www.toanhocdanang.com www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang Phone:0935 334 225

1. LUYỆN THI
GV: PHAN NHẬT NAM
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

2. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
CƠ SỞ LÝ THUYẾT:
I. Đánh giá phương trình bằng BĐT:
1. AM – GM: 0a  , 0b  và 0c 
Hai biến: 2a b ab  ;
2
2
a b
ab
 
  
 
; 2 2
2a b ab  Dấu “=” xảy ra khi a b
Với ,a b R  :
 
2
2 2
2
2
a b
a b ab

  
Ba biến : 3
3a b c abc   ;
3
3
a b c
abc
  
  
 
; 3 3 3
3a b c abc   Dấu “=” xảy ra khi a b c 
Với ,a b R  :
 
2
2 2 2
3
a b c
a b c ab bc ac
 
     
2. Cauchy – Schwarz :
Bộ hai biến:   2 2 2 2
ax by a b x y    Dấu “=” xảy ra khi
a b
x y

Bộ ba biến:   2 2 2 2 2 2
ax by cz a b c x y z       Dấu “=” xảy ra khi
a b c
x y z
 
3. Cauchy – Schwarz dạng phân thức
Bộ hai biến:
 
22 2
a ba b
x y x y

 

Dấu “=” xảy ra khi
a b
x y

Bộ ba biến:
 
22 2 2
a b ca b c
x y z x y z
 
  
 
Dấu “=” xảy ra khi
a b c
x y z
 
Chú ý: Xét phương trình: ( ) 0f x 
 Nến tản của phương pháp chính là chứng minh:
( ) 0;f x x D  
nghiệm của phương trình chính là điểm xãy ra “=”
 Thông thường một phương trình có thể sử dụng BĐT
để đánh giá thì phương trình đó sẽ có “ nghiệm kép “
Cách kiểm tra:
Nhập ( )f x vào máy tính: shift + solve 1x ( 1x D ).
Máy hiện kết quả 0x . Sử dụng MODE 7 nhập ( )f x Start a , End b , Step 1
Với  0 ,x a b D  để kiểm tra ( )f x không đổi dấu khi qua 0x
hoặc
 
0
( )
0 ( ) 0
d f x
f x
x xdx
  

có nghiệm bội
 Sơ lượt phương pháp:
o Sử dụng BĐT để chứng minh:  
2
( ) 0f x x    Dấu “=” xãy ra khi BĐT xãy ra “=” và
( ) 0x  0x x  . Khi đó 0x x là nghiệm của phương trình.
0
Nghiệm bội chẵn

3. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com
o Giải phương trình: ( , ) ( , )f x y g x y
C1: Sử dụng BĐT chứng minh ( , ) ( , )f x y g x y {hoặc ( , ) ( , )f x y g x y }
nghiệm phương trình chính là điểm xãy ra dấu “=”
C2: Sử dụng BĐT chứng minh: ( , ) ( , )f x y h x y
Kết hợp phương trình ta có:  
2
( , ) ( , ) ( , ) 0g x y h x y x y  
Khi đó nghiệm của phương trình là điểm xãy ra “=” và ( , ) 0x y 
II. Sử dụng hàm số để đánh giá phương trình:
Hướng 1: 0( ) ( )pt f x f x  và ( )f x liên tục và đơn điệu 0x x  là nghiệm duy nhất của phương
trình.
Hướng 2: Hàm số ( )f t liên tục và đơn điệu .    ( ) ( ) ( ) ( )pt f u x f v x u x v x   
Hướng 3: ( ) ( )f x g x .
Sử dụng sự biến thiên chứng minh được:
( )
( )
f x a
g x a



ta có:
( )
( )
f x a
pt
g x a

 

Hướng 4: ( ) ( ) 0f x g x 
Sử dụng sự biến thiên chứng minh được:
( )
( )
f x a
g x a


 
hoặc
( )
( )
f x a
g x a


 
ta có:
( )
( )
f x a
pt
g x a

 
 
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Giải phương trình :      3 2 2
2 1 2 1 3 1x x x x    
HD: Theo AM – GM ta có:
 
 
2
3 2
2
2
2 ( 1) ( 1)
2 1 2 ( 1)( 1)
2
2 1
2 1
2
x x x
x x x x x
x
x
   
    

   

Kết hợp pt ta có:    
2 2
22 2 ( 1) ( 1) 2 1
3 1 1 0 1
2 2
x x x x
x x x
    
       
Bài 2. Giải phương trình:
2 2( 2)
2
x
x x
x x
 
   
 
(1)
HD: Điều kiện: Sử dụng AM – GM :
 
2
2
2
2
2
2 1 2
2 2
2
x
xx
x
x x
x x

   
     
  
     
  

4. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 www.toanhocdanang.com
 
2
2
2 2 1 2 1 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
x
xx x x x x x
x x x x x
 
     
                   
     
Do đó   2
2
2
1 3
1 2 2 0
2 1 3 ( )2
x
xx
x x
x loaix
x

    
      
   

Bài 3. Giải phương trình:
1 1 2
3 3 1 1x x x
 
  
(1)
HD: Điều kiện: 1x 
Hướng 1:
1 1 1 1
2 2
3 3 3 1 3 13 3 1
x x x x
pt
x x x xx x
 
       
    
Sử dụng máy tính ta tìm được 1x  là nghiệm kép của phương trình. Cần thêm bớt để sử dụng
BDT sao cho : dấu “=” xãy ra khi x = 1 và kết quả là các phân thức sao cho tổng lại phải bằng 2.
1 1 2 1 1 2
3 2 3 2 2 3x x x
 
   
   
1 1 1
3 1 3 2 1 3
x x x x x
x x x x x
  
   
     
1 1 1 1 1 1
3 1 1 3 1 2 1 3 1
x x
x x x x x
  
   
     
1 2 1 1 2
3 1 2 3 1 2 2 3 1
x x x
x x x
 
   
   
Cộng các bất phương trình trên vế theo vế:
1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
2
3 3 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 3 1 2 3 1
x x x x x x
x x x x x x x x x x
  
            
          
Do đó  
1 1 1 2
;
1 3 1 2 3
1 1
1 1 1 2
;
1 3 1 2 3 1
x
x x x
x
x x
x x x

    
  
  
   
Hướng 2: Sử dụng Cauchy – Schwarz ta có:
2 21 1 1 1 1 1
1 1 1 1
3 3 1 3 3 13 3 1 x x x xx x
     
    
 
 
    
4
2 2
2
12 1 1
1 1 1 0 1
3 3 11 1 3 3 1
x
x
x xx x x x

       
    
Bài 4. Giải phương trình: 2
2
1 1
2 2 4x x
x x
     
HD: 2
2
1 1
2 2 4pt x x
x x
      

5. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 www.toanhocdanang.com
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 1 1 2 2
1 1 1 1
2 1 1 2 2
x x x x
x x x x
       


      

2
2
1 1
2 2 4x x
x x
       Do đó:  
2
2
2
1 11 1
2
x x
x
x x
  

  
 

Bài 5. Giải phương trình:
2 2 2
1 1 2
1 1 1x x x x x
 
      
(1)
HD: Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz hai biến ta có:
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 4
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 2 1
x x x x x x x x
x x x x x x x x x

 
            

                
2 2 2 2
1 1 4 2
1 1 2 1 1x x x x x x
   
       
Do đó:   2 2
1 1 1 0x x x x x         
Bài 6. Giải phương trình
2
2
1 2 1 2 1
2 1 2 2 1
x x x
x x x
  
 
 
HD: Điều kiện:
1
2
x 
Cách 1:       2 2 2
1 2 1 2 2 1 2 1 1pt x x x x x x x x        
 2 4 3 2
1 2 1 2 4 4 1x x x x x x x        (1)
Sử dụng máy tính ta kiểm tra được (1) có nghiệm kép x = 1 khi đó 2 1 1x   khi đó ta có
Hướng phân tích sau:
Theo AM – GM ta có:    2 4 22 1 1
2 1 2 1 1 1 2 1
2
x
x x x x x x x x
 
         
Kết hợp (1) ta có: 4 3 2 4 2 3 2
2 4 4 1 2 5 4 1 0x x x x x x x x x          
    
2 2
2 1 1 0 1 0x x x       {vì
1
2
x  } 1x 
Thử lại ta thấy 1x  thỏa mãn phương trình. Do đó phương trình có nghiệm duy nhất 1x  .
Cách 2:
 2
2 2
2 12 1
1 2 2 12 1 1
x xx x
pt
x x xx
 
  
  
. Đặt
2 1
a x
b x


 
2 2
2 2
1 1 2
a b a b
pt
b a ab

  
 
(1)
Theo AM – GM ta có:
2 2 2
2 22
1 2
1 1 2 2 21 2
b b a b a b a b
b a b a aba a
   
    
  
dấu bằng xãy ra khi
1
1
a
b




6. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 www.toanhocdanang.com
Do đó ta có:
11
(1) 1
1 2 1 1
xa
x
b x
 
    
   
Bài 7. Giải phương trình : 2
1 1
3 2 3 1 3 2
x
x x x x
 
   
HD: Điều kiện:
1
2
x 
2 2 2 2 22
1 1 1 1
13 23 2 3 2 1
x x
pt
x y y yxx x x
     
    
(1) { với 3 2y x  }
Theo AM – GM:
2 2
2 2
2 2 2
2
2
1
2
2 2 1 1 1 1
1 1 1 2 2
1 2
1 2
x x
x y xy
x y xy y x
x y y y y y
y y
y y

     
    
     
 
Do đó:  
3 2
1 1
1 3 2 1
x y x x
x
y x
   
    
   
Bài 8. Giải phương trình:  2 2
2 2 2 1 1 0x x x x      
HD: Điều kiện:
1
2
2
x 
Hướng 1: Theo AM – GM:
 
2
2 2 2 1
2 2 .1
2
2 1 1
2 1 2 1 1 1
2
x
x x
x
x x x x
  
   

         

   
2 3 2
2 2 1 3 3
2 2 1 1 1
2 2
x x x x
x x x
     
      
Do đó   
3 2
22 3 3
2 0 1 1 0 1
2
x x x
x x x x x
   
          (vì
1
2 1 0
2
x x     )
Hướng 2:    
2 2
2 2
2 2 1 2 1 0 1pt x x x x         
Bài 9.
Bài 10. Giải hệ phương trình
  
 
2 2 2 3 (1)
22 2 2 2 (2)
4 1 1 3 2
2014 2015 4030
x x x y y
x y y x y
      

     
       
2 22 2 2 2 2 2
(2) 2015 1 1 0 1 1, 1 *x y x y y x y x y             
3 2 2
(1) 2 2 4 1 4y y x x       .Từ đó ta xét hai hàm số:
3
2 2
( ) 2 2
( ) 4 1 4
f y y y
g x x x
   

   
trên điều kiện (*).

7. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 www.toanhocdanang.com
Bài 11. Giải hệ phương trình
   
 
2
3
12 12 12 1
8 1 2 2 2
x y y x
x x y
    

    
HD: Điều kiện: 2 3 2 3x   và 2 12y 
Hướng 1: Sử dụng BĐT AM – GM ta có:
 
2
2
2
12
12
2
12
12
2
x y
x y
y x
y x
  
 

   

 
2 2
2 12 12
12 12 12
2 2
x y y x
x y y x
   
      
Do đó   22
012 0
1
1212
xx y
y xy x
   
  
   
Hướng 2: Sử dụng BĐT Cauchy – Schwarz hai biến ta có:
     2 2 2 2
12 12 12 12 12 12 12x y y x x y x y x x y y            
 
2
2
012
1
1212
xx x
y xy y

   
  
Hướng 3: Đặt 2
12 0 12t y y t     
         
2 2
22 2 2
12 0 12 0 0
1 12 12 12
12 12 12 1212
xt xt x
t x xt
t x xt y xx t y
     
         
         
Thay 2
12y x  vào  2 ta có:  3 2 2
2
2( 3)
8 1 2 10 3 3 1 0
1 10
x
x x x x x x
x
 
          
  
Bài 12. Giải hệ phương trình
  
 
2 2
2
2 2
1 1 1 (1)
1 1 8 3 17 (2)
x x y y
x y y x
     


       

2 2 2 2 2 2
(1) 1 1 1 1 1, 0x y y x x y xy y x xy             
 
2 2
2 2
2 2
2 1
1 1 1 1 0 1
1 1
x y
y x x y y x
y xx y
 
            
  
2
1
(2) 8 3 17
( )
y x
y x
    

Đặt :  0 ,1t y x   . Xét hàm số: 2
1
( ) 8 3f t t
t
  
Bài 13. Giải hệ phương trình:
 
   2 2
1 1 2
1
1 1 2
3 5 4 5 1 2
y x x y xy
x y
x y
x y xy y x y x
    
   
      
HD: Theo BĐT AM – GM ta có:
 
 
1 1 1 1 1 2
1 1 2
1 1 2 1 1 2 1
y x y x x y
x y x y x y xy
x y x y xy x y
        
          
          

8. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 www.toanhocdanang.com
 
 
 
2 2
1 2 1
2 1 2
x y x y xy
x y xy xy
xy x y
   
     
  
Mặt khác :      
22
2 2 5 1 1 1 0 1x y x y xy xy xy           
Do đó hệ phương trình đã cho trở thành:
, 1
1
2 5 1
x y xy
x y
x y
 
  
 
Bài 14. Giải hệ phương trình
 
 
3
3 2 2
2 4 3 0 (1)
2 4 2 3 1 0 (2)
x y xy
x y x xy y x y
    

       
   
2 33 2
(1) 3 2( ) 4 2 ( ) 3 0x y xy x y x y x y           
   
2
1 2 3( ) 3 0 1x y x y x y x y           
 
(với t = x + y)
       
3 2 22 3 2
(2) 2 4 4 1 0 2 2 1 0x y x y x y y y t t t y               
Xét : 3 2
( ) 2f t t t t   , với điều kiện 1t 
  2
'( ) 3 4 1 3 1 1 0 , 1 ( )f t t t t t t f t         đồng biến trên  1, ( ) (1) 0f t f    
1
1
(2 1) 0 2(2) 2
1
( ) 0 1
2
x
y y
f t t x y y

     
  
       
dễ thấy
1
2
x  và
1
2
y  thỏa hệ phương trình.
Bài 15. Giải hệ phương trình
 4 3 4 2
3 2 2
4 1 4 1 (1)
8 4 1 6 2 (2)
x y x y y
y x x y
     

     
  4 2
4 2
1 (3)
(1) 1 4 1 0
4 1 (4)
y
y x y
x y
 
      
 
Thay (3) vào (2) ta có: 2 2
4 1 4 0 2 2x x x x       
 
2
2
1 1
4 1 1
4 2
x x
y y
   

 
  

3 2 2
(2) 8 6 2 4 1y y x x      . Xét 3
( ) 8 6 2g y y y   trên
1 1
,
2 2
 
  
và 2 2
( ) 4 1f x x x   trên  1,1

9. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 www.toanhocdanang.com
2 1
'( ) 24 6 0
2
g y y y     
Từ bảng biến thiên ta thấy:
1 1
( ) 4 , ,
2 2
g y y
 
      
.
Tương tự:  2 2
( ) 4 1 (0) 4, 1,1f x x x f x        
 
1
( ) 4
2 2
( ) 4
0
g y y
f x
x

   
  
   
. Dễ thấy
1
2
0
y
x



 
thỏa hệ phương trình nên
1
2
0
y
x



 
là nghiệm của hệ.
Bài 16. Giải hệ phương trình: 3 2 3 2
4 5 6 2 4 10 8 7 1 13 0x x x x x x         
3 2 3 2
4 5 6 2 4 10 8 7 1 13 (*)pt x x x x x x         
Theo bất đẳng thức CÔCI ta được:
 
 3 2
3 2 3 2 3 2
5 6 2 1
4 5 6 2 4 1 5 6 2 4 10 12 6
2
x x
x x x x x x
  
        
 
 3 2
3 2 3 2 3 2
10 8 7 1 4
4 10 8 7 1 2 4 10 8 7 1 2 10 8 7 3
2
x x x
x x x x x x x x x
    
              
 
22
(*) (*)4 7 9 13 4 1 13VT x x x x x VP          
3 2
3 2
5 6 2 1
(*) 10 8 7 1 4 1
1 0
x x
x x x x
x
   

       
  

Bài 17. Giải hệ phương trình
4 4 3 2
3 2 2
2 2 2 0 (1)
3 8 2 9 (2)
x y x y y y
y y x x
      

    
    4 2 4 2
1 2 1 0 2 1y x y y x y         
00
2

10. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com
Với y = 2 : thay vào (2) ta có:
2
2
2 2
2
9 1( )
9 2 9 3 0
9 3 0
x vn
x x
x x
   
     
    
Với
2
4 2 0 1
1
1 1
x
x y
y
  
   
  
Xét hàm số: 3
( ) 3 8f y y y   trên  1,1 ta có : (1) ( ) ( 1) 10 ( ) 6f f y f f y       
Xét hàm số: ( ) 2 9g t t t   với  2
0 ,1t x  ta có: (0) ( ) (1) 6 ( ) 1 2 10g g t g g t      
Từ đó : 2
1( ) 6
(2)
( ) 6 0 0
yf y
g t t x x
   
  
      
. Kiểm tra lại ta thấy
0
1
x
y


 
thỏa hệ phương trình
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm:
0
1
x
y


 
và
0
2
x
y



Bài 18. Giải hệ phương trình:
3 3
3
3
2 2 2( ) (1)
1 2
2( ) 1 (2)
y x x y x y
y
x x
y x
     

 
  

ĐK:
2 , 2
1
0
x y
x
y
   


 

Dễ thấy 2x   hoặc 2y   không thỏa hệ phương trình
3 3
(*)2( )
(1)
2 2 2 2
y x x y
y x x y

  
   
Xét hàm số : ( )
2
t
f t
t


trên  2,   ta có :
 3
4
'( ) 0, 2 ,
2 2
t
f t t
t

      

( )f t đồng biến trên  2,  
TH1: xét ( ) ( )x y f x f y   ta có:
3 3
3 3
( ) ( ) 0
2 2
(*)
2( )
0
2 2
y x
f y f x
y x
x y
x y
x y

     

   
  
không có nghiệm x y
TH2: xét ( ) ( )x y f x f y   ta có:

11. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 www.toanhocdanang.com
3 3
3 3
( ) ( ) 0
2 2
(*)
2( )
0
2 2
y x
f y f x
y x
x y
x y
x y

     

   
  
không có nghiệm x y
Dễ thấy y x thỏa phương trình (*). Vậy (*) y x 
Thay y = x vào (2) ta có : 3
3
1 2
2( ) 1
x
x x
x x

   ĐK: 0x 
 3 33 3
(2) 2 2 2 2 2 2 2x x x x x x x x x x          
 3 3
23 23 3
2 2 2
2 2 2 2 2
x x x x x
x x x x x x
   
 
     
 3 3
23 23 3
2 1
2 0 2 0
2 2 2 2 2
A
x
x x x x
x x x x x x
 
         
       
(vì 0 , 0A x   )
1 1x y   
Bài 19. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2 2
2 1
(1)
1
2 1 (2)
x y
xy x y xy
x y x x
x y
 
 


      
 
ĐK:
0
0
xy
x y


 
Đặt:
s x y
p xy
 


Điều kiện có nghiệm: 2
4 (*)S p
  2
2
1 (3)
(1) 1 2 0
2 (4)
s
s s s p
p s s

      
 
Với 1 1s y x    ta có:
   2 2 2 2 4 1
2 2 1 1 2 1 3 4 0 0
3 3
x x x x x x x x loai x y                  
Với 2
2p s s  ta có:  2 2 2
(*) 2 2 0 2 0s s s s s s         
   
2 22 2 21 1 1
(2) 2 2 1 2 2 1 2 1 (3)x y xy x x s p x x s x
x y s s
                    
 

12. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 www.toanhocdanang.com
Theo côsi cho hai số không âm:
1
,s
s


ta có :  
1 1 1
2 . 2s s s
s s s
       
  
Mặt khác : 2
2 ( 1) 2 ,x x R     nên ta có :  
1
1 12
3
1 2
1 0
s x y xs
s
x y
x

        
    
     
Thử lại vào hệ phương trình ta thấy x = 1 và y = -2 không thỏa.
Vậy hệ phương chỉ có nghiệm duy nhất
4 1
( ; ) ;
3 3
x y
 
  
 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 20. Giải hệ phương trình:
   
2
3 2 2 2 2 2
12 2 2 2 4
4 3 5 4 8
x x y y
x y y y x y x y
     


     
Bài 21. Giải hệ phương trình:
  3 3 3 2
2 2 2 2
16 9 2 4 3
4 2 3
x y y xy y xy
x y xy y
    

  
Bài 22. Giải hệ phương trình:
 
    
2 2 2 2
2 2
2 6 17 17 6 2 5
1 2 2 6 11 2
x xy y x xy y x y
x x y y x x
       

      
Bài 23. Giải phương trình:
2
1
3
2
1
2335 223
 xxxxx
Bài 24. Giải phương trình: xxx 21573 4

Bài 25. Giải phương trình:
3 23
13121  xxxx