www.toanhocdanang.com www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang Phone : 0935 334 225

1. DANAMATH
www.toanhocdanang.com
www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang
CHUYÊN ĐỀ :
TỌA ĐỘ
PHẲNG
GV:Phan Nhật Nam
PHƢƠNG PHÁP VECTƠ

2. PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
A. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ
1. Tọa độ điểm và tọa độ vectơ :
( ; )B A B AAB x x y y   1 1 2 2( , )a b a b a b    ; 1 2( , )ka ka ka  Rk 
2. Hai vectơ cùng phƣơng : a cùng phương b  1 2
1 2
1 2
( , 0)
a a
b b
b b
  hoặc 1 2
1 2
0
a a
b b

Chú ý : A, B, C thẳng hàng ACAB, cùng phương
3. Tích vô hƣớng của hai vectơ :
 Định nghĩa: . . .cos( . )a b a b a b
 Các tính chất :
2 2
1 2a a a  2 2
( ) ( )B A B AAB AB x x y y     a b  0. 2211  bababa
1 2
1 2 2 1
1 2
1 1
2 2
ABC
a a
S a b a b
b b
    1 2 2 1
2 2 2 2
1 2 1 2
sin( , )
.
a b a b
a b
a a b b


 
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
cos( , )
a b a b
a b
a a b b


  
B. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG
I. CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH
1) d qua );( 000 yxM và có VTCP );( 21 uuu  d:
0 1
0 2
 

 
x x u t
y y u t
( )t  hoặc d: 0 0
1 2
 

x x y y
u u
2) Pt tổng quát (d) 0 CByAx ( 022
 BA )  d có VTPT ( ; )n A B
3) Pt đường thẳng (d) qua );( 000 yxM và có VTPT ( ; )n A B : 0)()( 00  yyBxxA ( 022
 BA )
4) Pt đường thẳng d cắt Ox tại )0;(aA và cắt Oy tại );0( bB : 1
x y
a b
  ( ; 0)a b 
5) Đường thẳng d đi qua  11; yxA và  22 ; yxB  d:
12
1
12
1
yy
yy
xx
xx





( với 21 xx  và 21 yy  )
II. Các công thức liên quan đến đƣờng thẳng :
1) Khoảng cách từ M0 (x0 ; y0 ) đến  : 0 CByAx là 0 0
0 2 2
( , )
Ax By C
d M
A B
 
 

 Hệ quả: Pt 2 đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng 0:)( 1111  CyBxAd và
0:)( 2222  CyBxAd là :
2
2
2
2
222
2
1
2
1
111
BA
CyBxA
BA
CyBxA





2) Góc giữa 2 đƣờng thẳng (d1) và (d2) : Cos(d1,d2)= 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 1 2 2
.
. .
n n A A B B
n n A B A B


 
(0 )
2

 

3. PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com
SƠ ĐỒ TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM
SƠ ĐỒ LẬP PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG
Tìm
tọa
độ
điểm
M
Tìm thêm một đƣờng thẳng d’ qua M.
Tính độ dài
(với A có trước tọa độ)
Tính khoảng cách
(với biết trước phươgn trình)
Lập đẳng thức vec tơ chứa điểm M cần
tìm
M
(thuôc đt cho trước)
. . .
A
(thuộc đt cho trước)
B
(cho trước tọa độ)
M
(chư có thông tin)
. . .A
(cho trước tọa độ)
B
(cho trước tọa độ)
M
(thuôc đt cho trước)
. . .
A
(thuộc đtròn cho trước)
B
(cho trước tọa độ)
Viết
Phƣơng
trình
Đƣờng
Thẳng
d
Tìm
Tìm thêm
tìm vuông góc d
tìm song song d
Tìm góc
Tìm khoảng cách
Tìm được trực tiếp VTPT của d
Gọi là VTPT của d
Công thức góc (hoặc khoảng cách )
Chon 1 biến biến còn lại

4. PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 www.toanhocdanang.com
PHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP VECTƠ TRONG HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG
A. MỤC ĐÍCH & PHƢƠNG HƢỚNG:
1. Sử dụng 2 vectơ bằng nhau hoặc cùng phương để tìm tọa độ điểm :
(thường xét cho bài toán chứa tỷ số độ dài)
 .
.
N canhAB
AN k NB
AN k NB

  

hệ gồm hai phương trình theo biến là tọa độ của điểm cần tìm
 A, B, C thẳng hàng  1 1 2 2( ; ), ( ; )AB a b AC a b  cùng phương  1 1
2 2
a b
a b

(nếu 2 0a  thì 1 0a  hoặc nếu 2 0b  thì 1 0b  )
2. Sử dụng vectơ để chứng minh hai đường thẳng vuông góc nhau:
 Chọn cặp vecto cơ sơ a , b (thông thường là các vecto nằm trên cạnh và vuông góc nhau)
 Nếu dự đoán AB  MN thì ta phân tích : 1 1
2 2
AB a b
MN a b
 
 
  

 
với 1 1 2 2, , ,    là các số cụ thể
   1 1 2 2. 0AB MN a b a b AB MN        
3. Sử dụng vectơ để tìm độ dài đoạn hoặc xác định góc:
 Chọn cặp vecto cơ sơ a , b (thông thường là các vecto nằm trên cạnh va vuông góc nhau)
 Nếu dự đoán AB  MN thì ta phân tích : 1 1
2 2
AB a b
MN a b
 
 
  

 
      
2 2 222
1 1 1 1 1 12 ...AB AB a b a a ab           
    .
cos cos ,
.
AB AC
BAC AB AC
AB AC
 
B. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD có 3AC = 2AB, N là trung điểm của CD. M(-1; 2) thuộc
đoạn AC sao cho AC = 4AM. Gọi H là điểm đối xứng với N qua C. Tìm tọa độ các đỉnh ABCD
biết BN: 13x – 10y +13 = 0 và H thuộc đường thẳng d: 2x – 3y = 0.
Bình luận: Bài toán này có dấu hiệu tương đối rỏ ràng với tỷ số độ dài AC = 4AM, và 3 giả thuyết
điểm M, đường thẳng BN và điểm H thuộc đường thẳng cho trước, điều này khiến ta nghĩ đến tìm
điểm H bằng đẳng thức vectơ.
Hƣớng dẫn giải:
Đặt: 0AD a   3 ; 2H d H a a 
13 13
;
10
b
K BN K b
 
   
 
Theo talet cho ACD ta có:
3 3
4 4
MI a
MI
AD
  
Theo talet cho BCN ta có:
1 5
2 2 2 4
IF NI BC a a
IF MF MI IF
BC NC
        
A
B
D
C
.
.
.
.
M(-1;2)
N
.
H
E
F
K
I

5. PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 www.toanhocdanang.com
Theo talet cho NEH ta cos: 2 2 2
EH NH
EH BC a
BC NC
    
Theo talet cho KEH ta có:
    195 3 8 1
8 57 387
5 8 ;13 13 13 13
335 7 75 2 8 2
10 10
13
a b b a
KH EH
KH KM Hb b
KM FM a
b
         
                
               
Ta có: 3AC = 2AB  
4
3 2 2
3
CM CN CM CN CH MNH
 
       
 
nội tiếp trong đtròn tâm C
MN MH   đường thẳng MN đi qua M có VTPT
50 62
; : 25 31 37 0
7 7
MH MN x y
 
     
 
N BN MN N  
C là trung điểm HN C
N là trung điểm CD D
4
3
CA CM A  CB DA B 
Ví dụ 2: (A – 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm
của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng CD,
biết rằng M(1; 2) và N(2; - 1).
Hƣớng dẫn giải:
Gọi E MN DC  . ( ; )D a b .  1; 3MN   , (2 ; 1 )DN a b   
Theo talet ta có:
1
3
NE EC NC
NM MA NA
  
2 1 3( 2) 7
3 ; 2
1 2 3( 1) 3
E
E
x
MN NE E
y
    
           
 3 3 1
4 4 4
DN AN AD AD AB AD AB AD      
 3 1 1 3
4 2 4 4
MN AN AM AD AB AB AB AD      
Khi đó ta có:
2 23 1 1 3 3 3
. 0
4 4 4 4 16 16
DN MN AB AD AB AD AB AD
  
       
  
(vì ABCD là hình vuông)
2
2 2 2 23 1 8 1 9
4 4 16 16 16
DN AB AD AB AD AB
 
     
 
(vì AB = AD)
2
2 2 2 21 3 8 1 9
4 4 16 16 16
MN AB AD AB AD AB
 
     
 
Suy ra :
. 0DN MN
DN MN
 

      
2 2 2
5 3 5 3 5
03 3 1 10 1 1
a b a b a
bb b b
      
   
        
hoặc
1
2
a
b
 

 
A
D
B
C
.
M(1; 2)
N(2; -1)
E

6. PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 www.toanhocdanang.com
TH1:
5
0
a
b



(5; 0)D
Đường thẳng DC đi qua hai điểm D(5; 0) và
7
; 2
3
E
 
 
 
:3 4 15 0DC x y   
TH1:
1
2
a
b
 

 
( 1; 2)D  
Đường thẳng DC đi qua hai điểm ( 1; 2)D   và
7
; 2
3
E
 
 
 
: 2 0DC y  
Ví dụ 3: Cho  ABC có góc A nhọn. Gọi I(4; 2) là trung điểm BC . Điểm A thuộc d: 2x – y – 1 = 0
Dứng bên ngoài tam giác ABC các tam giác ABD và ACE vuông cân tại A.
Biết DE: 3 18 0x y   ,độ dài đoạn BD bằng 2 5 và điểm D có tung độ nhỏ hơn 5.
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Hƣớng dẫn giải:
Ta có :    0
, 90 ,AE AB EAB EAC CAB CAB DAC AD AC      
   cos , cos ,AD AC AE AB  và . 0
. 0
AE AC AE AC
AD AB AD AB
   

  
DE AE AD  và  1
2
AI AB AC 
Ta có: 1 1 1 1
. . . . .
2 2 2 2
DE AI AE AB AE AC AD AB AD AC   
   1 1
. cos , . cos , 0
2 2
AE AB AE AB AD AC AD AC  
DE AI  (vì AB = AD và AC = AE)
Suy ra đường thẳng AI đi qua I và vuông góc với đường thẳng DE :3 14 0AI x y   
 3; 5A d AI A   .  : 3 18 0 3 18;D DE x y D m m     
Áp dụng Pitago cho tam giác ABD ta có:
   
 
2 2 2
2 2 6 ( )2 5
10 3 15 5 10
4 6; 42 2
m loaiAD AB BD BD
AB AD m m
m DAD AB
  
           
   
Đường thẳng AB đi qua A và có VTPT là  9;1DA  :9 32 0AB x y    .  ;32 9B AB B m m  
   
2 2 5 5
10 3 27 9 10 3 3
41 41
AB m m m m           
Với
5 5 5
3 3 ; 5 9
41 41 41
m B
 
      
 
(loại vì A,B nằm khác phía so với DE)
Với
5 5 5
3 3 ; 5 9
41 41 41
m B
 
      
 
A d:2x–y–1=
0
B C
D
E
I(4; 2)

7. PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 www.toanhocdanang.com
Vì I là trung điểm của BC
5 5
5 ; 1 9
41 41
C
 
     
 
Vậy các điểm cần tìm là :  3; 5A ,
5 5
3 ; 5 9
41 41
B
 
   
 
và
5 5
5 ; 1 9
41 41
C
 
    
 
Ví dụ 4 : Cho tam giác ABC vuông tại B có BC = 2BA. Điểm M(2; -2) là trung điểm đoạn AC.Gọi
N thuộc cạnh BC sao cho BC = 4BN,
4 8
;
5 5
H
 
 
 
là giao điểm của 2 đường thẳng ANvà BM.
Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết điểm N thuộc d: x + 2y – 6 = 0.
Hƣớng dẫn giải:
M là trung điểm AC   1
2
BM BC BA  . Lại có : BC = 4BN 1
4
AN BN BA BC BA    
 
22 2 2 01 1 1 1
. 2 0 90
8 2 8 2
BM AN BC BA BA BA BM AN MHN        
Gọi
 
1 1
1 1 1 4 1
m m
AH mHN AH mHN BH BA BN BA BC
m m m m
       
   
Vì B, H, M thẳng hàng  
1
4 11 4 4
1 1
2 2
m
mm m AH HN
      .
Ta cũng có thể tìm tỷ số AN và NH theo hệ thức lượng trong NBA , cụ thể là:
2 2 2
2
2 2 2 2 2
1
. 5.
(2 ) 5
NH BN BN BN
NH NA BN NA NH
NA NA BN BA BN BN
       
 
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: (A – 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm
của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng CD,
biết rằng M(1; 2) và N(2; - 1).
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có phương trình đường chéo
AC: 5x + y + 4 = 0. Gọi
23 15
;
7 7
H
 
 
 
là trực tâm của tam giác ABC và
2
;4
3
G
 
 
 
là trọng tâm
tam giác ACD . Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành A, B, C, D.
Bài 3: (B – 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD. Điểm M(-3; 0) là
trung điểm của cạnh AB, điểm H(0; - 1) là hình chiếu vuông góc của B trên AD và điểm
4
; 3
3
G
 
 
 
là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm tọa độ các điểm A và B

8. PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 www.toanhocdanang.com
Bài 4: (A – 2012) Cho hình vuông ABCD. Gọi
11 1
;
2 2
M
 
 
 
là trung điểm BC, N thuộc cạnh CD sao cho
CN = 2ND. Biết AN: 2x – y – 3 = 0, tìm tọa độ điểm A.
Bài 5: (B – 2013) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc
nhau và AD = 3BC. Đường thẳng BD có phương trình 2 6 0x y   và tam giác ABD có trực tâm
là H(-3; 2). Tìm tọa độ các đỉnh C và D.
Bài 6: (A – 2013) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : 0x y   . Đường tròn (C) có bán
kính 10R  cắt  tại hai điểm A và B sao cho AB = 4 2 . Tiếp tuyến của (C) tại A, B cắt
nhau tại điểm thuộc tia Oy. Viết phương trình đường tròn (C)
Bài 7: Cho hình vuông ABCD có tâm I . Gọi G là trọng tâm của  ABI và điểm E(7; -2) thuộc
đoạn BD sao cho GA = GE. Tìm tọa độ các điểm A,B,C,D biết đường thẳng
GA: 3x – y – 13 = 0 và 4Ax 
Bài 8: Cho hình thang vuông ABCD (vuông tại B, C) có AB = BC = 2CD. Gọi M là trung điểm BC và
4 8
;
5 5
H
 
 
 
là giao điểm BD và AM. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD
biết AB: x – y + 4 = 0 và 0Ax 
Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC.
Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BD. E, F lần lượt là trung điểm đoạn CD và BH.
Biết A(1; 1), phương trình đường thẳng EF là 3x – y – 10 = 0 và điểm E có tung độ âm.
Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D.
Bài 10: Cho  ABC có góc A nhọn. Gọi I(4; 2) là trung điểm BC . Điểm A thuộc d: 2x – y – 1 = 0
Dứng bên ngoài tam giác ABC các tam giác ABD và ACE vuông cân tại A.
Biết DE : 3 18 0x y   ,độ dài đoạn BD bằng 2 5 và điểm D có tung độ nhỏ hơn 5.
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại B có BC = 2BA. Điểm M(2; -2) là trung điểm đoạn AC.Gọi
N thuộc cạnh BC sao cho BC = 4BN,
4 8
;
5 5
H
 
 
 
là giao điểm của hai đường thẳng ANvà BM.
Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết điểm N thuộc đường thẳng d: x + 2y – 6 = 0.
Bài 12: Trong không gian với hệ trục Oxy, Cho hình vuông ABCD có A(-1; 2). Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của các cạnh AD và DC; K là giao điểm của BN với CM. Viết phương trình
đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK, biết BN có phương trình 2x + y – 8 = 0 và điểm B có hoành

9. PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 www.toanhocdanang.com
độ lớn hơn 2.
Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD và 3AD AB . Giã
sử hai điểm O và A đối xứng nhau qua điểm B. Gọi N thuộc cạnh BC sao cho BC = 3BN.
Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD , biết đường thẳng AN có phương trình
3 2 0x y   và điểm B có tung độ dương .
Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có I là giao điểm hai
đường chéo, G là trọng tâm của tam giác ABI và điểm E(7; -2) thuộc đường chéo BD sao cho
GA = GE. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông A, B, C, D biết đường thẳng GA có phương trình
3x – y -13 = 0 và điểm A có hoành độ nhỏ hơn 4.