Ce diaporama a bien été signalé.
Nous utilisons votre profil LinkedIn et vos données d’activité pour vous proposer des publicités personnalisées et pertinentes. Vous pouvez changer vos préférences de publicités à tout moment.
Dreptul de copyright:Cartea downloadată de pe site-ul www.mateinfo.ro nu poate fi publicată pe un alt                     ...
1. Mulţimea numerelor reale1.. Scrierea în baza zece:abcd = a ⋅103 + b ⋅102 + c ⋅10 + da-cifra miilor; b-cifra sutelor; c-...
5. Sir de rapoarte egale:a1  a               a   a + a 2 + a 3 + .... + a n ;   = 2 = ......... = n = 1b1  b2             ...
4. (a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca                   25. (a + b ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ;         ...
10. Medii                      x+ yMedia aritmetică m a =                        2Media geometrică m g = x ⋅ y            ...
S ⋅ p⋅nD=            …. Dobânda obţinută prin depunerea la bancă a unei     100 ⋅ 12sume S de bani pe o perioadă de n luni...
2. Inegalităţi1. a > 1     a k −1 < a k ∀ k ≥ 1   a ∈ (0,1) a k < a k −1 ∀ k ≥ 12. 0 < a ≤ b ⇒ (a m − b m )(a n − b n ) ≥ ...
15. x ≤ a (a > 0 ) ⇔ − a ≤ x ≤ a.16. a ± b ≤ a + b , a, b ∈ R sauC .17. a1 ± a 2 ± ... ± a n ≤ a1 + ... + a n , in R sau C...
27. Teorema lui Jensen:                                     ⎛ x1 + x2 ⎞           f ( x1 ) + f ( x2 )  Dacă f : Ι → R, (Ι ...
3.Mulţimi. Operaţii cu mulţimi.1. Asociativitatea reuniunii si a intersecţiei:    A (B C)=(A B) C               A (B C)=(A...
12. Relaţiile lui de Morgan    1. ‫( ך‬p q)=‫ך‬p ‫ך‬q, ‫(ך‬p q)= ‫ך‬p ‫ך‬q .    2. p (q r) = (p q) (p r), p (q r)=(p q) (p...
4. Progresii1. Şiruri      Se cunosc deja şirul numerelor naturale 0,1,2,3,4,…….,şirulnumerelor pare 2,4,6,…… Din observaţ...
2. Progresii aritmeticeDefiniţie: Se numeşte progresie aritmetică un şir în care diferenţaoricăror doi termeni consecutivi...
4. Progresii geometrice Definiţie : Se numeşte progresie geometrică un şir în care raportuloricăror doi termeni consecutiv...
5. FuncţiiI. Fie ƒ: A→B.1) Funcţia ƒ este injectivă,dacă          ∀ x,y ∈A, x≠ y=>ƒ(x)≠ ƒ(y).2) Funcţia ƒ este injectivă,d...
V. Fie ƒ:A→B si g: B→C, două funcţii. 1)       Dacă ƒ si g sunt injective, atunci g o ƒ este injectivă. 2)       Dacă ƒ si...
VIII.1)Dacă ƒ :A→B este strict monotonă,atunci ƒ este injectivă.2) Daca ƒ : R→R este periodic şi monotonă, atunci ƒ esteco...
2.Fie ƒ: E → F si A,B ⊂ F atuncia) A ⊂ B => ƒ-1 (A) ⊂ ƒ-1 (B),b)ƒ-1 (A) ∪ ƒ-1 (B) ⊂ ƒ--1 (A ∪ B),c)ƒ-1 (A) ∩ ƒ-1 (B) = ƒ-1...
Δ = 0 , x1=x2 ∈ R                               f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R ;                                                 b      ...
a<0 funcţia este concavă        Δ 〈0 ; x1,x2 ∈ C        f(x) <0, ∀x ∈ R ;         ⎛ b   Δ⎞        V⎜−  ,− ⎟ - punct de    ...
⎛      b ⎞Pentru x ∈ ⎜ − ∞,− ⎟ funcţia este strict crescătoare;           ⎝      2a ⎠               bPentru x ∈ [− ,+∞), f...
PUTERILE LUI i 1. i        4k           = 1;        4 k +1 2. i        = i;      4k +2 3. i        = −1 ;      4 k +3 4. i...
− b ± b 2 − 4acax 2 + bx + c = 0 ⇒ x1, 2 =                                        2adaca Δ = b 2 − 4ac ≥ 0 sau            ...
1   1  =    [cos(−ϕ 1 ) + i sin(−ϕ 1 )]z1 ρ 1z2 ρ2  =     [cos(ϕ 2 − ϕ1 ) + i sin(ϕ 2 − ϕ1 )]z1 ρ 1z1 = ρ 1 (cos nϕ 1 + i ...
x+ y   a   x               ⋅a    y                          = a  (a       ⋅b       )x    = a        x                     ...
FUNCTIA LOGARITMICĂDef: f:(0,∞) →R, f(x)= log a x , a〉 0, a ≠ 1 ,x>0Dacă a 〉1 ⇒ f este strict crescătoare  x1 〈 x 2 ⇒ log ...
log       a       a   m                          = m,                  log   a   b   m                                    ...
8. BINOMUL LUI NEWTON       În 1664 Isaac Newton (1643-1727) a găsit următoarea formulăpentru dezvoltarea binomului (a+b)n...
Cno<Cn1<……<Cnk =Cnk+1>…..>Cnn daca n este impar, n=2k+1.2. Coeficienţii binomiali din dezvoltare, egal depărtaţi de termen...
9. Vectori şi operaţii cu vectoriDefiniţie:     Se numeşte segment orientat, o pereche ordonată depuncte din plan;     Se ...
λ ⋅ v = 0 ⇔ λ = 0 sau v = 0, ∀λ ∈ RDaca λ ≠ 0, v ≠ 0 ⇒ λ ⋅ v = λ ⋅ v , λ ⋅ v are direcţia şi sensulvectorului v dacă λ 〉 0...
Punctele A, B, C sunt coliniare⇔ AB si AC sunt coliniari ⇔ ∃λ ∈ Ra.i. AB = λ ⋅ AC .AB CD ⇔ AB si CD sunt coliniari;Dacă u ...
v = A B  + A  B   = x ⋅ i + y ⋅ j       x=xB- xA, y=yB- yAv = prOX v ⋅ i + prOY v ⋅ j            AB = ( x B − x A ) 2 + ( ...
10. Funcţii trigonometriceSemnul funcţiilor trigonometrice:                                    ⎡ π π⎤                     ...
⎛ π π⎞                                              Tg: ⎜ − , ⎟→R                                                   ⎝ 2 2⎠...
Ecuaţii trigonometriceFie x un unghi, a un număr real şi k ∈ Z .sin x = a, a ≤ 1 ⇒ x = (−1) k arcsin a + kπ , dacă a ∈ [0,...
FORMULE             TRIGONOMETRICE      sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ cos α = ± 1 − sin 2 α ;1.                                 ...
α                               α                 2tg                         1 − tg 216. tgα =               2 ;         ...
sin( a + b) + sin( a − b)sin a ⋅ cos b =                              2                  cos(a + b) + cos(a − b)cos a ⋅ co...
11. ECUAŢIILE DREPTEI ÎN PLAN1. Ecuaţia carteziană generală a dreptei:              ax+by+c=0       (d)    Punctul M(x0,y0...
a b c      Dreptele d şi d’ coincid ⇔     = =                                  a  b c                                     ...
12. CONICE1.CERCULDefiniţie: Locul geometric al tuturor punctelor din plan egal depărtate de unpunct fix, numit centru se ...
x² + y² + 2mx + 2ny + p = 0 cuO(-m; -n) şi r² = m² + n² - p7. Ecuaţia tangentei în punctul M(x0,y0)x · x0 + y · y0 + m(x +...
x² y ²   +   =1 ,      b² = a² - c²a ² b²2. Ecuaţia tangentei la elipsă   y = mx ± a ² m² + b²3. Ecuaţia tangentei în punc...
H: = { M(x,y) | |MF – MF’| = 2a }      by=±     x --ecuaţia asimptotelor      a1. Ecuaţia hiperbolei    x² y ²       −   =...
P: = { M(x, y) | MF = MN }             p(d): x = −     ( locul geometric al punctelor din plan de unde putem             2...
13. ALGEBRA LINIARĂ1. MATRICE.                       ⎛a b ⎞ ⎛ x y⎞ ⎛a + x b + y⎞Adunarea matricelor    ⎜c d ⎟+⎜z t ⎟ = ⎜c ...
5. Dacă toate elementele unei linii(sau coloane) ale uneimatrice sunt înmulţite cu un element a, obţinem o matrice alcărei...
3. Rangul unei matrice      Fie A ∈ M m , n (C ) , r ∈ N, 1 ≤ r ≤ min(m, n) .Definiţie: Se numeşte minor de ordinul r al m...
Teorema: Un determinant este nul ⇔ una din coloanele(respectiv linii) este o combinaţie liniară de celelaltecoloane(respec...
- Un sistem se numeşte compatibil nedeterminat ⇔ are oinfinitate de soluţii;            Rezolvarea matriceală a unui siste...
Sistem              Există cel                             incompatibil        puţin un minor                             ...
14. SIRURI DE NUMERE REALE1. Vecinătăţi. Puncte de acumulare.Definiţia 1 : Se numeşte şir , o funcţie f : N → R definită p...
(a n )n∈N   este stict crescător         ⇔ a n 〈 a n +1 , ∀n ∈ N       sau                        a n +1a n +1 − a n 〉 0, ...
3. Operaţii cu şiruri care au limităTeorema 7: Fie (a n )n∈N , (bn )n∈N şiruri care au limită:a n ⎯n→∞ → a , b n ⎯n→∞ → b ...
Dacă a n ≤ bn        şi       bn → −∞ ⇒ a n ⎯n→∞ → −∞                                                         ⎯⎯          ...
xn    ⎛   1⎞           n                                ⎛     1 ⎞lim ⎜1 + ⎟ = e ≈ 2,71...... lim ⎜ 1 +                    ...
15. LIMITE DE FUNCŢIIDefiniţie: O funcţie f:D ⊆ R → R are limită laterală la stânga (respectiv la dreapta) în punctul de a...
5. Dacă f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) ∀ x ∈ D ∩ U − {x 0 } şi            ∃ lim f ( x ) = lim h ( x ) = l ⇒ ∃ lim g ( x ) = l...
f ( x) l13.lim         =        g ( x) l 2                         l4.lim f ( x) g ( x ) = l1 25.lim      f ( x) = l1P(X)=...
⎧                                         ⎪0, dacă p 〈 q                                         ⎪ a0                     ...
x                                   u(x )     ⎛ 1⎞                              ⎛    1 ⎞lim∞ ⎜1 + x ⎟ = ex⎯⎯→ ⎝      ⎠    ...
16. FUNCŢII CONTINUEDEFINIŢIE. O funcţie f : D ⊂ R → R se numeşte continuă înpunctul de acumulare x0 ∈D ⇔ oricare ar fi ve...
este o funcţie continuă în x0 şi se numeşte prelungirea princontinuitate a lui f în x0.        OPERAŢII CU FUNCŢII CONTINU...
STABILIREA SEMNULUI UNEI FUNCŢIIPROP. O funcţie continuă pe un interval, care nu se anulează peacest interval păstrează se...
17. DERIVATEFUNCŢIA     DERIVATA    C            0    x            1    xn        nxn-1    xa        axa-1    ax        a ...
1arccos x                   -                                       1− x2                                          1arctg ...
18. STUDIUL FUNCŢIILOR                    CU AJUTORUL DERIVATELORProprietăţi generale ale funcţiilor derivabile .1.Punctel...
TEOREMA LUI FERMAT                                                              0Dacă f este o funcţie derivabilă pe un in...
TEOREMA LUI ROLLE.Fie f : I → R, a, b ∈ I, a < b. Dacă:1. f este continuă pe [a,b];2. f este derivabilă pe (a, b ) ;3. f (...
2. f este derivabilă pe (a,b ), atunci există cel puţin un punctc ∈ (a, b ) a.î să avem f (b ) − f (a )                 = ...
Consecinţa 2. Dacă f si g sunt două funcţii derivabile pe uninterval I şi dacă au derivatele egale f  = g  atunci ele dife...
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Teorie mate liceu stan adrian
Prochain SlideShare
Chargement dans…5
×

Teorie mate liceu stan adrian

16 666 vues

Publié le

Publié dans : Carrière
  • Login to see the comments

Teorie mate liceu stan adrian

  1. 1. Dreptul de copyright:Cartea downloadată de pe site-ul www.mateinfo.ro nu poate fi publicată pe un alt site şi nu poate fi folosită în scopuri comerciale fără specificarea sursei şi acordul autorului Adrian Stan Editura Rafet 2007
  2. 2. 1. Mulţimea numerelor reale1.. Scrierea în baza zece:abcd = a ⋅103 + b ⋅102 + c ⋅10 + da-cifra miilor; b-cifra sutelor; c-cifra zecilor; d-cifra unităţilor;a,efg = a ⋅10+ e ⋅10−1 + f ⋅10−2 + g ⋅10−3 == a ⋅10+ e ⋅ 0.1+ f ⋅ 0.01+ g ⋅ 0.001e-cifra zecimilor; f-cifra sutimilor; g-cifra miimilor.2. Fracţii ab abc-Fracţii zecimale finite: a, b = ; a, bc = ; 10 100-Fracţii zecimale periodice:- ab − a abc − asimple: a, (b) = ; a, (bc) = ; 9 99 abc − ab abcd − abmixte: a, b(c ) = ; a, b(cd ) = ; 90 9903.. Rapoarte şi proporţii a a a⋅n se numeste raport ∀b ≠ 0; = = k, n ∈ Q* , b b b⋅ nk se numeşte coeficient de proporţionalitate ;Proprietatea fundamentală a proporţiilor: a c = ⇒a⋅ d = b⋅ c b d4. Proporţii derivate: ⎧ b d d c a b ⎪ = sau = sau = a c b a c d ⎪ a c ⎪ a c a ± b c ± d = ⇒ ⎨ = sau = b d ⎪ a ± b c ± d b d ⎪ a a + c a a − c a2 c2 ⎪ = sau = sau = . ⎩ b b + d b b − d b 2 d 2 2
  3. 3. 5. Sir de rapoarte egale:a1 a a a + a 2 + a 3 + .... + a n ; = 2 = ......... = n = 1b1 b2 bn b1 + b 2 + b 3 + ..... + b n(a 1 , a 2 , a 3 ,...... a n )şi (b 1 , b 2 , b 3 ,.... b n ) sunt direct a1 a 2 aproporţionale ⇔ = = .. = n = k . b1 b2 bn (a 1 , a 2 , a 3 ,...... a n )şi (b 1 , b 2 , b 3 ,.... b n ) sunt inversproporţionale ⇔ a1 ⋅ b1 = a 2 ⋅ b2 = .. = a n ⋅ bn6. Modulul numerelor reale Proprietăţi: ⎧ ⎪ a, a〉0 ⎪ a def ⎨ 0, a = 0 ⎪ ⎪− a, a 〈0 ⎩1. a ≥ 0, ∀a ∈ R ; 2. a = 0, ⇔ a = 0;3. a = −a, ∀a ∈ R ; 4. a = b, ⇔ a = ±b ; a a5. a ⋅b = a ⋅ b ; 6. = ; b b7. a − b ≤ a±b ≤ a + b ;8. x = a, ⇒ x = ± a, a〉 0 ;9. x ≤ a, ⇔ x ∈ [− a, a], a〉 0 ;10. x ≥ a, ⇔ x ∈ [−∞,− a] ∪ [a,+∞], a〉 0 .7. Reguli de calcul în R1. (a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 ; 22. (a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 ; 23. (a+b)(a-b= a 2 -b 2 ; 3
  4. 4. 4. (a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca 25. (a + b ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ; 36. (a − b ) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 ; 37. a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) ;8. a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) .8. Puteri cu exponent întreg a n def a ⋅ a ⋅ a ⋅ ......⋅ a n factori1. a o = 1; a1 = a;0 n = 0; 5. ( a m ) n = a m ⋅ n 12. a m + n = a m ⋅ a n 6. a − n = ,a ≠ 0 an n ⎛a⎞ an3. ( a ⋅ b ) = a ⋅ b n n n 7. ⎜ ⎟ = n , b ≠ 0 ⎝b⎠ b am4. n = am−n ; a ≠ 0 8. a m = a n ⇔ m = n. a9. Proprietăţile radicalilor de ordinul doi1. a 2 = a ≥ 0, ∀a ∈ R2. a ⋅b = a ⋅ b a a3. = ,b ≠ 0 b b n4. an = ( a )n = a 2 , a + a2 − b a − a2 − b5. a± b = ± 2 2 unde a²-b=k² . 4
  5. 5. 10. Medii x+ yMedia aritmetică m a = 2Media geometrică m g = x ⋅ y p⋅x+q⋅ yMedia ponderată m p = ; p, q − ponderile p+q 2 2 xyMedia armonică m h = = . 1 1 x+ y + x yInegalitatea mediilor2 xy x+ y ≤ xy ≤x+ y 211. Ecuaţii ba ⋅ x + b = 0 ⇒ x = − ,a ≠ 0 ax2 = a ⇒ x = ± a , a ≥ 0 ; − b ± b 2 − 4aca ⋅ x 2 + b ⋅ x + c = 0 ⇒ x1, 2 = . 2aa ≠ 0, b 2 − 4ac ≥ 0.x = a, a ≥ 0 ⇒ x = ± a. x = a, a ≥ 0 ⇒ x = a 2[x] = a ⇒ a ≤ x〈 a + 1 ⇔ x ∈ [a, a + 1) .12. Procente pp % din N = ⋅N 100 5
  6. 6. S ⋅ p⋅nD= …. Dobânda obţinută prin depunerea la bancă a unei 100 ⋅ 12sume S de bani pe o perioadă de n luni cu procentul p al dobândeianuale acordate de bancă .Cât la sută reprezintă numărul a din N. a ⋅ 100x % din N =a ⇒ x = . N13. Partea întreagă1. x = [x ] + {x} , ∀x ∈ R , [x ] ∈ Z şi {x} ∈ [0,1)2. [x ] ≤ x < [x ] + 1 [x] = a ⇒ a ≤ x < a + 13. [x ] = [ y ] ⇔ ∃K ∈ Z a. î. x, y ∈ [k , k + 1] ⇔ x − y < 14. [x + k ] = k + [x ] , ∀k ∈ Z , x ∈ R5. {x + k } = {x}, ∀x ∈ R , ∀k ∈ Z6. Dacă {x} = {y} ⇒ x − y ∈ Z7. Dacă x ∈ R ⇒ [[x]] = [x] ∈ Z [{x}] = 0 , {[x]} = 0 , {{x}} = {x}8. Identitatea lui Hermite [x] + ⎡ x + 1 ⎤ = [2 x] , ⎢ ⎥ ∀x ∈ R ⎣ 2⎦9. [x + y ] ≥ [x ] + [ y ] , ∀x, y ∈ R10. Prima zecimală, după virgulă, a unui număr N este dată de [10 ⋅ {N }] sau [( N − [N ]) ⋅ 10] 6
  7. 7. 2. Inegalităţi1. a > 1 a k −1 < a k ∀ k ≥ 1 a ∈ (0,1) a k < a k −1 ∀ k ≥ 12. 0 < a ≤ b ⇒ (a m − b m )(a n − b n ) ≥ 0 ∀ m, n ∈ N 1 13. a + ≥ 2 (∀) a > 0 a + ≤ −2 ∀ a < 0. a a 1 14. < = k - k −1 2 k k + k −1 1 1 > = k +1- k . 2 k k + k +1 2 a2 + b2 ⎛a+b⎞5. ≥ ⎜ ⎟ ≥ ab ∀ a, b ∈ R 2 ⎝ 2 ⎠ a2 + b2 a+b 26. ≥ ≥ ab ≥ , ∀ a, b > 0 a+b 2 1 1 + a b7. a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ∀ a, b, c ∈ R ( )8. 3 a 2 + b 2 + c 2 ≥ (a + b + c ) ∀a, b, c ∈ R 2 a 2 + b2 + c2 19. ≥ (a + b + c ) ∀ a, b, c ∈ R a+b+c 310. a + b + c ≥ 3 3 ( a + b + c ∀a, b, c ≥ 0 ) ( )11. (n − 1) a12 + ... + an ≥ 2(a1a2 + ...a1an + a2 a3 + ... + an −1an ) 2 (12. n a + ... + a 2 1 2 n ) ≥ (a 1 + ... + a n ) , ∀ n ∈ N 2 2 a n + bn ⎛ a + b ⎞13. ≥⎜ ⎟ , ∀n ∈ N , a, b > 0. 2 ⎝ 2 ⎠ a a a+r14. 0 < < 2 ⇒ < , ∀r > 0. b b b+r a a a+r 1< ⇒ > , ∀r > 0 b b b+r 7
  8. 8. 15. x ≤ a (a > 0 ) ⇔ − a ≤ x ≤ a.16. a ± b ≤ a + b , a, b ∈ R sauC .17. a1 ± a 2 ± ... ± a n ≤ a1 + ... + a n , in R sau C .18. a − b ≤ a − b in R sau C . 1 1 1 1 119. = ≤ = − n 2 n ⋅ n (n − 1)n n − 1 n 1 1 1 1 < = − n! (n − 1)n n − 1 n m20. a, b ∈ Z , m, n ∈ Z , ∉ Q ⇒ ma 2 − nb 2 ≥ 1. n21. Numerele pozitive a, b, c pot fi lungimile laturilor unui triunghidacă şi numai dacă ∃ x, y, z ∈ R+ a.i *a = y + z , b = x + z, c = x + y. a −b ⎛a⎞22. ⎜ ⎟ ≥ 1 a ≠ b ∀ a, b > 0 , ⎝b⎠ a+b b+c c+a23. a, b, c ∈ R+ ⇒ * + + ≥ 6. c a b24. Dacă x1 ,..., x n ≥ 0 si x1 + ... + x n = k constant atunci produsul kx 2 ⋅ x 2 ...x n e maxim când x1 = ... = x n = . n n25. Dacă. x1 ,..., xn < 0 si ∏ i =1 xi = k constant ⇒ x1 + ... + x n eminimă atunci când x1 = ... = xn = n k.26. Dacă x1 ,..., xn ≥ 0 si x1 + ... + x n = k = constant atuncix 2p1 ⋅ x 2p1 ...x npn este maxim cândx1 x x k = 2 = ... n = , pi ∈ N * , i = 1, np1 p2 pn p1 + ... + pn 8
  9. 9. 27. Teorema lui Jensen: ⎛ x1 + x2 ⎞ f ( x1 ) + f ( x2 ) Dacă f : Ι → R, (Ι interval) si f ⎜ ⎟ ≤ (≥ ) ⎝ 2 ⎠ 2 ⎛ x + ... + xn ⎞ f ( x1 ) + ... + f ( xn )∀x1 , x2 ∈ Ι ⇒ f ⎜ 2 ⎟ ≤ (≥ ) ⎝ n ⎠ n∀xi ∈ Ι , i = 1, n. n a1 + ... + a n28. Inegalitatea mediilor ≤ n a1 ...a n ≤ . 1 1 n + ... + a1 an ⎛1 1 ⎞29. (a1 + a 2 + ... + a n )⎜ ⎜ + ... + ⎟ ≥ n 2 . ∀ ai ≥ 0, i = 1, n. ⎟ ⎝ a1 an ⎠ egalitate când ai = aj , ∀i, j = 1, n.30. Inegalitatea lui Cauchy-Buniakowsky-Schwartz.(a + ... + an )(b12 + ... + bn ) ≥ (a1b1 + ... + anbn ) ∀ai , bi ∈ R. 2 1 2 2 2 ai aj31. Inegalitatea mediilor generalizate: " =" ⇔ = . bi bj 1 1 α α⎛ a1 + ... + an ⎞ α ⎛ a1β + ... + an β ⎞β⎜⎜ ⎟ ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ , ∀ai , bi ∈ R+ ,α ≥ β , ⎟⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠α , β ∈ R.⇓ 1 ⎛ a + ... + a 2 2 ⎞2 a + ... + a n32. ⎜ ⎜ 1 n ⎟ ≥ 1 ⎟ ⎝ n ⎠ n33.Inegalitatea lui Bernoulli: (1 + a )n ≥ 1 + na, a ≥ −1, ∀n ∈ N . 9
  10. 10. 3.Mulţimi. Operaţii cu mulţimi.1. Asociativitatea reuniunii si a intersecţiei: A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C2. Comutativitatea reuniunii si a intersecţiei: A B=B A A B=B A3. Idempotenţa reuniunii si intersecţiei: A A=A A A=A4. A Ø=A A Ø=Ø5. Distributivitatea reuniunii faţă de intersecţie: A (B C)=(A B) (A C)6. Distributivitatea intersecţiei faţă de reuniune: A (B C)=(A B) (A C)7. A,B E, (A B)= A B (A B)= A B8. A E, ( A)=A9. AB= (A B)10. A(B C)=(AB)C A(B C)=(AB) (AC) (A B)C=(AC) (BC) (A B)C=A (BC)=(AC) B11. A×(B C)=(A×B) (A×C) A×(B C)=(A×B) (A×C) A×(BC)=(A×B) (A×C) A×B≠B×A A B ⇔ ( x) (x ∈ A=>x ∈ B) A B ⇔ ( x)((x ∈ A) (x B)) x ∈ A B ⇔ (x ∈ A) (x ∈ B) x ∈ A B ⇔ (x ∈ A) (x ∈ B) x ∈ C EA ⇔ (x ∈ E) (x A) x ∈ AB ⇔ (x ∈ A) (x B) 10
  11. 11. 12. Relaţiile lui de Morgan 1. ‫( ך‬p q)=‫ך‬p ‫ך‬q, ‫(ך‬p q)= ‫ך‬p ‫ך‬q . 2. p (q r) = (p q) (p r), p (q r)=(p q) (p r). 3. ‫ך‬p p=A, ‫ך‬p p = F. 4. p ⇒ q ‫ך‬p q. 5. p ⇔ q (p ⇒ q) (q ⇒ p) (‫ך‬p q) (‫ ך‬q p). 6. p A = p , p A=A 7. p q = q p , p q = q p 8. ‫ך(ך‬p)=p 9. p ‫ך‬p =F , p ‫ך‬p =A 10. (p q) r = p (q r) (p q) r = p (q r) 11. p F = p p F = F 11
  12. 12. 4. Progresii1. Şiruri Se cunosc deja şirul numerelor naturale 0,1,2,3,4,…….,şirulnumerelor pare 2,4,6,…… Din observaţiile directe asupra acestor şiruri,un şir de numere reale este dat în forma a1 , a 2 , a3 ,..... undea1 , a 2 , a3 sunt termenii şirului iar indicii 1,2,3, reprezintă poziţia pecare îi ocupă termenii în şir.Definiţie: Se numeşte şir de numere reale o funcţie f: N*→R ,definită prin f(n)=a nNotăm (a n )n∈N * şirul de termen general , a nObservaţie: Numerotarea termenilor unui şir se mai poate face începândcu zero: a 0 , a1 , a 2 ,..... ai , i ≥ 1 se numeşte termenul de rang i.Un şir poate fi definit prin : a) descrierea elementelor mulţimii de termeni. 2,4,6,8,…….. b) cu ajutorul unei formule a n =2n c) printr-o relaţie de recurenţă. a n +1 = a n + 2Un şir constant este un şir în care toţi termenii şirului sunt constanţi :5,5,5,5,…..Două şiruri ( a n ) n , (bn ) n sunt egale dacă a n = bn , ∀n ∈ NOrice şir are o infinitate de termeni. 12
  13. 13. 2. Progresii aritmeticeDefiniţie: Se numeşte progresie aritmetică un şir în care diferenţaoricăror doi termeni consecutivi este un număr constant r, numit raţiaprogresiei aritmetice. 1. Relaţia de recurenţă între doi termeni consecutivi: an+1 = an + r, ∀n ≥1 2. a1,a2, … an-1, an, an+1 sunt termenii unei progresii aritmetice ⇔ a n −1 + a n +1 an = 2 3. Termenul general este dat de : an = a1 + (n −1)r 4. Suma oricăror doi termeni egal departaţi de extremi este egal cusuma termenilor extremi : ak + an−k+1 = a1 + an 5. Suma primilor n termeni : (a1 + a n ) ⋅ n Sn = 2 6. Şirul termenilor unei progresii aritmetice: a1 , a1 + r , a1 + 2r , a1 + 3r ,……. a m − a n = (m − n )r 7. Trei numere x1, x2, x3 se scriu în progresie aritmetică de forma : x1 = u – v x2 = u x3 = u + v ∀ u,v ∈ ℜ . 8. Patru numere x1, x2, x3, x4 se scriu în progresie aritmeticăastfel: x1 = u – 3v, x2 = u – v , x3 = u + v , x4 = u + 3v, ∀ u,v ∈ ℜ . ak ak +1 9. Dacă ÷ ai ⇒ 〈 ak +1 ak + 2 13
  14. 14. 4. Progresii geometrice Definiţie : Se numeşte progresie geometrică un şir în care raportuloricăror doi termeni consecutivi este un număr constant q, numitraţia progresiei geometrice.1. Relaţia de recurenţă : b n +1 = b n ⋅ q , ∀ n ≥ 12. b1,b2, … bn-1, bn, bn+1 sunt termenii unei progresii geometrice cutermeni pozitivi ⇔ bn = b n −1 ⋅ b n + 1 n −13. Termenul general este dat de : b n = b1 ⋅ q4. Produsul oricaror doi termeni egal departati de extremi este egalcu produsul extremilor bk ⋅ bn − k +1 = b1 ⋅ bn5. Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice : 1− qn Sn = b1 ⋅ 1− q6. Şirul termenilor unei progresii geometrice : b1 , b1 ⋅ q, b1 ⋅ q 2 ,...b1 ⋅ q n ,....7. Trei numere x1, x2, x3 se scriu în progresie geometrică de forma : u x1 = x2 = u x3 = u ⋅ v , ∀u , v ∈ R*+ v8. Patru numere x1, x2, x3, x4 se scriu în progresie geometrică astfel : u x1 = v3 u x2 = v x3 = u ⋅ v x4 = u ⋅ v 3 ∀u , v ∈ R*+ 14
  15. 15. 5. FuncţiiI. Fie ƒ: A→B.1) Funcţia ƒ este injectivă,dacă ∀ x,y ∈A, x≠ y=>ƒ(x)≠ ƒ(y).2) Funcţia ƒ este injectivă,dacă din ƒ(x)=ƒ(y) =>x=y.3) Funcţia f este injectivă, dacă orice paralelă la axa 0xintersectează graficul funcţiei în cel mult un punct.II.1)Funcţia ƒ este surjectivă, dacă ∀ y ∈ B, există cel puţin unpunct x ∈A, a.î. ƒ(x)=y.2) Funcţia ƒ este surjectivă, daca ƒ(A) =B.3) Funcţia ƒ este surjectivă, dacă orice paralelă la axa 0x, dusăprintr-un punct al lui B, intersectează graficul funcţiei în celpuţin un punct.III.1) Funcţia ƒeste bijectivă dacă este injectivă şi surjectivă.2) Funcţia ƒ este bijectivă dacă pentru orice y ∈ B există unsingur x ∈ A a.î. ƒ(x) =y (ecuaţia ƒ(x)=y,are o singurăsoluţie,pentru orice y din B)3) Funcţia ƒ este bijectivă dacă orice paralelă la axa 0x, dusăprintr-un punct al lui B, intersectează graficul funcţiei într-unpunct şi numai unul.IV.1A: A→A prin 1A(x) =x, ∀ x ∈ A.1) Funcţia ƒ: A→B este inversabilă , dacă există o funcţieg:B→A astfel încât g o ƒ = 1A si ƒ o g =1B, funcţia g esteinversa funcţiei ƒ şi se notează cu ƒ-1.2) ƒ(x) = y <=> x= ƒ-1(y)3) ƒ este bijectivă <=> ƒ este inversabilă. 15
  16. 16. V. Fie ƒ:A→B si g: B→C, două funcţii. 1) Dacă ƒ si g sunt injective, atunci g o ƒ este injectivă. 2) Dacă ƒ si g sunt surjective,atunci g o ƒ este surjectivă. 3) Dacă ƒ si g sunt bijective, atunci g o ƒ este bijectivă. 4) Dacă ƒ si g sunt (strict) crescatoare,atunci g o ƒ este (strict) crescatoare. 5) Dacă ƒ si g sunt (strict) descrescatoare, atunci g o ƒ este (strict) descrescatoare. 6) Dacă ƒ si g sunt monotone, de monotonii diferite,atunci g o ƒ este descrescatoare. 7) Dacă ƒ este periodică, atunci g o ƒ este periodică. 8) Dacă ƒ este pară, atunci g o ƒ este pară. 9) Dacă ƒ si g sunt impare, atunci g o ƒ este impară, 10) Dacă ƒ este impară si g pară, atunci g o ƒ este pară. VI. Fie ƒ: A→ B si g:B→C, două funcţii. Dacă g o ƒ este injectivă, atunci ƒ este injectivă. Dacă g o ƒ este surjectivă, atunci g este surjectivă. Dacă g o ƒ este bijectivă, atunci ƒ este injectivă si g surjectivă. Dacă ƒ,g: A → B iar h: B→ C bijectivă si h o ƒ = h o ƒ, atunci ƒ = g. VII. Fie ƒ: A→B si X,Y mulţimi oarecare. Funcţia ƒ este bijectivă, dacă şi numai dacă oricare ar fi funcţiile u,v: X→A,din ƒ o u =ƒ o v, rezultă u=v. Funcţia ƒ este surjectivă, daca şi numai dacă oricare ar fifuncţiile u,v :B→Y, din u o ƒ = v o ƒ, rezultă u=v 16
  17. 17. VIII.1)Dacă ƒ :A→B este strict monotonă,atunci ƒ este injectivă.2) Daca ƒ : R→R este periodic şi monotonă, atunci ƒ esteconstantă.3) Daca ƒ : R→R este bijectivă şi impară,atunci ƒ-1 esteimpară.4) Fie A finită şi ƒ :A→A. Atunci ƒ este injectivă <=> estesurjectivă.IX. Fie ƒ: E → F, atunci1)ƒ injectivă <=> (∃) g : F →E (surjectivă) a.i. g o ƒ=1E.2) ƒ surjectivă <=>(∃) g : E→F (injectivă) a.i. ƒ o g =1F3) ƒ bijectivă <=> inversabilă.X. Fie ƒ : E → F.1)Funcţia ƒ este injectivă dacă şi numai dacă (∀) A,B ⊂ E ƒ(A ∩ B) = ƒ (A) ∩ (B).2) Funcţia ƒ este surjectivă dacă şi numai dacă (∀) B ⊂ Fexistă A ⊂ E, astfel încât ƒ(A)=B.3) Funcţia ƒ este injectivă dacă ƒ(A— B)=ƒ(A) — ƒ(B),∀ A, B ⊂ E.XI. Fie ƒ : E → F si A⊂ E, B ⊂ E, atunci ƒ(A) ={y ∈ F ⏐ ∃ x ∈ A a.i. ƒ(x)=y} ƒ-1 (B) = {x ∈ E ⏐ƒ(x)∈ B}.1.Fie ƒ: E→ F si A,B ⊂ E, atuncia) A ⊂ B => ƒ(A) ⊂ ƒ(B),b) ƒ(A ∪ B)= ƒ(A) ∪ ƒ(B),c) ƒ(A ∩ B) ⊂ ƒ(A) ∩ ƒ(B),d) ƒ(A) — ƒ(B) ⊂ ƒ(A — B). 17
  18. 18. 2.Fie ƒ: E → F si A,B ⊂ F atuncia) A ⊂ B => ƒ-1 (A) ⊂ ƒ-1 (B),b)ƒ-1 (A) ∪ ƒ-1 (B) ⊂ ƒ--1 (A ∪ B),c)ƒ-1 (A) ∩ ƒ-1 (B) = ƒ-1 ( A ∩ B),d) ƒ-1 (A) — ƒ-1 (B) = ƒ-1 (A— B),e) ƒ-1 (F) = E. Funcţia de gradul al doileaForma canonică a funcţiei f:R→R,f ( x) = ax 2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a ≠ 0 este 2 ⎛ b ⎞ Δf ( x ) = a⎜ x + ⎟ − , ∀x ∈ R ; ⎝ 2a ⎠ 4a ⎛ b Δ⎞Graficul funcţiei este o parabolă de vârf V ⎜ − ,− ⎟ , unde ⎝ 2a 4a ⎠Δ = b2 − 4ac a〉 0 f este convexă; Δ〈0 ; x1,x2 ∈ C f(x) >0, ∀x ∈ R ; ⎛ b Δ⎞ V⎜− ,− ⎟ - punct ⎝ 2a 4a ⎠ de minim; 18
  19. 19. Δ = 0 , x1=x2 ∈ R f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R ; b f(x)=0 ⇔ x = − 2a Δ〉 0, x1 ≠ x 2 ∈ R f(x) ≥ 0, ∀x ∈ (−∞, x1 ] ∪ [ x 2 ,+∞) ; f(x)<0, ∀x ∈ ( x1 , x 2 ) ⎛ b ⎞Pentru x ∈ ⎜ − ∞,− ⎟ funcţia este strict descrescătoare; ⎝ 2a ⎠ bPentru x ∈ [− ,+∞), funcţia este strict crescătoare 2a 19
  20. 20. a<0 funcţia este concavă Δ 〈0 ; x1,x2 ∈ C f(x) <0, ∀x ∈ R ; ⎛ b Δ⎞ V⎜− ,− ⎟ - punct de ⎝ 2a 4a ⎠maxim Δ = 0 , x1=x2 ∈ R f(x) ≤ 0, ∀x ∈ R ; b f(x)=0 ⇔ x = − 2a Δ〉 0, x1 ≠ x 2 ∈ R f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [ x1 , x 2 ] ; f(x)<0, ∀x ∈ (−∞, x1 ) ∪ ( x 2 ,+∞) 20
  21. 21. ⎛ b ⎞Pentru x ∈ ⎜ − ∞,− ⎟ funcţia este strict crescătoare; ⎝ 2a ⎠ bPentru x ∈ [− ,+∞), funcţia este strict descrescătoare. 2a 6. NUMERE COMPLEXE1. NUMERE COMPLEXE SUB FORMĂ ALGEBRICĂ ⎧ ⎫C = ⎨z z = a + ib, a, b ∈R, i2 = −1⎬ ⎩ ⎭ - mulţimea numerelor complexe. z=a+ib=Re z+Im zOPERAŢII CU NUMERE COMPLEXE Fie z1 = a + ib, z 2 = c + id . Atunci: 1. z1 = z 2 ⇔ a = c si b=d. 2. z1 + z 2 = ( a + c ) + i (b + d ). 3. z1 ⋅ z 2 = ( a ⋅ c − b ⋅ d ) + i ( a ⋅ d + b ⋅ c). 4. z1 = a − ib, conjugatul lui z1 z1 a ⋅ c + b ⋅ d b⋅c − a⋅d 5. = 2 +i 2 z2 c +d 2 c +d2 1 a b 6. = 2 −i 2 . z1 a + b 2 a + b2 21
  22. 22. PUTERILE LUI i 1. i 4k = 1; 4 k +1 2. i = i; 4k +2 3. i = −1 ; 4 k +3 4. i = −i ; −n 1 −1 1 5. i = n , i = = −i ; i i ⎧i n , n par −n ⎪6. i = (−i ) = (−1) ⋅ i = ⎨ n n n ⎪− i n , n impar ⎩PROPRIETĂŢILE MODULULUI z = a 2 + b 2 - modulul nr. complexe 21. z ≥ 0, z = 0 ⇔ z = 0 2. z ⋅ z = z 3. z = z4. z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 z1 z15. = , z2 ≠ 0 z2 z2 n6. z1 − z 2 ≤ z1 ± z 2 ≤ z1 + z 2 7. z n = z8. z ∈ C ; z ∈ R ⇔ Im z = 0 ⇔ z = zECUAŢII:z2 = a + ib ⇒ z1,2 = ± a + ib ⇒ ⎡ a + a2 + b2 − a + a2 + b2 ⎤z1,2 = ±⎢ ±i ⎥ ⎢ 2 2 ⎥ ⎣ ⎦‚+’ dacă b pozitiv; ‚-‚ dacă b negativ 22
  23. 23. − b ± b 2 − 4acax 2 + bx + c = 0 ⇒ x1, 2 = 2adaca Δ = b 2 − 4ac ≥ 0 sau −b±i −Δ x1, 2 = daca Δ〈0 2a NUMERE COMPLEXE SUB FORMĂ GEOMETRICĂForma trigonometrică a numerelor complexe:z= ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) , ⎧0, (a, b) ∈ I ⎪ b ⎪ϕ = arctg + kπ , k = ⎨1, ( a , b ) ∈ II , III a ⎪ ⎪ 2, ( a , b ) ∈ IV ⎩ ρ = z = a + b se numeşte raza polară a lui z 2 2Fie z1= ρ 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) şi z2= ρ 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) ;z1=z2 ρ 1 = ρ 2 , si exista k ∈ Z a.i ϕ 1 = ϕ 2 + kπz1 ⋅ z 2 = ρ 1 ⋅ ρ 2 [cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )z1 = ρ 1 (cos ϕ 1 − i sin ϕ 1 ) 23
  24. 24. 1 1 = [cos(−ϕ 1 ) + i sin(−ϕ 1 )]z1 ρ 1z2 ρ2 = [cos(ϕ 2 − ϕ1 ) + i sin(ϕ 2 − ϕ1 )]z1 ρ 1z1 = ρ 1 (cos nϕ 1 + i sin nϕ 1 ), n ∈ R n n ϕ + 2kπn z = n ρ (cos 1 ϕ + 2kπ 1 1 + i sin 1 ), k ∈ 0, n − 1 n n 7. FUNCTIA EXPONENTIALĂDef. f: R→ (0,∞), f(x)= a x , a〉 0, a ≠ 1Dacă a 〉1 ⇒ f este strict crescătoare x1 〈 x 2 ⇒ a x1 〈 a x2Dacă a ∈ (0,1) ⇒ f este strict descrescătoare x1 〈 x 2 ⇒ a x1 〉 a x2Proprietăţi:Fie a,b ∈ (0, ∞ ), a, b ≠ 1, x, y ∈ R ⇒ 24
  25. 25. x+ y a x ⋅a y = a (a ⋅b )x = a x ⋅a y (a ) x y = a x⋅y x a x− y y = a ,a ≠ 0 a x x ⎛ a ⎞ a ⎜ ⎟ = x ,b ≠ 0 ⎝ b ⎠ b a = 1 0 − x 1 a = ,a ≠ 0 a x pentru a 〈 0 , nu se defineste a xTipuri de ecuaţii:1. a f ( x ) = b, a〉 0, a ≠ 1, b〉 0 ⇒ f ( x) = log a b2. a f ( x ) = a g ( x ) , a〉 0, a ≠ 1 ⇒ f ( x) = g ( x)3. a f ( x ) = b g ( x ) , a, b〉 0, a, b ≠ 1 ⇒ f ( x) = g ( x) ⋅ log a b4. ecuaţii exponenţiale reductibile la ecuaţii algebrice printr-osubstituţie.5. ecuaţii ce se rezolvă utilizând monotonia funcţieiexponenţiale.Inecuaţiia>1, a f ( x ) ≤ a g ( x ) ⇒ f ( x) ≤ g ( x)a ∈ (0,1) a f ( x ) ≤ a g ( x ) ⇒ f ( x) ≥ g ( x) 25
  26. 26. FUNCTIA LOGARITMICĂDef: f:(0,∞) →R, f(x)= log a x , a〉 0, a ≠ 1 ,x>0Dacă a 〉1 ⇒ f este strict crescătoare x1 〈 x 2 ⇒ log a x1 〈 log a x 2Dacă a ∈ (0,1) ⇒ f este strict descrescătoare x1 〈 x 2 ⇒ log a x1 〉 log a x 2Proprietăţi:Fie a,b c ∈ (0, ∞ ), a, b, c ≠ 1, x, y ∈ (0, ∞), m ∈ R ⇒a y = x 〉 0 ⇒ y = log a xlog a x ⋅ y = log a x + log a y xlog a = log a x − log a y y 26
  27. 27. log a a m = m, log a b m = m log a b log b 1log a b = c , = log b a log c a log a ba log b c = c log b a , x = a log a xlog a 1 = 0, log a a = 1.Tipuri de ecuaţii:1. log f ( x ) g ( x) = b, f , g 〉 0, f ≠ 1 ⇒ g ( x) = f ( x) b2. log a f ( x) = log a g ( x) ⇒ f ( x) = g ( x)3. log a f ( x) = log b g ( x) ⇒ f ( x) = a b log g ( x )4. ecuaţii logaritmice reductibile la ecuaţii algebrice printr-osubstituţie.5. ecuaţii ce se rezolvă utilizând monotonia funcţiei logaritmice.Inecuaţiia>1, log a f ( x) ≤ log a g ( x) ⇒ f ( x) ≤ g ( x)a ∈ (0,1) log a f ( x) ≤ log a g ( x) ⇒ f ( x) ≥ g ( x) 27
  28. 28. 8. BINOMUL LUI NEWTON În 1664 Isaac Newton (1643-1727) a găsit următoarea formulăpentru dezvoltarea binomului (a+b)n. Deşi formula era cunoscută încă dinantichitate de către matematicianul arab Omar Khayyam (1040-1123),Newton a extins-o şi pentru coeficienţi raţionali.TEOREMĂ: Pentru orice număr natural n şi a şi b numere realeexistă relaţia:(a+b)n =Cn0an +Cn1an−1⋅b+Cn2an−2 ⋅b2 +..........nkan−k ⋅bk +.....Cnnbn +C +(1) 0 1 nNumerele C n , C n ,...., C n se numesc coeficienţii binomiali aidezvoltării;Este necesar să se facă distincţie între coeficientul unui termenal dezvoltării şi coeficientul binomial al acelui termen.Exemplu: (a+2b)4= a4 + 4a 3 .2b+….. Coeficientul celui de-al doilea termen este 8 iarcoeficientul binomial este C41 =4;Pentru (a-b)n avem următoarea formă a binomului lui Newton:(a−b)n =Cn0an −Cn1an−1 ⋅b+Cn2an−2 ⋅b2 −..........(−1)kCnkan−k ⋅bk +..... (−1)nCnnbn .+ +(1’)Proprietăţi:1. Numărul termenilor dezvoltării binomului (a+b)n este n+1;Dacă n=2k ⇒ coeficientul binomial al termenului din mijloc al dezvoltăriieste Cnk şi este cel mai mare.Dacă n=2k+1 ⇒ Cnk şi Cnk+1 sunt egali şi sunt cei mai mari; Cno<Cn1<……<Cnk >Cnk+1>…..>Cnn daca n este par, n=2k 28
  29. 29. Cno<Cn1<……<Cnk =Cnk+1>…..>Cnn daca n este impar, n=2k+1.2. Coeficienţii binomiali din dezvoltare, egal depărtaţi de termeniiextremi ai dezvoltării sunt egali între ei. k n−k Cn = Cn(2)3. Termenul de rang k+1 al dezvoltării (sau termenul general aldezvoltării) este k Tk+1 =Cn an−k ⋅bk , k =0,12,...., , n(3) ⇒ Formula binomului lui Newton scrisă restrâns are forma: n (a + b )n = ∑ C n k a n − k b k . k =0(4)4. Relaţia de recurenţă între termenii succesivi ai dezvoltării esteurmătoarea: Tk + 2 n − k b = ⋅ Tk +1 k + 1 a(5)5. Pentru a=b=1 se obţine 0 1 2 n C +C +C +.......... C =(1+1 n n n ...+ ) n n (6)ceea ce înseamnă că numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu nelemente este 2n . 29
  30. 30. 9. Vectori şi operaţii cu vectoriDefiniţie: Se numeşte segment orientat, o pereche ordonată depuncte din plan; Se numeşte vector, mulţimea tuturor segmentelororientate care au aceeaşi direcţie, aceeaşi lungime şi acelaşisens cu ale unui segment orientat.Observaţii:Orice vector AB se caracterizează prin: - modul(lungime,normă), dat de lungimea segmentului AB; - direcţie, dată de dreapta AB sau orice dreaptă paralelă cu aceasta; - sens, indicat printr-o săgeată de la originea A la extremitatea B.Notaţii: AB vectorul cu originea A şi extremitatea B;AB = ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 - modulul vectorului AB undeA(x0,y0), B(x.y).Definiţie:Se numesc vectori egali, vectorii care au aceeaşi direcţie,acelaşi sens şi acelaşi modul. Doi vectori se numesc opuşi dacăau aceeaşi direcţie, acelaşi modul şi sensuri contrare: - AB = BA .Adunarea vectorilor se poate face după regula triunghiului saudupă regula paralelogramului: 30
  31. 31. λ ⋅ v = 0 ⇔ λ = 0 sau v = 0, ∀λ ∈ RDaca λ ≠ 0, v ≠ 0 ⇒ λ ⋅ v = λ ⋅ v , λ ⋅ v are direcţia şi sensulvectorului v dacă λ 〉 0 şi sens opus lui v dacă λ 〈0 .Definiţie:Doi vectori se numesc coliniari dacă cel puţin unul este nul saudacă amândoi sunt nenuli şi au aceeaşi direcţie. În caz contrarse numesc necoliniari. vectori coliniari vectori necoliniariTeoremă:Fie u ≠ 0 şi v un vector oarecare.Vectorii u şi v sunt coliniari ⇔ ∃λ ∈ R a.i. v = λ ⋅ u . 31
  32. 32. Punctele A, B, C sunt coliniare⇔ AB si AC sunt coliniari ⇔ ∃λ ∈ Ra.i. AB = λ ⋅ AC .AB CD ⇔ AB si CD sunt coliniari;Dacă u şi v sunt vectori necoliniari atunci∃x, y ∈ R a.i. x ⋅ u + y ⋅ v = 0 ⇔ x = y = 0 .Teoremă: Fie a şi b doi vectori necoliniari. Oricare ar fivectorul v , există α , β ∈ R(unice) astfel încât v = α ⋅ a + β ⋅ b .Vectorii a şi b formează o bază. ( )α , β se numesc coordonatele vectorului v în baza a, b .Definiţie:Fie XOY un reper cartezian. Considerăm punctele A(1,0),B(0,1). Vectorii i = OA si j = OB se numesc versorii axelorde coordonate. Ei au modulul egal cu 1, direcţiile axelor şisensurile semiaxelor pozitive cu OX şi OY. ( )Baza i, j se numeşte bază ortonormată. 32
  33. 33. v = A B + A B = x ⋅ i + y ⋅ j x=xB- xA, y=yB- yAv = prOX v ⋅ i + prOY v ⋅ j AB = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2Teoremă:Fie u ( x, y ), v( x , y ) . Atunci:1) u + v are coordonatele (x+x’.y+y’);2) ∀λ ∈ R, λ ⋅ v are coordonatele ( λ x’, λ y’);3) u ( x, y ), v( x , y ) sunt coliniari x y⇔ = = k , x , y ≠ 0. ⇔ xy − x y = 0. x y 4) Produsul scalar a doi vectori nenuli.u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos α unde α = m(u, v), α ∈ [0, π ]. x ⋅ x+ y ⋅ y cos α = x 2 + y 2 ⋅ ( x ) 2 + ( y ) 2 π π α ∈ [0, ] ⇒ u ⋅ v ≥ 0; α ∈ ( , π ] ⇒ u ⋅ v〈0 2 2Fie u ( x, y ), v( x , y ) nenuli. Atunci:u ⋅ v = 0 ⇔ u ⊥ v ⇔ x ⋅ x+ y ⋅ y = 0. 2 u ⋅ u = u ≥ 0, ∀u. u ⋅ u = 0 ⇔ u = 0. i ⋅ i = j ⋅ j = 1; i ⋅ j = 0. Vectori de poziţie. Dacă rA , rBsunt vectori de poziţie, atunci: AB = rB − rA 33
  34. 34. 10. Funcţii trigonometriceSemnul funcţiilor trigonometrice: ⎡ π π⎤ Sin: ⎢ − , → [− 1,1] ⎣ 2 2⎥ ⎦ ⎡ π π⎤ arcsin:[-1,1]→ ⎢− , ⎥ ⎣ 2 2⎦ [ ] [ Cos: 0, π → − 1,1 ] arccos:[-1,1] → [0, π ] 34
  35. 35. ⎛ π π⎞ Tg: ⎜ − , ⎟→R ⎝ 2 2⎠ ⎛ π π⎞ arctg:R→ ⎜ − , ⎟ ⎝ 2 2⎠Reducerea la un unghi ascuţit πFie u ∈ (0, ) Notăm sgn f= semnul funcţiei f; cof = cofuncţia lui f 2 ⎧ π ⎛ π ⎞ ⎪ ⎪sgn f (k 2 ± u ) ⋅ sin u, k = parsin ⎜ k ± u ⎟ = ⎨ Analog pentru ⎝ 2 ⎠ ⎪sgn f (k π ± u ) ⋅ cos u, k = impar ⎪ ⎩ 2celelalte; ⎧ π π ⎪sgn f (k 2 ± u ) ⋅ f (u ), k = par ⎪În general, f ( k ± u ) = ⎨ 2 ⎪sgn f (k π ± u ) ⋅ cof (u ), k = impar ⎪ ⎩ 2 35
  36. 36. Ecuaţii trigonometriceFie x un unghi, a un număr real şi k ∈ Z .sin x = a, a ≤ 1 ⇒ x = (−1) k arcsin a + kπ , dacă a ∈ [0,1] = ( − 1) k +1 arcsin a + kπ , dac ă a ∈ [ − 1,0 ]cos x = a, a ≤ 1 ⇒ x = ± arccos a + 2kπ , dacă a ∈ [0,1] = ± arccos a + ( 2 k + 1)π , dac ă a ∈ [ − 1,0 ]tgx = a, a ∈ R ⇒ x = arctga + kπarcsin(sin x) = a ⇒ x = (−1) k a + kπarccos(cos x) = a ⇒ x = ± a + 2kπarctg (tgx) = a ⇒ x = a + kπsin f ( x) = sin g ( x) ⇒ f ( x) = (−1) k g ( x) + kπcos f ( x) = cos g ( x) ⇒ f ( x) = ± g ( x) + 2kπtgf ( x) = tgg ( x) ⇒ f ( x) = g ( x) + kπ , k ∈ ZEcuaţii trigonometrice reductibile la ecuaţii care conţin aceeaşifuncţie a aceluiaşi unghi;Ecuaţii omogene în sin x şi cos x de forma: asin x+bcos x=0; asin2x+bsin x .cos x+ ccos2 x=0Ecuaţii trigonometrice care se rezolvă prin descompuneri în factori;Ecuaţii simetrice în sin x şi cos x;Ecuaţii de forma: ca sin x + b cos x + c = 0 : a ⇒ sin x + tgϕ cos x = − ⇒ a cx + ϕ = (−1) k arcsin(− cos ϕ ) + kπ a a sin x + b cos x ≤ a2 + b2Observaţie importantă: Prin ridicarea la putere a unei ecuaţiitrigonometrice pot apărea soluţii străine iar prin împărţirea unei ecuaţiitrigonometrice se pot pierde soluţii; 36
  37. 37. FORMULE TRIGONOMETRICE sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ cos α = ± 1 − sin 2 α ;1. α ∈ R sin α = ± 1 − cos α 22. sin α 1 − cos 2 α 1tgα = ± =± ⇒ tg 2α + 1 = ; 1 − sin α 2 cos α cos 2 α 1 tgα3. cos α = ± ; sin α = ± ; 1 + tg 2α 1 + tg 2α4. cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β ;5. cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β ;6. sin(α + β ) = sin α cos β + sin β cos α ;7. sin(α − β ) = sin α cos β − sin β cos α ; tgα + tgβ tgα − tgβ8. tg (α + β ) = ; tg (α − β ) = ; 1 − tgα ⋅ tgβ 1 + tgα ⋅ tgβ9. ctgα ⋅ ctgβ − 1 ctgα ⋅ ctgβ + 1ctg (α + β ) = ; ctg (α − β ) = ; ctgα + ctgβ ctgα − ctgβ10. sin 2α = 2 sin α cos α ;11. cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α 1 + cos 2α 1 − cos 2α12. cos 2 α = ; sin 2 α = ; 2 2 α 1 + cos α α 1 − cos α13. cos = ± ; sin = ± ; 2 2 2 2 α 1 − cos α α 1 + cos α14. tg = ± ; ctg = ± 2 1 + cos α 2 1 − cos α 2tgα ctg α − 1 215. tg 2α = ; ctg 2α = ; 1 − tg α 2 2ctgα 37
  38. 38. α α 2tg 1 − tg 216. tgα = 2 ; ctgα = 2; α α 1 − tg 2 2tg 2 217. 3tgα − tg 3αsin 3α = 3 sin α − 4 sin α ; 3 tg 3α = 1 − 3tg 2α ctg 3α − 3ctgαcos 3α = 4 cos α − 3 cos α ; 3 ctg 3α = ; 3ctg 2α − 1 α sin α 1 − cos α 118. tg = = = ; 2 1 + cos α sin α α ctg 2 α α 2tg 1 − tg 219. sin α = 2 ; cos α = 2; 2 α 2 α 1 + tg 1 + tg 2 2 a+b a−bsin a + sin b = 2 sin ⋅ cos 2 2 a−b a+bsin a − sin b = 2 sin ⋅ cos 2 2 a+b a−bcos a − cos b = −2 sin ⋅ sin 2 2 a−b a+bcos a + cos b = 2 sin ⋅ cos 2 2 sin( a + b)tga + tgb = cos a ⋅ cos b sin( a − b) sin(a + b)tga − tgb = ctga + ctgb = cos a ⋅ cos b sin a ⋅ sin b sin(b − a )ctga − ctgb = sin a ⋅ sin b 38
  39. 39. sin( a + b) + sin( a − b)sin a ⋅ cos b = 2 cos(a + b) + cos(a − b)cos a ⋅ cos b = 2 cos( a − b) − cos( a + b)sin a ⋅ sin b = 2arcsin x + arcsin y = arcsin( x 1 − y 2 + y 1 − x 2 ) π πarcsin x+arccos x= arctg x +arcctg x= 2 2 1 πarctg x+arctg = arccos(-x)= π -arccos x x 2 39
  40. 40. 11. ECUAŢIILE DREPTEI ÎN PLAN1. Ecuaţia carteziană generală a dreptei: ax+by+c=0 (d) Punctul M(x0,y0) ∈ d ⇔ a ⋅ x0 + b ⋅ y 0 + c = 02. Ecuaţia dreptei determinată de punctele A(x1,y1), B(x2,y2): y − y1 x − x1 = y 2 − y1 x 2 − x13. Ecuaţia dreptei determinată de un punct M(x0,y0) şi odirecţie dată( are panta m) y-y0=m(x-x0)4. Ecuaţia explicită a dreptei (ecuaţia normală): y − y1 y=mx+n, unde m = tgϕ = 2 este panta x 2 − x1dreptei şi n este ordonata la origine. x y5. Ecuaţia dreptei prin tăieturi: + = 1, a, b ≠ 0. a b6. Fie (d): y=mx+n şi (d’): y=m’x+n’ Dreptele d şi d’ sunt paralele ⇔ m=m’şi n ≠ n’. Dreptele d şi d’ coincid ⇔ m=m’şi n=n’. Dreptele d şi d’ sunt perpendiculare ⇔ mm’= -1. Tangenta unghiului ϕ a celor două drepte este m − mtgϕ = 1 + m ⋅ m7. Fie d: ax+by+c=0 şi d’: a’x+b’y+c’=0 cu a’,b’,c’ ≠ 0. şiθ = m(〈 d , d ) a b c Dreptele d şi d’ sunt paralele ⇔ = ≠ a b c 40
  41. 41. a b c Dreptele d şi d’ coincid ⇔ = = a b c a b Dreptele d şi d’ sunt concurente ⇔ ≠ ⇔ a b ab’-ba’ ≠ 0. v ⋅ v a ⋅ a +b ⋅ b cos θ = = unde 2 2 2 2 v ⋅ v a +b ⋅ a +b v (−b , a ), v (−b , a ) sunt vectorii directori ai dreptelor d şi d’. Dreptele d şi d’ sunt perpendiculare, d ⊥ d ⇔ a ⋅ a +b ⋅ b = 08. Fie punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4) în plan. Dreptele AB şi CD sunt paralele, AB|| CD ⇔ ∃α ∈ R*, a.î AB = α CD sau mAB=mCD. Dreptele AB şi CD sunt perpendiculare, AB ⊥ CD ⇔ AB ⋅ CD = 0 Condiţia ca punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) să fie coliniare este: y 3 − y1 x − x1 = 3 y 2 − y1 x 2 − x19. Distanţa dintre punctele A(x1,y1) şi B(x2,y2) esteAB= (x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 2 2 Distanţa de la un punct M0(x0,y0) la o dreaptă h de ecuaţie(h): ax+by+c=0 este dată de: ax0 + by 0 + c d ( M 0 , h) = . a2 + b2 41
  42. 42. 12. CONICE1.CERCULDefiniţie: Locul geometric al tuturor punctelor din plan egal depărtate de unpunct fix, numit centru se numeşte cerc.C ( O , r ) = { M ( x , y ) | OM = r }1. Ecuaţia generală a cerculuiA(x² + y²) + Bx + Cy + D = 02. Ecuaţia cercului de centru: O(a, b) respectiv O(0, 0) si raza „r”(x - a)² + (y + b)² = r² ; x² + y² = r²3. Ecuaţia cercului de diametru A(x1;y1), B(x2; y2)(x - x1)(x - x2) + ( y- y1)(y - y2) = 04. Ecuaţia tangentei după o direcţieO(0,0) : y = mx ± r 1 + m²O(a,b) : y-b = m(x-a) ± r 1 + m²5. Ecuaţia tangentei în punctul M(x0, y0)(x· x0) + (y ·y0) = r² respectiv(x - a)(x0 - a) + (y - b)(y0 - b) = r²6. Ecuatia normala a cercului 42
  43. 43. x² + y² + 2mx + 2ny + p = 0 cuO(-m; -n) şi r² = m² + n² - p7. Ecuaţia tangentei în punctul M(x0,y0)x · x0 + y · y0 + m(x + x0) + n(y + y0) + p = 08. Distanta de la centrul cercului O(a, b) la dreapta de ecuaţiey = mx + n este | ma − b + n | | ax 0 + by 0 + c |d(0,d) = sau ( d = ) m² + 1 a ² + b²9. Ecuaţiile tangentelor din punctul exterior M(x0, y0)I. Se scrie ecuaţia 4 şi se pune condiţia ca M să aparţină cercului deecuaţie 4.II. y - y0 = m(x - x0) x² + y² = r² , Δ =02. ELIPSADefiniţie: Locul geometric al punctelor din plan care au sumadistanţelor la două puncte fixe, constantă, se numeşte elipsă.F,F’- focare, FF’ distanţa focalăE= {M ( x, y ) MF + MF = 2a}MF,MF’- raze focale1. Ecuaţia elipsei 43
  44. 44. x² y ² + =1 , b² = a² - c²a ² b²2. Ecuaţia tangentei la elipsă y = mx ± a ² m² + b²3. Ecuaţia tangentei în punctul M(x0, y0) la elipsă x ⋅ x0 y ⋅ y0 b² x0 + =1 , m=− ⋅ a² b² a² y04. Ecuaţiile tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0) laelipsăVAR I Se scrie ecuaţia 2 şi se pune condiţia ca M să aparţinăelipsei de ecuaţie 2 de unde rezultă mVAR II Se rezolvă sistemul y – y0 = m(x-x0) x² y ² , + = 1 cu conditia Δ = 0 a ² b²3. HIPERBOLADefiniţie: Locul geometric al punctelor din plan a cărordiferenţă la două puncte fixe este constantă, se numeştehiperbolă 44
  45. 45. H: = { M(x,y) | |MF – MF’| = 2a } by=± x --ecuaţia asimptotelor a1. Ecuaţia hiperbolei x² y ² − = 1 , b² = c² - a² ; a ² b² Daca a = b => hiperbola echilaterală2.Ecuaţia tangentei la hiperbolă y = mx ± a ² m² − b ²3. Ecuaţia tangentei în punctul M(x0, y0) x ⋅ x0 y ⋅ y 0 b² x0 − =1 , m= ⋅ a² b² a² y04. Ecuaţiile tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0) VAR I. Se scrie ecuaţia 2 si se pune condiţia ca M să aparţină hiperbolei de ecuaţie 2, de unde rezultă m. VAR II. Se rezolva sistemul y - y0 = m(x - x0) x² y ² − =1 , cu Δ = 0 a ² b²4. PARABOLADefiniţie: Locul geometric al punctelor egal depărtate de un punctfix, (numit focar) şi o dreaptă fixă (numită directoare), se numeşteparabolă. 45
  46. 46. P: = { M(x, y) | MF = MN } p(d): x = − ( locul geometric al punctelor din plan de unde putem 2duce tangente la o parabolă).1. Ecuaţia paraboleiy² = 2px2. Ecuaţia tangentei la parabolă Py = mx + 2m3. Ecuaţia tangentei în M (x0, y0)y·y0 = p(x + x0)4. Ecuatia tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0)VAR I. Se scrie ecuaţia 2 şi se pune condiţia ca M ∈ (ecuatia 2) =>mVAR II. Se rezolvă sistemuly - y0 = m(x - x0)y² = 2px cu Δ = 0 46
  47. 47. 13. ALGEBRA LINIARĂ1. MATRICE. ⎛a b ⎞ ⎛ x y⎞ ⎛a + x b + y⎞Adunarea matricelor ⎜c d ⎟+⎜z t ⎟ = ⎜c + z d +t ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ x y⎞ ⎛a⋅ x a ⋅ y⎞a ⋅⎜ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ z t ⎠ ⎝ a ⋅ z a ⋅t ⎠Înmulţirea matricelor⎛a b ⎞ ⎛ x y⎞ ⎛a ⋅ x + b ⋅ z a ⋅ y + b⋅t ⎞⎜ c d ⎟⋅⎜ z t ⎟ = ⎜c ⋅ x + d ⋅ z c ⋅ y + d ⋅t ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ T ⎛a b ⎞ ⎛a c ⎞ ⎜ c d ⎟ = ⎜b d ⎟Transpusa unei matrice ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠2. DETERMINANŢI.a b = a⋅ d −b⋅ c;c d a b cd e f = a⋅e⋅i + d ⋅ h⋅c + g ⋅b⋅ f − c⋅e⋅ g − f ⋅ h⋅ a −i ⋅b⋅ dg h iProprietăţi:1. Determinantul unei matrice este egal cu determinantulmatricei transpuse;2. Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matricesunt nule, atunci determinantul matricei este nul;3. Dacă într-o matrice schimbăm două linii(sau coloane) întreele obţinem o matrice care are determinantul egal cu opusuldeterminantului matricei iniţiale.4. Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice atuncideterminantul său este nul; 47
  48. 48. 5. Dacă toate elementele unei linii(sau coloane) ale uneimatrice sunt înmulţite cu un element a, obţinem o matrice alcărei determinant este egal cu a înmulţit cu determinantulmatricei iniţiale.6. Dacă elementele a două linii(sau coloane) ale unei matricesunt proporţionale atunci determinantul matricei este nul;7. Dacă la o matrice pătratică A de ordin n presupunem că elementele unei linii i sunt de forma aij = aij +aijatunci det A = det A’ +det A’’;8. Dacă o linie (sau coloană) a unei matrice pătratice este ocombinaţie liniară de celelate linii(sau coloane) atuncideterminantul matricei este nul.9. Dacă la o linie (sau coloană) a matricei A adunămelementele altei linii (sau coloane) înmulţite cu acelaşi elementse obţine o matrice al cărei determinant este egal cudeterminantul matricei iniţiale;10. Determinantul Vandermonde: 1 1 1 a b c = (b − a )(c − a )(c − b) ; a2 b2 c211. Dacă într-un determinant toate elementele de deasupradiagonalei principale sau de dedesubtul ei sunt egale cu zero,atunci determinantul este egal cu a ⋅ c ⋅ f ; a 0 0 b c 0 = a⋅c⋅ f d e f12. Factor comun a⋅x a⋅ y a⋅z x y zb⋅ m b⋅ n b ⋅ p = a ⋅b ⋅ m n p u v r u v r 48
  49. 49. 3. Rangul unei matrice Fie A ∈ M m , n (C ) , r ∈ N, 1 ≤ r ≤ min(m, n) .Definiţie: Se numeşte minor de ordinul r al matricei A,determinantul format cu elementele matricei A situate laintersecţia celor r linii şi r coloane.Definiţie: Fie A ≠ Om , n o matrice . Numărul natural r esterangul matricei A ⇔ există un minor de ordinul r al lui A,nenul iar toţi minorii de ordin mai mare decât r+1 (dacă există)sunt nuli.Teorema: Matricea A are rangul r ⇔ există un minor deordin r al lui A iar toţi minorii de ordin r+1 sunt zero.Teorema: Fie A ∈ M m, n (C ), B ∈ M n , s (C ) . Atunci orice minorde ordinul k , 1 ≤ k ≤ min(m, s) al lui AB se poate scrie ca ocombinaţie liniară de minorii de ordinul k al lui A (sau B).Teorema: Rangul produsului a două matrice este mai mic sauegal cu rangul fiecărei matrice.Definiţie: ∈ M n (C ) . A este inversabilă ⇔ det A ≠ 0.( A estenesingulară).Teorema: Inversa unei matrice dacă există este unică.Observaţii: 1) det (A·B) =det A· det B. 1 2) A−1 = ⋅ A* det A τ( A→A → A* = ((−1)i+ j dij)i, j → A−1 ) 3) A-1 ∈ M n ( Z ) ⇔ det A = ± 1 .Stabilirea rangului unei matrice: Se ia determinantul de ordinul k-1 şi se bordează cu olinie (respectiv cu o coloană). Dacă noul determinant este nulrezultă că ultima linie(respectiv coloană )este combinaţieliniară de celelalte linii (respectiv coloane). 49
  50. 50. Teorema: Un determinant este nul ⇔ una din coloanele(respectiv linii) este o combinaţie liniară de celelaltecoloane(respectiv linii).Teorema: Rangul r al unei matrice A este egal cu numărulmaxim de coloane(respectiv linii) care se pot alege dintrecoloanele (respectiv liniile) lui A astfel încât nici una dintre elesă nu fie combinaţie liniară a celorlalte.4. Sisteme de ecuaţii liniareForma generală a unui sistem de m ecuaţii cu n necunoscuteeste: ⎧a11 x1 + a12 x2 + ........... + a1n xn = b1 ⎪ (1 ⎨............................................. sau ⎪a x + a x + .......... + a x = b ⎩ m1 1 m2 2 mn n m n∑ j =1 a ij x j = biUnde A (aij) 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n - matricea coeficienţilornecunoscutelor. ⎛ a11 ... a1n b1 ⎞ ⎜ ⎟Matricea A = ⎜ ... ⎟ se numeşte matricea extinsă ⎜a ⎟ ⎝ m1 .... amn bm ⎠a sistemului.Definiţie: Un sistem de numere α1 ,α 2 ,.......α n se numeştesoluţie a sistemului (1) ⇔ n∑a j =1 ij α j = b i , i = 1, m .Definiţie: - Un sistem se numeşte incompatibil ⇔ nu are soluţie; - Un sistem se numeşte compatibil ⇔ are cel puţin o soluţie; - Un sistem se numeşte compatibil determinat ⇔ are osingură soluţie; 50
  51. 51. - Un sistem se numeşte compatibil nedeterminat ⇔ are oinfinitate de soluţii; Rezolvarea matriceală a unui sistem Fie A, B ∈ M n (C ) . 1 nA−1 A ⋅ X = B ⇒ X = A−1 ⋅ B ⇒ X j = ⋅ ∑ aij ⋅ bi , j = 1, n . det A i =1 Rezolvarea sistemelor prin metoda lui Cramer:Teorema lui Cramer: Dacă det A not Δ ≠ 0 , atunci sistemul ΔiAX=B are o soluţie unică Xi= . ΔTeorema lui Kronecker- Capelli: Un sistem de ecuaţii liniareeste compatibil ⇔ rangul matricei sistemului este egal curangul matricei extinse.Teorema lui Rouche: Un sistem de ecuaţii liniare estecompatibil ⇔ toţi minorii caracteristici sunt nuli.Notăm cu m-numărul de ecuaţii; n- numărul de necunoscute; r -rangul matricei coeficienţilor. I m=n=r Sistem compatibil Δ≠0 determinat II m=r 〈 n Sistem compatibil Minorul nedeterminat principal este nenul Sistem compatibil Dacă toţi determinat sau minorii III n=r 〈 m caracteristici sunt nuli 51
  52. 52. Sistem Există cel incompatibil puţin un minor caracteristic nenul IV r 〈 n, r 〈 m Sistem compatibil Dacă toţi nedeterminat sau minorii caracteristici sunt nuli Sistem Există cel incompatibil puţin un minor caracteristic nenulTeorema: Un sistem liniar şi omogen admite numai soluţiabanală ⇔ Δ ≠ 0 52
  53. 53. 14. SIRURI DE NUMERE REALE1. Vecinătăţi. Puncte de acumulare.Definiţia 1 : Se numeşte şir , o funcţie f : N → R definită prin f(n) =an .Notăm (a n )n∈N : a 0 , a1 , a 2 ,.............sau a1 , a 2 , a3 ,...........Orice şir are o infinitate de termeni; a n este termenul general alşirului (a n )n∈N .Definiţia 2 : Două şiruri (a n )n∈N , (bn )n∈N sunt egale⇔ a n = bn , ∀n ≥ k ∈ NDefiniţia 3: Fie a ∈ R. Se numeşte vecinătate a punctului a ∈ R, omulţime V pentru care ∃ ε >0 şi un interval deschis centrat în a deforma (a- ε , a+ ε) ⊂ V.Definiţia 4: Fie D ⊆ R. Un punct α ∈ R se numeşte punct deacumulare pentru D dacă în orice vecinătate a lui α există cel puţinun punct din D- { } ⇔ V ∩(D- { }) ≠ Ǿ. Un punct x ∈ D care nu e α αpunct de acumulare se numeşte punct izolat.2. Şiruri convergenteDefiniţia 5 : Un şir (a n )n∈N este convergent către un număr a ∈ Rdacă în orice vecinătate a lui a se află toţi termenii şirului cu excepţia lim a n = aunui număr finit şi scriem a n ⎯n→∞ → a sau ⎯⎯ n→∞a se numeşte limita şirului .Teorema 1: Dacă un şir e convergent , atunci limita sa este unică.Teorema 2: Fie (a n )n∈N un şir de numere reale. Atunci:(a n )n∈N este monoton crescător ⇔ a n ≤ a n +1 , ∀n ∈ N sau a n +1a n +1 − a n ≥ 0, sau ≥ 1; an 53
  54. 54. (a n )n∈N este stict crescător ⇔ a n 〈 a n +1 , ∀n ∈ N sau a n +1a n +1 − a n 〉 0, sau 〉1 ; an(a n )n∈N este monoton descrescător ⇔ a n ≥ a n +1 , ∀n ∈ N sau a n +1a n +1 − a n ≤ 0, sau ≤ 1; an(a n )n∈N este strict descrescător ⇔ a n 〉 a n +1 , ∀n ∈ N sau a n +1a n +1 − a n 〈 0, sau 〈1 . anDefiniţia 6. Un şir (a n )n∈N este mărginit ⇔ ∃ M ∈ R astfelîncât a n ≤ M sau∃α , β ∈ R astfel încât α ≤ an ≤ β .Teorema 3: Teorema lui Weierstrass: Orice şir monoton şimărginit este convergent.Definiţia 7: Dacă un şir are limită finită ⇒ şirul este convergent.Dacă un şir are limită infinită + ∞ sau −∞ ⇒ şirul estedivergent.Teorema 4: Orice şir convergent are limită finită şi este mărginit darnu neapărat monoton.Teorema 5: Lema lui Cesaro:Orice şir mărginit are cel puţin un subşir convergent.Definiţia 8: Un şir e divergent fie dacă nu are limită, fie dacă are olimită sau dacă admite două subşiruri care au limite diferite.OBS: Orice şir crescător are limită finită sau infinită.Teorema 6: Dacă (a n )n∈N ∈ R+ este un şir strict crescător şi * 1 lim a n = +∞ ⇒ lim =0nemărginit atunci an . Un şir n→∞descrescător cu termenii pozitivi este mărginit de primul termen şi de0. 54
  55. 55. 3. Operaţii cu şiruri care au limităTeorema 7: Fie (a n )n∈N , (bn )n∈N şiruri care au limită:a n ⎯n→∞ → a , b n ⎯n→∞ → b . ⎯⎯ ⎯⎯Dacă operaţiilea+b,aba b , a au sens atunci şirurileb . aan + bn , an − bn ,α ⋅ an , an ⋅ bn , n , an n au b lim ită bnlim( a n + bn )= lim a n +lim bn ;lim( a n ⋅ bn )=lim a n .lim bn ;n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞ a n lim a nlim( α ⋅ a n )=α·lim a n ; lim = bn lim bn bnlim a n = (lim a n ) lim bnlim (log a a n ) = log a (lim a n )lim k a n = k lim a nPrin convenţie s-a stabilit: ∞+∞=∞ ; a+∞=∞,a ∈ R; a+(-∞)=-∞; -∞+(-∞)=-∞; a·∞=∞ ,a>0;a·∞=-∞,a<0; ∞·(-∞)=-∞; -∞·(-∞)=∞; ∞ ∞ = ∞; ∞ −∞ = 0; ⎧ ∞ ⎪∞, dacă a〉 00 = 0; ∞ =⎨a ⎪0, dacă a〈 0 ⎩ ±∞Nu au sens operaţiile: ∞-∞, 0·(±∞); , 1∞ , 1−∞ , ∞0. ±∞Teorema 8: Dacă a n − a ≤ bn şi bn → 0 ⇒ a n ⎯n→∞ → a ⎯⎯ Dacă a n ≥ bn şi bn → ∞ ⇒ a n ⎯n→∞ → ∞ ⎯⎯ 55
  56. 56. Dacă a n ≤ bn şi bn → −∞ ⇒ a n ⎯n→∞ → −∞ ⎯⎯ Dacă a n ⎯n→∞ → a ⇒ ⎯⎯ a n ⎯n→∞ → a . ⎯⎯ Dacă a n ⎯n →∞ → 0 ⇒ ⎯ ⎯ a n ⎯n→∞ → 0 . ⎯⎯Teorema 9: Dacă şirul (a n )n∈N este convergent la zero,iar (bn )n∈N este un şir mărginit, atunci şirul produs a n ⋅ bn esteconvergent la zero.4. Limitele unor şiruri tip ⎧ ⎪ 0 , dac ă q ∈ ( − 1,1) ⎪ ⎪1, dac ă q = 1 lim q = ⎨ n n→∞ ⎪ ∞ , dac ă q 〉1 ⎪ ⎪ ⎩ nu exist ă , dac ă q ≤ − 1 ⎧∞ , a 〉 0 ( ) ⎪lim a 0 n p + a1n p −1 + .... + a p = ⎨ 0n→∞ ⎪ − ∞ , a0 〈 0 ⎩ ⎧ ⎪0, dacă p〈q ⎪ a0 ⎪ , dacă p = q a0 ⋅ n + a1 ⋅ n + .......+ a p ⎪ b0 p p −1 ⎪ lim q −1 =⎨ a n →∞ b0 ⋅ n + b ⋅ n + ..... + bq q 1 ⎪∞, dacă p〉 q şi 0 〉0 ⎪ b0 ⎪ a ⎪− ∞, dacă p〉q şi 0 〈0. ⎪ ⎩ b0 56
  57. 57. xn ⎛ 1⎞ n ⎛ 1 ⎞lim ⎜1 + ⎟ = e ≈ 2,71...... lim ⎜ 1 + ⎜ ⎟ =e ⎝ n⎠ ⎝ xn ⎟ ⎠n→∞ x n →∞ 1 sin xnlim (1 + xn ) xn = e lim =1 xn x n →0 x n →0 arcsin x n tgx nlim =1 lim =1 xn xnx n →0 x n →0 arctgx n ln(1 + xn ) lim =1 lim =1 xn xn x n →0 x n →0 a xn − 1 (1 + xn )r − 1 lim = ln a lim =r xn xn x n →0 x n →0 e xn ln x n lim p =∞ lim =0 xn xn p x n →∞ x n →∞ 57
  58. 58. 15. LIMITE DE FUNCŢIIDefiniţie: O funcţie f:D ⊆ R → R are limită laterală la stânga (respectiv la dreapta) în punctul de acumularex0 ⇔ există l s ∈ R (respectiv l d ∈ R) a. î. lim f(x)= l s ,(respectiv lim f(x) = l d ). x → x0 x → x0 x〈 x0 x〉 x0Definiţie: Fie f:D ⊆ R → R , x0 ∈ D un punct de acumulare.Funcţia f are limită în x0 ⇔ l s ( x0 ) = l d ( x0 )Proprietăţi:1. Dacă lim f(x) există, atunci această limită este unică.x → x0 lim f ( x) = l .2. Dacă lim f(x) =l atunci x → x0 x → x0 Reciproc nu. lim f ( x) = 0 ⇒ lim f ( x) = 03. Dacă x → x04. Fie f,g:D ⊆ R → R , ∃ U o vecinătate a lui x0 ∈ D astfelîncât f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ D ∩ U − {x0 } şi dacă existălim f ( x), lim g ( x) ⇒ lim f ( x) 〈 lim g ( x)x → x0 , x → x0 x → x0 x → x0 58
  59. 59. 5. Dacă f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) ∀ x ∈ D ∩ U − {x 0 } şi ∃ lim f ( x ) = lim h ( x ) = l ⇒ ∃ lim g ( x ) = l . x→x0 x→x0 x→x06. f ( x) − l ≤ g ( x) ∀ x ∈ D ∩ U − {x0 } şiDacă lim g ( x) = 0 ⇒ lim f ( x) = l7. Dacă lim f ( x) = 0 şi ∃M 〉 0 a.î. g ( x) ≤ M . ⇒ lim f ( x) ⋅ g ( x) = 0 Dacă f ( x) ≥ g ( x) şi lim g ( x) = +∞ ⇒ lim f ( x) = +∞.8. Dacă f ( x) ≤ g ( x) şi lim g ( x = −∞ ⇒ lim f ( x) = −∞.OPERAŢII CU FUNCŢIIDacă există lim f ( x) = l1 , lim g ( x) = l2 şi au l lsens operatiile l1 + l2 , l1 − l2 , l1 ⋅ l2 , 1 , l1 2 , l1 l2atunci:1. lim(f(x) ± g(x))= l1 ± l 2 .2. limf(x)g(x)= l1 ⋅ l 2 59
  60. 60. f ( x) l13.lim = g ( x) l 2 l4.lim f ( x) g ( x ) = l1 25.lim f ( x) = l1P(X)=a0xn + a1xn-1 + ……………..+an ,a0 ≠ 0 lim P( x) = a0 (±∞) nx ⎯ ±∞ ⎯→ 0, dacă q ∈ (− 1,1) x limx⎯⎯→ ∞ q = 1, dacă q=1 ∞, dacă q>1 nu dacă q ≤ −1 există, 60
  61. 61. ⎧ ⎪0, dacă p 〈 q ⎪ a0 ⎪ , dacă p = q a 0 ⋅ x + a1 ⋅ x + ....... + a p ⎪ b0 p p −1 ⎪lim q −1 =⎨ a0x → ∞ b0 ⋅ x + b1 ⋅ x + ..... + bq q ⎪∞ , dacă p 〉 q şi 〉 0 ⎪ b0 ⎪ a ⎪− ∞ , dacă p 〉 q şi 0 〈 0. ⎪ ⎩ b0 lim a =∞ lim ax = 0 xa>1 x⎯⎯→ ∞ x⎯⎯→ −∞a ∈ (0,1) lim a x =0 lim a x =∞ x⎯⎯→ ∞ x ⎯ −∞ ⎯→a>1 lim log x⎯⎯→ ∞ a x=∞ lim log x⎯⎯→ 0 a x = −∞a ∈ (0,1) lim log a x = −∞ lim log a x=∞ x⎯⎯→ ∞ x⎯⎯→ 0 sin x sin u ( x )limx⎯⎯→ 0 x =1 u x lim ( ) ⎯⎯→ 0 u ( x ) =1 tgx tgu ( x ) lim x⎯⎯→ 0 x =1 u x lim ( ) ⎯⎯→ 0 u ( x ) =1 arcsin x arcsin u ( x )limx⎯⎯→ 0 x =1 lim ( ) u x ⎯⎯→ 0 u (x ) =1 arctgx arctgu ( x )limx⎯⎯→ 0 x =1 lim ( ) u x ⎯⎯→ 0 u(x ) =1 1 1lim (1 + x )x⎯⎯→ 0 x =e lim (1 + u(x )) ( ) = e ( ) u x ⎯⎯→ 0 u x 61
  62. 62. x u(x ) ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞lim∞ ⎜1 + x ⎟ = ex⎯⎯→ ⎝ ⎠ lim ∞ ⎜1 + u (x ) ⎟ u(x ) ⎯ ⎜ ⎯→ ⎝ ⎟ ⎠ =0 ln (1 + x ) ln (1 + u ( x ))limx⎯⎯→ 0 x =1 lim ( ) u x ⎯⎯→ 0 u (x ) =1 a x −1 au( x) − 1limx⎯⎯→ 0 x = ln a lim 0 u(x ) = ln a u(x ) ⎯ ⎯→ (1 + x )r − 1 = r (1 + u (x ))r − 1 = rlimx⎯⎯→ 0 x lim 0 u (x ) u(x ) ⎯⎯→ u (x ) k xklim∞ a x = 0x⎯⎯→ lim ∞ a u ( x ) = 0 u(x ) ⎯⎯→ ln x ln u (x )limx⎯⎯→ ∞ xk =0 lim u (x ) ( ) u x ⎯⎯→ ∞ k =0 62
  63. 63. 16. FUNCŢII CONTINUEDEFINIŢIE. O funcţie f : D ⊂ R → R se numeşte continuă înpunctul de acumulare x0 ∈D ⇔ oricare ar fi vecinătatea V a lui f(x0) ,există o vecinătate U a lui x0, astfel încât pentru orice x ∈ U ∩ D ⇒ f(x) ∈ V.DEFINIŢIE. f : D ⊂ R → R este continuă în x0 ∈ D ⇔ f are limită înx0 şi lim f(x) = f(x0)sau ls (x0 ) = ld (x0 ) = f(x0).x0 se numeşte punct de continuitate.Dacă funcţia nu este continuă în x0 ⇒ f.se numeşte discontinuă în x0şi x0 se numeşte punct de discontinuitate. Acesta poate fi: - punct de discontinuitate de prima speţă dacă ls (x0 ), ld (x0 )finite, dar ≠ f(x0); - punct de discontinuitate de a doua speţă dacă cel puţin olimită laterală e infinită sau nu există.DEFINIŢIE. f este continuă pe o mulţime ( interval) ⇔ estecontinuă în fiecare punct a mulţimii ( intervalului). • Funcţiile elementare sunt continue pe domeniile lor dedefiniţie. Exemple de funcţii elementare: funcţia constantă c, funcţiaidentică x, funcţia polinomială f(x) = a0xn + a1xn-1 + .......an , funcţiaraţională f(x)/g(x), funcţia radical n f ( x) , funcţia logaritmică logf(x), funcţia putere xa, funcţia exponenţială ax, funcţiiletrigonometrice sin x, cos x, tg x, ctg x. PRELUNGIREA PRIN CONTINUITATE A UNEI FUNCŢIIÎNTR-UN PUNCT DE ACUMULAREDEFINIŢIE. Fie f : D ⊂ R → R. Dacă f are limital ∈ R în punctul de acumulare x0 ∉ D ⇒ ⎧ f ( x), x ∈ D f: D ∪ { x0} →R, f(x) = ⎨ ⎩l , x = x0 63
  64. 64. este o funcţie continuă în x0 şi se numeşte prelungirea princontinuitate a lui f în x0. OPERAŢII CU FUNCŢII CONTINUET1. Dacă f,g:D→R sunt continue în x0( respectiv pe D) atunci f+g, αf, f•g,f/g, fg, fsunt continue în x0 ( respectiv pe D); α ∈ R, g ≠ 0.T2. Dacă f:D→R e continuă în x0 ∈D ( respectiv pe D) ⇒ f (x) econtinuă în x0 ∈ ( respectiv pe D).Reciproca nu e valabilă.T3. Fie f:D→R continuă în în x0 ∈A şi g:B →A continuă în x0 ∈B,atunci g•f e continuă în x0 ∈A. lim f( g (x) = f( lim g(x)) x→x0 x→x0Orice funcţie continuă comută cu limita.PROPRIETĂŢILE FUNCŢIILOR CONTINUE PE UN INTERVALLEMĂ. Dacă f este o funcţie continuă pe un interval [ a,b] şi dacă arevalori de semne contrare la extremităţile intervalului( f(a) • ( f(b) <0 ) atunci există cel puţin un punct c ∈ ( a,b) astfel încât f(c) = 0. • Dacă f este strict monotonă pe [ a,b] ⇒ ecuaţia f(x) = 0 arecel mult o rădăcină în intervalul ( a, b).f este strict monotonă ⇔ f: I →J - continuă f(I) =J - surjectivă f - injectivăOrice funcţie continuă pe un interval compact este mărginită şi îşiatinge marginile. 64
  65. 65. STABILIREA SEMNULUI UNEI FUNCŢIIPROP. O funcţie continuă pe un interval, care nu se anulează peacest interval păstrează semn constant pe el.DEFINIŢIE. Fie f : I ⊂ R → R ( I = interval) f are proprietatea luiDarboux. ⇔ ∀ a,b ∈ I cu a < b şi ∀ λ ∈ ( f(a), f(b)) sau λ ∈ ( f(b),f(a)) ⇒∃ c ∈ ( a,b), a.î. f(c) = λ.TEOREMĂ. Orice funcţie continuă pe uninterval are P.D.Dacă f :I → R are P.D. atunci ⇒ f( I) e interval.( Reciproca e în general falsă). CONTINUITATEA FUNCŢIILOR INVERSET1. Fie f : I ⊂ R → R o funcţie monotonă a.î.f( I) e interval. Atunci f este continuă.T2. Orice funcţie continuă şi injectivă pe uninterval este strict monotonă pe acest interval.T3. Fie f : I → R, I, J ⊂ R intervale.Dacă f e bijectivă şi continuă atunci inversa saf-1 e continuă şi strict monotonă. 65
  66. 66. 17. DERIVATEFUNCŢIA DERIVATA C 0 x 1 xn nxn-1 xa axa-1 ax a x lna ex ex 1 1 - x x2 1 n - n+1 xn x 1 x 2 xn 1 x n n x n −1sin x cosxcos x -sinx 1tg x cos 2 x 1ctg x - 2 sin x 1arcsin x 1− x2 66
  67. 67. 1arccos x - 1− x2 1arctg x 1+ x2 1arcctg x - 1+ x2 1lnx x 1log a x x ln a(uv)’ = v. uv-1.u’ + uv.v’.lnu a b ax + b c d f(x)= f’(x)= cx + d ( cx + d ) 2 REGULI DE DERIVARE (f.g)’=f’g+fg’ (χf ) = χf ⎛ f ⎞ f g − fg ⎜ ⎟= ⎜g⎟ ⎝ ⎠ g2 ( f ) ( f ( x )) = −1 0 1 f ( x0 ) 67
  68. 68. 18. STUDIUL FUNCŢIILOR CU AJUTORUL DERIVATELORProprietăţi generale ale funcţiilor derivabile .1.Punctele de extrem ale unei funcţii. Fie Ι un interval şi f:Ι → R.Definiţie. Se numeşte punct de maxim (respectiv de minim)(local) alfuncţiei f , un punct a ∈ Ι pentru care există o vecinătate V a lui aastfel încât f ( x ) ≤ f (a )(respectiv. f (x )) ≥ f (a )∀ x ∈ V.• Un punct de maxim sau de minim se numeşte punct de extrem.• a se numeşte punct de maxim(respectiv de minim) global dacă f ( x ) ≤ f (a )(resp. f ( x ) ≥ f (a )) . ∀ x ∈ Ι.Obs.1.O funcţie poate avea într-un interval mai multe puncte deextrem.(vezi desenul).Obs.2.O funcţie poate avea într-un punct a un maxim (local), fără aavea în a cea mai mare valoare din interval.(vezi desenul f (a ) < f (c ) ). (a, f (a)), (c, f (c)) -puncte de maxim(b, f (b),)(d, f (d)) -puncte de minim 68
  69. 69. TEOREMA LUI FERMAT 0Dacă f este o funcţie derivabilă pe un interval Ι si x0 ∈ I un punctde extrem,atunci f ( x0 ) = 0 . Interpretare geometrică:• Deoarece f ( x0 ) = 0 ⇒ tangenta la grafic în punctul (x 0 , f ( x0 ))este paralelă cu OX.Obs.1. Teorema este adevărată şi dacă funcţia este derivabilă numaiîn punctele de extrem.Obs.2. Condiţia ca punctul de extrem x0 să fie interior intervaluluieste esenţială.(dacă ar fi o extremitate a intervalului I atunci s-ar putea ca f ( x0 ) ≠ 0 ). Ex. f ( x ) = x.Obs.3. Reciproca T. lui FERMAT nu este adevărată.(se pot găsifuncţii astfel încât f ( x0 ) = 0 dar x0 să nu fie punct de extrem).• Soluţiile ecuaţiei f ( x ) = 0 se numesc puncte critice . Punctele deextrem se găsesc printre acestea.• Teorema lui Fermat dă condiţii suficiente (dar nu si necesare)pentru ca derivata într-un punct să fie nulă.O altă teoremă care dă condiţii suficiente pentru ca derivata să seanuleze este : 69
  70. 70. TEOREMA LUI ROLLE.Fie f : I → R, a, b ∈ I, a < b. Dacă:1. f este continuă pe [a,b];2. f este derivabilă pe (a, b ) ;3. f (a ) = f (b ), atunci ∃ cel puţin un punct c ∈ (a, b ) a.î f (c ) = 0.INTEPRETAREA GEOMETRICADacă funcţia f are valori egale la extremităţile unui interval[a,b], atunci există cel puţin un punct în care tangenta este paralelăcu axa ox .Consecinţa 1. Între două rădăcini ale unei funcţii derivabile se aflăcel puţin o rădăcină a derivatei.Consecinţa 2. Între două rădăcini consecutive ale derivatei se aflăcel mult o rădăcină a funcţiei.TEOREMA LUI LAGRANGE (sau a creşterilor finite) Fie f : I → R,I (interval, a, b ∈ I, a < b. Dacă:1. f este continuă pe [a, b] 70
  71. 71. 2. f este derivabilă pe (a,b ), atunci există cel puţin un punctc ∈ (a, b ) a.î să avem f (b ) − f (a ) = f (c ). b−aINTERPRETAREA GEOMETRICĂDacă graficul funcţiei f admite tangentă în fiecare punct(cu excepţiaeventual,a extremităţilor) există cel puţin un punct de pe grafic(carenu coincide cu extremităţile), în care tangenta este paralelă cu coardacare uneşte extremităţile. f (b ) − f (a )tgα = tangenta la grafic în M are coeficientul. b−aunghiular f (c ) dar f (b ) − f (a ) f (c ) = b−aObs.1. Daca f (a ) = f (b ) ⇒ Teorema lui Rolle.Consecinţa 1. Dacă o funcţie are derivata nula pe un interval,atunciea este constanta pe acest interval.• Dacă o funcţie are derivata nula pe o reuniune disjuncta deintervale proprietate nu mai rămâne adevărată în general. ⎧1, x ∈ (0,1)Expl. f : (0,1) ∪ (2,3) f ( x ) = ⎨ ⎩2, x ∈ (2,3) 71
  72. 72. Consecinţa 2. Dacă f si g sunt două funcţii derivabile pe uninterval I şi dacă au derivatele egale f = g atunci ele diferăprintr-o constantă. f − g = c. c ∈ R• Dacă f si g sunt definite pe o reuniune disjunctă de intervale,proprietatea e falsă în general. Expl. f ( x ) = tgx ⎧ ⎛ π⎞ ⎪tgx + 1, x ∈ ⎜ 0, 2 ⎟ ⎪ ⎝ ⎠, g (x ) = ⎨ ⎪tgx − 1, x ∈ ⎛ π π ⎞ ⎜ ⎟ ⎪ ⎩ ⎝2 ⎠Consecinţa 3.Daca f ( x ) > 0 pe I ⇒ f e strict crescătoare pe I.Daca f ( x ) < 0 pe I ⇒ f e strict descrescătoare I. −Consecinţa 4. f : i → R, x0 ∈ I Daca f s ( x0 ) = f d ( x0 ) = l ∈ R .⇒ f are derivata în x0 şi = f ( x 0 ).Dacă l < ∞ ⇒ f e derivabila in x0 .Consecinţa 5.Daca f ( x ) ≠ 0 pe I ⇒ f păstrează semn constant peI. ETAPELE REPREZENTĂRII GRAFICULUI UNEI FUNCŢII1. Domeniul de definiţie;2. Intersecţia graficului cu axele de coordonate :Intersectia cu axa Ox conţine puncte de forma{x,0},unde x esteo rădăcină a ecuaţiei f(x)=0 {daca există}.Intersecţia cu axa Oy este un punct de forma {0,f{0}} {dacăpunctul 0 aparţine domeniului de definitie}3. Studiul continuităţii funcţiei pe domeniul de definiţie : 72

×