Analisis multivariado

MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006

CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE CONFIABIL IDAD
(FIABILIDAD) ALFA-CRONBACH

Existen tres procedimientos para determinar el coeficiente “〈” o alfa :

1. Sobre la base de la varianza de los ítems, con la aplicación de la siguiente
fórmula:

En donde N representa el número de ítems de la escala, “s2 (Yi)” es igual a la
sumatoria de las varianzas de los ítems y “s2x” equivale a la varianza de toda la
escala.

2. Sobre la base de la matriz de correlación de los ítems, el procedimiento
sería:

a) Se aplica la escala.
b) Se obtienen los resultados.
c) Se calculan los coeficientes de correlación r de Pearson entre todos los
ítems (todos contra todos de par en par).
d) Se elabora la matriz de correlación con los coeficientes obtenidos. Por
ejemplo:

Pág. 1


Los coeficientes que se mencionan como “ya fue calculado”, se ubican en la
parte superior de las líneas horizontales (guiones). Es decir, cada coeficiente
se incluye una sola vez y se excluyen los coeficientes que vinculan al ítem o
puntuación consigo misma (1 con 1, 2 con 2, 3 con 3 y 4 con 4).

Pág. 2


3. Mediante otra fórmula que se basa en la correlación promedio

Pág. 3


Los métodos de análisis multivariado

Los métodos de análisis multivariado son aquellos en que se analiza la relación
entre diversas variables independientes y al menos una dependiente. Son
métodos más complejos que requieren del uso de computadoras para efectuar
los cálculos necesarios

Entre las técnicas más comunes se encuentran (1) Análisis de componentes
principales y factores comunes, (2) regresión y correlación múltiple, (3) análisis
discriminante múltiple, (4) análisis multivariado de varianza y covarianza, (5)
análisis conjunto, (6) correlación canónica, (7) análisis de clusters, (8) escala
multidimensional. Otras técnicas nuevas incluyen (9) análisis de
correspondencia, (10) modelos de probabilidad lineal tales como el logit y
probit, y (11) modelos de ecuación simultaneas / estructurales. A continuación
se describen brevemente éstas técnicas.

Análisis de componentes principales y de factores comunes
Es un método estadístico que puede usarse para analizar las interrelaciones
entre un gran número de variables y explicar esas variables en términos de sus
dimensiones subyacentes comunes. El objetivo es hallar la forma de sintetizar
la información contenida en un número de variables originales, dentro de un

Pág. 4


conjunto más pequeño de variates (factores) con mínima pérdida de
información.

Regresión múltiple
En un método de análisis adecuado cuando el problema de investigación
involucra una variable dependiente única que se presume se relaciona a dos o
más variables independientes medibles. El objetivo es predecir el cambio en la
variable dependiente de respuesta con cambios en las variables
independientes, normalmente con el método de mínimos cuadrados.

Por ejemplo se pueden predecir los montos gastados en cenas a partir de
ingresos de las familias (variable dependiente), su tamaño, y la edad del padre
(variables independientes).

Análisis discriminante múltiple (MDA)
Se aplica cuando la variable dependiente es dicotómica (vgr. hombre – mujer) o
multitómica (vgr. Alto – medio – bajo) y por tanto no medible. Como en la
regresión las variables independientes deben ser medibles. Se aplica cuando la
muestra total se puede dividir en grupos con base en una variable no medible
caracterizando varias clases conocidas. Su objetivo es comprender las
diferencias entre grupos y predecir la probabilidad de que una entidad (objeto
individual) pertenezca a una clase o grupo particular con base en varias
variables independientes medibles o métricas.

Por ejemplo el análisis discriminante se puede utilizar para distinguir entre
innovadores y no innovadores de acuerdo a su perfil demográfico y
psicográfico.

Análisis multivariado de varianza y covarianza (MANOVA)
Es un método estadístico para explorar simultáneamente la relación entre
varias variables categóricas independientes (referidas como tratamientos) y dos
o más variables dependientes medibles o métricas. Es una extensión del
ANOVA univariado. El análisis multivariado de covarianza (MANCOVA) se

Pág. 5


puede usar en conjunto con el MANOVA para remover (después del
experimento) el efecto de cualquier variable métrica independiente no
controlada (conocida como covariada) en la variable independiente.

Análisis conjunto
Se aplica a nuevos productos para evaluar la importancia de los atributos del
nuevo producto así como los niveles de cada atributo, mientras que el
consumidor evalúa solo unos pocos perfiles del producto como combinaciones
de los niveles de producto.

Por ejemplo asumir un producto con tres atributos (precio, calidad y color),
cada uno en tres niveles posibles (vgr. Rojo, amarillo y azul). En vez de tener
que evalur las 27 combinaciones posibles (3x3x3), se evalúa un subconjunto de
9 o más combinaciones con base en su atractivo para el consumidor, de
manera que el investigador no solo conozca la importancia de cada atributo,
sino además la importancia de cada nivel (atractivo del rojo vs amarillo vs azul).

Correlación canónica
El análisis de correlación puede ser visto como una extensión lógica de la
regresión múltiple. Donde se trata de correlacionar simultáneamente varias
variables dependientes medibles o métricas y varias variables independientes
medibles. El principio es establecer una combinación lineal de cada conjunto de
variables (dependientes e independientes) para maximizar la correlación entre
los dos conjuntos (obteniendo ponderacións adecuados para las variables).

Análisis de conglomerados (Clusters)
Es una técnica analítica para desarrollar sugrupos significativos de individuos u
o objetos. Específicamente, el objetivo es clasificar una muestra de entidades
(individuos u objetos) en un número más pequeño de grupos más pequeños
con base en las similitudes entre entidades. A diferencia del análisis
discriminante, los grupos no están definidos, más bien se usa para
identificarlos.

Pág. 6


Normalmente se realiza en tres pasos. El primero es la medición de alguna
forma de similitud o asociación entre las entidades para identificar cuantos
grupos realmente existen en la muestra. El segundo paso es el proceso en sí
de conglomerados, donde las entidades se particionan en grupos
(conglomerados o clusters). El paso final es perfilar las personas o variables
para determinar su composición. Muchas veces esto último se realiza con el
análisis discriminante.

Escala multidimensional
El objetivo es transformar los juicios del consumidor de similitud o preferencias
(vgr. Preferencia por tiendas o marcas) en distancias representadas en un
espacio multidimensional. Si los objetos A y B se juzgan por el consumidor
como similares, comparados con cualquier otro par de objetos, la técnica
posiciona los objetos A y B de manera que la distancia entre ellos en un
espacio multidimensional es más pequeño que la distancia entre cualquier otro
par de objetos. Al final se muestra un mapa perceptual con la posición relativa
de los objetos.

Análisis de correspondencia
Facilita tanto la reducción dimensional de objetos en un conjunto de atributos y
el mapa perceptual de objetos respecto a estos atributos. En su forma más
elemental es una tabla de contingencia o tabulación cruzada de dos variables
categóricas. Transforma los datos no métricos a un nivel medible y realiza una
reducción dimensional (similar al análisis de factores) y un mapa perceptual
(similar al análisis multidimensional).

Por ejemplo, las preferencias de marcas de los consumidores pueden ser
tabuladas contra variables demográficas (vgr. Género, categorías de ingresos,
ocupación) indicando cuanta gente prefiere cada una de las marcas que caen
en cada categoría de las variables demográficas. Por medio del análisis de
correspondencia, la asociación o “correspondencia” de marcas y las
características distintivas de aquellos que prefieren las marcas se muestran en

Pág. 7


un mapa tridimensional o bidimensional tanto de marcas como de las
características que distinguen a aquellos que prefieren cada marca.

Modelos de probabilidad lineal (Análisis Logit)
Son una combinación de regresión múltiple y análisis discrimínante. Es similar
al análisis de regresión múltiple excepto que la variable dependiente es
categórica no métrica como en el análisis discriminante.

Modelos de ecuaciones estructurales
A veces se refiere como el nombre del software LISREL, es una técnica que
permite separar las relaciones del conjunto de variables dependientes. En su
forma más sencilla proporciona el modelo más adecuado y la técnica de
estimación más eficiente para una serie de ecuaciones de regresión múltiple,
evaluadas simultáneamente. Se caracteriza por dos componentes básicos: (1)
el modelo estructural y (2) el modelo de medición.

El modelo estructural es la “vía” que relaciona variables dependientes e
independientes. El modelo de medición permite al investigador a usar varias
variables (indicadores) para una variable dependiente e independiente.

Pág. 8


Los datos para HATCO son los siguientes:

Variables / Tipo
Percepciones / Medibles (Métricas)
X1 Tiempo de entrega - entrega del producto con la orden confirmada
X2 Nivel de precios - nivel de precio percibido ponderacióndo por
proveedores
X3 Flexibilidad de precios - flexibilidad para negociar precios
X4 Imagen de la empresa - general
X5 Servicio en general - nivel necesario para mantener relaciones
X6 Imagen de la fuerza de ventas - general
X7 Calidad del producto – calidad percibida en desempeño o rendimiento

Resultados de compras / Medibles (Métricas)
X9 Nivel de utilización - que porcentaje de producto es surtido por Hatco
X10 Nivel de satisfacción – que tan satisfecho esta el cliente con Hatco

Características del comprador / No Medibles (No Métricas)
X8 Tamaño de la empresa - 1- Grande 0 - pequeño
X11 Especificación de compra - 1-Evalúa por el valor total y 0- especificación
X12 Estructura de abastecimiento – 1- centralizado 0 - descentralizado
X13 Tipo de industria - 1- industria A 0 – otras industrias
X14 Tipo de situación de compra – 1- nueva 2- modificada 0- tradicional

Pág. 9


ANOVA (análisis de varianza de k direcciones )

El ANOVA es similar a la regresión en el sentido de que se utiliza para
investigar y modelar la relación entre una variable de respuesta y una o más
variables independientes. Sin embargo, el ANOVA difiere de la regresión en
dos aspectos: las variables independientes son cualitativas (categóricas), y no
hay supuestos acerca de la naturaleza de la relación (o sea que el modelo no
incluye coeficientes para variables). En efecto el ANOVA extiende la prueba de
dos muestras con prueba t para probar la igualdad de dos poblaciones a una
hipótesis más general al comparar más de dos medias, versus que no sean
iguales.

Definición: Es una prueba estadística para evaluar el efecto de dos o más
variables independientes sobre una variable dependiente.

Responde a esquemas como el que se muestra en la figura:

Constituye una extensión del análisis de varianza unidireccional, solamente
que incluye más de una variable independiente. Evalúa los efectos por
separado de cada variable independiente y los efectos conjuntos de dos o más
variables independientes.

Pág. 10


Variables: Dos o más variables independientes y una dependiente.

Nivel de medición de las variables: La variable dependiente (criterio) debe estar
medida en un nivel por intervalos o razón, y las variables independientes
(factores) pueden estar en cualquier nivel de medición, pero expresadas de
manera categórica.

Interpretación y ejemplo

Hi: La similitud en valores, la atracción física y el grado de retroalimentación
positiva son variables que inciden en la satisfacción sobre la relación en
parejas de novios.

Contexto: Muestra de parejas de adultos jóvenes (23-29 años), pertenecientes
a estratos económicos altos (n=400).

El ANOVA efectuado mediante un paquete estadístico computacional como
SPSS produce los siguientes elementos básicos:

• Fuente de la variación (source of variation). Es el factor que origina variación
en la dependiente. Si una fuente no origina variación en la dependiente, no
tiene efectos.

• Efectos principales (main effects). Es el efecto de cada variable independiente
por separado; no está contaminado del efecto de otras variables
iindependientes ni de error. Suele proporcionarse la suma de todos los efectos
principales.

• Interacciones de dos direcciones (2-way interactions). Representa el efecto
conjunto de dos variables independientes, aislado de los demás posibles
efectos de las variables independientes (individuales o en conjuntos). Suele
proporcionarse la suma de los efectos de todas estas interacciones.

Pág. 11


• Interacciones de tres direcciones (3-way interactions). Constituye el efecto
conjunto de tres variables independientes, aislado de otros efectos. Suele
proporcionarse la suma de los efectos de todas estas interacciones.

• Puede haber efecto de K-direcciones, esto dependie del número de variables
independientes.

En nuestro ejemplo, tenemos los resultados siguientes:

TABLA ANOVA

VARIABLE DEPENDIENTE: SATISFACCIÓN EN LA RELACIÓN

Fuente de Suma de Grados de Cuadrados Estadístico F Significancia
variación cuadrados libertad medios de Fc = P
Efectos 22.51 .001**
principales
(main effects
SIMILITUD 31.18 0.001**
ATRACCIÓN 21.02 0.001**
RETROALIM 11.84 0.004**
SIMILITUD -4.32 0.04*
ATRACCIÓN
SIMILITUD 2.18 0.11
RETROALIM
ATRACCION 1.56 0.190
RETROALIM
SIM – 8.01 0.02*
RETROL-
ATRACCION

NOTA: Normalmente interesa saber si las razones “F” resultaron o no
significativas; por tanto, sólo se incluyen estos valores. Se recomienda
concentrarse en dichos valores y evitar confusiones. Desde luego, el
investigador experimentado acostumbra estudiar todos los valores.

**— Razón “F” significativa al nivel del 0.01 (p < 0.01)

Pág. 12


*—Razón “F” significativa al nivel del 0.05 (p < 0.05)

Como podemos ver en la tabla, la similitud, la atracción y la retroalimentación
tienen un efecto significativo sobre la satisfacción en la relación.

Respecto a los efectos de dos variables independientes conjuntas, sólo la
similitud y la atracción tienen un efecto, hay un efecto conjunto de las tres
variables independientes. La hipótesis de investigación se acepta y la nula se
rechaza. Asimismo, se recuerda al lector que en el capítulo 5 del presente
disco: Otros diseños experimentales (en el apartado sobre diseños factoriales)
se explica la noción de interacción entre variables independientes. Cabe
agregar que el ANOVA es un método estadístico propio para los diseños
experimentales factoriales.

Ejemplo:
Un experimento se realizó para probar cuanto tiempo toma usar un modelo
nuevo y un modelo anterior de calculadora. Seis ingenieros trabajando en un
problema estadístico y uno de ingeniería se les toma el tiempo para resolver el
problema. Los ingenieros se consideran como bloques en el diseño
experimental.

Hay dos factores: Tipo de problema y modelo de calculadora – cada uno con
dos niveles, se hacen experimentos donde esos niveles de los factores se
cruzan. Los datos se muestran a continuación:

SolveTime Engineer ProbType Calculator
3.1 Jones Stat New
7.5 Jones Stat Old
2.5 Jones Eng New
5.1 Jones Eng Old
3.8 Williams Stat New
8.1 Williams Stat Old
2.8 Williams Eng New
5.3 Williams Eng Old
3 Adams Stat New
7.6 Adams Stat Old
2 Adams Eng New

Pág. 13


4.9 Adams Eng Old
3.4 Dixon Stat New
7.8 Dixon Stat Old
2.7 Dixon Eng New
5.5 Dixon Eng Old
3.3 Erickson Stat New
6.9 Erickson Stat Old
2.5 Erickson Eng New
5.4 Erickson Eng Old
3.6 Maynes Stat New
7.8 Maynes Stat Old
2.4 Maynes Eng New
4.8 Maynes Eng Old

Las instrucciones de Minitab son las siguientes:

1 Abrir la worksheet EXH_AOV.MTW.

2 Stat > ANOVA > Balanced ANOVA.

3 Responses, poner SolveTime.

4 Model, poner Engineer ProbType | Calculator.

5 En Random Factors, poner Engineer.

6 Click Results. En Display means corresponding to the terms, poner
ProbType | Calculator. Click OK cada cuadro de diálogo.

Los resultados obtenidos son los siguientes:

ANOVA: SolveTime versus Engineer, ProbType, Calculator

Factor Type Levels Values
Engineer random 6 Adams, Dixon, Erickson, Jones, Maynes, Williams
ProbType fixed 2 Eng, Stat
Calculator fixed 2 New, Old

Analysis of Variance for SolveTime

Source DF SS MS F P
Engineer 5 1.053 0.211 3.13 0.039
ProbType 1 16.667 16.667 247.52 0.000
Calculator 1 72.107 72.107 1070.89 0.000
ProbType*Calculator 1 3.682 3.682 54.68 0.000
Error 15 1.010 0.067
Total 23 94.518

S = 0.259487 R-Sq = 98.93% R-Sq(adj) = 98.36%

Means

Pág. 14


ProbType N SolveTime
Eng 12 3.8250
Stat 12 5.4917

Calculator N SolveTime
New 12 2.9250
Old 12 6.3917

ProbType Calculator N SolveTime
Eng New 6 2.4833
Eng Old 6 5.1667
Stat New 6 3.3667
Stat Old 6 7.6167

Interpretación de los resultados:

Se muestran los factores (fijos y aleatorios), niveles y valores. Después se
muestra la tabla de ANOVA, donde se indica de acuerdo al valor P que hay una
interacción significativa entre el tipo de problema y el modelo de calculadora, lo
que implica que la reducción en tiempo de proceso de la calculadora depende
del tipo de problema.

En la lista de promedios se observa un menor tiempo entre la calculadora
nueva y la anterior.

Pág. 15


ANÁLISIS MULTIVARIADO DE VARIANZA
(MANOVA)
Es un modelo para analizar la relación entre una o más variables
independientes y dos o más variables dependientes. Es decir, es útil para
estructuras causales del tipo:

La técnica posee varios usos, entre los que destacan:
- Evaluar diferencias entre grupos a través de múltiples variables dependientes
(medidas por intervalos o razón). La(s) variable(s) independiente(s) es(son)
categórica(s) (no métricas). Tiene el poder de evaluar no solamente las
diferencias totales, sino diferencias entre las combinaciones de las
dependientes.

En este sentido representa una extensión del análisis de varianza (ANOVA)
para cubrir casos donde hay más de una variable dependiente y/o cuando las
variables dependientes simplemente no pueden ser combinadas. En otras
palabras, reconoce si los cambios en la(s) variable(s) independiente(s) tienen
un efecto significativo en las dependientes. Señala qué grupos difieren en una
variable o en el conjunto de variables dependientes.

Pág. 16


- Identificar las interacciones entre las variables independientes y la asociación
entre las dependientes.

Las tres clases principales del MANOVA son:

1) Hotelling's T. Es parecida a la prueba t (dos grupos) pero con más
dependientes: una variable independiente dicotómica y varias dependientes.

2) MANOVA unidireccional. Análogo al ANOVA de una sola vía, pero con más
dependientes: una variable independiente multicategórica y varias
dependientes.

3) MANOVA factorial. Similar al ANOVA factorial, solamente que con dos o más
dependientes: varias independientes categóricas y varias dependientes.

Los modelos del MANOVA tienen en común que forman combinaciones
lineales de las dependientes que discriminan mejor entre los grupos en un
experimento o una situación no experimental. Es una prueba de significancia
de las diferencias en los grupos en un espacio multidimensional donde cada
dimensión está definida por combinaciones lineales del conjunto de variables
dependientes.

Una pregunta que suele hacer el estudiante al revisar el MANOVA es ¿por qué
no hacemos ANOVAS separados, uno para cada dependiente? La respuesta:
las dependientes están correlacionadas muy frecuentemente, por lo cual los
resultados de varios ANOVA pueden ser redundantes y difíciles de integrar. He
aquí una síntesis de la explicación de Wiersma (1999) sobre este tipo de
análisis:

Al incluir dos o más variables dependientes simultáneamente no se consideran
las diferencias entre las medias en cada variable, sino las diferencias en
variables canónicas. El interés no sólo es saber si los grupos definidos por las
variables independientes difieren en las variables canónicas, sino conocer la
naturaleza de éstas. Una variable canónica es una variable artificial generada a

Pág. 17


partir de los datos. Representa constructos y se compone de variables reales,
las cuales deben ser descritas en términos de variables dependientes. Lo
anterior se efectúa por medio de las ponderacións de los coeficientes de
correlación entre una variable dependiente y una variable canónica. Si una
ponderación entre la variable canónica y la dependiente es positiva y elevada,
significa que altos valores en la dependiente se asocian con altos valores en la
canónica. Por ejemplo, si una variable dependiente consiste en puntuaciones a
una prueba sobre innovación, y dichas puntuaciones se correlacionan en forma
considerable con una variable canónica, inferimos que la variable canónica
representa un constructo que involucra esencialmente a la innovación.

En los cálculos que se hacen en el MANOVA, se generan variables canónicas
hasta que se encuentra que no hay una diferencia estadística significativa entre
las categorías o los grupos de las variables independientes; o bien, hasta que
se agotan los grados de libertad de las variables independientes (lo que ocurra
primero). El número de variables canónicas no puede exceder el número de
variables dependientes, pero es común que el número de dependientes sea
mayor que el de variables canónicas estadísticamente significativas o los
grados de libertad.

La hipótesis general de investigación en el MANOVA postula que las medias de
los grupos o las categorías de la(s) variable(s) independiente(s) difieren entre sí
en las variables canónicas. La hipótesis nula postula que dichas medias serán
iguales.

Se calculan diversas estadísticas para evaluar ambas hipótesis, entre las que
destacan: F (total, toma en cuenta el modelo completo), la prueba Hotelling's
TSquare, T2 (cuando hay dos grupos formados por las variables
independientes), Wilks' lambda, U (cuando hay más de dos grupos formados
por las variables independientes), y Pillai-Bartlett (cuando hay coeficientes
canónicos); y si resultan significativas en un nivel de confianza, se acepta la
hipótesis de investigación de diferencia de medias. Esto indica que hay, por lo
menos, una variable canónica significativa (pero puede haber varias). Si
diversas variables canónicas son significativas, esto muestra que se presentan

Pág. 18


diferencias en las variables canónicas en cuestión, entre los grupos o
categorías de las independientes.

Los paquetes estadísticos que contiene el MANOVA suelen posicionar a los
grupos de las variables independientes por puntuaciones discriminantes; éstas
son calculadas con una función discriminante, que es una ecuación de
regresión para un compuesto de variables dependientes. A cada grupo se le
asigna una puntuación discriminante en cada variable canónica. Las
puntuaciones discriminantes de una variable independiente pueden ser cero o
tener un valor positivo o negativo. Una puntuación discriminante positiva y
elevada para un grupo, indica que éste se coloca por encima de los demás en
la respectiva variable canónica. Y deben considerarse las ponderacións, las
cuales son positivas o negativas. Las puntuaciones discriminantes son
utilizadas para interpretar las separaciones de los grupos en las variables
canónicas, en tanto que las ponderacións se usan para evaluar y ligar los
resultados de las variables dependientes (Wiersma, 1999). Un ejemplo de las
ponderacións de los coeficientes de correlación entre las variables
dependientes y las variables canónicas así como las puntuaciones
discriminantes se muestran en las tablas siguientes:

Pág. 19


Como observamos en la última tabla, se obtuvieron tres constructos
subyacentes en las puntuaciones recolectadas de la muestra: motivación
intrínseca, atribución de causalidad externa y desempeño laboral. Vemos en la
tabla que los grupos (niveles en la empresa) están separados en las tres
variables canónicas (los grupos difieren), particularmente en la primera variable
canónica (motivación intrínseca) y los obreros ocupan la posición más baja. Las
variables dependientes enmarcadas en un recuadro en la primera variable

Pág. 20


canónica se ponderaciónn en ella; en consecuencia, los ejecutivos tienen las
puntuaciones más altas en motivación intrínseca medida por la escala
mencionada, en atribuciones internas y en sentimientos de éxito en el trabajo.
Así se interpretan todas las variables canónicas y dependientes.

En el MANOVA se incluyen razones F y análisis de varianza. Algunos paquetes
estadísticos agregan una prueba denominada correlación canónica, que es
muy similar al MANOVA. Ésta es la máxima correlación que llega a obtenerse
entre los conjuntos de puntuaciones y las relaciones entre las variables
independientes, entre las variables dependientes y entre los conjuntos de
ambas (dependientes e independientes) (Kerlinger, 1979). Las variables en el
MANOVA y la correlación canónica asumen que las variables dependientes
están medidas en un nivel de intervalos o razón. Tal correlación se interpreta
como otras; pero el contexto de interpretación varía de acuerdo con el número
de variables involucradas.

Pág. 21


Ejemplo con Minitab

Se realiza un estudio para determinar las condiciones óptimas para extruir
película plástica. Se miden tres respuestas – Tear, gloss y opacity – cinco
veces en cada combinación de dos factores – tasa de extrusión y cantidad de
aditivo – cada grupo se pone en niveles bajos y altos. Se utiliza el MANOVA
balanceado para probar la igualdad de las medias.

DATOS

Tear Gloss Opacity Extrusion Additive
6.5 9.5 4.4 1 1
6.2 9.9 6.4 1 1
5.8 9.6 3 1 1
6.5 9.6 4.1 1 1
6.5 9.2 0.8 1 1
6.9 9.1 5.7 1 2
7.2 10 2 1 2
6.9 9.9 3.9 1 2
6.1 9.5 1.9 1 2
6.3 9.4 5.7 1 2
6.7 9.1 2.8 2 1
6.6 9.3 4.1 2 1
7.2 8.3 3.8 2 1
7.1 8.4 1.6 2 1
6.8 8.5 3.4 2 1
7.1 9.2 8.4 2 2
7 8.8 5.2 2 2
7.2 9.7 6.9 2 2
7.5 10.1 2.7 2 2
7.6 9.2 1.9 2 2

Instrucciones de Minitab

1 Abrir el archivo EXH_MVAR.MTW.

2 Seleccionar Stat > ANOVA > Balanced MANOVA.

3 En Responses, poner Tear Gloss Opacity.

4 En Model, poner Extrusion | Additive.

Pág. 22


5 Click Results. En Display of Results, seleccionar Matrices
(hypothesis, error, partial correlations) y Eigen analysis.

6 Click OK en cada cuadro de diálogo.

Los resultados se muestran a continuación:

Results for: Exh_mvar.MTW

ANOVA: Tear, Gloss, Opacity versus Extrusion, Additive

MANOVA for Extrusion
s = 1 m = 0.5 n = 6.0

Test DF
Criterion Statistic F Num Denom P
Wilks' 0.38186 7.554 3 14 0.003
Lawley-Hotelling 1.61877 7.554 3 14 0.003
Pillai's 0.61814 7.554 3 14 0.003
Roy's 1.61877

SSCP Matrix for Extrusion

Tear Gloss Opacity
Tear 1.740 -1.505 0.8555
Gloss -1.505 1.301 -0.7395
Opacity 0.855 -0.739 0.4205

SSCP Matrix for Error

Tear Gloss Opacity
Tear 1.764 0.0200 -3.070
Gloss 0.020 2.6280 -0.552
Opacity -3.070 -0.5520 64.924

Partial Correlations for the Error SSCP Matrix

Tear Gloss Opacity

Pág. 23


Tear 1.00000 0.00929 -0.28687
Gloss 0.00929 1.00000 -0.04226
Opacity -0.28687 -0.04226 1.00000

EIGEN Analysis for Extrusion

Eigenvalue 1.619 0.00000 0.00000
Proportion 1.000 0.00000 0.00000
Cumulative 1.000 1.00000 1.00000

Eigenvector 1 2 3
Tear 0.6541 0.4315 0.0604
Gloss -0.3385 0.5163 0.0012
Opacity 0.0359 0.0302 -0.1209

MANOVA for Additive
s = 1 m = 0.5 n = 6.0

Test DF
Wilks' 0.52303 4.256 3 14 0.025
Pillai's 0.47697 4.256 3 14 0.025
Roy's 0.91192

SSCP Matrix for Additive

Tear Gloss Opacity
Tear 0.7605 0.6825 1.931
Gloss 0.6825 0.6125 1.732
Opacity 1.9305 1.7325 4.901

EIGEN Analysis for Additive

Eigenvalue 0.9119 0.00000 0.00000
Proportion 1.0000 0.00000 0.00000
Cumulative 1.0000 1.00000 1.00000

Pág. 24


Eigenvector 1 2 3
Tear -0.6330 0.4480 -0.1276
Gloss -0.3214 -0.4992 -0.1694
Opacity -0.0684 0.0000 0.1102

MANOVA for Extrusion*Additive
s = 1 m = 0.5 n = 6.0

Test DF
Wilks' 0.77711 1.339 3 14 0.302
Pillai's 0.22289 1.339 3 14 0.302
Roy's 0.28683

SSCP Matrix for Extrusion*Additive

Tear Gloss Opacity
Tear 0.000500 0.01650 0.04450
Gloss 0.016500 0.54450 1.46850
Opacity 0.044500 1.46850 3.96050

EIGEN Analysis for Extrusion*Additive

Eigenvalue 0.2868 0.00000 0.00000
Proportion 1.0000 0.00000 0.00000
Cumulative 1.0000 1.00000 1.00000

Eigenvector 1 2 3
Tear -0.1364 0.1806 0.7527
Gloss -0.5376 -0.3028 -0.0228
Opacity -0.0683 0.1102 -0.0000

Por default se muestra la tabla para las cuatro pruebas multivariadas (Wliks,
Lawley, Hotelling, Pillai y Roy) para cada uno de los términos en el modelo.

Los valores s, m y n se utilizan para los cálculos de los estadísticos de prueba
Fc, el cual es exacto si s = 1 o 2 de otra forma es aproximado.

Pág. 25


Examinando los valores P de las pruebas para Extrusión y Aditivo se observa
que son significativas para un nivel de 0.05, no así la interacción.

Las matrices SSCP se usan para evaluar la contribución a la variabilidad de
manera similar a la suma de cuadrados en la ANOVA univariada. La matriz
SSCP para Extrusion es la suma de cuadrados de la hipótesis y matriz de
productos cruzados H para las tres respuestas con el término de modelo
Extrusión. Los elementos diagonales de esta matriz, 1.740, 1.301 y 0.405 son
las sumas de cuadrados univariados para el término del modelo Extrusión
cuando las variables de respuesta son Tear, Gloss y Opacity respectivamente .
Los elementos fuera de la diagonal son los productos cruzados.

La matriz SSCP para el error es la suma de cuadrados de los errores y
productos cruzados E. Los elementos diagonales de la matriz 1.764, 2.6280, y
64.924 son las sumas de cuadrados de los errores para las variables de
respuesta Teat, Gloss y Opacity, respectivamente. Los elementos fuera de la
diagonal de esta matriz son los productos cruzados.

La matriz de correlaciones parciales para el error SSCP, se usa para evaluar
que tanto se relacionan las variables de respuesta. Las correlaciones parciales
entre Tear y Gloss son pequeñas con 0.00929 y entre Gloss y Opacity
-0.04226. Y la correlación parcial entre Tear y Opacity es de -0.28687 tampoco
es grande. Como la estructura de las correlaciones es débil, se pueden realizar
análisis univariados de ANOVA para cada una de las respuestas.

Se puede utilizar el análisis de valores característicos o Eigenvalores, para
evaluar como difieren los promedios de las respuestas entre los niveles de los
diferentes términos del modelo. El análisis de Eigenvalores es E -1 H donde E es
la matriz SCCP del error y H es la matriz SCCP de las variables de respuesta.
Estos son los eigenvalores utilizados para calcular las cuatro pruebas de
MANOVA.

Poner la mayor importancia en los eigenvectores que corresponden a valores
altos de eigenvalores. En el ejemplo, el segundo y tercer eigenvalores son
pequeños, no signiicativos. Para ambos factores, Extrusion y Additive, los

Pág. 26


primeros eigenvalores contienen información similar. Para Extrusion is 0.6541,
-0.3385, 0.0359 and for Additive it is -0.6630, -0.3214, -0.0684. El mayor valor
absoluto dentro de esos eigenvalores corresponde a la respuesta Tear, el
segundo a Gloss y el valor para Opacity es pequeño. Esto implica que Tear
tiene la mayor diferencia entre los dos niveles de los factores ya sea Extrusion
o Additive, el Gloss tiene las siguientes mayores diferencias y op.citp. tiene solo
pequeñas diferencias.

Para un análisis más general utilizar General MANOVA con diseños
balanceados y no balanceados, incluso si se tienen covariados.

1 Seleccionar Stat > ANOVA > General MANOVA.

2 En Responses, seleccionar hasta 50 columnas numéricas conteniendo las
variables de respuesta.

3 En Model, introducir los términos del modelo que se quiera ajustar.

4. Click OK.

Pág. 27


ANÁLISIS DE COVARIANZA

Definición: Es un método estadístico que analiza la relación entre una variable
dependiente y dos o más independientes, con el que se elimina o controla el
efecto de al menos una de estas independientes. Similar al ANOVA, excepto
que permite controlar la influencia de una variable independiente, la cual con
frecuencia es una característica antecedente que puede variar entre los grupos
(Mertens, 2005) o influir los resultados y afectar la claridad de las
interpretaciones.

Perspectivas o usos: Wildt y Ahtola (1978, pp. 8-9) destacan tres perspectivas
para el análisis de covarianza:

A. Perspectiva experimental. Se aplica a aquellas situaciones en que el interés
del investigador se centra en las diferencias observadas en la variable
dependiente, por medio de las categorías de la variable independiente (o
variables independientes). Pero el experimentador asume que hay otras
variables independientes cuantitativas que contaminan la relación y cuya
influencia debe ser controlada.

Pág. 28


Y el investigador únicamente se interesa por conocer la relación entre las
variables independientes categóricas y la variable dependiente. Desea al
mismo tiempo remover y controlar el efecto de las variables independientes
cuantitativas no categóricas (continuas). Es decir, desea tener un esquema
como el de la figura

El objetivo es “purificar la relación entre las independientes categóricas y la
dependiente, mediante el control del efecto de las independientes no
categóricas o continuas”.

Ejemplos de variables independientes categóricas serían: género (masculino,
femenino), inteligencia (alta, media, baja), ingreso (menos de un salario
mínimo, dos a cuatro salarios mínimos, cinco a 10 salarios mínimos, 11 o más
salarios mínimos).

Los niveles de medición nominal y ordinal son categóricos en sí mismos,
mientras que los niveles de intervalos y razón deben transformarse en
categorías más discretas. Estos últimos son en sí: cuantitativos, continuos y de
categorías múltiples. Por ejemplo, el ingreso en su “estado natural”
(ponderacións, dólares, euros, etc.) varía de la categoría cero hasta la
categoría (K)k, ya que puede haber millones de categorías.

Pág. 29


Variable categórica — unas cuantas categorías o un rango medio.

Variable continua — muchas categorías (a veces una infinidad).

A dichas variables independientes cuantitativas continuas, cuya influencia se
controla, se les denomina “covariables”. Una covariable se incluye en el análisis
para remover su efecto sobre la variable dependiente, e incrementar el
conocimiento de la relación entre las variables independientes categóricas de
interés y la dependiente, lo cual aumenta la precisión del análisis.

En esta perspectiva, el análisis de covarianza puede ser concebido primero
como un ajuste en la variable dependiente respecto a diferencias en la
covariable o las covariables y, posteriormente, como una evaluación de la
relación entre las variables independientes categóricas y los valores ajustados
de la variable dependiente (Wildt y Ahtola, 1978). En términos de Creswell
(2005):

El procedimiento “ajusta” las puntuaciones en la dependiente para dar cuenta
por la covarianza (por decirlo en términos sencillos: “hace equivalentes a los
grupos en la(s) covariable(s)” y controla influencias potenciales que pueden
afectar a la variable dependiente).

B. Perspectiva de interés por la covariable. Esta perspectiva se ejemplifica con
aquellas instancias en las cuales el interés principal se centra en analizar la
relación entre la variable dependiente y la covariable (variable cuantitativa
continua) o las covariables. Aquí el enfoque es distinto; la influencia que se
remueve es la de las variables independientes categóricas. Primero se controla
el efecto (en este caso contaminante) de estas variables y después se analiza
el efecto “purificado” de las covariables.

C. Perspectiva de regresión. En esta tercera perspectiva, tanto las variables
independientes categóricas como las covariables resultan de interés para el
investigador, quien puede desear examinar el efecto de cada variable

Pág. 30


independiente (covariables y no covariables, todas) y después ajustar o corregir
los efectos de las demás variables independientes.

En cualquier caso, el análisis de covarianza elimina influencias no deseadas
sobre la variable dependiente. Se puede utilizar en contextos experimentales y
no experimentales. La mayoría de las veces la función del ANCOVA es
“remover” la varianza compartida entre una o más covariables y la dependiente,
de este modo, se valora en su justa dimensión la relación causal entre la(s)
variable(s) independiente(s) de interés y la dependiente (Creswell, 2005).

Veámoslo conceptualmente pero de forma gráfica con un ejemplo simple:

Ejemplo:

Estudio: Al investigador le interesa analizar el efecto en el aprendizaje de la
computación, por medio un nuevo método para su enseñanza a niños. La
hipótesis es: El nuevo método de enseñanza de la computación (MA-RH)
provocará un mayor aprendizaje en los niños que un método tradicional.

Entonces, implementa el siguiente experimento: A un grupo de infantes lo
expone al nuevo método de enseñanza de computación (MA-RHS); a otro
grupo no lo expone al nuevo método, éste aprende con el método tradicional;
finalmente, a un tercer grupo, de control, no recibe ningún tipo de enseñanza
en computación.

La variable independiente es el tipo de método con tres categorías o niveles
(método nuevo, método tradicional y ausencia de método), la dependiente es el
aprendizaje en computación (medida por una prueba estandarizada a nivel de
intervalos). Se tiene un esquema como el de la figura

Pág. 31


Con el experimento el investigador desea conocer la varianza en común entre
método y aprendizaje (cuantificarla), la relación XY (pura). Si los niños son
asignados al azar a los grupos del experimento y tiene grupos de tamaño
aceptable, por el diseño mismo, remueve la influencia de las covariables que
pudieran afectar. Pero si no es factible hacerlo y tiene un diseño
cuasiexperimental (grupos intactos), debe remover tal influencia con el análisis
de covarianza (eliminar al mínimo posible la varianza del aprendizaje
no explicada), para evitar que las covariables impidan ver con claridad la
relación XY. Por ejemplo, el nivel educativo tecnológico de los padres puede
influir (hace variar al aprendizaje) y este efecto debe ser controlado, al
introducirlo como covariable.

Pág. 32


Lo que el investigador desea también se puede expresar gráficamente así:

Wildt y Ahtola (1978, p. 13) definen algunos usos del análisis de covarianza:

1. Incrementar la precisión en experimentos con asignación al azar.

Pág. 33


2. Eliminar influencias extrañas o contaminantes que pueden resultar cuando
las pruebas o los individuos no son asignados al azar a las diferentes
condiciones experimentales (grupos de un experimento).

3. Eliminar efectos de variables que confundan o distorsionen la interpretación
de resultados en estudios no experimentales.

Nivel de medición de las variables: La variable dependiente siempre está
medida por intervalos o razón y las variables independientes pueden estar
medidas en cualquier nivel.

Interpretación: Depende de cada caso específico, ya que el análisis de
covarianza efectuado mediante un programa estadístico computacional,
produce un cuadro de resultados muy parecido al del análisis de varianza. Los
elementos más comunes pueden obssevarse en la tabla ANOVA.

La razón F es, igual que en el análisis de varianza, una razón de varianzas. El
razonamiento estadístico es el mismo y F se interpreta igual, incluso se utiliza
el mismo cuadro de la distribución F. Solamente que las inferencias y
conclusiones se hacen al considerar que las medias de la variable
dependiente, a través de las categorías de las variables independientes, se han
ajustado, de este modo eliminan el efecto de la covariable o covariables.

Ejemplo:

Diseño de investigación que utiliza el análisis de covarianza
Hi: Los trabajadores que reciban retroalimentación verbal sobre el desempeño
de parte de su supervisor mantendrán un nivel mayor de productividad que los
trabajadores que reciban retroalimentación sobre el desempeño por escrito,
más aún que los trabajadores que no reciban ningún tipo de retroalimentación.
__ __ __
Hi: X1 > X2 > X3
(verbal) (por escrito) (ausencia)

Pág. 34


El investigador plantea un diseño experimental para intentar probar su
hipótesis. Sin embargo, no puede asignar aleatoriamente a los trabajadores a
los tres grupos del experimento. El diseño sería con grupos intactos
(cuasiexperimental) y se esquematizaría así:

Asimismo, el investigador presupone que hay un factor que puede
contaminar los resultados (actuar como fuente de invalidación interna): la
motivación. Diferencias iniciales en motivación pueden invalidar el estudio.

Como la asignación al azar está ausente, no se sabe si los resultados se ven
influidos por dicho factor. Entonces, el experimentador decide eliminar o
controlar el efecto de la motivación sobre la productividad para conocer los
efectos de la variable independiente: tipo de retroalimentación. La motivación
se convierte en covariable.

El esquema es el que se muestra en la figura

Pág. 35


Cabe destacar que, para introducir una covariable en el análisis, de preferencia
debe medirse antes del inicio del experimento.

El análisis de covarianza “quita” a la variabilidad de la dependiente lo que se
debe a la covariable. Ajusta la varianza de la variable dependiente en las
categorías de la independiente, al basarse en la covariable. En el ejemplo,
ajusta la varianza de la productividad debida a la motivación, en las categorías
experimentales (tratamientos o grupos). El ajuste se realiza sobre la base de la
correlación entre la covariable y la dependiente. Esto se muestra
esquemáticamente en la tabla.

Una vez realizado el análisis de covarianza, se evalúa si F es o no significativa.
Cuando F resulta significativa se acepta la hipótesis de investigación.

Si el resultado fuera:

G1 = 35
G2 = 36

La correlación entre la calificación en motivación y las puntuaciones en
productividad es la base para el ajuste.

G3 = 38
Gl entre = K – 1 = 3 – 1 = 2
Gl intra = N – K = 107
F = 1.70

Comparamos con el valor de la tabla respectiva: en el nivel de 0.05 es igual a
3.07, y nuestra razón F a 1.70 es menor a este valor. Por lo tanto, rechazamos
la hipótesis de investigación y aceptamos la hipótesis nula. Esto se contrasta y
profundiza con las medias ajustadas de los grupos que proporcione el análisis
de covarianza (no las medias obtenidas en el experimento por cada grupo, sino
las ajustadas con base en la covariable).

Pág. 36


Recordemos que SPSS nos proporciona automáticamente la significancia de F.

Ejemplo:

Determinar si hay diferencia en la resistencia de una fibra monofilamento
producida por tres máquinas diferentes. El diámetro de la fibra parece tener
influencia en la resistencia como se muestra abajo (covariado de Y).

Datos de resistencia - Y es la respuesta, X es el covariado.

Y X Maq
36 20 1
41 25 1
39 24 1
42 25 1
49 32 1
40 22 2
48 28 2
39 22 2
45 30 2
44 28 2
35 21 3
37 23 3
42 26 3
34 21 3
32 15 3

La relación entre X y Y es significativa como se observa en la siguiente gráfica:

En Minitab:

1. Stat > Regresión > Fitted line plot
2. Introducir Y y X, seleccionar Linear
3. OK

Pág. 37


Fi t t ed Li ne Pl ot
Y = 14.14 + 1.080 X
50 S 1.78174
R-Sq 88.1%
R-Sq(adj) 87.2%

45

40
Y

35

30
15.0 17.5 20.0 22.5 25.0 27.5 30.0 32.5
X

Para el ANOVA con Covariados, las instrucciones de Minitab son las
siguientes:

1. Stat > ANOVA > General Linear Model

2. Introducir en Response Y, en Model X y Maquina

3. En Covariates X

4. En Results en Display Least Square Means corresponding to the terms Maq

5. En Graphs seleccionar Normal plot for residuals

6. OK


General Linear Model: Y versus Maq

Factor Type Levels Values
Maq fixed 3 1, 2, 3

Analysis of Variance for Y, using Adjusted SS for Tests

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P
X 1 305.13 178.01 178.01 69.97 0.000
Maq 2 13.28 13.28 6.64 2.61 0.118
Error 11 27.99 27.99 2.54
Total 14 346.40

S = 1.59505 R-Sq = 91.92% R-Sq(adj) = 89.72%

Pág. 38


Term Coef SE Coef T P
Constant 17.177 2.783 6.17 0.000
X 0.9540 0.1140 8.36 0.000

Unusual Observations for Y

Obs Y Fit SE Fit Residual St Resid
7 48.0000 45.1080 0.7489 2.8920 2.05 R

R denotes an observation with a large standardized residual.

Means for Covariates

Covariate Mean StDev
X 24.13 4.324

Least Squares Means for Y

Maq Mean SE Mean
1 40.38 0.7236
2 41.42 0.7444
3 38.80 0.7879

Conclusión:

Se observa que no hay diferencia en las máquinas una vez que eliminamos la

variabilidad introducida por el diámetro de la fibra, en caso de no haber tomado

en cuenta la covarianza del diámetro en la resitencia, se hubiese concluido al

revés, que si hay diferencia en las máquinas, como se muestra a continuación:

Con Minitab:

1. Stat > ANOVA > One way

2. Response Y Factor Maquina

3. OK

Los resultados son los siguientes:

One-way ANOVA: Y versus Maq

Source DF SS MS F P
Maq 2 140.4 70.2 4.09 0.044
Error 12 206.0 17.2
Total 14 346.4

S = 4.143 R-Sq = 40.53% R-Sq(adj) = 30.62%

Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled

Pág. 39


StDev
Level N Mean StDev +---------+---------+---------+---------
1 5 41.400 4.827 (---------*----------)
2 5 43.200 3.701 (---------*---------)
3 5 36.000 3.808 (---------*---------)
+---------+---------+---------+---------
32.0 36.0 40.0 44.0

Pooled StDev = 4.143

Conclusión: Como P value es menor a 0.05 aparentemente si hay diferencia

entre máquinas.

Pág. 40


ANALISIS DISCRIMINANTE

El análisis discriminante, se aplica cuando las variables independientes son
medidas por intervalos o razón, y la dependiente es categórica. Tal análisis
sirve para predecir la pertenencia de un caso a una de las categorías de la
variable dependiente, sobre la base de varias independientes (dos o más). Se
utiliza una ecuación de regresión llamada función discriminante. Por ejemplo, si
queremos predecir el voto obtenido por dos partidos contendientes (variable
dependiente nominal con dos categorías) sobre la base de cuatro variables
independientes, aplicaremos el análisis discriminante, para resolver una
ecuación de regresión; así se obtienen las predicciones individuales. En el
ejemplo, hay dos categorías (votar por A o votar por B); por tanto, los valores a
predecir son 0 y 1 (A y B, respectivamente). Si el sujeto obtiene una puntuación
más cercana a cero, se predice que pertenece al grupo que votará por A; si
logra una puntuación más cercana a 1, se predice que pertenece al grupo que
votará por B. Además, se consigue una medida del grado de discriminación del
modelo.

Usar el Análisis Discrimínate para clasificar observaciones en dos o más
grupos si se tiene una muestra con grupos conocidos. Se puede utilizar
también para investigar como contribuyen las variables a la separación de
grupos.

Se pueden hacer análisis discriminantes lineales y cuadráticos. Los lineales
asumen que todos los grupos tienen la misma matriz de covarianza, los
cuadráticos no hacen este supuesto y no son bien comprendidos.
Para el caso de clasificar las observaciones nuevas en una de dos categorías,
la regresión logística puede ser superior al análisis discriminante.

Ejemplo:

Para regular la pesca de salmón, se desea identificar si el pescado es originario
de Alaska o de Canadá. Cincuenta peces de cada lugar de origen fueron
capturados y pesados cuando vivían en agua dulce y cuando vivieron en agua

Pág. 41


salada. El objetivo es el de poder identificar si los nuevos pescados vienen de
criaderos en Alaska o Canadá. Los datos se muestran a continuación:

SalmonOrigin Freshwater Marine SalmonOrigin Freshwater Marine
Alaska 108 368 Canada 129 420

Pág. 42



Las intrucciones de Minitab son las siguientes:

1 Abrir la worksheet EXH_MVAR.MTW.

2 Stat > Multivariate > Discriminant Analysis.

3 En Groups, poner SalmonOrigin.

4 En Predictors, poner Freshwater Marine. Click OK.

Los resultados obtenidos se muestran a continuación:

Discriminant Analysis: SalmonOrigin versus Freshwater, Marine

Linear Method for Response: SalmonOrigin

Predictors: Freshwater, Marine

Group Alaska Canada
Count 50 50

Summary of classification

True Group
Put into Group Alaska Canada
Alaska 44 1
Canada 6 49
Total N 50 50
N correct 44 49
Proportion 0.880 0.980

N = 100 N Correct = 93 Proportion Correct = 0.930

Squared Distance Between Groups

Alaska Canada
Alaska 0.00000 8.29187
Canada 8.29187 0.00000

Linear Discriminant Function for Groups
Alaska Canada
Constant -100.68 -95.14
Freshwater 0.37 0.50
Marine 0.38 0.33

Summary of Misclassified Observations
Squared
Observation True Group Pred Group Group Distance Probability
1** Alaska Canada Alaska 3.544 0.428
Canada 2.960 0.572
Canada 0.2729 0.981
Canada 0.7270 0.882
Canada 0.7270 0.882
Canada 1.429 0.711

Pág. 43


Canada 1.985 0.536
71** Canada Alaska Alaska 2.045 0.948
Canada 7.849 0.052

Interpretando los resultados

El Análisis Discriminante identificó correctamente 93 de los 100 peces, a pesar
de que la probabilidad de clasificar correctamente un pez de Alaska fue menor
(44/50 o 88%) que la probabilidad de clasificar correctamente un pez de
Canadá (49/50 o 98%). Para identificar el origen de un pez recientemente
capturado depende de cual valor discriminante sea mayor. Se puede correr el
análisis discriminante de nuevo y predecir a que grupo pertenecen las nuevas
observaciones.

El resumen de las observaciones mal clasificadas muestra la distancia al
cuadrado desde el punto mal clasificado a los centroides del grupo (vectores
medios) y las probabilidades posteriores. Las observaciones son asignadas al
grupo con la mayor probabilidad posterior.

Si en Options introducimos en Predict membership for: 100 130, la
clasificación aparece como:

Prediction for Test Observations
Squared
Observation Pred Group From Group Distance Probability
1 Canada
Alaska 78.448 0.000
Canada 55.194 1.000

Pág. 44


ANÁLISIS DE CONGLOMERADOS
Se cuenta también con el análisis de conglomerados o clusters (técnica para
agrupar los casos o elementos de una muestra en grupos con base en una o
más variables).

Usar Análisis de componentes principales para ayudar a comprender la
estructura de datos y/o a formar un pequeño número de variables no
correlacionadas (por ejemplo para evitar multicolinealidad en la regresión).

Ejemplo:

Se registran las siguientes características para 14 censos: Población total
(Pop), mediana de años escolares (School), empleo total (Employ),empleo en
servicios de salud (Health), y valor mediano del valor de la casa (Home). Los
datos se muestran a continuación:

Pop School Employ Health Home
5.935 14.2 2.265 2.27 2.91
1.523 13.1 0.597 0.75 2.62
2.599 12.7 1.237 1.11 1.72
4.009 15.2 1.649 0.81 3.02
4.687 14.7 2.312 2.5 2.22
8.044 15.6 3.641 4.51 2.36
2.766 13.3 1.244 1.03 1.97
6.538 17 2.618 2.39 1.85
6.451 12.9 3.147 5.52 2.01
3.314 12.2 1.606 2.18 1.82
3.777 13 2.119 2.83 1.8
1.53 13.8 0.798 0.84 4.25
2.768 13.6 1.336 1.75 2.64
6.585 14.9 2.763 1.91 3.17

Se realiza un análisis de components principales para comprender la estructura
de datos subyacente. Se usa la matriz de correlación para estandarizar las
mediciones dado que no se mide con la misma escala.


1 Abrir la worksheet EXH_MVAR.MTW.

2 Stat > Multivariate > Principal Components.

3 En Variables, Pop-Home.

4 En Type of Matrix, seleccionar Correlation.

Pág. 45


5 Click Graphs y seleccionar Scree plot.

6 Click OK en cada cuadro de diálogo.


Principal Component Analysis: Pop, School, Employ, Health, Home

Eigenanalysis of the Correlation Matrix

Eigenvalue 3.0289 1.2911 0.5725 0.0954 0.0121
Proportion 0.606 0.258 0.114 0.019 0.002
Cumulative 0.606 0.864 0.978 0.998 1.000

Variable PC1 PC2 PC3 PC4 PC5
Pop -0.558 -0.131 0.008 0.551 -0.606
School -0.313 -0.629 -0.549 -0.453 0.007
Employ -0.568 -0.004 0.117 0.268 0.769
Health -0.487 0.310 0.455 -0.648 -0.201
Home 0.174 -0.701 0.691 0.015 0.014

Scr ee Pl ot of Pop, ..., Home

3.0

2.5

2.0
Eigenv alue

1.5

1.0

0.5

0.0

1 2 3 4 5
Component Number

Interpretando los resultados

El primer componente principal tiene varianza (eigenvalor) 3.029 y acumula el
60.6% de la varianza total. Los coeficientes para el PC1 muestran como
calcular el nivel del componente principal.

PC1 = −.558 Pop − .313 School − .568 Employ − .487 Health + .174 Home

Notar que la interpretación de los components principales es subjetiva, sin
embargo, frecuentemente surgen patrones obvios. Por ejemplo, se podría
pensar que el primer componente represente el efecto del tamaño de la

Pág. 46


población total, el nivel de escolaridad, empleo y servicios de salud, dado que
los coeficientes de estos términos tienen el mismo signo y no son cercanos a
cero.

El segundo componente tiene varianza 1.2911 y acumula el 25.8% de la
variabilidad de los datos. Se calcula de los datos originales usando los
coeficientes listados en PC2. Este componente podría ser pensado como nivel
de contraste de escolaridad y valor de la casa con salud y empleo de alguna
manera.

Juntos el primero y segundo componentes representan el 86.4% y 97%,
respectivamente, de la variabilidad total. Así, la mayoría de la estructura de
datos puede ser capturada en dos o tres dimensiones relevantes. Los
componentes remanentes solo tienen una menor proporción de probabilidad y
no son importantes. La gráfica Scree proporciona una visión gráfica de lo
anterior.

Pág. 47


ANÁLISIS FACTORIAL
El análisis factorial es un método cuyo propósito principal es definir la
estructura subyacente de una matriz de datos. Atiende el problema de analizar
la estructura de las interrelaciones (correlaciones) entre un gran número de
variables (vgr. Respuestas de cuestionarios) al definir un conjunto de
dimensiones subyacentes comunes, conocidas como factores. Con el análisis
factorial se identifican las dimensiones separadas de la estructura y después se
determina que tanto cada variable es explicada por cada dimensión. Una vez
que se determinan las dimensiones y se explican las variables por cada
dimensión, se puede hacer un resumen y reducción de datos.

El análisis factorial es una técnica de interdependencia en la cual todas las
variables son consideradas de manera simultanea, cada una relacionada a las
otras, y empleando el concepto de variate, composición lineal de variables. De
hecho las variates (factores) se forman para maximizar su explicación de todo
el conjunto de variables, no para predecir una variable dependiente(s). Una
variate (factor) es una variable dependiente que es función del conjunto total de
variables.

Se usa el Análisis factorial, de manera similar al análisis de componentes
principales, para resumir la estructura de covarianza de los datos en una pocas
dimensiones de los mismos. Sin embargo, el énfasis en análisis factorial es la
identificación de los “factores subyacentes” que pueden explicar las
dimensiones asociadas con la gran variabilidad de los datos.

Se pueden tener tres tipos de datos de entrada:
 Columnas de datos unitarios
 Una Matriz de correlaciones o covarianzas
 Columnas conteniendo ponderaciones de factores

Con los datos del ejemplo anterior de Componentes principales, realizar un
análisis factorial como sigue:

Pág. 48


Nos gustaría investigar que “factores” pueden explicar la mayor parte de la
variabilidad. Como primer paso del análisis factorial, se utiliza la extracción de
componentes principales y se examinan los eigenvalores en gráfica como
ayuda para decidir el número de factores.

PROCESO DE DECISIÓN DE ANÁLISIS FACTORIAL
Paso 1. Objetivos del Análisis factorial
El propósito es encontrar una forma de condensar (resumir) la información
contenida en un cierto número de variables originales, en un grupo más
pequeño de dimensiones nuevas, compuestas o variates (factores) con un
mínimo de pérdida de información.

Por ejemplo si hay datos de 100 cuestionarios en 10 características, el análisis
factorial se aplica a la matriz de correlación de variables y se denomina
Análisis Factorial R, para identificar las dimensiones que están latentes o no
son fácilmente observables.

El análisis factorial también se puede aplicar a una matriz de correlación de los
cuestionarios individuales basados sus características, referido como Análisis
Factorial Q, es un método de condensar o combinar un grupo grande de gente
en diferentes grupos distintos dentro de una población grande, para esto se
utiliza el análisis de conglomerados (clusters).

Paso 2. Diseño del análisis factorial
Incluye tres decisiones básicas: (1) cálculo de los datos de entrada (una matiz
de correlación) para cumplir con los objetivos especificados de agrupar
variables o cuestionarios; (2) el diseño del estudio en términos del nñumeor de
variables, propiedades de medición de las variables, y el tipo de variables
permitidas y (3) el tamaño de muestra necesario (al menos 5 veces el númro de
variables analizadas), ambos en términos absolutos y como función de del
número de variables en el análisis.

Paso 3. Supuestos del análisis factorial

Pág. 49


Es deseable algún grado de multicolinealidad entre variables dado que el
objetivo es identificar conjuntos de variables interrelacionadas, no son tan
importantes la normalidad, homoestacidad y linealidad a menos que
disminuyan significativamente las correlaciones observadas.

La matriz de correlación debe indicar valores mayores a 0.3 para aplicar el
análisis de correlación. También si las correlaciones parciales entre variables
(correlación entre variables cuando el efecto de las otras variables se toma en
cuenta) son pequeñas dado que la variable puede explicada por los factores
(variates con ponderacións para cada una de las variables). Si las
correlaciones parciales son altas, no hay factores subyacentes “verdaderos” y
el análisis factorial es inapropiado.

La prueba de esfericidad de Bartlett mide la presencia de correlaciones entre
las variables, proporciona la probabilidad de que la matriz de correlación tenga
correlaciones significativas en algunas de las variables. Otro indicador es el
“Measure of Sampling Adequacy (MSA)”, con rango de 0 a 1, donde 0.8 o más
es meritorio; 0.07 o más es regular; 0.60 o más es mediocre; 0.50 o más
miserable y debajo de 0.50 inaceptable.

El supuesto básico en el análisis factorial es que existe una estructura
subyacente en el conjunto de variables seleccionadas.

Paso 4. Identificando factores y evaluando el ajuste del modelo
Una vez que se especifican las variables y se prepara la matriz de correlación,
se toman decisiones en relación a (1) el método de extracción de los factores
(análisis de factores comunes versus análisis de componentes) y (2) el número
de factores seleccionados para representar la estructura subyacente en los
datos.

Análisis de componentes
El análisis de componentes se usa cuando el objetivo es resumir la mayor parte
de la información original (varianza) en un mínimo número de factores para

Pág. 50


propósitos de predicción. Considera la varianza total y determina factores que
contienen pequeñas proporciones de varianza única y, en algunos casos,
varianza del error.

Análisis factorial
En contraste el análisis de factores comunes se utiliza para identificar los
factores subyacentes o dimensiones que reflejan aquello que las variables
comparten en común.

En este método se tienen tres tipos de varianzas: (1) común, (2) específica
(única), y (3) error. La varianza común se define como la varianza en una
variable que es compartida por todas las demás variables. La varianza
específica es la varianza asociada solo con una variable específica. La
varianza del error es la varianza debida a la incertidumbre en el proceso de
recolección de datos, errores de medición, o componente aleatorio en el
fenómeno medido.

Criterios para el número de factores a extraer
El método primero extrae la combinación de variables explicando la mayor
cantidad de varianza y después continua con combinaciones que representan
menos y menos cantidades de varianza.

La selección de factores a extraer equivale a enfocar un microscopio
normalmente se hace por prueba y error contrastando los resultados.

Criterio de Raíz Latente: su racional es que cualquier factor individual debe
contener la varianza de al menos una variable. Como cada variable contribuye
con 1 al eigenvalor total o raíz latente. Se seleccionan solo los factores con
eigenvalores mayores a uno, cuando se tienen menos de 20 variables, los
factores extraídos son pocos.

Criterio a Priori: en este método el investigador ya tiene una idea clara de los
factores a extraer y así lo indica en la computadora.

Pág. 51


Criterio de porcentaje de varianza: Enfoque basado en lograr un porcentaje
acumulado de varianza total extraído por factores sucesivos. Normalmente el
proceso para al acumular 95%.

Criterio Scree Test: Se usa para identificar el número óptimo de factores que
pueden ser extraídos antes de que la cantidad de varianza única empiece a
dominar la estructura de varianza común.

Eig
env
alor

1

8

Número de factores
Paso 5. Interpretando los factores
Se obtiene la matriz no rotada para estimar el número de factores a extraer. La
matriz de factores contiene ponderacións de factores para cada variable en
cada factor. El primer factor puede verse como la mejor combinación lineal
incluida en los datos, con cada factor con ponderacións significativos y acumula
la mayor parte de a varianza; el segundo factor es la segunda mejor
combinación lineal de variables, sujeta a que es ortogonal al primer factor, se
basa en la porción residual de la varianza una vez removido el primero, así
sucesivamente.

Los ponderacións de los factores representan la correlación de cada una de las
variables y el factor, entre mayores sean, mayor será la representatividad del
factor por la variable.

Pág. 52


La rotación de los factores más simple es una rotación ortogonal, en la cual
se mantienen los ejes a 90 grados. Se pueden rotar los ejes sin mantener los
90 grados entre los ejes de referencia. Cuando no hay restricción de
ortogonalidad, el procedimiento de rotación se denomina rotación oblicua.
+1 Factor II rotado
+1 Factor II sin rotar
V1
V2

+1 Factor I sin rotar
-1
V4
V3

V5
+1 Factor I rotado
-1
Factor II

Fig. 1 Rotación ortogonal de factores ( observar la ponderación o ponderación de factores I y
II en la variable V2, es más clara cuando se rotan los factores)

En la figura se observan dos conglomerados de variables (V1 y V2) y (V3, V4 y
V5), sin embargo con los factores sin rotar no es muy obvia su ponderación o
ponderación de los factores I y II. Después de la rotación de los ejes de
factores, las variables 3, 4 y 5 tienen una ponderación o ponderación fuerte de
factor I, y las variables 1 y2 tienen una ponderación o ponderación fuerte en el
factor II. Siendo más obvia la distinción entre conglomerados en dos grupos.

Métodos de rotación ortogonal
En la práctica el objetivo de todos los métodos de rotación es simplificar las
filas y columnas de la matriz de factores para facilitar la interpretación. En una
matriz de factores las columnas representan factores, con cada renglón
correspondiente a la ponderación de las variables a través de los factores. Al
simplificar los renglones, se hacen tantos valores en cada fila tan cercanos a
cero como sea posible (i.e. maximizando la ponderación de una variable con un

Pág. 53


factor único). Simplificando las columnas, se hacen tantos valores en las
columnas tan cercanos a cero como sea posible (i.e. hacer el máximo número
de ponderacións “altas” como sea posible). Se han desarrollado tres métodos
para lo anterior como sigue:

Quartimax: para simplificar las filas de la matriz; o sea, que Quartimax se
enfoca a rotar los factores iniciales de manera que las variables tengan la
mayor ponderación posible de un factor y la mínima de los otros. Aunque este
método no ha sido eficiente.

Varimax: se centra en simplificar las columnas de la matriz factorial. La
máxima simplificación posible se logra cuando solo hay 1’s y 0’s en la columna.
Es decir que VARIMAX maximiza la suma de variancias de ponderacións
requeridas de la matriz factorial. Este método ha probado ser un método
analítico efectivo para obtener una rotación ortogonal de factores.

Equimax:
Es un compromiso entre las anteriores. Trata de simplificar los renglones y las
columnas, no se utiliza frecuentemente.

Métodos de rotación oblicua:
Estos métodos son similares a las rotaciones ortogonales excepto que permiten
factores correlacionados en vez de mantener la independencia de los factores
rotados.

En general no hay reglas para seleccionar uno de los métodos anteriores.

Criterios para la significancia de ponderación de factores en las variables
De manera práctica si las ponderacións son de ± 0.30 se considera que
cumplen el nivel mínimo; ponderacións de ± 0.40 son importantes; ± 0.50 o
mayores son significativas en la práctica. Como la ponderación del factor es la
correlación de la variable y el factor, la ponderación al cuadrado es la cantidad
representada de la varianza total por el factor. De esta forma con ± 0.3 se tiene

Pág. 54


un 10% de explicación y un 0.5 de ponderación denota que un 25% de la
varianza es representada por el factor.

Evaluando la significancia estadística
Con base en un nivel de significancia de 0.05, un nivel de potencia del 80% y
errores estándar asumidos se el doble de los coeficientes de correlación
convencionales, se tiene la tabla siguiente:

Ponderación Tamaño de
del factor muestra requerida
para tener
significancia
0.30 350
0.35 300
0.40 250
0.45 200
0.50 150
0.55 100
0.60 85
0.65 70
0.70 60

Resumiendo las guías para la significancia de los factores son:
(1) entre mayor sea el tamaño de muestra, el valor de ponderación
significativo se reduce.
(2) Entre más variables sean consideradas en el análisis, más pequeña es
la ponderación que se considera significativa.
(3) Entre más factores haya, mayor es la ponderación en los factores
adicionales para que sea considerada significativa.

Cada columna de números en la matriz representa un factor por separado. Las
columnas de números representan las ponderacións para cada una de las
variables. Identificar la más alta ponderación para cada variable. Recordar que
para tamaños de muestra similares a 100 se considera significante ± 0.3. La
comunalidad para cada variable representa la cantidad de varianza
considerada por la solución factorial para cada variable. Evaluar la comunalidad
de las variables, es decir identificar las que tengan más del 50%, ya que las

Pág. 55


que tengan menos no tienen suficiente explicación. El nombre de los factores
se desarrolla de manera intuitiva, con base en las variables con una mayor
ponderación se consideran más importantes y tienen una mayor influencia para
el nombre seleccionado para representar al factor.

Validación del análisis factorial
Se trata de evaluar el grado de generalización de los resultados en la población
y la influencia potencial de casos individuales en los resultados totales.

El alfa de Cronbach es una medida del coeficiente de confiabilidad que evalua
la consistencia de toda la escala. Este índice es la relación positiva del número
de ítems en la escala, donde 0.7 se considera adecuado.

Pág. 56


Ejemplo con datos de HATCO
Prueba de la adecuación del modelo, utilizando Minitab:

1. Stat > Basic statistics > Correlation
2. Variables X1, X2, X3, X4, X6, X7
3. Display p values
4. OK

Correlations: X1, X2, X3, X4, X6, X7

X1 X2 X3 X4 X6
X2 -0.349
0.000

X3 0.476 -0.472
0.000 0.000

X4 0.050 0.272 -0.095
0.618 0.006 0.347

X6 0.077 0.186 -0.015 0.788
0.446 0.064 0.880 0.000

X7 -0.483 0.470 -0.407 0.200 0.177
0.000 0.000 0.000 0.046 0.078

Cell Contents: Pearson correlation
P-Value

De la matriz, 7 de 15 correlaciones son significativas estadísticamente. El valor
de MSA de 0.665 cumple con con el criterio para aplicar el análisis factorial.

Análisis factorial con Minitab:


1 Cargar los datos de HATCO.

2 Stat > Multivariate > Factor Analysis.

3 En Variables, X1, X2, X3, X4, X6, X7

4 En Number of factors to extract, 2.

5 En Method of Extraction, seleccionar Principal components

6 En Type of Rotation, seleccionar Varimax.

7 Click Graphs y seleccionar Loading plot for first 2 factors y Scree Plot.

Pág. 57

Analisis multivariado

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à Analisis multivariado

Similaire à Analisis multivariado (20)

Analisis multivariado