Contenu connexe Similaire à 2. F. Komposisi & Invers.pptx (20) 2. F. Komposisi & Invers.pptx4. A.OPERASI ALJABAR FUNGSI
Operasi Aljabar Fungsi melibatkan dua atau lebih
fungsi untuk mendapatkan fungsi baru
Operasi
Aljabar Fungsi
Operasi Biner
Operasi Uner
Penjumlahan
Pengurangan
Perkalian
Pembagian
Perpangkatan
Penarikan akar
1. 𝑓 ± 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥) ±
𝑔 𝑥 dengandomain 𝐷𝑓±𝑔 = 𝐷𝑓 ∩
𝐷𝑔
2. (𝑘𝑓) 𝑥 = 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥) dengan
domain 𝐷𝑘𝑓 = 𝐷𝑓
3. 𝑓 × 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥)dengan
domain 𝐷𝑓×𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
4. 𝑓𝑛
𝑥 = (𝑓 𝑥 )𝑛
, 𝑛 ∈ 𝛮dengan
domain 𝐷𝑓𝑛 = 𝐷𝑓
5.
𝑓
𝑔
𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
, 𝑔(𝑥) ≠ 0dengan
domain 𝐷𝑓
𝑔
= 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
Misalkan fungsi𝑓 terdefinisipada
domain 𝐷𝑓 danfungsi𝑔terdefinisipada
domain 𝐷𝑔
Fungsi dari𝑨ke𝑩 yang memetakansetiap𝒙 ∈ 𝑨ke𝒚 ∈
𝑩bolehdinotasikan𝒇: 𝑨 → 𝑩 dengan𝒙 → 𝒇 𝒙 = 𝒚
5. 1. 𝑓 ± 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥) ± 𝑔 𝑥 dengan
domain 𝐷𝑓±𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
2. (𝑘𝑓) 𝑥 = 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥) dengan
domain 𝐷𝑘𝑓 = 𝐷𝑓
3. 𝑓 × 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥) dengan
domain 𝐷𝑓×𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
4. 𝑓𝑛
𝑥 = (𝑓 𝑥 )𝑛
, 𝑛 ∈ 𝛮 dengan
domain 𝐷𝑓𝑛 = 𝐷𝑓
5.
𝑓
𝑔
𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
, 𝑔(𝑥) ≠ 0 dengan
domain 𝐷𝑓
𝑔
= 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
Misalkan fungsi𝑓 terdefinisipada domain
𝐷𝑓 danfungsi𝑔terdefinisipada domain 𝐷𝑔
Diketahui fungsi𝑓(𝑥)= 𝑥 + 2dan𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 1.
Tentukanhasiloperasifungsiberikutdantentukanjuga
domain darihasiloperasitersebut.
a. 3𝑓 − 2𝑔 𝑥 b. (𝑓 × 𝑔)(𝑥) c. 𝑔4(𝑥)
Penyelesaian:
a. 𝟑𝒇 − 𝟐𝒈 𝒙 = 𝟑𝒇 𝒙 − 𝟐𝒈 𝒙
= 𝟑 𝒙 + 𝟐 − 𝟐 𝟐𝒙 − 𝟏
= 𝟑𝒙 + 𝟔 − 𝟐 𝟐𝒙 − 𝟏
Domain: 𝟐𝒙 − 𝟏 ≥ 𝟎 ⇔ 𝒙 ≥
𝟏
𝟐
untuk𝒙 ∈ ℝ atau
𝑫𝟑𝒇−𝟐𝒈 = 𝒙|𝒙 ≥
𝟏
𝟐
, 𝒙 ∈ ℝ
6. Misalkan fungsi𝑓 terdefinisipada domain
𝐷𝑓 danfungsi𝑔terdefinisipada domain 𝐷𝑔
Diketahui fungsi𝑓(𝑥)= 𝑥 + 2dan𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 1.
Tentukanhasiloperasifungsiberikutdantentukanjuga
domain darihasiloperasitersebut.
a. 3𝑓 − 2𝑔 𝑥 b. (𝑓 × 𝑔)(𝑥) c. 𝑔4(𝑥)
Penyelesaian:
b. 𝒇 × 𝒈 𝒙 = 𝒇 𝒙 × 𝒈 𝒙 = 𝒙 + 𝟐 𝟐𝒙 − 𝟏
Domain: 𝟐𝒙 − 𝟏 ≥ 𝟎 ⇔ 𝒙 ≥
𝟏
𝟐
untuk𝒙 ∈ ℝ atau
𝑫𝒇×𝒈 = 𝒙|𝒙 ≥
𝟏
𝟐
, 𝒙 ∈ ℝ
1. 𝑓 ± 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥) ± 𝑔 𝑥 dengan
domain 𝐷𝑓±𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
2. (𝑘𝑓) 𝑥 = 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥) dengan
domain 𝐷𝑘𝑓 = 𝐷𝑓
3. 𝑓 × 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥) dengan
domain 𝐷𝑓×𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
4. 𝑓𝑛
𝑥 = (𝑓 𝑥 )𝑛
, 𝑛 ∈ 𝛮 dengan
domain 𝐷𝑓𝑛 = 𝐷𝑓
5.
𝑓
𝑔
𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
, 𝑔(𝑥) ≠ 0 dengan
domain 𝐷𝑓
𝑔
= 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
7. Misalkan fungsi𝑓 terdefinisipada domain
𝐷𝑓 danfungsi𝑔terdefinisipada domain 𝐷𝑔
Diketahui fungsi𝑓(𝑥)= 𝑥 + 2dan𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 1.
Tentukanhasiloperasifungsiberikutdantentukanjuga
domain darihasiloperasitersebut.
a. 3𝑓 − 2𝑔 𝑥 b. (𝑓 × 𝑔)(𝑥) c. 𝑔4(𝑥)
Penyelesaian:
c. 𝒈𝟒
= (𝒈 𝒙 )𝟒
= 𝟐𝒙 − 𝟏
𝟒
= (𝟐𝒙 − 𝟏)𝟐
= 𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏
Domain: 𝒙 ∈ ℝ atau
𝑫𝒈𝒏 = 𝒙| 𝒙 ∈ ℝ
1. 𝑓 ± 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥) ± 𝑔 𝑥 dengan
domain 𝐷𝑓±𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
2. (𝑘𝑓) 𝑥 = 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥) dengan
domain 𝐷𝑘𝑓 = 𝐷𝑓
3. 𝑓 × 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥) dengan
domain 𝐷𝑓×𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
4. 𝑓𝑛
𝑥 = (𝑓 𝑥 )𝑛
, 𝑛 ∈ 𝛮 dengan
domain 𝐷𝑓𝑛 = 𝐷𝑓
5.
𝑓
𝑔
𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
, 𝑔(𝑥) ≠ 0 dengan
domain 𝐷𝑓
𝑔
= 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
8. Misalkan fungsi𝑓 terdefinisipada domain
𝐷𝑓 danfungsi𝑔terdefinisipada domain 𝐷𝑔
Diketahui fungsi𝑓 𝑥 = 𝑥2
+ 𝑥dan
𝑔 𝑥 =
2
𝑥+3
. Tentukan:
a. (𝑓 + 𝑔)(𝑥 − 3) b.
2𝑓
4𝑔
(−2)
Penyelesaian:
a. 𝒇 + 𝒈 𝒙 − 𝟑 = 𝒇 𝒙 − 𝟑 + 𝒈 𝒙 − 𝟑
= (𝒙 − 𝟑)𝟐
+ 𝒙 − 𝟑 +
𝟐
𝒙 − 𝟑 + 𝟑
= 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗 + 𝒙 − 𝟑 +
𝟐
𝒙
= 𝒙𝟐
− 𝟓𝒙 + 𝟔 +
𝟐
𝒙
1. 𝑓 ± 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥) ± 𝑔 𝑥 dengan
domain 𝐷𝑓±𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
2. (𝑘𝑓) 𝑥 = 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥) dengan
domain 𝐷𝑘𝑓 = 𝐷𝑓
3. 𝑓 × 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥) dengan
domain 𝐷𝑓×𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
4. 𝑓𝑛
𝑥 = (𝑓 𝑥 )𝑛
, 𝑛 ∈ 𝛮 dengan
domain 𝐷𝑓𝑛 = 𝐷𝑓
5.
𝑓
𝑔
𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
, 𝑔(𝑥) ≠ 0 dengan
domain 𝐷𝑓
𝑔
= 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
9. Misalkan fungsi𝑓 terdefinisipada domain
𝐷𝑓 danfungsi𝑔terdefinisipada domain 𝐷𝑔
Diketahui fungsi𝑓 𝑥 = 𝑥2
+ 𝑥dan
𝑔 𝑥 =
2
𝑥+3
. Tentukan:
a. (𝑓 + 𝑔)(𝑥 − 3) b.
2𝑓
4𝑔
(−2)
Penyelesaian:
b.
𝟐𝒇
𝟒𝒈
−𝟐 =
𝟐𝒇(−𝟐)
𝟒𝒈(−𝟐)
=
𝟐( −𝟐 𝟐
+ (−𝟐))
𝟒 ×
𝟐
−𝟐 + 𝟑
=
𝟒
𝟖
=
𝟏
𝟐
1. 𝑓 ± 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥) ± 𝑔 𝑥 dengan
domain 𝐷𝑓±𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
2. (𝑘𝑓) 𝑥 = 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥) dengan
domain 𝐷𝑘𝑓 = 𝐷𝑓
3. 𝑓 × 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥) dengan
domain 𝐷𝑓×𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
4. 𝑓𝑛
𝑥 = (𝑓 𝑥 )𝑛
, 𝑛 ∈ 𝛮 dengan
domain 𝐷𝑓𝑛 = 𝐷𝑓
5.
𝑓
𝑔
𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
, 𝑔(𝑥) ≠ 0 dengan
domain 𝐷𝑓
𝑔
= 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
10. Menentukan 𝒇(𝒙):
Cara 1:
Misalkan
𝒕 = 𝟐𝒙 + 𝟏 ⇔ 𝟐𝒙 = 𝒕 − 𝟏 ⇔ 𝒙 =
𝒕 − 𝟏
𝟐
𝒇 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 − 𝟑
𝒇 𝒕 = 𝟒
𝒕 − 𝟏
𝟐
𝟐
+ 𝟏𝟎
𝒕 − 𝟏
𝟐
− 𝟑
Menyederhanakan bentuk𝑓 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑔(𝑥)menjadi𝑓 𝑥 = ℎ(𝑥)
Diketahui 𝑓 2𝑥 + 1 = 4𝑥2
+ 10𝑥 − 3dan𝑔 3𝑥 − 2 =
1− 6𝑥
3𝑥+2
. Tentukan𝑓 𝑥 .
Penyelesaian:
𝒇 𝒕 = 𝒕𝟐
− 𝟐𝒕 + 𝟏 + 𝟓𝒕 − 𝟓 − 𝟑
𝒇 𝒕 = 𝒕𝟐 + 𝟑𝒕 − 𝟕
⇕
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙 − 𝟕
11. Menentukan 𝒇(𝒙):
Cara 2:
𝒇 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 − 𝟑
𝒇 𝟐𝒙 + 𝟏 = (𝟐𝒙 + 𝟏)𝟐
− 𝟒𝒙 − 𝟏 + 𝟏𝟎𝒙 − 𝟑
𝒇 𝟐𝒙 + 𝟏 = (𝟐𝒙 + 𝟏)𝟐
+𝟔𝒙 − 𝟒
Menyederhanakan bentuk𝑓 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑔(𝑥)menjadi𝑓 𝑥 = ℎ(𝑥)
Diketahui 𝑓 2𝑥 + 1 = 4𝑥2
+ 10𝑥 − 3dan𝑔 3𝑥 − 2 =
1−6𝑥
3𝑥+2
. Tentukan𝑓 𝑥 dan𝑔(𝑥)
Penyelesaian:
𝒇 𝟐𝒙 + 𝟏 = (𝟐𝒙 + 𝟏)𝟐
+𝟑 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟑 − 𝟒
𝒇 𝟐𝒙 + 𝟏 = (𝟐𝒙 + 𝟏)𝟐+𝟑 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟕
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟕
12. 1. Diketahui fungsi𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟐dan𝒈 𝒙 =
𝒙+𝟓
𝟐𝒙−𝟔
.
Tentukanhasiloperasifungsiberikutdantentukan pula domain darihasiloperasi
tersebut:
a. 𝒇 + 𝒈 𝒙 d.
𝒇
𝒈
(𝒙)
b. (𝟐𝒇 − 𝟑𝒈)(𝒙) e. 𝒈𝟑
(𝒙)
c. (𝒇 × 𝒈)(𝒙)
2. Diketahuifungsi𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙𝟐
− 𝟓𝒙dan𝒈 𝒙 =
𝟏𝟎
𝟐𝒙+𝟏
. Tentukan:
a. 𝒇 + 𝒈 𝟑𝒙 b. 𝟒𝒇 − 𝒈 𝟐 c. (𝒇 × 𝒈)(−𝟏)
13. B. INVERS FUNGSI
.
B
.
A
Pemetaan fungsi 𝑓dan 𝑓−1
DEFINISI
Invers
darifungsi𝒇adalah𝑓−1: 𝐵 → 𝐴
dengan
𝑓−1
= 𝑦, 𝑥 |𝑦 ∈ 𝐵 dan 𝑥 ∈ 𝐴
Diketahui fungsi𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵
dengan:𝑓 = 𝑥, 𝑦 |𝑥 ∈
Invers fungsi adalah invers suatu
fungsi yang berupa fungsi
14. B. INVERS FUNGSI
Fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵mempunyaifungsi invers 𝑓−1
: 𝐵 →
𝐴jikadanhanyajika𝑓merupakanfungsibijektifatau𝐴d
an𝐵berkorespondensisatu-satu
Fungsi Surjektif/ Fungsi
Onto adalahjika𝑓: 𝐴 → 𝐵
dengan anggota di
Bmempunyaipasangan/ka
wananggotadi A
FungsiInjektif/ FungsiSatu-
satuadalahjika𝑓: 𝐴 → 𝐵
dengan anggota di
Bmempunyaipasangan/kawan
yang berbedadengananggota
di A
FungsiBijektif/
FungsiBerkorespondensiSa
tu-satuadalahjika𝑓: 𝐴 → 𝐵
dengan anggota di
Aberpasangandengantepat
satuanggota di B
JENIS FUNGSI
15. Diketahui fungsidalampasanganberurutan: 𝑓 = 0, 2 , 2, −1 , 3, 0 , (−1, 4) dan𝑔 =
3, −2 , 4, −1 , −1, 0 , (2, −2) .
a. Tentukan𝑓−1
dan 𝑔−1
.
b. Selidikilahapakah𝑓−1 dan 𝑔−1merupakanfungsi.
Penyelesaian:
CONTOH
a. 𝒇−𝟏
= 𝟐, 𝟎 , −𝟏, 𝟐 , 𝟎, 𝟑 , (𝟒, −𝟏) ;
𝒈−𝟏
= −𝟐, 𝟑 , −𝟏, 𝟒 , 𝟎, −𝟏 , (−𝟐, 𝟐)
b. 𝒇merupakanfungsibijektif,
sehinggafmemlilikifungsi invers atau𝒇−𝟏
merupakan fungsi. Sementara,
𝒈bukanfungsibijektif,
sehingga𝒈tidakmemilikifungsi invers
atau𝒈−𝟏
bukanmerupakanfungsi.
16. Tentukan invers darifungsiberikutdanselidikilah mana yang merupakanfungsi invers.
a. 𝒇 = 𝒂, 𝒃 , 𝒃, 𝒄 , 𝒄, 𝒅 , 𝒅, 𝒆
b. 𝒈 = 𝟏, −𝟏 , 𝟐, −𝟑 , −𝟐, −𝟏 , 𝟎, 𝟐 }
c. 𝒉 = 𝟐, 𝟐 , 𝟎, −𝟏 , 𝟔, 𝟎 , −𝟏, 𝟔
18. Tentukan𝑓−1 𝑥 darifungsi𝑓 𝑥 =
2𝑥+1
3𝑥−5
.
Penyelesaian:
𝑓 𝑥 =
2𝑥 + 1
3𝑥 − 5
𝑦 =
2𝑥 + 1
3𝑥 − 5
𝑦 3𝑥 − 5 = 2𝑥 + 1
3𝑥𝑦 − 5𝑦 = 2𝑥 + 1
3𝑥𝑦 − 2𝑥 = 5𝑦 + 1
𝑥 3𝑦 − 2 = 5𝑦 + 1
𝑥 =
5𝑦 + 1
3𝑦 − 2
𝑓−1 𝑦 =
5𝑦 + 1
3𝑦 − 2
5𝑥 + 1
Diketahui 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 1. Tentukan
invers dari𝑓 𝑥 .
Penyelesaian:
𝑦 = 𝑓 𝑥
𝑦 = 3𝑥 − 1
3𝑥 = 𝑦 + 1
𝑥 =
𝑦 + 1
3
𝑓−1
𝑦 =
𝑦 + 1
3
𝑓−1 𝑥 =
𝑥 + 1
3
19. Tentukan𝑓−1
𝑥 darifungsi:
a. 𝑓 𝑥 = 2𝑥3
− 1
b. 𝑓 𝑥 = 32𝑥−4
Penyelesaian:
a. 𝑓 𝑥 = 2𝑥3
− 1
𝑦 = 2𝑥3
− 1
2𝑥3
= 𝑦 + 1
𝑥3
=
𝑦 + 1
2
𝑥 =
3 𝑦 + 1
2
𝑓−1
𝑦 =
3 𝑦 + 1
2
⟺ 𝑓−1
𝑥
=
3 𝑥 + 1
2
b. 𝑓 𝑥 = 32𝑥−4
𝑦 = 32𝑥−4
2𝑥 − 4 = 3log 𝑦
2𝑥 = 3log 𝑦 + 4
𝑥 =
1
2
3log 𝑦 + 4
𝑥 = 3log 𝑦 + 3log 32
𝑓−1
𝑦 = 3log 9 𝑦 ⟺ 𝑓−1
𝑥
= 3log 9 𝑥
Ingat!
𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒃 = 𝒄 ≡ 𝒂𝒄
= 𝒃
20. Tentukan batas-batas𝑥 agar 𝑓 𝑥 = 2𝑥2
−
8𝑥 + 4memilikifungsi invers dantentukan
pula invers fungsi𝑓−1
(𝑥)daribatas-
batas𝑥tersebut.
Penyelesaian:
2
2
2
2
2
2
( ) 2 8 4
2 8 4
2 4 16 8
2 (2 4) 16 8
2 (2 4) 8
2 8 (2 4)
2 4 2 8
2 8
2
2
f x x x
y x x
y x x
y x
y x
y x
x y
y
x
8
2
2 2 2
b
x
a
𝑂 2
𝑋
𝑌
Batas-batasnilai𝑥adalah:
𝑥 ≤ 2atau𝑥 ≥ 2
22. C. KOMPOSISI FUNGSI
.
A
.
B
.
C
Terdapat fungsi𝑓(𝑥)dan𝑔(𝑥)dengan 𝑓: 𝐵 ⟶ 𝐶dan𝑔: 𝐴 ⟶ 𝐵,
duafungsitersebutdapatdibentukfungsibaru,
yaituℎ 𝑥 denganmelakukanoperasikomposisiyaitu “∘” (dibaca
‘komposisi’ atau ‘bundaran’). Jadi, ℎ 𝑥 = 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 =
𝑓(𝑔 𝑥 )denganℎ: 𝐴 → 𝐶.
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 =
𝑓(𝑔 𝑥 )disebutfungsiko
mposisidari𝑓dan𝑔
f Sifat-sifat Komposisi Fungsi
1. Tidak komutatif, 𝒇 ∘ 𝒈 ≠ 𝒈 ∘ 𝒇
2. Asosiatif, 𝒇 ∘ 𝒈 ∘ 𝒉 = 𝒇 ∘ 𝒈 ∘ 𝒉
3. Memilikifungsiidentitas,
𝐼 𝑥 = 𝑥, sehingga𝒇 ∘ 𝑰 = 𝑰 ∘ 𝒇 = 𝒇
𝑔
Pemetaan Fungsi Komposisi
ℎ = 𝑓 ∘ 𝑔
23. Diketahui fungsi𝑓dangdalampasanganberurutanberikut.
f = 2, 𝑎 , −3, 𝑐 , 4, 𝑏 , 0, 𝑒 , (−1, 𝑓) dan𝑔 =
𝑏, −1 , 𝑑, 0 , 𝑎, −3 , 𝑔, 2 , (𝑒, 5) .Tentukan(f∘g).
Penyelesaian:
∴ 𝒇 ∘ 𝒈 = 𝒂, 𝒄 , 𝒃, 𝒇 , 𝒅, 𝒆 , 𝒈, 𝒂 }
𝑔 𝑓
𝑓 ∘ 𝑔
24. Diketahui fungsi𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 1,
𝑔 𝑥 = 𝑥2
− 3, danℎ 𝑥 = 2𝑥 + 5.
Tentukan( 𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ)(𝑥)
Penyelesaian:
1) Bentuk((𝒇 ∘ 𝒈) ∘ 𝒉)(𝒙)
𝑝 𝑥 = 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥2
− 3
= 3 𝑥2
− 3 + 1 = 3𝑥2
− 8
𝑝 ∘ ℎ 𝑥 = 𝑝 ℎ 𝑥 = 𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ 𝑥
= 𝑝 2𝑥 + 5
= 3( 2𝑥 + 5)2
−8 = 6𝑥 + 7
∴ 𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ 𝑥 = 6𝑥 + 7
2) Bentuk (𝒇 𝒈 ∘ 𝒉 )(𝒙)
𝑞 𝑥 = 𝑔 ∘ ℎ 𝑥 = 𝑔 2𝑥 + 5
= ( 2𝑥 + 5)2
− 3 = 2𝑥 + 2
𝑓 ∘ 𝑞 𝑥 = 𝑓 𝑞 𝑥 = (𝑓 𝑔 ∘ ℎ ) 𝑥
= 𝑓 2𝑥 + 2 = 3 2𝑥 + 2 + 1 = 6𝑥 + 7
∴ (𝑓 𝑔 ∘ ℎ ) 𝑥 = 6𝑥 + 7
3) Bentuk𝒇(𝒈 𝒉 𝒙 )
𝑓 𝑔 ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑔 2𝑥 + 5
= 𝑓( 2𝑥 + 5)2
− 3
= 𝑓 2𝑥 + 2 =3 2𝑥 + 2 + 1 = 6𝑥 + 7
∴ 𝑓 𝑔 ℎ 𝑥 = 6𝑥 + 7
25. 1. Diketahui fungsi𝑓dan𝑔dalampasanganberurutan𝑓 =
−1,3 , −5,1 , 8,6 , 6, −4 , −2,8 , 4,10 }dan𝑔 =
6, −1 , 1,0 , 8, −5 , −4,2 , 10, −2 . Tentukan 𝑓 ∘ 𝑔 dan 𝑔 ∘ 𝑓 .
2. Diketahui fungsi𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1dan𝑔 𝑥 = 𝑥2
− 2𝑥 + 2. Tentukan 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 , 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 , (𝑔 ∘
26. Diketahui fungsi𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 2,
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 6𝑥2
− 3𝑥 + 7. Tentukan
𝑔 𝑥 .
Penyelesaian:
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 6𝑥2
− 3𝑥 + 7
𝑓 𝑔 𝑥 = 6𝑥2
− 3𝑥 + 7
3𝑔 𝑥 − 2 = 6𝑥2
− 3𝑥 + 7
3𝑔 𝑥 = 6𝑥2
− 3𝑥 + 9
𝑔 𝑥 = 2𝑥2
− 𝑥 + 3
Diketahui pasanganberurutan
𝑓 = 0,0 , 7,1 , 6,3 }dan
𝑓 ∘ 𝑔 = −5,0 , −1,1 , 7,3 }.
Tentukanpasanganhimpunanberurutan𝑔.
Penyelesaian:
Berdasarkan diagram panah, maka𝑔 =
−5,0 , −1,7 , 7,6 }.
𝑔 𝑓
𝑓 ∘ 𝑔
27. 1. Diketahui fungsi 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 2𝑥2
− 4𝑥 + 7dan𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1.
Tentukan𝑔 𝑥 .
2. Diketahuipasanganhimpunanberurutan𝑔 =
0,6 , 7,5 , 3, −3 }dan 𝑓 ∘ 𝑔 = 3, −1 , 0,4 , 7,2 .
Tentukan(𝑔 ∘ 𝑓)
28. 𝑔 ∘ 𝑓 −1 𝑥 = 𝑓−1 ∘ 𝑔−1 𝑥
𝑓 ∘ 𝑔 −1
𝑥 = 𝑔−1
∘ 𝑓−1
𝑥
Penyelesaian:
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥2 + 3
= 5 𝑥2 + 3 − 1 = 5𝑥2 + 14
Misalkan: 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑦
𝑦 = 5𝑥2 + 14
𝑦 − 14 = 5𝑥2
𝑥 = ±
𝑦 − 14
5
𝑓 ∘ 𝑔 −1
𝑦 = ±
𝑦 − 14
5
𝑓 ∘ 𝑔 −1
𝑥 = ±
𝑥 − 14
5
Diketahui 𝑓 𝑥 = 5𝑥 − 1dan
𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 3. Tentukan 𝑓 ∘ 𝑔 −1(𝑥).
29. Diketahui 𝑓 𝑥 = 4 − 2𝑥, 𝑔 𝑥 =
3𝑥 − 1danℎ 𝑥 = 5𝑥 + 2.
Tentukan 𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ −1
(𝑥).
Penyelesaian:
𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑔(ℎ 𝑥
= 𝑓 15𝑥 + 5
= 4 − 2 15𝑥 + 5
= −30𝑥 − 6
Invers:
Misalkan: 𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ = 𝑦
𝑦 = −30𝑥 − 6
𝑥 =
−𝑦 − 6
30
(𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ)−1
𝑦 =
−𝑦 − 6
30
∴ (𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ)−1 𝑥 =
−𝑥 − 6
30
30. 1. Diketahui 𝑓 𝑥 =
2𝑥−1
𝑥+1
dan𝑔 𝑥 = 3𝑥 − 1. Tentukan 𝑔−1 ∘ 𝑓−1 𝑥 .
2. Diketahui 𝑓 𝑥 =
2𝑥−1
𝑥+1
, 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 1, dan ℎ 𝑥 = 3𝑥 +
5.Tentukan(𝑔 ∘ ℎ ∘ 𝑓)−1(𝑥).
31. Jumlah 𝑁bakteridalammakanan yang
didinginkandirumuskansebagai𝑁 𝑇 =
5𝑇2 − 20𝑇 + 100,
dengan𝑇adalahsuhumakanan (℃).
Ketikamakanandiambildaripendingin,
suhumakanandirumuskansebagai
𝑇 𝑡 = 5𝑡 + 4dengan𝑡adalah lama
makanan di luarpendingin (jam).
Tentukan:
a. fungsi(𝑁 ∘
Penyelesaian:
a. 𝑁 ∘ 𝑇 𝑡 = 𝑁(𝑇 𝑡 ) = 𝑁 5𝑡 + 4
= 5(5𝑡 + 4)2 − 20 5𝑡 + 4 + 100
= 125𝑡2
+ 100𝑡 + 100
Fungsikomposisi(𝑁 ∘
32. Penyelesaian:
b. 𝑁 ∘ 𝑇 𝑡 = 125𝑡2
+ 100𝑡 + 100
1.525 = 125𝑡2 + 100𝑡 + 100
0 = 125𝑡2
+ 100𝑡 − 1.425
0 = 5𝑡2
+ 4𝑡 − 57
0 = (5𝑡 + 19)(𝑡 − 3)
𝑡 = 3atau𝑡 = −
19
5
(tidakmemenuhi)
Bakterimencapaijumlah 1.525
setelahmakanandikeluarkandaripending
inselama 3 jam.
Jumlah 𝑁bakteridalammakanan yang
didinginkandirumuskansebagai𝑁 𝑇 =
5𝑇2 − 20𝑇 + 100,
dengan𝑇adalahsuhumakanan (℃).
Ketikamakanandiambildaripendingin,
suhumakanandirumuskansebagai
𝑇 𝑡 = 5𝑡 + 4dengan𝑡adalah lama
makanan di luarpendingin (jam).
Tentukan:
a. fungsi(𝑁 ∘
33. Harga 𝑝 (puluhan rupiah) merupakanfungsidarijumlahsepeda yang terjual𝑁 di
salahsatutokodalamseminggu yang dirumuskan : 𝑝 𝑁 = 𝑁2
− 200𝑁 −
240.000untuk600 ≤ 𝑁 ≤ 1.000.Jumlahsepeda yang terjual di
tokotersebutsetiapminggumerupakanfungsidaribiayapenjualan𝐶 (ratusan rupiah)
untuksetiapsepeda yang dirumuskan: 𝑁 𝐶 = 2𝐶 − 400.
a. Tentukan(𝑝 ∘ 𝑁)(𝐶)atau𝑝(𝑁 𝐶 ) dan tafsirkan maknanya.
b. Tentukan biayapenjualanjikahargasepeda Rp560.000,00