Website: www.toanhocdanang.com Phone: 0935 334 225 Facebook.com: ToanHocPhoThongDaNang

1. DANAMATH
www.toanhocdanang.com
www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang
ĐẠI SỐ 10
GV:Phan Nhật Nam
CHỨNG MINH MỆNH ĐỀ

2. Một số phép chứng minh mệnh đề thường gặp
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
PHÉP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP TRONG CHƯƠNG MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP
Phần 1: Chứng minh thẳng: (chứng minh trực tiếp)
Phương pháp chung: Cần chứng minh định lí: A  B.
Ta giả thiết A đúng. Dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết chứng minh B đúng.
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1:Gọi ℘ là tập hợp tất cả các số nguyên tố:
Chứng minh rằng tập hợp sau chứa hữu hạn phần tử :  2
|8 1xA x   
Giải:
Xét 2x  khi đó ta có:
2 2 2
8 1 8.2 1 33 3 8 1x x       x A 
Xét 3x  khi đó ta có:
2 2
8 1 8.3 1 73 3x x A       
Xét 3x  khi đó vì x nên x không chia hết cho 3
Do đó k N  sao cho 3 1x k  { x chia 3 dư 1 hoặc thiếu 1}
Khi đó :    22 2 2 2
8 1 8 3 1 1 8(9 6 1) 1 3 24 16 3 3 8 1x k k k k k x             
x A  với
3
x
x





Vậy  3A 
Ví dụ 2:Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương thì 13 1n
 chia hết cho 12
Giải:
Với 1n  ta có: 1
13 1 13 1 12 12n
    do đó mệnh đề đúng khi 1n 
Với 2n  ta có:   2 2
13 1 13 1 13 1 13 1 12.14 12n
       do đó mệnh đề đúng khi 2n 
Với 3n  ta có:     1 2 1 2
13 1 13 1 13 1 13 13 ... 1 12 13 13 ... 1 12n n n n n n n   
           
do đó mệnh đề đúng khi 3n 
Vậy " ,13 1 12"n
n N   là mệnh đồ đúng.

3. Một số phép chứng minh mệnh đề thường gặp
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com
Ví dụ 3:Chứng minh rằng  2
6 10.3 36 3 11.3 3 12 1 11.3n n n n n n n n
nu        
Giải:
Dễ thấy 11.3 11n
do đó để chứng minh 11nu ta chỉ cần chứng minh 12 1 11n

Đến đây ta chỉ cần chứng minh tương tự như câu trên
(tức là sử dụng HĐT:   1 1 1
...n n n n n
a b a b a a b b  
      )
Ví dụ 4:Chứng minh :
1 1 1 1
...
1.2 2.3 3.4 ( 1) 1
n
n n n
    
 
Giải:
Ta dễ thấy:
1 ( 1) ( 1) 1 1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1
k k k k
k k k k k k k k k k
  
    
    
Với 1k  ta có:
1 1 1 1
1
1.2 1 2 2
   
Với 2k  ta có:
1 1 1 1 1
2.3 2 3 2 3
   
Với k n ta có:
1 1 1
.( 1) 1n n n n
 
 
Khi đó ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1
1 ... 1
2 2 3 3 4 1 1 1
n
VT
n n n n
       
                  
         
(đpcm)
Ví dụ 5:Cho a, b là các số nguyên dương , m là một số nguyên tố. Hãy chứng minh mệnh đề sau là mệnh đề
đúng
“ Nếu ab m thì a m hoặc b m “
Giải:
Giả sử ab m mà a và b đồng thời không chia hết cho m
Khi a và b đồng thời không chia hết cho m 
1
1
.
.
a k m a
b h m b
 

 
(với k,h , 1 1,a b Z và 1 1,a b m )
Xét :     2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. . . . . . . . . . . . .a b k m a h m b k h m k b m h a m a b k h m k b h a m a b          
Mà ta lại có: 1 1
1 1
,
ˆ ˆ ˆ:
a b m
a b
m so nguyen to


 
không chia hết cho m và  1 1. . . .k h m k b h a m  m
Do đó ta có: ab không chia hết cho m (mâu thuẩn)
Vậy ta có “ Nếu ab m thì a m hoặc b m “ là mệnh đề đúng

4. Một số phép chứng minh mệnh đề thường gặp
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 www.toanhocdanang.com
Ví dụ 6:Cho hai số nguyên dương a, b thỏa mãn   16 17 17 16a b a a  chia hết cho 11. Chứng minh rằng
  16 17 17 16a b a a  có ít nhất một ước số là số chính phương.
Giải:
Ta có:    16 17 17 16 11(3 3 ) 11a b a a a b    
Ta có:   
16 17 11
16 17 17 16 11
17 16 11
a b
a b a a
a a

    
(vì 11 là số nguyên tố)
Khi đó ta có 3 trường hợp có thể xãy ra như sau:
TH1:
 
 
   
16 17 11
ˆ ˆ16 17 17 16 11
ˆ ˆ17 16 11
a b
a b a a khong chia he t cho
a a khong chia he t cho

   

(mâu thuẩn)
TH2:
 
 
   
ˆ ˆ16 17 11
ˆ ˆ16 17 17 16 11
17 16 11
a b khong chia he t cho
a b a a khong chia he t cho
a a

   

(mâu thuẩn)
TH3:
 
 
   
16 17 11
16 17 17 16 11
17 16 11
a b
a b a a
a a

   

(thỏa mãn)
Do đó ta chỉ có trường hợp 3 là đúng tức là ta có
 
 
 
 
16 17 11 16 17 11.
17 16 11 17 16 11.
a b a b k
a a a a h
    
 
    
       
2
16 17 17 16 11. .11. 11 16 17 17 16 121a b a a k h hk a b a a        (với ,k h Z )
Vậy   16 17 17 16a b a a  có ít nhất có một ước số là số chính phương (cụ thể là 121)
Ví dụ 7:Chứng minh rằng : n N  thì ta có 3 3 3
( 1) ( 2) 9n n n   
Giải:
Với n N  thì ta đều có thể biểu diển n thuộc 1 trong các dạng sau:
3n k hoặc 3 1n k  (n chia 3 dư 1) hoặc 3 2n k  (n chia 3 dư 2)
Với 3n k ta có  
33 3 3 3 3
( 1) ( 2) 27 (3 1) 3 2n n n k k k        
3 3 2 3 2 2 3
(3 ) (3 ) 3(3 ) 3(3 ) 1 (3 ) 3.2.(3 ) 3.2 .(3 ) 2k k k k k k k        
 3 2
9 9 9 5 1 9k k k   
Với 3 1n k  ta có    
3 33 3 3 3
( 1) ( 2) 3 1 (3 2) 3 3n n n k k k         
3 2 3 2 2 3 3
(3 ) 3(3 ) 3(3 ) 1 (3 ) 3.2.(3 ) 3.2 .(3 ) 2 27( 1)k k k k k k k         
3 3 2
9 3( 1) 6 9 5 1 9k k k k       
Với 3 2n k  ta có:    
3 33 3 3 3
( 1) ( 2) 3 2 (3 3) 3 4n n n k k k         
3 3 2
27( 1) 54 162 180 72k k k k     
 
3 3 2
9 3 1 6 18 20 8 9k k k k      
 
Vậy n N  thì ta đều có 3 3 3
( 1) ( 2) 9n n n   

5. Một số phép chứng minh mệnh đề thường gặp
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 www.toanhocdanang.com
Phần 2: Chứng minh phản chứng: (chứng minh gián tiếp)
Phương pháp chung:
Giải sử yêu cầu đề toán là sai. Từ giả sử đó bằng các kiến thức và suy luận
toán học ta dẫn đến muân thuẩn với giả thuyết hoặc mâu thuẩn với thực tế
Loại 1: Cần chứng minh Q là mệnh đề đúng.
 Giả sử Q(x) sai
 Từ Q(x) sai ta sử dụng kiến thức và suy luận toán học để dẩn đến mâu thuẩn với chân lý.
 Khi đó kết luận được Q(x) là mệnh đề đúng.
Loại 2: Cần chứng minh mệnh đề P(x)  Q(x) đúng.
 Giả sử P(x) đung mà có Q(x) sai (tức là giả sử mệnh đề P(x)  Q(x) sai)
 Từ Q(x) sai ta sử dụng kiến thức và suy luận toán học để dẩn đến mâu thuẩn với P(x) đung
hoặc mâu thuẩn với chân lý.
 Khi đó kết luận được P(x)  Q(x) là mệnh đề đúng.
Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 1:Chứng minh rằng : “ Nếu n N  và 2
5n thì 5n “
Giải:
Giả sử n N  và 2
5n mà ta có n không chia hết cho 5
Vì n không chia hết cho 5 nên n có thể biểu diển theo một trong các dạng sau:
5 1n k  hoặc 5 2n k 
Với 5 1n k  ta có:    22 2 2
5 1 25 10 1 5 5 2 1n k k k k k        không chia hết cho 5 (mâu thuẩn)
Với 5 2n k  ta có:    22 2 2
5 2 25 10 4 5 5 2 4n k k k k k        không chia hết cho 5 (mâu thuẩn)
Vậy mệnh đề “ Nếu n N  và 2
5n thì 5n “ là một mệnh đề đúng.
Ví dụ 2:Chứng minh rằng : “Nếu m, n là các số nguyên và 2 2
m n chia hết cho 3 thì m, n cùng chia hết cho 3”
Giải:
Giả sử ,m n Z và 2 2
m n chia hết cho 3 mà m, n không đồng thời chia hết cho 3
TH1: có đúng một số chia hết cho 3 .
Khi đó với ,k h Z , 2 2 2 2 2 23
(3 ) (3 1) 3(3 3 2 ) 1
3 1
m k
m n k h k h h
n h

        
 

6. Một số phép chứng minh mệnh đề thường gặp
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 www.toanhocdanang.com
2 2
m n  không chia hết cho 3 (mâu thuẩn)
TH2: Cả hai số không chia hết cho 3
Khi đó với ,k h Z , 2 2 2 2 2 23 1
(3 1) (3 1) 3(3 3 2 2 ) 2
3 1
m k
m n k h k h k h
n h
 
          
 
2 2
m n  không chia hết cho 3 (mâu thuẩn)
Do đó ta có: “Nếu ,m n Z và 2 2
m n chia hết cho 3 thì m, n cùng chia hết cho 3”
Ví dụ 3:Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 , , 1a b c  chứng minh rằng: có ít nhất một trong các
BĐT sau sai :      (1) (2) (3)
4 1 1 0 , 4 1 1 0 , 4 1 1 0a b b c c a        
Giải:
Giả sử các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 , , 1a b c  nhưng các BĐT (1), (2), (3) đều đúng
Khi đó:
 
 
 
     
4 1 1
4 1 1 4 1 4 1 4 1 1
4 1 1
a b
b c a b b c c a
c a
 

      

 
         
2 2 22 2 2
4 4 4 4 4 4 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1a a b b c c a b c                 
     
(mâu thuẩn)
Vì , , , 0 , , 1a b c R a b c    ta đều có:
2
2
2
0 1 (1 2 ) 1
0 1 (1 2 ) 1
0 1 (1 2 ) 1
a
b
c
    

   
    
Vậy có ít nhất một trong các BĐT (1), (2) và (3) đúng.
Ví dụ 4:Cho các số thực x, y, z thỏa điều kiện
0 (1)
0 (2)
0 (3)
x y z
xy yz zx
xyz
  

  
 
.Chứng minh rằng ,x y , z là các số dương
Giải:
Giả sử
0 (1)
0 (2)
0 (3)
x y z
xy yz zx
xyz
  

  
 
mà có ít nhất một trong các số ,x y , z là số âm.
Vì vai trò các số x, y, z đóng vai trò như nhau trong bài toán trên nên ta giả sử x là số âm.
Khi 0x  khi đó theo BĐT (3) ta có 0yz 
 (2) 0x y z yz    mà 0yz  nên ta có   0x y z  0y x   (vì 0x  )
Do đó từ (2) và (3) ta có:
0
0
0
x
x y z
y z

   
 
(mâu thuẩn)
Vậy x, y, z là các số dương

7. Một số phép chứng minh mệnh đề thường gặp
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 www.toanhocdanang.com
Ví dụ 5:Chứng minh rằng : Trong hai phương trình (1) và (2) sau có ít nhất một phương trình có nghiệm:
2
2 2 1 0x ax b    (1) và 2
2 2 1 0x bx a    (2)
Giải:
Giả sử cả hai phương trình (1) và (2) đều vô nghiệm.
Khi đó ta có:    
2 2
(1) 2 2
2 2
(2)
' ( 2 1) 2 1 0
2 1 2 1 0
' ( 2 1) 2 1 0
a b a b
a b b a
b a b a
        
      
        
2 2 2 2
2 1 2 1 0 ( 1) ( 1) 0a a b b a b            (mâu thuẩn)
Vậy có ít nhất một trong hai phương trình (1) và (2) có nghiệm
Ví dụ 6:Chứng minh rằng “Điều kiện cần và đủ để tam giác ABC cân tại A là nó có hai đường phân giác trong
của góc B và C bằng nhau”
Giải:
Gọi 'bl BB là phân giác trong của góc B
'cl AA là phân giác trong của góc C
Chứng minh: ACB cân tại A  b cl l
Xét 'BCB và 'CBC ta có:
' ' ' ' ' '
' '
b c
BC chung
B BC C CB BCB CBC BB CC l l
B CB C BC


        


(đpcm)
Chứng minh: ACB có b cl l  ACB cân tại A
Giả sử ABC có bl = cl mà ABC không cân tại A(tức là ACB ABC )
Không mất tính tổng quát ta giả sử ACB ABC
Khi đó ta chọn điểm M thuộc đoạn BB’sao cho ' 'MCC MBC
và M, B khác phía só với CC’  tứ giác BCMC’ nội tiếp
Lại có 'ACB ABC C CB MBC  
' ' ' 'C CB MCC MBC MBC MCB C BC     
   ' 'sd BM sd CC BM CC    (tính chất góc nội tiếp đường tròn)
' ' b cBB CC l l    (mâu thuẩn)
Do dó ACB có b cl l  ACB cân tại A
A
B C
MC’
B’
A
B C
B’C’

8. Một số phép chứng minh mệnh đề thường gặp
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 www.toanhocdanang.com
Bài tập rèn luyện
Bài 1: Chứng minh rằng : n N  thì ta có 2
3 5n n  không chia hết cho 121.
Bài 2:Chứng minh rằng : 3 3 3
" , , , 3 "a b c R a b c abc
    
Bài 3:Chứng minh rằng : “ nếu tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800
thì tứ giác đó nội tiếp được
trong đường tròn”
Bài 4: Chứng minh rằng : 2
" , 11 11"n N n n  
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta đều có: 2
3 5n n  đều không chia hết cho 121
Bài 6: , ,x y z R  . Chứng minh rằng : Có ít nhất một trong 3 bất đẳng thức sau là sai
x y z  , y z x  và z x y 
Bài 7:Chứng minh các mệnh đề sau bằng phương pháp phản chứng:
a) Nếu a b 2  thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1.
b) Một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc nhỏ hơn 0
60 .
c) Nếu x 1  và y 1  thì x y xy 1    .
d) Nếu bình phương của một số tự nhiên n là một số chẵn thì n cũng là một số chẵn.
e) Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn.
f) Nếu một tứ giác có tổng các góc đối diện bằng hai góc vuông thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
g) Nếu x y2 2
0  thì x = 0 và y = 0
h) Cho hai số tự nhiên a và b , nếu 2 2
a b chia hết cho 8 thì a và b không thể đồng thời là số lẻ
i) Nếu nhốt 26 con thỏ vào trong 6 chuồng thì có ít nhất một chuồng có nhiều hơn 4 con thỏ