1.  Fungsi objektif: memaksimumkan z = x + y
Kendala: 5x + 4y ≤ 20
x + 2y ≤ 24
x, y ≥ 0, dengan x, y ϵ C
 Fungsi objektif: meminimumkan z = 2x + 3y
Kendala: x + y ≤ 500
4x + 2y ≤ 200
x, y ≥ 0
x, y ϵ C
Cara Menentukan Nilai Optimum Fungsi Objektif
Dari uraian yang telah diberikan, kita dapat mengetahui tujuan utama dari
program linear, yaitu menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari suatu fungsi
objektif. Untuk menyelesaikan masalah program linear yang berhubungan dengan nilai
optimum, langkah-langkah pemecahannya adalah sebagai berikut.
a. Merumuskan permasalahan ke dalam model matematika.
b. Membentuk sistem pertidaksamaan linear yang sesuai.
c. Menggambarkan kendala sebagai daerah di bidang Cartesius yang memenuhi
sistem pertidaksamaan linear.
d. Menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari fungsi objektif.
e. Menafsirkan/menjawab permasalahan.
Berkaitan dengan hal tersebut, ada dua metode yang dapat digunakan untuk
menentukan nilai optimum dari program linear, yaitu metode uji titik sudut dan metode
garis selidik.
1. Metode Uji Titik Sudut
Metode uji titik sudut adalah suatu metode untuk menentukan nilai optimum dari
bentuk objektif z = ax + by dengan cara menghitung nilai-nilai z = ax + by pada setiap
titik sudut yang terdapat pada daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua
variabel, kemudian membandingkan nilai-nilai yang telah diperoleh. Nilai yang paling

2. besar merupakan nilai maksimum dari z = ax + by, sedangkan nilai yang paling kecil
merupakan nilai minimum dari z = ax + by.
Contoh Soal 1 :
Tentukan nilai optimum dari model matematika berikut.
Fungsi objektif : memaksimumkan z = x + y
Kendala: 3x + 2y ≤ 12
x, y ≥ 0
x, y ϵ R
Penyelesaian :
Titik potong garis 3x + 2y = 12 dengan sumbu koordinat disajikan dalam tabel berikut.
x
0
4
y
6
0
(x, y)
(0, 6)
(4, 0)
Jadi, diperoleh titik potong koordinat (0, 6) dan (4, 0).
Kemudian, kita lukis pada bidang koordinat dan kita hubungkan dengan sebuah
garis lurus. Setelah itu, tentukan daerah penyelesaian dari kendala-kendala yang tersedia.
Gambar 1. Titik potong garis 3x + 2y = 12 dengan sumbu koordinat.
Dari Gambar 1, terlihat daerah penyelesaian dari kendala-kendala adalah daerah
segitiga OAB, sehingga diperoleh titik-titik sudut dari daerah penyelesaian adalah O(0,
0), A(4, 0), dan B(0, 6).

3. Selanjutnya, selidiki nilai bentuk objektif z = x + y untuk masing-masing titik
sudut tersebut.
Titik
x
y
z=x+y
O(0, 0)
0
0
0
A(4, 0)
4
0
4
B(0, 6)
0
6
6
↑
z maks
Dari tabel di atas, nilai maksimum bentuk objektif z = x + y adalah 6, yaitu untuk
x = 0 dan y = 6.
Contoh Soal 2 :
Diketahui suatu model matematika sebagai berikut.
Fungsi objektif: meminimumkan z = 8x + 10y
Kendala-kendala: 5x + 4y ≥ 20
9x + 8y ≤ 72
x, y ≥ 0
x, y ϵ C
Tentukan nilai minimum dari model matematika tersebut.
Pembahasan :
Dari kendala-kendala yang ada yaitu 5x + 4y ≥ 20 dan 9x + 8y ≤ 72, kita tentukan
titik potong garis-garis tersebut dengan sumbu-sumbu koordinat Cartesius.
x
y
(x, y)
0
5
(0, 5)
4
0
(4, 0)
x
y
(x, y)
0
9
(0, 9)
8
0
(8, 0)

4. Dari kedua tabel di atas, tentu kalian memperoleh titik potong dengan sumbusumbu koordinat.
Kemudian, kita lukis pada bidang koordinat dan kita hubungkan titik-titik potong
tersebut dengan garis lurus. Setelah itu, kita arsir daerah penyelesaiannya, seperti gambar
di bawah ini.
Gambar 2. Titik potong garis 5x + 4y ≥ 20 dan 9x + 8y ≤ 72.
Dari gambar di samping, terlihat daerah penyelesaiannya adalah segi empat
ABCD. Dengan demikian, diperoleh titik-titik sudut dari daerah penyelesaian adalah A(4,
0), B(8, 0), C(0, 9), dan D(0, 5). Selanjutnya, akan diselidiki nilai 8x + 10y untuk
masing-masing titik sudut tersebut.
Titik
x
y
Z = x + 10y
A(4, 0)
4
0
32
↑
z min
B(8, 0)
8
0
64
C(0, 9)
0
9
90
↑
z maks
D(0, 5)
0
5
50
Dari tabel di atas, terlihat bahwa nilai minimum bentuk objektif z = 8x + 10y
adalah z = 32, yaitu untuk x = 4 dan y = 0.

5. Contoh Soal 3 :
Diketahui luas lahan parkir 360 m2. Untuk sebuah mobil dan sebuah bus,
berturut-turut membutuhkan lahan 6 m2 dan 24 m2. Daerah parkir itu tidak dapat memuat
lebih dari 30 kendaraan. Tentukan jumlah maksimum yang diterima tukang parkir jika
biaya parkir untuk sebuah mobil Rp1.500,00 dan sebuah bus Rp3.000,00.
Jawaban :
Terlebih dahulu kita terjemahkan permasalahan tersebut ke dalam model matematika
dengan cara membuat tabel seperti berikut.
Mobil (x)
Bus (y)
Persediaan
6
1
24
1
360
30
1.500
3.000
Luas Lahan
Daya Tampung
Biaya Parkir
Misalkan banyak mobil adalah x dan banyak bus adalah y. Dari tabel di atas dapat
dibuat model matematika berikut. Fungsi objektif: memaksimumkan z = 1.500x + 3.000y
Kendala: 6x + 24y ≤ 360 atau x + 4y ≤ 60
x + y ≤ 30
x≥0
y≥0
x, y ϵ C
Kita tentukan titik potong garis x + 4y = 60 dan x + y = 30 dengan sumbu
koordinat Cartesius, seperti terlihat pada kedua tabel berikut.
x
0
60
y
51
0
(x, y)
(0, 15)
(60, 0)
x
y
(x, y)
0
30
(0, 30)
30
0
(30, 0)

6. Kita buat daerah himpunan penyelesaian kendala-kendala dalam bidang
Cartesius.
Kita tentukan titik potong antara dua garis dengan eliminasi.
Dengan mensubstitusikan y = 10 ke salah satu persamaan, diperoleh x = 20. Jadi,
titik potong kedua garis tersebut adalah (20, 10).
Gambar 3. Titik potong garis 6x + 24y ≤ 360 atau x + 4y ≤ 60.
Dari gambar di atas, terlihat daerah penyelesaiannya mempunyai empat titik
sudut, yaitu O(0, 0), A(30, 0), B(20, 10), dan C(0, 15). Selanjutnya, kita selidiki nilai
objektif z = 1.500x + 3.000y untuk masing-masing titik sudut. Perhatikan tabel berikut.
Titik
O(0, 0)
A(30, 0)
B(20, 10)
C(0, 15)
x
y
Z = x + 3.000y
0
0
0
30
0
45.000
20
10
45.000
↑
z maks
0
15
60.000

7. Dari tabel di atas, terlihat nilai maksimumnya adalah z = 60.000, yaitu untuk x =
20 dan y = 10.
Jadi, tukang parkir itu akan memperoleh penghasilan maksimum, yaitu Rp
60.000,00 jika ia dapat menerima parkir mobil sebanyak 20 buah dan parkir bus
sebanyak 10 buah.
2. Metode Garis Selidik ax + by = k
Cara lain yang lebih sederhana untuk menentukan nilai maksimum atau minimum
dari fungsi objektif z = ax + by adalah dengan menggunakan garis selidik ax + by = k.
Langkah-langkah untuk menggunakan metode garis selidik ini adalah sebagai berikut.
a. Gambar garis ax + by = ab yang memotong sumbu X di titik (b, 0) dan memotong
sumbu Y di titik (0, a).
b. Tarik garis yang sejajar dengan ax + by = ab yang melalui titik-titik perpotongan
pada batas-batas daerah himpunan penyelesaian.
c. Garis selidik yang berada di paling atas atau yang berada di paling kanan
menunjukkan nilai maksimum, sedangkan garis selidik yang berada di paling bawah
atau di paling kiri pada daerah himpunan penyelesaian menunjukkan nilai minimum.
Contoh Soal 4 :
Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi objektif z = 2x + 3y yang
memenuhi x + y ≤ 7, x ≥ 0, dan y ≥ 0, x, y ϵ R.
Penyelesaian :
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut adalah seperti gambar di samping.
Untuk menggunakan metode garis selidik ax + by = k, ikutilah langkah-langkah berikut.
a. Gambarlah garis 2x + 3y = 2(3) ↔ 2x + 3y = 6. Anggap sebagai garis k0.
b. Tariklah garis k1 yang sejajar garis k0 melewati titik A(7, 0). Tarik garis k2 yang
sejajar k1 dan melalui titik B(0, 7). Kemudian, tarik garis k3 yang sejajar k2 dan
melalui titik (0, 0).

8. Gambar 4. Nilai maksimum da minimum dari z = 2x + 3y.
Terlihat bahwa dari Gambar 4, garis k2 letaknya paling atas, berarti nilai
maksimum dari z = 2x + 3y dicapai pada titik B(0, 7). Jadi, nilai maksimum dari z = 2x +
3y = 2(0) + 3(7) = 21. Garis k3 letaknya paling bawah, berarti nilai minimum dicapai
pada titik O(0, 0) sehingga nilai minimum dari z = 2x + 3y = 2(0) + 3(0) = 0.
Contoh Soal 5 :
Seorang petani ingin memberikan pupuk pada tanaman padinya. Pupuk yang diberikan
harus mengandung sekurang-kurangnya 600 g fosfor dan 720 g nitrogen. Pupuk I
mengandung 30 g fosfor dan 30 g nitrogen per bungkus. Pupuk II mengandung 20 g
fosfor dan 40 g nitrogen per bungkus. Petani itu ingin mencampur kedua pupuk tersebut.
Satu bungkus pupuk I harganya Rp17.500,00 dan pupuk II harganya Rp14.500 per
bungkus. Tentukan biaya minimum yang harus dikeluarkan oleh petani tersebut.

9. Pembahasan :
Untuk menjawab permasalahan di atas, terlebih dahulu kita terjemahkan ke dalam model
matematika. Untuk mempermudah, kita buat tabel seperti berikut.
Kandungan
Fosfor
Nitrogen
Harga
Pupuk I (x)
Pupuk II (y)
Kebutuhan
30
30
20
40
600 g
720 g
17.500
14.500
Misalkan banyak pupuk I adalah x dan banyak pupuk II adalah y.
Dari tabel di atas, diperoleh model matematika sebagai berikut.
Fungsi objektif: meminimumkan z = 17.500x + 14.500y.
Dari gambar di samping, terlihat bahwa titik B merupakan perpotongan garis 3x + 2y =
60 dan 3x + 4y = 72. Kita tentukan koordinat titik B sebagai berikut.
Jadi, diperoleh y = 6. Dengan menyubstitusikan y = 6 ke salah satu persamaan garis di
atas, diperoleh x = 16. Oleh karena itu, koordinat titik B adalah B(16, 6).
Gambar 5. Koordinat titik B.

10. Terlihat dari Gambar 5, titik B terletak paling kiri dari batas-batas daerah
penyelesaian sehingga nilai minimum dicapai pada titik B(16, 6), yaitu :
z = 17.500(16) + 14.500(6) = 367.000.
Jadi, biaya minimum yang dibutuhkan oleh petani tersebut adalah Rp367.000,00 dengan
cara membeli 16 bungkus pupuk I dan 6 bungkus pupuk II.
Contoh Soal 6 :
Tentukan nilai maksimum dari 4x + y yang memenuhi 3x + y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0 dan x,
y ϵ C.
Kunci Jawaban :
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
Gambar 6. Titik sudut.

11. Dari Gambar 6. diperoleh titik sudut O(0, 0), A( 2 2/3, 0), dan B(0, 8). Karena
absis dari titik A bukan merupakan bilangan cacah, harus dicari titik pada daerah yang
diarsir, dengan absis dan ordinat merupakan bilangan cacah dan letaknya dekat titik A (2
2/3, 0). Titik yang sesuai dengan syarat di atas adalah (2, 0) dan (2 ,1).
Titik
x
y
= 4x + y
O(0, 0)
0
0
0
A1(2, 0)
2
0
8
A2(2, 1)
2
1
9
↑
z maks
B(0, 8)
0
8
8
Dari tabel di atas, diperoleh nilai maksimum fungsi z = 4x + y adalah z = 9, untuk
x = 2 dan y = 1.
Rujukan : http://perpustakaancyber.blogspot.com/2013/05/nilai-optimum-suatu-fungsiobjektif-program-linear-fungsi-objectif-cara-menentukan-contoh-soal-rumuspembahasan-metode-uji-titik-sudut-metode-garis-selidikmatematika.html#ixzz2pjkAe93a