1. Universidad de los Andes
Facultad de Humanidades y Educación
Escuela de Educación Mención Matemática
Departamento de Medición y Evaluación
Cátedra: Algebra I
PROPUESTA PARA LA ENSEÑANZA SISTEMA DE ECUACIONES
Autores:
Peña Carrero
Militza Elisabeht
C.I.: 14771047
Mérida, Marzo 2011.

2. Introducción
Proyecto didáctico dirigido a estudiantes de 9no grado de educación
básica, cuya finalidad es afianzar el proceso de enseñanza-aprendizaje de
Algebra en los estudiantes. Cabe resaltar que esta herramienta es un
complemento al trabajo adicional que realizan los docentes en las aulas de clase.
En esta unidad didáctica se estudiará el sistema de ecuaciones lineales y
la representación gráfica de sistema de ecuaciones con dos incógnitas,
utilizando como sistema de referencia los ejes cartesianos. Conoceremos las
distintas formas de expresar algebraicamente un sistema de ecuaciones, el
concepto de ecuaciones lineales con dos incógnitas, así como, la solución del
sistema conocidos dos ecuaciones. Dadas dos ecuaciones lineales, conoceremos
sus posiciones relativas, es decir, si son paralelas, coincidan si se cortan.
Esta propuesta didáctica, nace con la finalidad de desarrollar habilidades
en los estudiantes, tales como: pensamiento abstracto y lógico, y estrategias
para la resolución de ejercicios. Además, como herramienta que oportuna un
cambio a la metodología cotidiana de memorización forzada; de esta manera, se
da un paso a la estimulación de los sentidos y la imaginación.

3. OBJETIVO GENERAL
Estudiar sistema de ecuaciones
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
 Resolver gráficamente sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.
 Resolver analíticamente sistemas de ecuaciones
CONTENIDOS CONTENIDOS CONTENIDOS
CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES
1.-Sistema de ecuaciones:
- Ecuaciones lineales con
dos incógnitas
- Solución de una
ecuación lineal
-Sistema de ecuaciones Identificación de los
lineales con dos métodos de resolución
incógnitas
Valoración del sistema
2.- Sistema compatible Determinación de
de ecuaciones como
incompatible e sistemas de ecuaciones
noción de sistema de
indeterminados de dos incógnitas
referencia, que pueda ser
-Clasificación de
utilizado en sus
sistemas de ecuaciones Representación gráfica
actividades diarias, en la
lineales de un sistema de
localización de sistemas
3.-Método grafico de ecuaciones con dos
de ecuaciones de dos
resolución incógnitas
incognitas lineales
4.-Método analítico de
reducción Aplicación de los
5.-Método analítico de contenidos en la
sustitución resolución de
6.-Método analítico de problemas.
igualación
7.-Sistemas de ecuaciones
literales

4. Mapa Conceptual
SISTEMA DE
ECUACIONES
SISTEMA DE
ECUACIONES
LINEALES CON DOS MÉTODO GRAFICO
INCÓGNITAS DE RESOLUCIÓN
SISTEMA REDUCCÍON
COMPATIBLES, MÉTODO
INCOMPATIBLES E ANALÍTICO SUSTITUCIÓN
INDETERMINADOS
IGUALACIÓN
SISTEMA DE
ECUACIONES
LITERALES

5. Desarrollo de los contenidos:
Ecuaciones lineales con dos incognitas: Una ecuación que pueda escribirse en
la forma Ax +By = C, donde los coeficientes A, B y C son números reales, se
denomina ecuación lineal con dos incógnitas o variables.
Ejemplo:
a) 2x – 3 = y es una ecuación lineal, ya que se puede escribir 2x –y = 3
También A = 1 , B = 0 , C = 5 será una ecuación lineal pues como es de
la forma Ax +By = C entonces 1. X + 0.y = 5 entonces X = 5
Será x + 1 = 2 una ecuación lineal
Y–2 3
Entonces 3. (x + 1) = 2. (y – 2)
3x + 3 = 2y - 4
3x – 2y = -4 -3
3x – 2y = -7 es una ecuación lineal de la forma Ax +By = C donde A = 3
B = -2 , C = -7
Solución de una ecuación lineal: un par ordenado (a, b) es solución de la
ecuación lineal Ax +By = C si al cambiar x e y por a y b resulta una identidad,
es decir, si se cumple la igualdad Aa + Bb = C.
Ejemplo:
2x –y = 12 es una ecuación lineal;
El par ordenado (6, 0) es una solución de la ecuación 2. 6 – 0 = 12
Cada ecuación lineal con dos incógnitas posee infinitas soluciones, pues una
ecuación lineal Ax +By - C = 0 por lo tanto su representación gráfica es una
recta.
Ejemplo:
2x – 3y = 6 se puede escribir
2x – 3y – 6 = 0 hallamos los puntos de cortes hacemos a y = 0 entonces 2x = 6
X = 3 hacemos x = 0 entonces - 3y = 6 Y = -2 los puntos de cortes (3, -2)

6. Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas: un sistema de ecuaciones
lineales con dos incógnitas es un conjunto finito de ecuaciones lineales. La
solución del sistema es la solución que es común a cada ecuación del sistema. El
sistema se dice Homogéneo si cada ecuación lineal es homogénea.
Considera los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
a) 2x – 3y = 6
4x + 2y = 12
Solución:
De cada ecuación hallamos los puntos de intersección 2x – 3y = 6 hacemos
Y = 0 entonces 2x = 6 entonces X = 3 hacemos X = 0 entonces – 3y = 6
obtenemos Y= - 2 los puntos ( 3, -2)
4x + 2y = 12 de la segunda ecuación obtenemos los puntos de intersección
hacemos Y= 0 entonces 4x = 12 obtenemos X = 3 hacemos X= 0 entonces
2y = 12 obtenemos Y = 6 los puntos (3, 6) por esta razón los de intersección de
cada ecuación no es la solución es el punto de intersección de las dos
ecuaciones como se ve en la gráfica la solución es (3, 0)
Sistema de ecuaciones Compatibles: si tiene soluciones; si un sistema
compatible tiene una solución se denomina compatible determinado si tiene
infinitas soluciones compatible indeterminado.
Ejemplo:
a) X=3
Y=4

7. Solución:
La solución de la primera es (3, y), la de la segunda es (x, 4); o sea si se
representa ambas rectas en un plano cartesiano se obtienen la recta vertical x =
3 y la recta horizontal y = 4, que se cortan en el punto (3, 4), por lo tanto es la
única solución y el sistema dado es compatible porque tiene solución y
determinado porque tiene una sola solución.
b) x+y=3
3x + 3y = 9
Las dos rectas que representan el sistema de ecuaciones lineales dado coinciden,
ya que la segunda es tres veces la primera
Solución:
Las soluciones de una son infinitas, son las soluciones de la otra. Por lo tanto, el
sistema dado es compatible indeterminado. Entonces tomamos la primera
ecuación y hacemos y = 3 – X le damos valores arbitrarios a X = 1 entonces
y = 3 – 1 entonces Y = 2 el punto de intersección es (1, 2)

8. Sistema de ecuaciones Incompatibles: si no tiene soluciones.
Ecuación Lineal Homogénea: si su término independiente es cero.
Equivalente: dos ecuaciones lineales o dos sistemas de ecuaciones lineales son
equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones.
a) X–Y=2
- 2X + 2Y = 5
Las rectas dadas en el sistema son paralelas porque tienen la misma pendiente
1. Por ende el sistema de ecuaciones lineales dado tiene solución y es
incompatible. Si dos rectas son paralelas y distintas entonces no tienen puntos
en común. Si un sistema de ecuaciones lineales esta formado por dos rectas
paralelas es incompatible, ya que no tiene soluciones.
Método Gráfico de Resolución: consiste en representar gráficamente las rectas
de cada una de las ecuaciones lineales del sistema y determinar así la solución
del sistema. Si las rectas son secantes el sistema tiene una solución, la cual es el
punto de intersección; si las rectas coinciden la solución es cualquiera de las
rectas por lo cual se tiene infinitas soluciones; si las rectas son paralelas el
sistema no tiene solución.
Ejemplo:
a) 2x + y = 4
3x + y = 5

9. Solución
1) Se hallan los puntos de corte de la primera recta con los ejes x e y
Para y = 0, se tiene que: 2x + 0 = 4 entonces x = 2 un punto de corte (2, 0)
Para x = 0, se tiene que 2.0 + y = 4 entonces y = 4 un punto de corte (0, 4)
2) Se hallan los puntos de corte de la segunda recta con los ejes x e y
Para y = 0 se tiene que: 3x + 0 = 5 entonces 3x = 5 entonces x = 5/3 un punto
de corte (5/3, 0).
Para x = 0, se tiene que: 3.0 + y = 5 entonces 0 + y = 5 entonces y = 5 el otro
punto de cortes es (0,5)
3) Luego, se trazan ambas rectas y se observa que la intersección es el punto (1,2)
4) Se comprueba el resultado obtenido. Al sustituir las coordenadas del punto
(1, 2) en la primera ecuación, resulta:
2x + y = 4 3x + y = 5
2.1+2 = 4 3.1 + 2 = 5
2+2=4 3+2=5
4 = 4 5=5
Por lo tanto, la solución de este sistema es el punto (1, 2)
Método analítico de reducción: consiste en multiplicar cada ecuación del
sistema por un número no nulo, de modo que los coeficientes de una de las
incognitas sean opuestos; luego se suman las ecuaciones obtenidas para
eliminar esa incógnita y hallar el valor de la otra
Ejemplo:

10. X + 2Y = 9
a)
3X – y = 6
Solución:
1. Se transformara el sistema en otro equivalente de manera que los coeficientes
de una de las dos incógnitas sean números opuestos. Si se multiplica la
segunda ecuación por 2 los coeficientes de y serán números opuestos
X + 2Y = 9 x + 2y = 9
Entonces
2. 3X – y = 6 6x – 2y = 12
2. Se suman miembro a miembro las dos ecuaciones para que se elimine una
incógnita, en este caso y.
x + 2y = 9
6x – 2y = 12
7x = 21
3. Se resuelve la ecuación que queda con una sola incógnita; se halla el valor de
x
7x = 21
X = 21/7
X=3
4. Se sustituye el valor de la incógnita de X en una de las ecuaciones dadas para
hallar el valor de la otra incógnita Y y resolver el sistema.
3 + 2y = 9
2y = 9 – 3
2y = 6
Y = 6/2
Y=3
La solución del sistema es X = 3 e y = 3
Queda completamente comprobado

11. X + 2Y = 9 3 + 2 .3 = 9 9=9
a) entonces entonces
3X – y = 6 3.3 – 3 = 6 6=6
Método analítico de sustitución: consiste en despejar en una de las ecuaciones
una de las incógnitas y sustituirla en la otra ecuación, para que así quede una
ecuación con una sola incógnita y pueda hallarse su valor; luego se halla el
valor de la otra incógnita.
2X - Y = 3
a)
3X +5y = -2
Solución:
a) Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones. En este ejemplo se
despeja Y en la primera ecuación
Y = 2X - 3 (xx)
b) Se sustituye la incógnita despejada en la otra ecuación del sistema
3X +5(2x – 3 ) = -2
3x + 10x -15 = -2
13x = -2 +15
13x = 13
X = 13/13
X =1
c) El valor de X se sustituye en (xx)
Y = 2.1 - 3
Y=2–3
Y=-1
La solución es x =1 e y = -1, es decir, el par (1, -1), se comprueba igual que el
anterior
Método analítico de igualación: consiste en despejar en cada una de las
ecuaciones una de las incognitas e igualar los segundos miembros de ellas para

12. obtener una ecuación con una sola incógnita, hallar su valor y luego el de la otra
incógnita.
X +3Y = 7
a)
X - 2y = -3
Solución:
a) Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones lineales.
X = 7 - 3Y
X = -3 + 2y
b) Se igualan los segundos miembros de las ecuaciones despejadas
7 - 3Y = -3 + 2y
7 + 3 = 3y + 2y
10 = 5y
Y = 10/5
Y=2
c) se despeja la incógnita resultante que en este caso es y
d) Se sustituye este valor de la incognita y = 2 en una de las ecuaciones ya
despejadas X = 7 - 3Y entonces X = 7 – 3.2 se obtiene X = 7 – 6 entonces X = 1
Luego la solución del sistema es el par (1,2) se comprueba igual que el anterior
Sistema de ecuaciones literales: contiene al menos una letra como coeficiente,
la cual denota una constante. Ejemplo: ax -2y = 5 Un sistema de ecuaciones
lineales con coeficientes literales es aquel sistema compuesto por ecuaciones
lineales con coeficientes literales. Ejemplo: x + y = a+b
b2 a2
X – Y= ab(b-a )
El sistema de ecuaciones lineales dado se resuelve por uno de los métodos ya
explicados como el de reducción.
En este caso, primero se eliminan los denominadores y para ellos se multiplica
la primera ecuación que los tiene a2 b2

13. x + y = a+b entonces (a2 b2) .x + (a2 b2). Y = (a2 b2) (a+b)
b2 a2 b2 a2
a2 x + b2 y = a2 b2 (a+b)
Se obtiene el sistema de ecuaciones a2 x + b2 y = a2 b2 (a+b)
X – Y= ab(b-a )
La incógnita y tiene signos y coeficientes distintos. Por eso se multiplica la
segunda ecuación por b2 ,para que los coeficientes sean opuestos
a2 x + b2 y = a2 b2 (a+b)
b2 X – Y= ab(b-a )
Entonces
a2 x + b2 y = a2 b2 (a+b)
b2 x - b2 y = ab3 (b – a)
a2 x + b2 x = a2 b2 (a+b) + ab3 (b – a)
Al tomar factores comunes: x en el primer miembro y ab2 en el segundo
miembro se obtiene:
(a2 + b2)x = ab2 a ( a + b) + b ( b – a )
(a2 + b2)x = ab2 ( a2 +ab +b2 - ab)
(a2 + b2)x = ab2 (a2 + b2 ) entonces X = ab2
Por otro lado, se despeja y en la segunda de las ecuaciones dadas:
X –y = ab(b – a) entonces x – ab(b - a) = y entonces y = x –ab (b - a)
Luego, en esta ecuación despejada se sustituye x por el valor hallado
Y = ab2 - ab( b - a) = ab2 - ab2 + ab2 = a2 b entonces y = a2 b
Por lo tanto la solución del sistema es x = ab2 e y = a2 b o sea (ab2, a2 b)
Actividades

14.  Lluvia de ideas, donde se trataran los conceptos de: Sistema de ecuaciones,
ecuaciones lineales, sistema de ecuaciones con dos incognitas, método
analíticos, método grafico, ecuaciones literales.
 Se explicará a los alumnos los conceptos básicos de: ecuaciones suma de
números enteros, así como también cómo localizar y/o ubicar puntos en él
plano cartesiano para graficar las ecuaciones por medio de este blogs.
 Juego didáctico, donde se evidenciará si el alumno ha entendido la explicación
de sistema de ecuaciones. El estudiante deberá, ubicar en el plano cartesiano
los sistemas de ecuaciones de dos incógnitas donde el aprecie la recta del
sistema de ecuaciones de dos incógnitas.
 Se continuará con el tema, tratando los puntos: método de reducción,
sustitución, igualación, sistema de ecuaciones literales
 Resolución de guía de ejercicios
Evaluación:
El estudiante mediante un sondeo de entrada a través de la formulación de
preguntas abiertas (lluvia de ideas), en la que se espera de los estudiantes nos
den respuestas que nos permitan identificar el grado de conocimiento que
tienen.
Formulación de preguntas abiertas que se hará a los estudiantes:
A.- ¿Qué es sistema de ecuaciones?
B.- ¿Qué es Ecuaciones lineales con dos incognitas?
C.- ¿ Qué es Equivalente?
D.- ¿Cuál es la diferencia entre ecuación y sistema de ecuaciones?
E.- ¿Qué quiere decir Compatibles, incompatibles e indeterminados?
F.- ¿Qué quiere decir que dos ecuaciones sean perpendiculares?

15. B) Formativa
Participación en juego didáctico “UBICAR”, donde los estudiantes deben
resolver un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas correspondientes
a ubicar en el plano cartesiano.
Aplicación de una prueba corta, con la resolución de una guía de ejercicios. De
esta manera, podemos verificar si se han logrado los objetivos propuestos (ver
anexo 2)
Materiales a utilizar:
 Lápiz.
 Borrador.
 Sacapuntas.
 Juego Geométrico.
 Hojas tamaño carta.
 Juego Didáctico “UBICAR”
 plastilina

16. Anexos

17. Anexo N° 2:
Prueba Escrita
Grado: __________ Sección: __________
Instrucciones: A continuación se presenta una serie de actividades o ejercicios,
usted deberá resolverlas. Al finalizar deberá ser publicada con sus resultados,
los cuales serán publicados en este blogs.
1. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones e indica la
clasificación de cada uno.
a) Y + 2 = 5 c) 2x –y = 2
3y =9 x=1
b) 2x + 5y = 7 d) x + y/2 = 1
3x – y = 2 2x + y = 6
2. Identifica los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas cuales son
Homogéneos
a) X–5=0 b) x3 – 2x =0
Y–7=0 y–x=2
c) x = - 5y
2x = y
3. Clasifica cada sistema de ecuaciones lineales si es compatible o no, y si es
determinado o no. Resuelve en cada caso el sistema de ecuaciones lineales
dado
a) X =-3 b) x + y =0

18. X +1 = 0 2x + 2y = 0
c) x +y = 0
x–y =0
4. Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales mediante el método de
reducción, sustitución, igualación
a) X -y =-5 b) 3 x - 2 y = 10
2 X +y = 10 2x + 5y = 5
c) x - 5y = 8
7x – 8y = - 25
a) 11X - 13y = -16 3 b) 3x + 2y /5=2
7y - 8x = 94 2x + y /3 =2
c) 100 x +33y = 21
70 x – 9y = 4
5. Identifica si cada sistema de ecuaciones dado es lineal.
a) 3X - y = - √3 b) 2√x - 3= 0
2 X +7y = 5 x + 5y = 0
c) x + y -7 = 0
5 a2 x – 2by = 1

19. Juego Didáctico UBICAR
Instrucciones: En el siguiente recuadro, usted deberá ubicar los puntos de
intersección de los sistemas de ecuaciones lineal e indicar con tiras de
plastilina sus pares ordenados para apreciar la recta al finalizar el recuadro,
como se muestra en el ejemplo.
Ejemplo:
2x – 3y = 6 se puede escribir
2x – 3y – 6 = 0 hallamos los puntos de cortes hacemos a y = 0 entonces 2x = 6
X = 3 hacemos x = 0 entonces - 3y = 6 Y = -2 los puntos de cortes (3, -2)