∃ p-îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà äîê-â ⇐⇒
∃ îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì äëÿ TAUT.
5/6

23. Îïòèìàëüíûå ïîëóàëãîðèòìû vs ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâ
Òåîðåìà @ur—j¡™ekD €udl¡kD IWVWA
%§ —
∃ p-îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà äîê-â ⇐⇒
∃ îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì äëÿ TAUT.
⇐=:
Îïòèìàëüíîå äîê-âî ôîðìóëû F ðàçìåðà n:
Íîìåð ñèñòåìû Π;
Π-äîêàçàòåëüñòâî ôîðìóëû F.
5/6

24. Îïòèìàëüíûå ïîëóàëãîðèòìû vs ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâ
Òåîðåìà @ur—j¡™ekD €udl¡kD IWVWA
%§ —
∃ p-îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà äîê-â ⇐⇒
∃ îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì äëÿ TAUT.
⇐=:
Îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì O ðàáîòàåò ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ
íà ëþáîì ïîäìíîæåñòâå òàâòîëîãèé èç P.
5/6

25. Îïòèìàëüíûå ïîëóàëãîðèòìû vs ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâ
Òåîðåìà @ur—j¡™ekD €udl¡kD IWVWA
%§ —
∃ p-îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà äîê-â ⇐⇒
∃ îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì äëÿ TAUT.
⇐=:
Îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì O ðàáîòàåò ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ
íà ëþáîì ïîäìíîæåñòâå òàâòîëîãèé èç P.
Äëÿ ëþáîé ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâ Π, ëåãêî (çà ïîëèíîìèàëüíîå
âðåìÿ) çàïèñàòü òàâòîëîãèþ ConΠ,n , îçíà÷àþùóþ Π êîððåêòíà
äëÿ ôîðìóë ðàçìåðà n.
5/6

26. Îïòèìàëüíûå ïîëóàëãîðèòìû vs ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâ
Òåîðåìà @ur—j¡™ekD €udl¡kD IWVWA
%§ —
∃ p-îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà äîê-â ⇐⇒
∃ îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì äëÿ TAUT.
⇐=:
Îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì O ðàáîòàåò ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ
íà ëþáîì ïîäìíîæåñòâå òàâòîëîãèé èç P.
Äëÿ ëþáîé ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâ Π, ëåãêî (çà ïîëèíîìèàëüíîå
âðåìÿ) çàïèñàòü òàâòîëîãèþ ConΠ,n , îçíà÷àþùóþ Π êîððåêòíà
äëÿ ôîðìóë ðàçìåðà n.
Çíà÷èò, O ïîëèíîìèàëåí íà CΠ = {ConΠ,n }n∈N .
5/6

27. Îïòèìàëüíûå ïîëóàëãîðèòìû vs ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâ
Òåîðåìà @ur—j¡™ekD €udl¡kD IWVWA
%§ —
∃ p-îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà äîê-â ⇐⇒
∃ îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì äëÿ TAUT.
⇐=:
Îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì O ðàáîòàåò ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ
íà ëþáîì ïîäìíîæåñòâå òàâòîëîãèé èç P.
Äëÿ ëþáîé ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâ Π, ëåãêî (çà ïîëèíîìèàëüíîå
âðåìÿ) çàïèñàòü òàâòîëîãèþ ConΠ,n , îçíà÷àþùóþ Π êîððåêòíà
äëÿ ôîðìóë ðàçìåðà n.
Çíà÷èò, O ïîëèíîìèàëåí íà CΠ = {ConΠ,n }n∈N .
Îïòèìàëüíîå äîê-âî ôîðìóëû F ðàçìåðà n:
Íîìåð ñèñòåìû Π;
Ïðîòîêîë ðàáîòû O íà ConΠ,n ;
Π-äîêàçàòåëüñòâî ôîðìóëû F.
5/6

28. Îïòèìàëüíûå ïîëóàëãîðèòìû vs ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâ
Òåîðåìà @ur—j¡™ekD €udl¡kD IWVWA
%§ —
∃ p-îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà äîê-â ⇐⇒
∃ îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì äëÿ TAUT.
=⇒:
Ïóñòü Π p-îïòèìàëüíàÿ.
5/6

29. Îïòèìàëüíûå ïîëóàëãîðèòìû vs ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâ
Òåîðåìà @ur—j¡™ekD €udl¡kD IWVWA
%§ —
∃ p-îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà äîê-â ⇐⇒
∃ îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì äëÿ TAUT.
=⇒:
Ïóñòü Π p-îïòèìàëüíàÿ.
Îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì: ïàðàëëåëüíûé çàïóñê âñåõ Oi ,
ïðåòåíäóþùèõ íà âûäà÷ó Π-äîêàçàòåëüñòâ.
Âûäàííîå Oi Π;
äîê-âî ïðîâåðÿåòñÿ
åñëè ïðàâèëüíîå âåðíóòü 1.
5/6

30. Îïòèìàëüíûå ïîëóàëãîðèòìû vs ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâ
Òåîðåìà @ur—j¡™ekD €udl¡kD IWVWA
%§ —
∃ p-îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà äîê-â ⇐⇒
∃ îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì äëÿ TAUT.
=⇒:
Ïóñòü Π p-îïòèìàëüíàÿ.
Îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì: ïàðàëëåëüíûé çàïóñê âñåõ Oi ,
ïðåòåíäóþùèõ íà âûäà÷ó Π-äîêàçàòåëüñòâ.
Âûäàííîå Oi äîê-âî ïðîâåðÿåòñÿΠ;
åñëè ïðàâèëüíîå âåðíóòü 1.
Ïî p-îïòèìàëüíîñòè Π äëÿ ëþáîãî àëãîðèòìà A åãî ïðîòîêîë
ìîæåò áûòü çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ ïðåîáðàçîâàí â Π-äîê-âî
íåêîòîðûì f . Êîìïîçèöèÿ A è f èìååòñÿ â {Oi }i .
5/6

31. p -Optimal proof system from optimal acceptor
for any paddable language [Messner, 99]
he(nition
L is paddable if there is an injective non-length-decreasing polynomial-time
padding function padL : {0, 1}∗ × {0, 1}∗ → {0, 1}∗ that is polynomial-time
invertible on its image and such that ∀x , w (x ∈ L ⇐⇒ padL (x , w ) ∈ L).
Optimal proof:
description of proof system Π;
Π-proof π of F ;
t
1 (for how long can we work?).
Verication:
run optimal acceptor on padL (x , π);
for a correct proof, it accepts in a polynomial time because for a
correct system Π, the set {padL (x , π) | x ∈ L, Π(x , π) = 1} ⊆ L can
be accepted in a polynomial time.
6/6