20110306 csseminar cg_illustrations_vyatkina

1. þ þ þ ¹ ¾¼½½ º þ þ

2. þ ½ þ ¾ ¿ þ þ

3. þ S ⊂ R2 þ þ

4. þ S ⊂ R2 þ CH(S) S ¸ S þ þ

5. þ S ⊂ R2 þ CH(S) S ¸ S CH(S) ¸ S þ þ

6. þ P n þ þ

7. þ P n CH(P) S þ þ

8. þ ü þ þ

9. þ ü þ þ

10. þ ü þ þ

11. þ ü Ω(n log n) þ þ

12. þ

13. þ þ

14. þ

15. p1 þ þ

16. þ

17. p1 þ þ

18. þ

19. p8 p5 p6 p7 p4 p3 p9 p2 p1 þ þ

20. þ

21. p8 p5 p6 p7 p4 p3 p9 p2 p1 þ þ

22. þ

23. p8 p5 p6 p7 p4 p3 p9 p2 p1 þ þ

24. þ

25. p8 p5 p6 p7 p4 p3 p9 p2 p1 þ þ

26. þ

27. p8 p5 p6 p7 p4 p3 p9 p2 p1 þ þ

28. þ

29. p8 p5 p6 p7 p4 p3 p9 p2 p1 þ þ

30. þ

31. p8 p5 p6 p7 p4 p3 p9 p2 p1 þ þ

32. þ

33. p8 p5 p6 p7 p4 p3 p9 p2 p1 þ þ

34. þ

35. p8 p5 p6 p7 p4 p3 p9 p2 p1 þ þ

36. þ

37. p8 p5 p6 p7 p4 p3 p9 p2 p1 þ þ

38. þ

39. p8 p5 p6 p7 p4 p3 p9 p2 p1 þ þ

40. þ

41. p8 p5 p6 p7 p4 p3 p9 p2 p1 þ þ

42. þ

43. p8 p5 p6 p7 p4 p3 p9 p2 p1 þ þ

44. þ

45. p8 p5 p6 p7 p4 p3 p9 p2 p1 þ þ

46. þ

47. p8 p5 p6 p7 p4 p3 p9 p2 p1 þ þ

48. þ

49. p8 p5 p6 p7 p4 p3 p9 p2 p1 þ þ

50. þ

51. p8 p5 p6 p7 p4 p3 p9 p2 p1 þ þ

52. þ

53. p8 p5 p6 p7 p4 p3 p9 p2 p1 þ þ

54. þ

55. p8 p5 p6 p7 p4 p3 p9 p2 p1 þ þ

56. þ

57. p8 p5 p6 p7 p4 p3 p9 p2 p1 þ þ

58. þ

59. p8 p5 p6 p7 p4 p3 p9 p2 p1 þ þ

60. þ

61. þ þ þ

62. þ

63. þ þ þ

64. þ

65. þ Pi = {p1 , . . . , pi } þ þ

66. þ

67. þ Pi = {p1 , . . . , pi } i¹ CH(Pi ) þ þ

68. þ

69. þ Pi = {p1 , . . . , pi } i¹ CH(Pi ) þ ¡ O(n log n) þ þ

70. þ

71. þ Pi = {p1 , . . . , pi } i¹ CH(Pi ) þ ¡ O(n log n) p1 O(n) þ þ

72. þ

73. þ Pi = {p1 , . . . , pi } i¹ CH(Pi ) þ ¡ O(n log n) p1 O(n) O(n log n) þ þ

74. þ

75. þ Pi = {p1 , . . . , pi } i¹ CH(Pi ) þ ¡ O(n log n) p1 O(n) O(n log n) O(n) þ þ

76. þ

77. þ Pi = {p1 , . . . , pi } i¹ CH(Pi ) þ ¡ O(n log n) p1 O(n) O(n log n) O(n) þ þ þ

78. þ

79. þ Pi = {p1 , . . . , pi } i¹ CH(Pi ) þ ¡ O(n log n) p1 O(n) O(n log n) O(n) þ p2 ¸ ººº¸ pn þ þ

80. þ

81. þ Pi = {p1 , . . . , pi } i¹ CH(Pi ) þ ¡ O(n log n) p1 O(n) O(n log n) O(n) þ p2 ¸ ººº¸ pn ¸ n−1 þ þ

82. þ

83. þ Pi = {p1 , . . . , pi } i¹ CH(Pi ) þ ¡ O(n log n) p1 O(n) O(n log n) O(n) þ p2 ¸ ººº¸ pn ¸ n−1 O(n) þ þ

84. þ þ þ

85. þ p1 þ þ

86. þ p1 þ þ

87. þ p1 þ þ

88. þ p2 p1 þ þ

89. þ p2 p1 þ þ

90. þ p2 p1 þ þ

91. þ p3 p2 p1 þ þ

92. þ p3 p2 p1 þ þ

93. þ p4 p3 p2 p1 þ þ

94. þ p4 p5 p3 p2 p1 þ þ

95. þ p4 p5 p6 p3 p2 p1 þ þ

96. þ p4 p5 p6 p3 p2 p1 þ þ

97. þ þ þ

98. þ CH(P) þ þ

99. þ CH(P) þ ¡ O(nh)¸ h CH(P) þ þ

100. þ CH(P) þ ¡ O(nh)¸ h CH(P) ü ¸ þ þ

101. þ CH(P) þ ¡ O(nh)¸ h CH(P) ü ¸ O(n) þ þ

102. þ ½ ¾

103. ¸ O(n log n) þ þ

104. þ ½ ¾

105. ¸ O(n log n) ½ ¿ ¸ O(nh) þ þ

106. þ ½ ¾

107. ¸ O(n log n) ½ ¿ ¸ O(nh) ½ ¸ O(n log h) þ þ

108. þ ½ ¾

109. ¸ O(n log n) ½ ¿ ¸ O(nh) ½ ¸ O(n log h) þ þ

110. þ ½ ¾

111. ¸ O(n log n) ½ ¿ ¸ O(nh) ½ ¸ O(n log h) ½ ¸ O(n log h) þ þ

112. þ ü m≤n þ þ

113. þ ü m≤n n r = ⌈m⌉ þ þ

114. þ ü m≤n n r = ⌈m⌉ P r P1 ¸ º º º ¸ Pr |P1 | = · · · = |Pr −1 | = m¸ |Pr | ≤ m þ þ

115. þ ü m≤n n r = ⌈m⌉ P r P1 ¸ º º º ¸ Pr |P1 | = · · · = |Pr −1 | = m¸ |Pr | ≤ m Pi CH(Pi )

116. þ þ

117. þ ü m≤n n r = ⌈m⌉ P r P1 ¸ º º º ¸ Pr |P1 | = · · · = |Pr −1 | = m¸ |Pr | ≤ m Pi CH(Pi )

118. þ þ

119. þ ü þ þ

120. þ ü þ þ

121. þ ü þ þ

122. þ ü p1 þ þ

123. þ ü p1 þ þ

124. þ ü p1 þ þ

125. þ ü p2 p1 þ þ

126. þ ü p2 p1 þ þ

127. þ þ þ

128. þ CH(Pi ) O(m log m) þ þ

129. þ CH(Pi ) O(m log m) O(rm log m) = O(n log m) þ þ

130. þ CH(Pi ) O(m log m) O(rm log m) = O(n log m) þ þ

131. þ CH(Pi ) O(m log m) O(rm log m) = O(n log m) CH(Pi ) O(log m) þ þ

132. þ CH(Pi ) O(m log m) O(rm log m) = O(n log m) CH(Pi ) O(log m) CH(P) O(r log m) þ þ

133. þ CH(Pi ) O(m log m) O(rm log m) = O(n log m) CH(Pi ) O(log m) CH(P) O(r log m) CH(P) n O(hr log m) = O(h · m · log m) þ þ

134. þ CH(Pi ) O(m log m) O(rm log m) = O(n log m) CH(Pi ) O(log m) CH(P) O(r log m) CH(P) n O(hr log m) = O(h · m · log m) n O n+h· m log m þ þ

135. þ CH(Pi ) O(m log m) O(rm log m) = O(n log m) CH(Pi ) O(log m) CH(P) O(r log m) CH(P) n O(hr log m) = O(h · m · log m) n O n+h· m log m m = h O(n log h) þ þ

136. þ È ÖØ ÐÀÙÐÐ´P ¸mµ ½ n r ← ⌈m⌉ ¾ P → P1 , . . . , Pr ¿ ÓÖ i ← 1 ØÓ r Ó CH(Pi ) p1 ← P ´ µ ÓÖ k ← 1 ØÓ m Ó pk+1 CH(P) pk+1 = p1 Ø Ò Ö ØÙÖÒ ´ ´p1 ¸ º º º ¸ pk µ µ ½¼ Ö ØÙÖÒ m þ þ

137. þ È ÖØ ÐÀÙÐÐ´P ¸mµ ½ n r ← ⌈m⌉ ¾ P → P1 , . . . , Pr ¿ ÓÖ i ← 1 ØÓ r £ O(r · m log m) = O(n log m) Ó CH(Pi ) p1 ← P ´ µ ÓÖ k ← 1 ØÓ m £ O(m · r log m) = O(n log m) Ó pk+1 CH(P) pk+1 = p1 Ø Ò Ö ØÙÖÒ ´ ´p1 ¸ º º º ¸ pk µ µ ½¼ Ö ØÙÖÒ m þ þ

138. þ È ÖØ ÐÀÙÐÐ´P ¸mµ ½ n r ← ⌈m⌉ ¾ P → P1 , . . . , Pr ¿ ÓÖ i ← 1 ØÓ r Ó CH(Pi ) p1 ← P ´ µ ÓÖ k ← 1 ØÓ m Ó pk+1 CH(P) pk+1 = p1 Ø Ò Ö ØÙÖÒ ´ ´p1 ¸ º º º ¸ pk µ µ ½¼ Ö ØÙÖÒ m þ O(n log m) þ þ

139. þ ÓÒÚ ÜÀÙÐÐ´P µ ½ ÓÖ t ← 1, 2, 3, . . . Ó m ← min{22 , n} t ¾ ¿ L ← È ÖØ ÐÀÙÐÐ´P ¸mµ L= m Ø Ò Ö ØÙÖÒ L þ þ

140. þ ÓÒÚ ÜÀÙÐÐ´P µ ½ ÓÖ t ← 1, 2, 3, . . . Ó m ← min{22 , n} t ¾ ¿ L ← È ÖØ ÐÀÙÐÐ´P ¸mµ L= m Ø Ò Ö ØÙÖÒ L ü t = ⌈log log h⌉ þ þ

141. þ ü t þ t O(n log 22 ) = O(n · 2t ) þ þ

142. þ ü t þ t O(n log 22 ) = O(n · 2t ) ⌈log log h⌉ O(n · 2t ) t=1 þ þ

143. þ ü t þ t O(n log 22 ) = O(n · 2t ) ⌈log log h⌉ O(n · 2t ) t=1 ⌈log log h⌉ n · 2t n · 2⌈log log h⌉+1 4n · 2log log h = 4n log h t=1 þ þ

144. þ ü t þ t O(n log 22 ) = O(n · 2t ) ⌈log log h⌉ O(n · 2t ) t=1 ⌈log log h⌉ n · 2t n · 2⌈log log h⌉+1 4n · 2log log h = 4n log h t=1 þ ¡ O(n log h) þ þ

145. þ ü t þ t O(n log 22 ) = O(n · 2t ) ⌈log log h⌉ O(n · 2t ) t=1 ⌈log log h⌉ n · 2t n · 2⌈log log h⌉+1 4n · 2log log h = 4n log h t=1 þ ¡ O(n log h) O(n) þ þ

146. þ ½ þ ¾ ¿ þ þ

147. þ P n þ þ

148. þ P n ¸ P þ þ

149. þ P þ þ

150. þ P P¸ ¸ þ þ

151. þ P P¸ ¸ P þ þ

152. þ 1≤i ≤n þ þ

153. þ 1≤i ≤n Pi = {p1 , . . . , pi } þ þ

154. þ 1≤i ≤n Pi = {p1 , . . . , pi } Ci Pi þ þ

155. þ

156. Ê Ò ÓÑÈ ÖÑÙØ Ø ÓÒ´Aµ ½ ÓÖ k ← n ÓÛÒØÓ ¾ ¾ Ó rndIndex ← Ê Ò ÓÑ´k µ ¿ A[k] ↔ A[rndIndex] A ¸ Ê Ò ÓÑ´k µ [1, k] O(1) þ þ

157. þ

158. Ê Ò ÓÑÈ ÖÑÙØ Ø ÓÒ´Aµ ½ ÓÖ k ← n ÓÛÒØÓ ¾ ¾ Ó rndIndex ← Ê Ò ÓÑ´k µ ¿ A[k] ↔ A[rndIndex] A ¸ Ê Ò ÓÑ´k µ [1, k] O(1) ∀a ∈ A¸ a j 1/n¸ 1≤j ≤n þ þ

159. þ ½ pi Ci −1 ¸ Ci = Ci −1 pi Ci −1 ¸ Ci pi þ þ

160. þ ½ pi Ci −1 ¸ Ci = Ci −1 pi Ci −1 ¸ Ci pi pi+1 Ci+1 pi Ci-1=Ci þ þ

161. þ ÅÒ Ö Ð ´P µ ½ P ¾ C2 ← p1 p2 ¿ ÓÖ i ← 3 ØÓ n Ó pi Ci −1 Ø Ò Ci ← Ci −1 Ð× Ci ← Å Ò Ö Ð ¹½´Pi −1 ¸ pi µ þ þ

162. þ ¾ q ¸ ¸ P¸ q þ þ

163. þ ¾ q ¸ ¸ P¸ q Ciq Pi ¸ q þ þ

164. þ ¾ q ¸ ¸ P¸ q Ciq Pi ¸ q pi Ciq ¸ −1 Ciq = Ciq −1 pi Ciq ¸ −1 Ciq pi þ þ

165. þ ÅÒ Ö Ð ¹½´P ¸q µ ½ P ¾ C1 ← p1 q ¿ ÓÖ j ← 2 ØÓ n Ó pj Cj−1 Ø Ò Cj ← Cj−1 Ð× Cj ← Å Ò Ö Ð ¹¾´Pj−1 ¸ pj ¸ q µ þ þ

166. þ ¿ q1 ¸ q2 ¸ ¸ P¸ q1 q2 þ þ

167. þ ¿ q1 ¸ q2 ¸ ¸ P¸ q1 q2 Ciq1 ,q2 Pi ¸ q1 q2 þ þ

168. þ ¿ q1 ¸ q2 ¸ ¸ P¸ q1 q2 Ciq1 ,q2 Pi ¸ q1 q2 pi Ciq1 ,q2 ¸ −1 Ciq1 ,q2 = Ciq1 ,q2 −1 pi Ciq1 ,q2 ¸ −1 Ciq1 ,q2 pi þ þ

169. þ ÅÒ Ö Ð ¹¾´P ¸q1 ¸ q2 µ ½ C0 ← q1 q2 ¾ ÓÖ k ← 1 ØÓ n ¿ Ó pk Ck−1 Ø Ò Ck ← Ck−1 Ð× Ck ← ¸ q1 ¸ q2 pk þ þ

170. þ ü ÅÒ Ö Ð ¹¾´P µ þ þ

171. þ ü ÅÒ Ö Ð ¹¾´P µ þ O(n) þ þ

172. þ ü ÅÒ Ö Ð ¹¾´P µ þ O(n) ÅÒ Ö Ð ¹½´P µ þ þ

173. þ ü ÅÒ Ö Ð ¹¾´P µ þ O(n) ÅÒ Ö Ð ¹½´P µ þ Å Ò Ö Ð ¹¾ j 2/j þ þ

174. þ ü ÅÒ Ö Ð ¹¾´P µ þ O(n) ÅÒ Ö Ð ¹½´P µ þ Å Ò Ö Ð ¹¾ j 2/j n O(n) + O(j) 2 = O(n) j j=2 þ þ

175. þ ü ÅÒ Ö Ð ¹¾´P µ þ O(n) ÅÒ Ö Ð ¹½´P µ þ Å Ò Ö Ð ¹¾ j 2/j n O(n) + O(j) 2 = O(n) j j=2 ÅÒ Ö Ð ´P µ þ þ

176. þ ü ÅÒ Ö Ð ¹¾´P µ þ O(n) ÅÒ Ö Ð ¹½´P µ þ Å Ò Ö Ð ¹¾ j 2/j n O(n) + O(j) 2 = O(n) j j=2 ÅÒ Ö Ð ´P µ þ Å Ò Ö Ð ¹½ i 3/i þ þ

177. þ ü ÅÒ Ö Ð ¹¾´P µ þ O(n) ÅÒ Ö Ð ¹½´P µ þ Å Ò Ö Ð ¹¾ j 2/j n O(n) + O(j) 2 = O(n) j j=2 ÅÒ Ö Ð ´P µ þ Å Ò Ö Ð ¹½ i 3/i n O(n) + O(i) 3 = O(n) i i =3 þ þ

178. þ ü ÅÒ Ö Ð ¹¾´P µ þ O(n) ÅÒ Ö Ð ¹½´P µ þ Å Ò Ö Ð ¹¾ j 2/j n O(n) + O(j) 2 = O(n) j j=2 ÅÒ Ö Ð ´P µ þ Å Ò Ö Ð ¹½ i 3/i n O(n) + O(i) 3 = O(n) i i =3 O(n) þ þ

179. þ ü ÅÒ Ö Ð ¹¾´P µ þ O(n) ÅÒ Ö Ð ¹½´P µ þ Å Ò Ö Ð ¹¾ j 2/j n O(n) + O(j) 2 = O(n) j j=2 ÅÒ Ö Ð ´P µ þ Å Ò Ö Ð ¹½ i 3/i n O(n) + O(i) 3 = O(n) i i =3 O(n) O(n) þ þ

180. þ ½ þ ¾ ¿ þ þ

181. þ P n þ þ

182. þ P n P þ þ

183. þ þ þ

184. þ þ þ

185. þ p = (a, b) → ℓ y = ax + b ℓ y = kx + d → p = (−k, d) y y x x þ þ

186. þ p = (a, b) → ℓ y = ax + b ℓ y = kx + d → p = (−k, d) y y p1 x x l1 þ þ

187. þ p = (a, b) → ℓ y = ax + b ℓ y = kx + d → p = (−k, d) y y p2 p1 x l2 x l1 þ þ

188. þ p = (a, b) → ℓ y = ax + b ℓ y = kx + d → p = (−k, d) y y p2 p1 x l2 x p3 l3 l1 þ þ

189. þ p = (a, b) → ℓ y = ax + b ℓ y = kx + d → p = (−k, d) y y l4 p2 p1 x l2 x p4 p3 l3 l1 þ þ

190. þ p = (a, b) → ℓ y = ax + b ℓ y = kx + d → p = (−k, d) y y l4 p2 p13 p1 x l2 x p4 p3 l13 l3 l1 þ þ

191. þ p = (a, b) → ℓ y = ax + b ℓ y = kx + d → p = (−k, d) y y p5 p13 p1 x x l5 p3 l13 l3 l1 þ þ

192. þ p = (a, b) → ℓ y = ax + b ℓ y = kx + d → p = (−k, d) y y h p5 p13 h p1 x x l5 p3 l13 l3 l1 þ þ

193. þ þ þ

194. þ △pi pj pk þ þ

195. þ lk pij △pi pj pk pij ¸ lk þ þ

196. þ lk pij △pi pj pk pij ¸ lk O(n) þ þ

197. þ lk pij △pi pj pk pij ¸ lk O(n) þ ¡ O(n2 ) þ þ

198. þ lk pij △pi pj pk pij ¸ lk O(n) þ ¡ O(n2 ) O(n2 ) þ þ

199. þ ½ Åº Ö ¸ Çº ÓÒ ¸ Åº Ú Ò ÃÖ Ú Ð ¸ Åº ÇÚ ÖÑ Ö×¸ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ØÖÝ Ð ÓÖ Ø Ñ× Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ× ¸ Ì Ö Ø ÓÒ¸ ËÔÖ Ò Ö¸ ¾¼¼ º ¾ Âº Ç³ÊÓÙÖ ¸ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ØÖÝ Ò ¸ Ë ÓÒ Ø ÓÒ¸ Ñ Ö ÍÒ Ú Ö× ØÝ ÈÖ ××¸ ½ º ¿ Âº¹ º Ó ××ÓÒÒ Ø¸ Åº Ú Ò ¸ ¡ÓÑ¡ØÖ Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ ¸ × Ò ÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð¸ È Ö ×¸ ½ º º ¸ º ¸ þ ¸ º º¸ º¸ ¸½ º º ÅÓÙÒØ¸ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ØÖÝ Ä ØÙÖ ÆÓØ × ¸ ÐÐ ¾¼¼¾¸ ØØÔ »»ÛÛÛº ×ºÙÑ º Ù» ÑÓÙÒØ» »Ä Ø×» Ð Ø×ºÔ þ þ

200. þ ½ Êº Äº Ö Ñ¸ Ò ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñ× ÓÖ Ø ÖÑ Ò Ò Ø ÓÒÚ Ü ÙÐÐ Ó Ò Ø ÔÐ Ò Ö × Ø ¸ ÁÒ Óº ÈÖÓ º Ä ØØº¸ ½ ½¿¾ ½¿¿¸ ½ ¾º ¾ Êº º Â ÖÚ ×¸ ÇÒ Ø ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒÚ Ü ÙÐÐ Ó ÒØ × Ø Ó ÔÓ ÒØ× Ò Ø ÔÐ Ò ¸ ÁÒ Óº ÈÖÓ º Ä ØØº¸ ¾ ½ ¾½¸ ½ ¿º ¿ º º Ã Ö Ô ØÖ ¸ Êº Ë Ð¸ Ì ÙÐØ Ñ Ø ÔÐ Ò Ö ÓÒÚ Ü ÙÐÐ Ð ÓÖ Ø Ñ ¸ ËÁ Å Âº ÓÑÔÙØº¸ ½ ´½µ ¾ ¾ ¸½ º Ìº Ò¸ ÇÔØ Ñ Ð ÓÙØÔÙØ¹× Ò× Ø Ú ÓÒÚ Ü ÙÐÐ Ð ÓÖ Ø Ñ× Ò ØÛÓ Ò Ø Ö Ñ Ò× ÓÒ× ¸ × Öº ÓÑÔº ÓÑº¸ ½ ¿ ½ ¿ ¸ ½ º º Ï ÐÞÐ¸ ËÑ ÐÐ ×Ø Ò ÐÓ× Ò × × ´ ÐÐ× Ò ÐÐ Ô×Ó ×µ ¸ Ò Àº Å ÙÖ Ö ´ ºµ¸ Æ Û Ê ×ÙÐØ× Ò Æ Û ÌÖ Ò × Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ¸ ÄÆ Ë¸ ¿ ¿ ¼¸ ËÔÖ Ò Ö¸ ½ ½º º Þ ÐÐ ¸ Äº Âº Ù ×¸ º Ìº Ä ¸ Ì ÔÓÛ Ö Ó ÓÑ ØÖ Ù Ð ØÝ ¸ ÁÌ¸ ¾ ¼¸ ½ º þ þ

20110306 csseminar cg_illustrations_vyatkina

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

En vedette

En vedette (11)

Plus de Computer Science Club

Plus de Computer Science Club (20)

20110306 csseminar cg_illustrations_vyatkina