Este documento presenta conceptos fundamentales de la estática, incluyendo definiciones de longitud, tiempo, masa, fuerza, partícula y cuerpo rígido. Explica las tres leyes del movimiento de Newton, la ley de la gravitación universal de Newton, y los principios básicos de la estática como la transmisibilidad. También describe la ubicación de la estática dentro de la mecánica y conceptos clave como análisis vectorial, fuerzas y sus componentes.

1. ESTATICA
1. CONCEPTOS BASICOS, LEYES,
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES Y
UBICACION DE LA ESTATICA DENTRO
DE LA MECANICA
A. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA ESTÁTICA
Antes de comenzar nuestro estudio de la mecánica es importante
entender el significado de ciertos conceptos y principios fundamentales.
CANTIDADES BÁSICAS:Daremos mención a algunas cantidades que
se usan en toda la mecánica.
 LONGITUD:La longitud es necesaria para localizar la posición de un
punto en el espacio y así describir el tamaño de un sistema físico.
Una vez definida una cantidad estándar de longitud podemos
establecer
cuantitativamente
distancias
y
propiedades
geométricas de un cuerpo como múltiplos de la longitud unitaria.
 TIEMPO: Es concebido como una sucesión de eventos. Aunque los
principios de la estática son independientes del tiempo esta
cantidad juega un papel importante en el estudio de la dinámica.
 MASA:Es una propiedad de la materia por medio de la cual es
posible comparar la acción de un cuerpo con la de otro. Esta
propiedad se manifiesta como una atracción gravitatoria entre 2
cuerpos y proporciona una medida cuantitativa de la resistencia
del material a cambios de la velocidad.
 FUERZA: La fuerza es considerada como un “empuje “o un “jalón”
ejercido por un cuerpo sobre otro. Esta interacción puede ocurrir
cuando existe contacto directo entre los cuerpos, cuando una
persona empuja una pared, o a través de una distancia cuando
los cuerpos están físicamente separados. Ejemplos del último tipo
incluyen las fuerzas gravitatorias, eléctricas y magnéticas. En todo
caso, una fuerza se caracteriza completamente por medio de su
magnitud, dirección y su punto de aplicación.

2.  PARTICULA: Una partícula tiene masa pero un tamaño que puede
ser ignorado. Por ejemplo el tamaño de la tierra es insignificante
comparado con su órbita y por lo tanto la tierra puede ser
modelada como una partícula al estudiar su movimiento orbital.
CUERPO RIGIDO:
Es una idealización de la estática, es aquel cuerpo que ante la acción
de la carga, una fuerza no se deforma y si ocurre son tan pequeñas que
se desprecian.
Este concepto nace a partir ante la acción de una sobre un cuerpo y
sostiene que ese no sufra deformación alguna pero en realidad todo
cuerpo se deforma cierta cantidad, resulta que este en muchos casos
es muy pequeño que no afecta el análisis deseado, resultando que los
cálculos se simplifiquen.
Permite encontrar las reacciones que equilibren el cuerpo.
w
P
A
B
d
L
B
A
Deformación

3. FUERZA CONCENTRADA:
Se considera como tal cuando una finita actúa sobre un cuerpo
rígido o no, su defecto se transmite a través de un área infinitesimal,
es decir que el área real de contacto es muy pequeña. Puede
afirmar que la fuerza concentrada es una simplificación de las
fuerzas distribuidas.
L
Pto de Contacto
W2
W1
1
L1
L2
L
L

4. CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
CANTIDADES ESCALARES :Son aquellas que están indicadas por
su magnitud(un numero).
Ejemplo:
Longitud =30 m
Temperatura =55ºc
peso = 50 kg
CANTIDADES VECTORIALES:Son aquellas que entran referidas a
un eje referencial de coordenadas.
F=210 Kg
θ
MAGNITUD:
DIRECCION: θRespecto a eje
x.
SENTIDO: indicado por la
cabeza de la flecha.

5. B. LEYES DE LA ESTATICA
LAS TRES LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON
Todo el tema de la mecánica del cuerpo rígido esta formulado con
base en las tres leyes del movimiento de newton, cuya validez se basa
en la observación experimental.
Estas leyes se aplican al movimiento de una partícula medido desde un
marco de referencia no acelerado. Con relación a la figura (a), las leyes
del movimiento de newton pueden ser enunciadas brevemente como
sigue.
PRIMERA LEY:Una partícula originalmente en reposo, o que se mueve
en línea recta con velocidad constante, permanecerá en este estado
siempre que no esté sometida a una fuerza que no está balanceada.
F
F2
V
F3
EQUILIBRIO

6. SEGUNDA LEY:Una partícula sobre la que actúa una fuerza
desbalanceada experimenta una aceleración a que tiene el mismo
sentido que la fuerza y una magnitud que es directamente proporcional
a la fuerza. Si es aplicada a una partícula de masa m. Esta ley puede
expresarse matemáticamente como:
a
F
MOVIMIENTO ACELERADO
TERCERA LEY:También conocida como la ley de acción y reacción. La
tercera ley de newton establece lo siguiente:”En una interacción surgen
un par de fuerzas conocidas como fuerzas de acción y reacción, las
cuales son de igual modulo, actúan sobre una misma línea recta (sobre
una misma línea de acción) y presentan direcciones contrarias.
La validez de la tercera ley de newton no se restringe solo a cuerpos o
sistemas en equilibrio, por lo contrario es válida en toda la interacción
este o no el sistema en equilibrio.
FUERZA DE A SOBRE B
F
F
ACCION - REACCION
FUERZA DE B SOBRE A

7. LEY DE LA ATRACCION GRAVITATORIA DE NEWTON
Poco después de formular sus tres leyes del movimiento Newton postulo
una ley que gobierna la atracción gravitatoria entre dos partículas
cualesquiera. Enuncia matemáticamente resulta en:
Donde:
De acuerdo con la ecuación, dos partículas o cuerpo cualesquiera
tienen una fuerza (gravitatoria) de atracción mutua que actúa entre
ellas. Sin embargo, en el caso de una particula localizada en o cerca
de la superficie de la tierra, la única fuerza gravitatoria de cierta
magnitud es aquella que esta entre la tierra y la particula. Por ello ,esta
fuerza llamada peso será la única fuerza gravitatoria que consideremos
en el estudio de la mecánica.
Y a partir de esta ecuación podemos desarrollar una expresión
aproximada para encontrar el peso de W de una particula de masa
m1= m. Si suponemos que la tierra es una esfera sin rotación de
densidades constantes y una masa m2= Me , entonces , si r es la
distancia del centro de la tierra y la particula tenemos :
Haciendo
resulta :
Por comparación con F= m.a denominamos a g a la aceleración
debida a la gravedad. Como la aceleración depende de r ,puede
verse que el peso de un cuerpo no es una cantidad absoluta, sino que
su magnitud se determine desde donde es hecha la medición.

8. C. PRINCIPIOS BASICOS FUNDAMENTALES DE LA
ESTATICA
EL PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD.
Establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de un
cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza que actúa en un
punto del cuerpo rígido se sustituye por una fuerza de la misma
magnitud y la misma dirección, pero que actue en un punto diferente,
siempre que las dos fuerzas tengan la misma línea de acción
D. UBICACIÓN DE LA ESTÁTICA DENTRO DE LA
MECÁNICA.
La mecánica puede ser definida como la rama de la física que trata
acerca del estado de reposo o movimiento de cuerpos que están
sometidos a la acción de fuerzas. En general, este tema se subdivide en
tres ramas: mecánica de cuerpos rígidos, mecánica de cuerpos
deformables y mecánica de fluidos. Además, lamecánica de cuerpos
rígido proporciona parte de la base necesaria para el estudio de la
mecánica de los cuerpos deformables y la mecánica de fluidos.
La mecánica de cuerpo rígido se divide en dos áreas: estática y
dinámica. La estática trata sobre el equilibrio de los cuerpos, esto es,
aquellos que están en reposo o se mueven con velocidad constante;
mientras que la dinámica trata con el movimiento acelerado de los
cuerpos. Aunque la estática puede ser considerada como un caso
especial de la dinámica ,en el sentido de que la aceleración es cero
,merece un tratamiento especial en la enseñanza de la ingeniería ya
que muchos objetos son diseñados con la intención de que
permanezcan en equilibrio.

9. 2. ANALISIS VECTORIAL:
a) ¿QUE ES UN VECTOR?
Se llama vector a todo segmento dirigido que tiene magnitud, dirección
y sentido y que sirve para representar a las cantidades vectoriales.La
magnitud o módulo viene a ser el tamaño propiamente dicho del
vector.
La dirección viene a ser la recta que contiene al vector, y su sentido
queda expresado por la orientación de la flecha.
Se acostumbra representar un vector por un segmento de recta.
Características que representa un vector:
a) Magnitud.- es un módulo o tamaño.
A=5u
Magnitud
b) Dirección.- La dirección da la línea de acción especificada por
el ángulo, medido desde el eje horizontal hasta el vector.
Y
A
β
O
X

10. c) Sentido.- Indicado por la cabeza de la flecha.
A
b) ¿QUE ES UNA FUERZA?
Una fuerza es una acción mecánica ejercida por un cuerpo físico sobre
otro. Es toda acción que tiende a alterar el estado de reposo de un
acuerpo al cual se aplica.
- Presión atmosférica
- Gas en recipiente
- cuerpo sumergido
- Fuerzas sísmicas
- Fuerzas gravitatorias
- Campo eléctricos
- Fuerzas de rozamiento
B
B
Fuerza ejercida
W (Peso)
W

11. ELEMENTOS COMPONENTES DE UNA FUERZA
Y
5
3
F=315Kg
α
X
Línea de Acción
-Magnitud:
-Direccion:
= 315kg ; 5Tn
)
= arccos(
59.04
-Linea de acción: Linea que contiene a la donde su efecto es el
mismo (es una RECTA)
La línea de acción de una fuerza es la recta en el plano o en el
espacio que pasa por su punto de aplicación y tiene la misma
dirección que la fuerza a lo largo de la cual tiende a desplazarse.
COMPONENTES RECTANGULARES U ORTOGONALES DE UNA FUERZA.
Los sistemas de ejes coordenados son perpendiculares por lo tanto las
componentes de la
son perpendiculares. Son aquellas que están
expresadas por sus vectores unitarios
Z
Fz
F
Fy
Y

12. Fx
F´=
DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA EN SUS COMPONENTES
Se ha visto que dos o más fuerzas que actúan sobre una partícula pueden sustituirse por una sola fuerza que produce el mismo efecto sobre la
partícula. De la misma manera, una sola fuerza F que actúa sobre una
partícula puede reemplazarse por dos o más fuerzas que produzcan
juntas el mismo efecto sobre la partícula. A estas fuerzas se les llama
componentes de la fuerza original F. y al proceso de sustituirlas en lugar
de F se le llama descomposición de la fuerza F en sus componentes.
En este sentido, para cada fuerza F existe un número infinito de
conjuntos de componentes. Los conjuntos de dos componentes P y Q
son los más importantes en cuanto a aplicaciones prácticas se refiere.
Pero aun en este caso, el número de formas en las que una fuerza F
puede descomponerse en sus componentes es ilimitado (figura 2.15).
Dos casos son de especial interés:
Una de las dos componentes, P. se conoce. La segunda componente, Q, se obtiene aplicando la regla del triángulo y uniendo la
punta de P a la punta de F (figura 2.16); la magnitud, la dirección y el
sentido de Q se determinan gráficamente o por trigonometría. Una vez
que Q se ha determinado, ambas componentes P y Q deben aplicarse
en A.

Se conoce la línea de acción de cada una de las componentes.
La magnitud y el sentido de las componentes se obtiene al aplicar la ley
del paralelogramo y trazando líneas, por la punta de F, paralelas a las
líneas de acción dadas (figura 2.17). De esta forma se obtienen dos
componentes bien definidas P y Q, que pueden determinarse
gráficamente o por trigonometría aplicando la ley de los senos.


13. COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA FUERZA
En muchos problemas será conveniente descomponer una fuerza en sus
dos componentes perpendiculares entre sí. En la, la fuerza F se ha
descompuesto en una componente FX a lo largo del eje .X y una
componente FY a lo largo del eje Y. El paralelogramo trazado para
obtener las dos componentes es un rectángulo, y las fuerzas FX y FY se
llaman componentes rectangulares.
Los ejes x y y suelen elegirse a lo largo de las direcciones horizontal y
vertical, respectivamente, como se muestra en la figura; sin embargo,
pueden seleccionarse en cualesquiera otras dos direcciones
perpendiculares, tal corno indica la. Para determinar las componentes
rectangulares de una fuerza debe pensarse que las líneas de
construcción mostradas en las figuras 2.18 y 2.19 son paralelas a los ejes
x y y en lugar de perpendiculares a ellos. Esta práctica ayudará a evitar
errores en la determinación de componentes oblicuas.

14. REPRESENTACION DEL VECTOR FUERZA EN EL ESPACIO:
En el espacio se utiliza tres ángulos denominados ángulos directores,
para determinar la dirección del vector.
z
az
P
a
ay
O
ax
Q
x
Los Cosenos Directores:
Los Ángulos Directores:
,
y

15. Además hay una relación entre estos cosenos directores:
Cos2θx + Cos2θy +Cos2θz=1
EFECTO INTERNO Y EXTERNO DE UNA FUERZA
ESFUERZOS Y CONVENCIONES:
Las fuerzas exteriores (cargas y reacciones) producen en todo elemento
estructural deformaciones que pueden provocar la falla del mismo.
Internamente la estructura se debe oponer a esas deformaciones para
estar en equilibrio. Son los esfuerzos internos y son de tres tipos:
MOMENTO FLECTOR (M)
Se produce en la viga una rotación en los apoyos por efecto de las
fuerzas perpendiculares al eje de la viga (cargas y reacciones)
originando una curvatura del eje longitudinal.
Es el efecto de FLEXION que produce que las fibras superiores tiendan a
acortarse (COMPRESION) y las inferiores a alargarse (TRACCION). A este
efecto se le debe oponer un momento de giro interno de igual
magnitud que el momento externo M para compensar.
ESFUERZO DE CORTE VERTICAL (Q)
Se produce un efecto de deslizamiento relativo entre las secciones
debido a la diferencia entre las direcciones de las fuerzas (carga y
reacción) que actúan en forma perpendicular al eje de la viga.

16. ESFUERZO DE CORTE HORIZONTAL
La deformación por flexión provoca desplazamientos de las fibras
horizontales.
ESFUERZO AXIAL (N)
Se produce el efecto de alargamiento (TRACCION) o acortamiento
(COMPRESION) de las fibras cuando las fuerzas que actúan son
paralelas al eje del elemento estructural.

17. OPERACIONES CON FUERZAS EN AL PLANO Y
EN EL ESPACIO
1.- OPERACIONES DE FUERZAS EN EL PLANO:
 SUMA DE VECTORES
Los vectores se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo y
a partir de la ley del paralelogramo se puede obtener otro método para determinar la suma de dos vectores. Este método
llamado regla del triangulo se obtiene como sigue: considérese la
figura 2.6, donde la suma de los vectores P y Q ha sido
determinada por la ley del paralelogramo. Puesto que el lado del
paralelogramo opuesto a Q es igual a Q en magnitud y dirección,
se podría dibujar sólo la mitad del paralelogramo (figura 2.7a).
2.1b se considera la otra mitad del paralelogramo y se obtiene el
mismo resultado. Esto confirma el hecho de que la suma vectorial
es conmutativa.
a). METODO GRAFICO:
 METODO DEL TRIANGULO:
De esta manera, la suma de los dos vectores puede encontrarse
colocando A y B de punta a cola // uniendo la cola de A con la punta
de B. En la figura
B
A
C

18.  METODO DEL PARALELOGRAMO:
Con este método la suma de dos vectores A y B se obtiene
uniendo los dos vectores al mismo punto y construyendo un
paralelogramo que tenga por lados a Aa B. La diagonal
representa la suma vectorial de A y B, y se representa por A + B. El
hecho de que el signo + se use para representar tanto la suma
vectorial como la escalar no debe causar ninguna confusión, si las
cantidades vectoriales y escalares siempre se distinguen con
cuidado. De esta manera, se debe notar que la magnitud del
vector A + B no es, en general, igual a la suma A + B de las magnitudes de los vectores A y B.
Puesto que el paralelogramo construido con los vectores A v B no
depende del orden en que A y B se seleccionen, se concluye que
la adición de dos vectores es conmutativa, y se escribe
A+B=A+B
θ
MÓDULO:
LEY DE COSENOS:

19. LEY DE SENOS:
b. METODO ANALITICO(VECTORIALMENTE)
Sean los vectores
La suma se define como:
 RESTA DE VECTORES
La resta de un vector se define como la adición del vector negativo correspondiente. De manera que el vector A - B que
representa la diferencia de los vectores A y B se obtiene
agregándole a B el vector negativo -B. Se escribe
A - B= A+ (-B)
Aquí se debe observar otra vez que aunque se usa el mismo signo
para representar tanto la sustracción vectorial como la escalar, se
evitarán confusiones si se tiene cuidado en distinguir entre
cantidades vectoriales y escalares.

20.  METODO GRÁFICO
Sean los vectores
A
B
Cambiando el sentido del vector
-B
A
 MÉTODO ANALÍTICO(vectorialmente)
Sean los vectores:
La resta se define como:
Del mismo modo se considerará la suma de tres o más vectores.
Por ejemplo la suma de tres vectores P. Q y S se obtendrá por
definición. Sumando primero los vectores P y Q y agregando el
vector S al vector P + Q. De manera que P + Q + S = (P + Q) + S. En
forma semejante, la suma de cuatro vectores se obtiene
agregando el cuarto vector a la suma de los tres primeros. Por
consiguiente, la suma de cualquier número de vectores se puede
obtener al aplicar en forma repetida la ley del paralelogramo a
pares sucesivos de vectores, hasta que todos los vectores sean
sustituidos por uno solo.

21. En forma breve,
RX = ∑F,
RY = ∑FY
Por tanto, se puede concluir que las componentes escalares RX y RY de
la resultante R de varias fuerzas que actúan sobre una partícula se obtienen separando de manera algebraica las correspondientes componentes escalares de las fuerzas dadas.
PRODUCTO ESCALAR:
Como es conveniente representar la suma P + P como 2P. A la suma P +
P + P como 3P, y en general a la suma de n vectores P iguales como el
producto nP. Se definirá el producto nP de un entero positivo n y un
vector P. como un vector que tiene la misma dirección que P y
magnitud nP (léase n veces P), se define el producto kP de un escalar k
y un vector P como un vector que tiene la misma dirección y sentido
que P (si k es positivo), o la misma dirección pero sentido opuesto al de P
(si k es negativo) y una magnitud igual al producto de P y el valor
absoluto de k.
El producto escalar de dos vectores da como resultado un ESCALAR.
Donde:
Propiedades:
1.
2.
3.

22. Restricciones:
Ejemplo:
Sean los vectores:
El producto escalar se expresa de la siguiente manera:
ADICIÓN DE FUERZAS CONCURRENTES EN EL ESPACIO
La resultante R de dos o más fuerzas en el espacio se calcula sumando
sus componentes rectangulares. Los métodos gráficos o trigonométricos
no son muy prácticos en el caso de fuerzas en el espacio.
El método seguido aquí es semejante al empleado con fuerzas
coplanares. Se establece que
R = ∑F
Se descompone cada fuerza en sus componentes rectangulares y se escribe
RX i+RY j + RZ k = ∑(FX i+FY j + FZk)
= (∑FX )i + (∑FY )j +(∑FZ)k

23. De la cual se desprende que:
RX =∑FXRY =∑FYRZ=∑FZ
La magnitud de la resultante y los ángulos directores se obtiene por:
PRODUCTO VECTORIAL
z
k
O
j
y
i
x
El Producto vectorial de dos vectores da como resultado un tercer
vector, cuya dirección es perpendicular al plano determinado ambos
vectores, el sentido es el que proporciona la regla del tornillo (regla de
la mano derecha). Es decir el primer vector gira sobre el segundo.
El tercer vector se obtiene con la siguiente expresión

24. Donde
θ = Angulo que forman los vectores A y B
= tiene la msima dirección y sentido que (A x B)
Propiedades
1)
2)
3)
4)
RESTRICCIONES
Î x Î=0
Î x ĵ=k
Î x k=-ĵ
Ĵ x î=-k
Ĵ x ĵ=0
ĵ x k= î
K x î= ĵ
k x ĵ= -î
K x k= 0
Sean los vectores
A= Axî + Ayĵ + Azk
y
B= Bxî + Byĵ + Bzk
El producto vectorial se expresa mediante la determinante:
= (
) –(
) +(
)k

25. SIGNIFICADO GEOMETRICO
El modulo del producto vectorial
paralelogramo definido por ambos vectores.
equivale
Área del plano
A =
axb
b
h
a
bx a
Área del triangulo
A =
axb
b
h
a
bx a
S
S
al
área
del

26. TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
El trile producto escalar llamado producto mixto
Sirve para hallar el volumen definido por las aristas del paralelepípedo:
Vol =
PROPIEDADES
1)
2) La condición necesaria y suficiente para que tres vectores sean paralelos a
un mismo plano es que el producto triple escalar será nulo.
TRILE PRODUCTO VECTORIAL
El triple producto vectorial se define de la siguiente manera:

27. 4. EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA
EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA EN EL
PLANO
Si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es
cero, la partícula se encuentra en equilibrio.
Una partícula sometida a la acción de dos fuerzas estará en equilibrio si
ambas fuerzas tienen la misma magnitud, la misma línea de acción,
pero sentidos opuestos. Entonces la resultante de las dos fuerzas es cero.
100N
A
100N
Otro caso de una partícula en equilibrio se muestra en la siguiente figura
donde aparecen cuatro fuerzas que actúan sobre A
F4=400N
30
F1=300N
A
30
F3=200N
F2=173.2N

28. La resultante de las fuerzas dadas se determina por la regla del
polígono. Empezando en el punto O con F1 y acomodando las fuerzas
punta a cola, se encuentra que la punta de F4 coincide con el punto
de partida O. así que la resultante R del sistema de fuerzas dado es cero
v la partícula está en equilibrio.
O
F1
F2
F4
F3
EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA EN EL ESPACIO
Una partícula A está en equilibrio si la resultante de todas las fuerzas que
actúan sobre A es cero. Las componentes Rx, Ry y Rz de la resultante
están dadas por las relaciones
al expresar que las componentes de la resultante son cero, se escribe
=0
=0
= 0 …… (II)
Las ecuaciones dadas representan las condiciones necesarias y suficientes para lograr el equilibrio de una partícula en el espacio. Estas
ecuaciones pueden usarse para resolver problemas que tratan con el
equilibrio de una partícula y en los que intervienen no más de tres incógnitas.
Para resolver tales problemas, se traza un diagrama de cuerpo libre
donde se muestre a la partícula en equilibrio y todas las fuerzas que
actúan sobre ella. Deben escribirse las ecuaciones de equilibrio (II) y

29. despejar las tres incógnitas. En los tipos de problemas más comunes,
esas incógnitas representan 1) las tres componentes de una sola fuerza
o 2) la magnitud de tres fuerzas, cada una con dirección conocida.
5. MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN
PUNTO Y A UN EJE.
MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN
PUNTO
DEFINICION: es un vector cuya magnitud es igual al producto de la
magnitud de la fuerza por la distancia “d” perpendicular comprendida
desde el centro de momentos “O” hasta la línea de acción de la fuerza
.
Centro del M
A
d
Plano Q
Línea de acción de
 MODULO: es la expresión escalar de
.
D: distancia perpendicular desde el centro de
momentos a la línea de acción .
El efecto de momento de una fuerza es una medida de la
tendencia de la fuerza para producir una rotación o giro
alrededor de un punto fijo al cuerpo sobre el que actúa.
 DIRECCION: la dirección de
dela mano derecha”
será especificado usando la “regla

30. : Vector unitario perpendicular al plano formado entre le centro del
momento y la fuerza .
EXPRESION VECTORIAL DE
o
d
α
α
……………(1)

31. …………. (2)
SE IGUALA (1) Y (2)
=
…………...(a)
……………(b)
……………(c)
LAS ECUACIONES (a), (b) y (c) SON LAS COMPONENTES ESCALARES DEL
VECTOR
RESPECTO AL PUNTO “O”
MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE
Consiste en analizar el efecto giratorio o rotacional respecto a un eje L
de la componente de la fuerza que es perpendicular a dicho eje y
vienen dado por la expresión:
: Momento de
respecto a O ; punto del eje
: Vector unitario del eje L
Eje fijo L
A
O
Plano Q

32. El momento de una fuerza respecto a un punto L, está definido como
el momento de la proyección de la fuerza sobre cualquier plano
perpendicular al eje respecto al punto de intersección del plano con el
eje.
6. TEOREMA DE VARIGNON
TEOREMA DE VARIGNON RESPECTO A UN PUNTO
Es aplicable cuando tenemos un sistema de fuerzas concurrentes
“El momento de la resultante de un sistema de fuerzas concurrentes
respecto a un punto cualquiera A, es igual a la suma de los momentos
respecto al mismo punto A”
:Vector posición desde el pto.A
(centro de momentos) hasta el pto.P
( pto. concurrencia)
z
y
x
P

33. TEOREMA DE VARIGNON RESPECTO A UN EJE
La suma algebraica de los momentos de cualquier sistema de fuerzas
concurrentes respecto a un eje es igual al momento de la resultante
respecto al mismo eje L
eL
P
Eje L

34. EJERCICIOS
Ejercicio 1:
La puerta batiente se mantiene en la posición mostrada en la figura,
por medio de dos
cables AB y AC y,
además, por las
bisagras mostradas.
Si las tensiones en los
cables son
T1 =30lb y T2 = 90lb
a)
b)
La magnitud de
El momento de la
respecto al punto
. Determinar:
la fuerza resultante
fuerza tensional T1
C
Solución:
a) Determinamos las coordenadas de los puntos A, B y C, de acuerdo a
la figura 1.27
A (2; 0; 4)
B (5; 2,819; 1,026)
C (0; 2,819; 1,026)

36. :
Ejemplo2:
Calcular el momento de la fuerza
aplicada en el
punto (3, 1, 1) respecto a la recta definida por los puntos (2, 5, -2)y (3, -1,
1).las coordenadas están en pies.
SOLUCION:
el brazo del momento respecto a r puede encontrarse a partir de
cualquier punto de la recta de acción de la fuerza. Si elegimos el punto
(2, 5, -2), tenemos el vector
. El momento M respecto a ese
punto es:
Por consiguiente:
Por tanto , el momento de F respecto a la recta es:
Si el brazo del momento se calcula a partor del punto (3, -1, 1), es r=2j. El
momento M vale:

37. Por tanto ,el momento de M respecto a la recta dada es :
Ejemplo3:
Tres fuerzas de igual magnitud actúan sobre un cubo de lado A. hallar el
momento con respecto al origen
Solución:
Calculo de al origen:
Aplicando el teorema de Varingon:
MO =
 M1 =
=
 M2 =
=
 M3 =
=
= -100
= 100 - 100
= 70.71 – 70.71
MO = (-100 + 100 + 70.71) + (-100) + (-70.71)
MO = 70.71 – 100 – 70.71