www.toanhocdanang.com www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang Phone: 0935 334 225

1. Chuyên đề
Tọa độ phẳng
GV: PHAN NHẬT NAM
GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
AI(-1; 0)
O
D(1; 0)

2. GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
I. CÁC CÔNG THỨC ĐỊNH LƯỢNG
 ABC có :
r là bán kính đường tròn nội tiếp
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp
am là độ dài trung tuyến kẻ từ đỉnh A.
ah là độ dài đường cao kẻ từ A.
p một nữa chu vi
2 2
BC AC AB a b c
p
    
  
 
1. Hệ thức lương trong tam giác
a. Cho  ABC vuông tại A, có đường cao AH.
 222
BCACAB 
 2
. ,AB BC BH 2
.AC BC CH , 2
.AH BH CH ,
 . .AB AC AH BC
 222
111
ACABAH

b. Cho  ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c độ dài các trung tuyến là cba mmm ,, bán kính đường tròn
ngoại tiếp R, bán kính đường tròn nội tiếp r, nửa chu vi p.
 Định lý hàm số cosin:
Abccba cos.2222

Baccab cos.2222

Cabbac cos.2222

 Định lí hàm số sin: R
C
c
B
b
A
a
2
sinsinsin

 Công thức độ dài trung tuyến:
42
222
2 acb
ma 


42
222
2 bca
mb 


42
222
2 cba
mc 


2. Công thức tính diện tích tam giác
 cba hchbhaS .
2
1
.
2
1
.
2
1

 CabBcaAbcS sin.
2
1
sin.
2
1
sin
2
1


R
abc
S
4
 prS 
 ))()(( cpbpappS 
  ABC vuông tại A : AHBCACABS .
2
1
.
2
1

  ABC đều cạnh a:
4
.3 2
a
S 

3. GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com
II. CÁC PHÂN TÍCH ĐỊNH TÍNH THƯỜNG GẶP
 I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC thì I thuộc đường trung trực của các cạnh và IA = IB = IC.
 Nếu đề toán cho AH là đường cao của ABC thì
 
 




AHMNBCNMAHBC
xAAHA
,
0
 Nếu đề cho AM là trung tuyến của ABC thì
 










 

AM
yyxx
M
xAAMA
CBCB
2
;
2
0
{M là trung điểm của BC}
 Nếu đề cho d là đường trung trực của BC thì










 

d
yyxx
M
BCd
CBCB
2
;
2
 Nếu đề cho d là đường trung bình của ABC (d đi qua trung điểm AB, AC)
thì
 


 AMmeđitrunglàIthìIdAMBCM
dBC
ˆ
//
hay    dAdBCAd ,2, 
 Nếu đề cho AM là phân giác trong góc A của ABC thì ta thực hiện theo các bước:
 Chọn trên hai đường thẳng AB, AC một điểm mà ta đã biết được tọa độ của nó.
Giả sử là điểm C.
 Lập phương trình đường thẳng d qua C và vuông góc với AD
 Gọi ADdH  H và gọi ADdC '
 Vì AH vừa là đường cao vừa là phân giác của
 ACC’   ACC’ cân tại A H là trungđiểm của CC’
tọa độ điểm  CHCH yyxxC  2;2' thuộc AB
{hay A, B, C’ thẳng hàng}
III. CÁC TÍNH CHẤT THƯỜNG GẶP CỦA CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC
1. Trọng tâm: (giao điểm của ba đường trung tuyến)
G là trọng tâm của
3
3
2
3
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
ABC y
AG AM
  


   

 

(với M là trung điểm của BC)
Chú ý: G, H, I lần lượt là trọng tâm , trực tâm , tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
Gọi A’ đối xứng A qua I , M là trung điểm của BC
Khi đó dễ dàng chứng minh được HBA’C là hình bình hành
Và OM là đường trung bình của ' 2AHA OM AH  
M là trung điểm BC 2OB OC OM OB OC AH    
OG GB OG GC AG GH     
 2OG GA GB GC GH     2OG GH 
Từ đây nếu đề toán cho hai trong ba điểm G, H, I thì ta sẽ tìm được điểm thứ 3
A B
d
C
H
D
C’
.
A
B C
I
A’
H
M

4. GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 www.toanhocdanang.com
2. Trực tâm : (giao điểm của 3 đường cao)
H là trực tâm của tam giác ABC
AH BC
BH AC

 

Chú ý : Tính chất cần nhớ của trực tâm
Xét các điểm như hình vẽ ta có:
 D đối xứng với A qua I HBDC là hình bình hành
 M là trung điểm BC 2AH IM 
 Goi K là giao điểm của AH và (I) (K  A)
Khi đó ta có: KBC KAC HBC 
KBH  cân tại B (vì đường cao BA’cũng là phân giác)
BC là trung trực của HK
 Xét đường tròn ngoại tiếp ABA’B’ ta có: ' 'HB A HAB
Xét đường tròn ngoại tiếp AB’HC’ ta có: ' 'HB C HAB
' ' ' ' 'HB C HB A B H   là phân giác ' ' 'C B A
Tương tự ta cũng có: 'C H là phân giác ' ' 'B C A
 H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A’B’C’
 Ta có: :BCD KBC HBC  
 đường tròn ngoại tiếp HBC là ảnh của đường tròn (I) qua phép đối xứng trục BC.
 Xét đường tròn ngoại tiếp AB’HC’ ta có : ' ' 'AB C AHC
mà 'AHC ABC (cùng bù ' 'C HA ) và
1
2
ABC EIC AIC  ' 'EIC AB C 
lại có 'ICE FAB 'AFB  đồng dạng với 0
' 90 ' 'CEI AFB CEI AI B C     
 Gọi ( ): ( , ) 0C f x y  là đường tròn ngoại tiếp BCB’C’.( '): ( , ) 0C g x y  là đường tròn ngoại tiếp
AB’HC’ ' ': ( , ) ( , ) 0B C f x y g x y  
3. Tâm đường tròn ngoại tiếp: (giao điểm của ba đường trung tực)
I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
IA IB
IA IB

 

Chú ý : Tính chất cần nhớ của tâm đường tròn ngoại tiếp
Xét đường tròn (C) có tâm I là đường tròn ngoại tiếp ABC

1
2
BAC BIC BIM  (với M là trung điểm của BC)
 BD, CD là hai tiếp tuyến của (C)
 BAC BCD CBD 
 Gọi K là giao điểm của đoạn ID và (C)
K là tâm đường tròn nội tiếp BCD
.
A
B C
DK
.
C’
B’
A’
H
I
I’
M
A
B
C
D
I
M
K

5. GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 www.toanhocdanang.com
4. Tâm đường tròn nội tiếp: (giao điểm ba đường phân giác)
J là tâm đường tròn nội tiếp ABC
( , ) ( , )
( , ) ( , )
d J AB d j AC
d J AB d j BC

 

Chú ý : Tính chất cần nhớ của tâm đường tròn ngoại tiếp
Xét (C) có tâm J là đường tròn nội tiếp ABC
và D là chân đường phân giác trong BAC

AB
DB DC D
AC
   ;
BA
JA JD J
BD
  
 EAB EAC EB EC EB EC IE BC      

,
BJE JBA JAB
BJE JBC CBE JBE
JBA JBC JAB CBE
  
   
 
BJE  cân tại E EB EC EJ  
IV. Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: (D - 2009) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung điểm của
cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao kẻ từ A lần lượt có phương trình là 7 2 3 0x y   và
6 4 0x y   . Viết phương trình đường thẳng AC.
Giải:
Gọi AH, AK lần lượt là trung tuyến và đường cao kẻ từ A
Khi đó ta có:  A AH AK 
tọa độ A là nghiệm của hệ
7 2 3 0
(1; 2)
6 4 0
x y
A
x y
  

  
M là trung điểm của AB (3; 2)B 
Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc AH
: 6 9 0BC x y    .
Ta có: C BC ( 6 9 ; )C m m  
K là trung điểm của AB
2
3 3;
2
m
K m
 
   
 
Lại có
2
7( 3 3) 2 3 0 1 ( 3; 1)
2
m
K AK m m C
 
             
 
Đường thẳng AC đi qua A và C
(1;2) 1 2
: :3 4 5 0
4 3(4;3) `
A AC x y
AC AC x y
CA laVTCP AC
  
      

Vậy đường thẳng cần tìm là AC: 3x - 4y + 5 = 0
. .
A
B C
J
I
M
E
A
.
B CKH

6. GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 www.toanhocdanang.com
Ví dụ 2: (B - 2008) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác
ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1; -1),
đường phân giác trong của góc A có phương trình 2 0x y   và đường cao kẻ từ B
có phương trình 4 3 1 0x y  
Giải:
Gọi AD là phân giác và BK là đường cao như hình vẽ
Gọi d là đường thẳng qua H và vuông góc AD
: 2 0d x y   
Gọi I là giao điểm của AD và d
tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình
2 0
2 0
x y
x y
  

  
( 2; 0)I 
Gọi H’ là giao điểm của d và AC 'AHH  cân tại A
 I là trung điểm HH’ '( 3;1)H 
AC đi qua H’ và vuông góc BK :3 4 13 0AC x y   
A là giao điểm của AC và AD tọa độ của A là nghiệm của hệ
2 0
3 4 13 0
x y
x y
  

  
(5;7)A
CH đi qua H và vuông góc AH :3 4 7 0HC x y   
C là giao điểm của AC và HC tọa độ của C là nghiệm của hệ
3 4 7 0
3 4 13 0
x y
x y
  

  
10 3
;
3 4
C
 
  
 
Ví dụ 3: (B - 2009) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân tại A(-1; 4) và các
đỉnh B, C thuộc đường thẳng d: x – y – 4 = 0. Xác định tọa độ của B và C, biết diện tích
của tam giác ABC bằng 18.
Giải:
Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng d
AH qua điểm A và vuông góc BC : 3 0AH x y   
H là giao điểm của AH và đường thẳng d
 tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình
3 0 7 1
;
4 0 2 2
x y
H
x y
    
       
Ta có: ( ; 4)B d B m m   , lại có H là trung điểm của BC (7 ; 3 )C m m  
2 2
(2 7) (2 7) 2 7 2BC m m m      và
9
( , )
2
AH d A d 
1 9 3
18 2 7 2. 18 2 7 4
2 22
ABCS m m m         hoặc
11
2
m 
Với
3 3 5
;
2 2 2
m B
 
   
 
và
11 3
;
2 2
C
 
 
 
Với
11
2
m  
11 3
;
2 2
B
 
 
 
và
3 5
;
2 2
C
 
 
 
Vậy hai điểm cần tìm là
3 5
;
2 2
B
 
 
 
,
11 3
;
2 2
C
 
 
 
hoặc
11 3
;
2 2
B
 
 
 
,
3 5
;
2 2
C
 
 
 
A
B C
H’
D
K
I
A(-1; 4)
B CH

7. GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 www.toanhocdanang.com
Ví dụ 4: (D - 2010) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; -7), trực
tâm H(3; -1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2; 0). Xác định tọa độ đỉnh C, biết hoành độ
của điểm C là một số dương
Giải:
Gọi M là giao điểm của AH và BC,
Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
( )C có tâm I và bán kính 74IA 
 
2 2
( ): 2 74C x y   
AH qua A và H : 3 0AH x  
K là giao điểm của khác A của AH và đường tròn (C)
 
2 2
2 74
(3; 7)
3 0
x y
K
x
   

 
(vì k A )
Gọi M là trung điểm của HK (3;3)M
Ta có:
KBC KAC
KBC HBC
KBC HBC
 
  

HBK là tam giác cân tại B BC là trung trực của HK
BC qua M và vuông góc HK : 3 0BC y  
C là giao điểm của BC và đường tròn (C)
 
2 2
2 74
( 2 65 ; 3)
3 0
x y
C
y
   
   
 
Ví dụ 5: (B - 2010) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh
C(-4; 1), Phân giác trong góc A có phương trình x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường
thẳng BC, biết diện tich tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ là một số dương
Giải:
Gọi AD là đường phân giác trong của góc A.
Gọi d là đường thẳng qua C và vuông góc AD : 5 0d x y  
Gọi M là giao điểm của d và AD
 tọa độ M là ngiệm của hệ
5 0
(0; 5)
5 0
x y
M
x y
  

  
Gọi C’ là giao điểm của d và AD 'CAC  là tam giác cân tại A
M là trung điểm của CC’ '(4; 9)C
Ta có:  ; 5A AD A m m   (m > 0)
 ' 4 ; 4AC m m   ,  4 ; 4AC m m    
ABC vuông taih A
4
' . ' 0 (4 )( 4 ) ( 4 )(4 ) 0 (4 ;1)
4 ( )
m
AC AC AC AC m m m m A
m loai

                
AB qua A và vuông góc với AC 4 0x  
Ta có: (4; )B AB B b  1AB b  và 8AC 
1
24 . 24 1 6 7
2
ABCS AB AC b b        hoặc 5b  
Với 5 (4; 5)b B    (loại)
{vì B, C nằm cùng phía so với AD do đó trong trường hợp này AD là phân giác ngoài của góc A}
Với b = 7 (4;7)B
{thỏa đề toán vì B và C nằm khác phía so với AD, Khi đó AD là phân giác trong của góc A}
A(3;-7)
B C
H(3; -1)
I(-2;0)
K
.
M
A
B
C’
C(-4; 1)
M
D

8. GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 www.toanhocdanang.com
BC qua B và C nên
4 1
: :3 4 16 0
8 6
x y
BC BC x y
 
    
Vậy đường thẳng cần tìm là :3 4 16 0BC x y   .
Ví dụ 6: (D - 2011) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(- 4; 1), trọng
tâm G(1; 1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x – y – 1 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh A và C.
Giải:
Gọi M là trung điểm của AC, gọi AD là phân giác trong góc A
G là trọng tâm của 2ABC BG GM  
7
1 ( 4) 2( 1) 7
;12
1 1 2( 1) 2
1
M M
M
M
x x
M
y
y

       
           
Gọi d là đường thẳng qua B vuông góc với AD
: 3 0d x y   
Gọi I là giao điểm của d và AD
Tọa độ của điểm I là nghiệm của hệ phương trình:
1 0
( 1; 2)
3 0
x y
I
x y
  
  
  
Gọi B’ là giao điểm của d và AC 'ABB  là tam giác cân tại A
I là trung điểm của BB’ '(2; 5)B 
Đường thẳng AC đi qua M và B’ :4 13 0AC x y   
Ta có: A là giao điểm của AD và AC (4; 3)A . M là trung điểm của AC (3; 1)C 
Vậy hai điểm cần tìm là A(4; 3), C(3; -1)
Ví dụ 7: (B - 2011) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh
1
;1
2
B
 
 
 
.
Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại
các điểm D, E, F. Cho D(3;1) và đường thẳng EF: y – 3 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A, biết A
có tung độ là một số dương.
Giải:
BC đi qua B và D : 1 0BC y  
Dễ thấy BC // EF ABC  là tam giác cân tại A
AD đi qua D và vuông góc BD : 3 0AD x  
Ta có: ( ;3)F EF F m 
BF = BD
2
21 25
2 1
2 4
m m
 
       
 
hoặc 2m 
Với 1m   ( 1;3)F 
AB qua B và F :4 3 5 0AB x y   
A là giao điểm của AD và ABtọa độ A là nghiệm của hệ
3 0 7
3;
4 3 5 0 3
x
A
x y
   
       
(loại)
Với 2m  (2 ;3)F
AB qua B và F :2 3 5 0AB x y   
A là giao điểm của AD và ABtọa độ A là nghiệm của hệ
3 0 13
3;
4 3 1 0 3
x
A
x y
   
      
Vậy điểm cần tìm là
13
3;
3
A
 
 
 
B(-4;1)
B’
A
G(1;1)
CD
M
I
A
CD(3;1)
E
F

9. GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 www.toanhocdanang.com
Ví dụ 8: (D - 2014) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có chân đường phân
giác trong của góc A là điểm D(1; -1). Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y – 9 = 0.
Tiếp tuyên tại A của đường tròn ngoại tam giác ABC có phương trình x + 2y – 7 = 0.
Viết phương trình đường thẳng BC.
Giải:
A là giao điểm của AB và At
tọa độ của A là nghiệm của hệ
2 7 0
(1;3)
3 2 9 0
x y
A
x y
  

  
AD đi qua A và D : 1 0AD x  
Cách 1:
Gọi M(3; 0) AB .
Goi d là đường thẳng qua M và vuông góc AD 0y 
I là giao điểm của AD và d (1;0)I
Gọi M’ là giao điểm của d và AC
'AMM  cân tại A I là trung điểm của MM’ '( 1;0)M 
AC qua A và M’ :3 2 3 0AC x y   
(1;2), (3;2), (3; 2)At AB ACn n n    và ( ; )BCn a b lần lượt là VTPT của At, AB, AC và BC
Vì At là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ABC    , ,AB At AC BC 
2 2 2 2 2 2 2 2
. . 23 27
2 29. . 1 2 3 2 3 ( 2)
At AB AC BC
At AB AC BC
n n n n a ba b
a bn n n n a b
  
            
Với 2 29a b  ta có: / /(29; 2) : 29 2 31 0BCn BC x y    
Khi đó ta có:  
17 45
;
13 13
C AC BC C
 
    
 
và  
5 21
;
4 8
B AB BC B
 
    
 
Không thỏa đề toán vì B, C nằm cùng phía so với AD nên AD là phân giác ngoài của góc A
Với 2a b  ta có: ( ; 2 ) : 2 3 0BCn a a BC x y     
Khi đó ta có:   ( 3; 3)C AC BC C     và   (3;0)B AB BC B  
Thỏa đề toán vì B, C nằm khác phía so với AD nên AD là phân giác trong của góc A
Vậy đường thẳng cần tìm là : 2 3 0BC x y  
Cách 2: Gọi E là giao điểm của At và BC
Gọi K là trung điểm AD (1;1)K . Trung trực của AD là d: y – 1 = 0
Ta co: EAB ACB và BAD DAC EAD EAD EAD ACB DAC ADE     
ADE  cân tại E E là giao điểm của At và d (5;1)E
Đường thẳng AD đi qua điểm D và E : 2 3 0BC x y  
Vậy đường thẳng cần tìm là : 2 3 0BC x y  
t
M
I
A
D(1;-1)B C
M’
E

10. GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com
Ví dụ 9: Trong mặt phẳng với hệ tọ a độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường
trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Giải
Gọi B(a;b) suy ra M
5 2
;
2 2
a b  
 
 
. M nằm trên trung tuyến nên : 2a – b + 14 = 0 (1).
B,B đối xứng nhau qua đường trung trực cho nên  :
x a t
BC t R
y b t
 

 
Từ đó suy ra tọa độ N :
6
2
3 6
2
6 0
6
2
a b
t
x a t
a b
y b t x
x y
b a
y
 

  
  
    
     


3 6 6
;
2 2
a b b a
N
    
  
 
. Cho nên ta có tọa độ C(2a-b-6;6-a )
Do C nằm trên đường trung tuyến : 5a - 2b – 9 = 0 (2)
Từ (1) và (2) :    
2 14 0 37
37;88 , 20; 31
5 2 9 0 88
a b a
B C
a b b
    
      
    
Ví dụ 10: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
biết trực tâm (1;0)H , chân đường cao hạ từ đỉnh B là (0; 2)K , trung điểm cạnh AB là (3;1)M .
Giải
Theo tính chất đường cao : HK vuông góc với AC cho nên AC qua K(0;2) có
véc tơ pháp tuyến      1; 2 : 2 2 0 2 4 0KH AC x y x y          .
B nằm trên BH qua H(1;0) và có véc tơ chỉ phương    1; 2 1 ; 2KH B t t     .
M(3;1) là trung điểm của AB cho nên A(5-t;2+2t).
Mặt khác A thuộc (AC) cho nên : 5-t-2(2+2t)+4=0 , suy ra t=1 .
Do đó A(4;4),B(2;-2)
Vì C thuộc (AC) suy ra C(2t;2+t) ,
   2 2;4 , 3;4BC t t HA    . Theo tính chất đường cao kẻ từ A :
   . 0 3 2 2 4 4 0 1HA BC t t t          . Vậy : C(-2;1).
A(5;2)
B C
x+y-6=0
2x-y+3=0
M
N
H(1;0)
K(0;2)
M(3;1)
A
B C

11. GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 www.toanhocdanang.com
AB qua A(4;4) có véc tơ chỉ phương    
4 4
2;6 / / 1;3 :
1 3
x y
BA u AB
 
    :3 8 0AB x y   
BC qua B(2;-2) có véc tơ pháp tuyến  3;4HA 
   :3 2 4 2 0BC x y     :3 4 2 0BC x y    .
Ví dụ 11: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2; -1), đường cao và đường
phân giác trong qua đỉnh A, C lần lượt là : (d1) : 3x – 4y + 27 = 0 và (d2) : x + 2y– 5=0
Giải
Đường thẳng (BC) qua B(2;-1) và vuông góc với (AH) suy ra (BC):
2 3
1 4
x t
y t
 

  
, hay :
 
2 1
4 3 7 0 4;3
3 4
x y
x y n
 
       

(BC) cắt (CK) tại C :
2 3
1 4
2 5 0
x t
y t
x y
 

   
   
 1 1;3t C    
(AC) qua C(-1;3) có véc tơ pháp tuyến  ;n a b
Suy ra (AC): a(x+1)+b(y-3)=0 (*). Gọi
4 6 10 2
os =
5 16 9 5 5 5
KCB KCA c 

    

Tương tự :    2 2 2
2 2 2 2
a+2b a+2b 2
os = 2 4
55 5
c a b a b
a b a b
      
 
 
   
2
0 3 0 3 0
3 4 0 4 4
1 3 0 4 3 5 0
3 3
a b y y
a ab b
a x y x y
      
   
          

(AC) cắt (AH) tại A :  1 2
3
3 0 5
3 4 27 0 31 58231 5;3 , ;
25 254 3 5 0 25
3 4 27 0 582
25
y
y x
x y
A Ax
x y
x y
y
 
    
                       
Lập (AB) qua B(2;-1) và 2 điểm A tìm được ở trên . ( học sinh tự lập ).
B(2;-1)
A
C
3x-4y+27=0
H
K

12. GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 www.toanhocdanang.com
Ví dụ 12: Cho tam giác ABC có trung điểm AB là I(1;3), trung điểm AC là J(-3;1). Điểm A thuộc
Oy , và đường thẳng BC đi qua gốc tọa độ O . Tìm tọa độ điểm A , phương trình đường
thẳng BC và đường cao vẽ từ B ?
Giải
- Do A thuộc Oy cho nên A(0;m).
(BC) qua gốc tọa độ O cho nên (BC): ax+by=0 (1).
- Vì IJ là 2 trung điểm của (AB) và (AC) cho nên IJ //BC
suy ra (BC) có véc tơ chỉ phương :
     IJ 4; 2 // 2;1 : 2 0u BC x y        .
- B thuộc (BC) suy ra B(2t;t) và A(2-2t;6-t) . Nhưng A thuộc Oy cho nên : 2-2t=0 , t=1
và A(0;5). Tương tự C(-6;-3) ,B(0;1).
- Đường cao BH qua B(0;1) và vuông góc với AC cho nên có
     
1
6; 8 // 3;4 : 4 3 3 0
3 4
x y
AC u BH x y

         
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. (D - 2013)Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có điểm
9 3
;
2 2
M
 
 
 
là trung điểm
cạnh AB, điểm H(-2; 4) và điểm I(-1; 1) lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm C.
HD: BC qua M và vuông góc IM :7 33 0AB x y    .
( ;7 33)A AB A m m   , M là trung điểm AB ( 9; 7 30)B m m    
. 0 4HA HB m    hoặc 5m  
AC qua A và H AC ,
C AC
C
IC IA



ĐS: C(4; 1) và C(-1; 6)
Bài 2. (THPTQG) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu của
A lên BC; D là điểm đối xứng của B qua H; K là hình chiếu của C lên AD. Giả sử H(-5; -5), K(9; -3) và
trung điểm AC thuộc đường thẳng x – y + 10 = 0. Tìm tọa độ điểm A.
HD: Gọi M là trung điểm AC 
: 10 0
(0;10)
M d x y
M
MH MK
   


I(1;3)
J(-3;1)
A
B C
ax+by=0
H

13. GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 13 www.toanhocdanang.com
Sử dụng góc để chứng minh AK HM  phương trình đường thẳng AK
Ta có:
A AK
A
MA MH



(loại điểm A trùng K)
ĐS: A(-15; 5)
Bài 3. (B – 2013) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A là
17 1
;
5 5
H
 
 
 
, chân đường phân giác của góc A là D(5; 3) và trung điểm của cạnh AB là M(0;1). Tìm tọa
độ điểm C.
HD: BC qua H và D :2 7 0BC x y    . AH qua H và vuông góc BC : 2 3 0AH x y   
A AH
B BC



và M là trung điểm của AB
( 3;3)
(3; 1)
A
B

 

. AD: y – 3 = 0.
N đối xứng M qua AD (0;5)N . AC qua A và N :2 3 15 0AC x y   
  (9;11)C AC BC C  
Bài 4. (D – 2013) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho đường tròn 2 2
( ):( 1) ( 1) 4C x y    và đường
thẳng d: y – 3 = 0.Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của (C), các đỉnh N và P thuộc đường thẳng d,
đỉnh M và trung điểm MN thuộc (C). Tìm tọa độ điểm P.
HD: ta có: ( , )d I d R d  tiếp xức với (C).
MI qua I và vuông góc d : 1 0MI x   .   ( ) (1; 1)M MI C M    (M không thuộc d)
( ;3)N d N m  . K là trung điểm MN
1
;1
2
m
K
 
  
 
. ( )K C  m = 5; m = -3
. 0MP NI P 
ĐS: P(-1; 3) và P(3; 3)
Bài 5. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đường phân giác kẻ từ A, đường trung tuyến kẻ
từ B và đường cao kẻ từ C lần lượt có phương trình : x + y – 3 = 0. x – y + 1 = 0 và 2x + y + 1
= 0. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
HD: ( ;3 )A AD A a a   (AD: phân giác, BM : trung tuyến, CH: đường cao)
AB qua A và vuông góc BH : 2 3 6 0AB x y a    
  (3 8;3 7)B AB BM B a a     . Gọi B’ đối xứng B qua AD '(10 3 ;11 3 )B a a AC   
Dễ thấy B’ trùng với M do đó B’ là trung điểm AC (20 7 ;19 7 )C a a  
15
7
C CH a   , ,A B C

14. GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 14 www.toanhocdanang.com
Bài 6. Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có M(-1; 2),
3 9
;
2 2
N
 
 
 
lần lượt là trung điểm của
AB, AC. Tìm tọa độ các đỉnh của ABC, biết H(2; 1) là trực tâm của tam giác ABC.
HD: AH qua H và vuông góc MN : 3 0AH x y    . ( ;3 )A AH A a a  
M là trung điểm AB ( 2 ;1 )B a a    . N là trung điểm AC (3 ;6 )C a a  
. 0BH AC a 
Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường cao AH và
trung tuyến AM lần lượt là: x – 2y – 13 = 0 và 13x – 6y – 9 = 0. Biết tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC là I(- 5; 1). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
HD:   (3; 5)A AH AM A    .
IM qua I và // AH :3 4 11 0IM x y    .  
3 17
( ; )
7 7
M IM AM M    
BC qua M và vuông góc AH BC . ( )B BC B b 
M là trung điểm BC ( )C b . ,IB IA b B C  
Bài 8. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác đều ABC nội tiếp trong một đường tròn
2 2
( ) : 4 4 0C x y y    Đường thẳng d: 2x – y – 1 = 0 đi qua trung điểm M của cạnh AB. Viết
phương trình đường thẳng chứa cạnh AB và tìm tọa độ của đỉnh C.
HD: M (2 ;2 1)d M m m   . IM =
1
2
2
R M  .
2CI IM C  . AB qua M và vuông góc IM AB
Bài 9. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy chotam giác ABC cân tại A, phương trình đường thẳng AB, BC lần
lượt là 2 5 0 à 3 7 0x y v x y      tìm tọa độ A, C biết rằng đường thẳng AC đi qua điểm F(1; -3).
HD: viết phương trình AC đi qua F và (AB,BC) = (AC,BC)
Bài 10.Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm  A 1; 1  và đường tròn
     
2 2
C : x 3 y 2 25    . Gọi B, C là hai điểm phân biệt thuộc đường tròn  C (B, C khác A). Viết
phương trình đường thẳng BC, biết  I 1;1 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
HD: Viết phương trình phân giác trong AI . Gọi D là giao điểm khác A của AI và (C).
Chứng minh DB = DC = DI ,B C  đường tròn (C’) tâm D và bán kính ID
 , ( ) ( ')B C C C 

15. GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 15 www.toanhocdanang.com
Bài 11.Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho tam giác ABC có B(1; 2), phân giác trong của góc A có
phương trình : 2 1 0d x y   , khoảng cách từ C đến đường thẳng d bằng 2 lần khoảng cách từ B đến
đường thẳng d. Tìm tọa độ hai điểm A, C . Biết điểm C thuộc trục tung.
HD: ( ;1 2 )A d A a a  
Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua d . ( , ) 2 ( , )d C d d B d
'B là trung điểm của AC ( )C a
6
( , ) 2 ( , )
5
d C d d B d a  
Bài 12.Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ trực tâm H(2; 1) và tâm
đường tròn ngoại tiếp I(1; 0). Trung điểm của BC nằm trên đường thẳng có phương trình 2 1 0x y   .
Tìm tọa độ các đỉnh B, C . Biết rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC đi qua điểm E(6; -1) và
hoành độ điểm B nhỏ hơn 4.
HD: :( ) ( )BCD ABC HBC
Bài 13.Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn 2 2
( ): 2 24 0C x y x    có tâm I và
đườngthẳng d: 3x + 4y – 28 = 0. Tìm tọa độ điểm A thuộc (C) và điểm B, C thuộc d sao cho tam giác ABC
nhận I làm trực tâm và trung điểm cạnh AC thuộc đường tròn (C), biết điểm C có hoànhđộ dương.
Bài 14.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy chohai đường thẳng d: 3x +y +5 = 0, d’: x – 3y +5 = 0 và điểm I(1: -2).
Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng trên . Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt d, d’ lần lượt
tại B, C sao cho 2 2
1 1
AB AC
 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 15. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho đường tròn   2 2
: 2 4 20 0C x y x y     và điểm
A(5; - 6), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (C) với B, C là các tiếp điểm. Tìm tọa độ tâm
đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài 16.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có ba góc nhọn và các đường cao là AD, BE, CF (với
D, E, F lần lượt là chân các đường cao ) . Biết tọa độ các điểm D(-1; -2), E(2; 2), F(-1; 2). Tìm tọa độ các
đỉnh của tam giác ABC. (sử dụng tính chất Trực tâm H là tâm đường tròn nội tiếp AEF)
Bài 17.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC biết B(1; -1), Trung tuyến kẻ từ A và kẻ
từ B lần lượt có phương trình là 2 0x y   và 7 6 0x y   . Cho diển tích của tam giác ABC bằng 2,
Tìm tọa độ các đỉnh A, C của tam giác (xác định trọng tâm và tham số hóa)
Bài 18.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(3; 4) đường thẳng chứa cạnh BC có phương
trình 2 0x y   , đường trung tuyến từ C có phương trình 13 4 10 0x y   . Hãy viết phương trình

16. GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 16 www.toanhocdanang.com
đường thẳng d đi qua B và cắt cạnh AC đồng thời tổng khoảng cách từ hai điểm A , C đến đường thẳng
d đạt giá trị lớn nhất.
Bài 19.Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Cho tam giác ABC có trực tâm H(5; 5), đường thẳng chứa
cạnh BC có phương trình x +y – 8 = 0. Biết đường tròn ngoại tiếp tam giácABC đi qua hai điểm M(7;
3) , N(4; 2). Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 20.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(2; 1). Trên tia Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm B, C sao cho
tam giác ABC vuông tại A. Xác định tọa độ hai điểm B, C khi diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ
nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 21.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC. Đường trung tuyến kẻ từ A và đường thẳng BC lần
lượt có phương trình là : 3x + 5y – 8 = 0 và x – y – 4 = 0. Đường thẳng qua A vuông góc BC cắt đường
tròn ngoại tiếp ABC tại điểm D(4; -2). Viết phương trình đường thẳng AB và AC biết rằng hoành độ
của điểm B không lớn hơn 3.
Bài 22.Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn
  2 2
C :x y 4x 2y 0    và đường phân giác trong của góc A có phương trình x y 0  . Biết diện
tích tam giác ABC bằng ba lần diện tích tam giác IBC ( với I là tâm của đường tròn  C ) và điểm A có
tung độ dương. Viết phương trình đường thẳng BC.
Bài 23.Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn 2 2
( ): 2 24 0C x y x    có tâm I và đường
thẳng d: 3x + 4y – 28 = 0. Tìm tọa độ điểm A thuộc (C) và điểm B, C thuộc d sao cho tam giác ABC
nhận I làm trực tâm và trung điểm cạnh AC thuộc đường tròn (C), biết điểm C có hoành độ dương.
Bài 24.Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có 0
135BAC  , đường cao BH có phương
trình 3x + y + 10 = 0. Trung điểm của cạnh BC là
1 3
;
2 2
M
 
 
 
và trực tâm H(0; -10). Biết tung độ của
điểm B âm. Xác định tọa độ các đỉnh và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 25.Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm của đoạn AB.
Biết rằng 11 5 13 5
; , ;
3 3 3 3
I E
   
   
   
lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, trọng tâm tam giác ADC;
các điểm M(3; - 1), N(-3; 0) lần lượt thuộc các đường thẳng DC, AB. Tìm tọa độ các điểm A, B, C biết A
có tung độ dương.
Bài 26.Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, biết B(1; 4), trọng tâm G(5;
4) và AC = 2AB. Tìm tọa độ điểm A, C.
Bài 27. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là điểm trên cạnh AC
sao cho AB = 3AM. Đường tròn tâm I(1; -1) đường kính CM cắt BM tại D. Xác định tọa độ các đỉnh của

17. GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 17 www.toanhocdanang.com
tam giác ABC, biết đường thẳng BC đi qua
4
; 0
3
N
 
 
 
, phương trình đường CD : x – 3y – 6 = 0 và điểm C
có hoành độ dương.
Bài 28.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC có đỉnh (3; 3),A tâm đường tròn ngoại tiếp (2;1),I
phương trình đường phân giác trong góc BAC là 0.x y  Tìm tọa độ các đỉnh B, C biết rằng
8 5
5
BC  và
góc BAC nhọn.
Bài 29.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa đường cao
kẻ từ B là 3 18 0,x y   phương trình đường thẳng trung trực của đoạn thẳng BC là 3 19 279 0,x y  
đỉnh C thuộc đường thẳng : 2 5 0.d x y   Tìm tọa độ đỉnh A biết rằng 0
135 .BAC 
Bài 30.Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC. Gọi D là trung điểm của
AB, E nằm trên đoạn AC sao cho AC = 3EC. Biết phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là x – 3y + 1 = 0 và
điểm
16
;1
3
E
 
 
 
. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
Bài 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(1; 2) và H là trực tâm. Gọi
  2 2
: 2 4 4 0C x y x y     là đường tròn đi qua các trung điểm của các đoạn thẳng HA, HB, HC. Viết
phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.