Eje 1 conjunto numerico mt

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA
SEMINARIO UNIVERSITARIO
Coordinador
a de
Matemática:
Ing. DURE,
DIANA
EJE TEMATICO I:
CONJUNTOS NUMÉRICOS
[Contenidos: Conjunto de números naturales. Operaciones. Representación en la recta
numérica. Conjunto de números enteros. Valor absoluto. Operaciones. Casos particulares.
Representación gráfica. Conjunto de los números racionales. Número decimal.
Operaciones. Representación gráfica. Números irracionales. Conjunto de los números
reales. Orden de los números reales. Intervalos. Raíz enésima de un número real. Algunas
propiedades de la radicación. Racionalización de denominadores.
ANEXOS: ELEMENTOS DE GEOMETRIA ]
El buen Dios creó los números naturales: todo lo demás es obra del hombre.
Leopold Kronecker
COORDINADORA MODULO MATEMATICA
ESP.ING. DURE, DIANA ANALIA

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
MODULO DE
MATEMATICASEMINARIO UNIVERSITARIO
Coordinadora: Ing. DURE,DIANA ANALIA
MODULO MATEMÁTICA- Página 2
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Un desafío personal
Se solicita ordenar el resultado de cada una de las siguientes operaciones, de
manera de que el resultado obtenido se coloque en el casillero que le
corresponda.
Al terminar de ordenar las operaciones, en la cuadrícula deberán quedar en
secuencia correcta los nueve dígitos naturales, acompañados de la letra que
identifica a la operación que se resolvió.
3
2
+
3
1
deresultaquenaturalNúmeroa)
b)
5
1
deInverso
c) ( ) =+− 3.42
d) =





+
5
6
.
6
1
3
7
e) ( ) =+− 1214:23
f) ( )=+−− 244
305000810
g) La mitad de 96 menos el doble de 12 . Ese
resultado dividido 3.
h) El cuadrado de 9 menos el triple de 20. A ese
resultado le resto 1 y luego lo divido por 10.
i) ( ) ( )( )( ) =−+−−− 1142.45:20 3
Los conjuntos cuyos elementos son los números se denominan “conjuntos numéricos”.
En Matemática se definen varios conjuntos numéricos, cada uno de los cuales tiene propiedades
específicas que permiten efectuar operaciones entre los mismos.
N: Números Naturales
Z: Números Enteros
Q: Números Racionales
I: Números Irracionales
R: Números Reales
C: Números Complejos.
SITUACIÓN:
CUADRO CONCEPTUAL
Complejos
sImaginario
(R)Reales
(I)esIrracional
(Q)Racionales
iosFraccionar
(Z)Enteros
negativos
(NNaturales
0
(N)Naturales
0










+








+








+




+



+
)

MODULO DE
CONSIDERACIONES BÁSICAS DE ALGUNOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (N):
Una forma clara de expresar cuáles son los números naturales es: son los números que se
utilizan para contar. Por ello se considera que el cero no forma parte de ese conjunto ya que
comenzamos a contar con el número 1.
Entre dos números naturales no consecutivos, existe al menos un conjunto finito de números, por
eso se dice que N en un conjunto discreto.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Puede utilizarse una recta y sobre ella se considera un punto cualquiera como el origen "o",
luego utilizamos un segmento cualquiera como unidad. Al trasladar cada segmento hacia la derecha,
hacemos corresponder a cada división un número natural.
Queda así conformada la gráfica:
La primera restricción en el uso del conjunto N aparece en la resta, cuando el minuendo es menor que el
sustraendo. Para poder definir esta operación, necesitamos de los números negativos, donde cada
elemento es el opuesto de cada número natural "n" y se lo denota "-n".
Las operaciones que son válidas en el conjunto de números naturales son:
OPERACIÓN NOTACIÓN ELEMENTOS
SUMA cba =+ ba y son los sumandos y c el resultado
RESTA bacba >=− con, a es el minuendo y b es el sustraendo , c es el resultado
MULTIPLICACIÓN cba =. ba y son los factores y c el producto
DIVISIÓN 0con,: ≠= bcba Debe ser a múltiplo de b .El dividendo es a , el divisor
es b y c es el cociente.
POTENCIACIÓN ban
= na y no deben ser simultáneamente nulos. La base es
a , b es el exponente y c es la potencia.
RADICACIÓN abba nn
== si, a es el radicando, b es la raíz y n es el índice que N∈ .

MODULO DE
Potencia Enésima de un Número:
Llamamos potencia enésima de un número natural “a” al producto de “n” factores iguales a “a”.
ban
=
veces)3mismasípor2baselamultiplica(se22223
""..=
Raíz Enésima de un Número:
Llamamos raíz enésima de un número natural “a” al número que elevado a la enésima potencia
da por resultado el número “a”:
ran =
82porque28 33 ==
2. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z):
Si al conjunto de los números naturales le agregamos el cero y el opuesto de cada número
obtenemos el conjunto de los números enteros.
El Conjunto de los números enteros es un conjunto infinito y totalmente ordenado por la relación
“≤”, todo número entero tiene un sucesor y un antecesor, no tiene primero ni último elemento.
Entre dos números enteros no consecutivos, existe al menos un conjunto finito de números
enteros, por eso se dice que Z es un conjunto discreto.
Números de igual signo: se suman los valores absolutos y el resultado lleva el mismo signo .
Ejemplo:
19118
853
-)(-)(-
)()(
=+
+=+++
Números de distinto signo : se restan los valores absolutos y el resultado lleva el mismo
signo del mayor.
Ejemplo :
7103
275
+=++
=++
)()(-
-)(-)(
base
exponente
potencia
Ejemplo
raíz
símbolo radical
índice de la raíz
radicando
Para Recordar
Ejemplo

MODULO DE
En el caso de la multiplicación y la división, debemos recordar que si dos números enteros
tienen el mismo signo, tanto su producto como su cociente serán positivos. En cambio si tienen
signos opuestos, su producto y su cociente son negativos. Esta regla también se simboliza de la
siguiente manera:
La división estará definida siempre que el dividendo sea múltiplo del divisor.
La potenciación es una multiplicación abreviada, por lo tanto el signo del resultado depende del
signo de la base y de la paridad del exponente:
Analizaremos en este conjunto numérico únicamente los casos con exponente natural.
Casos particulares de la potenciación:
Si el exponente es cero y la base es distinta de cero, la potencia es igual a 1 10
=→ a
En el producto de potencias de igual base, se suman los exponentes qpqp
aaa +
=→ .
En la división de potencias de igual base, se restan los exponentes qpqp
aaa −
=→ :
Si la base es una potencia, se multiplican los exponentes ( ) qpqp
aa .
=→
Se puede ampliar la recta de representación anterior, incluyendo ahora el cero y los números enteros
negativos:
Si el exponente es un número par, la potencia es positiva.
Si el exponente es un número impar, la potencia lleva igual signo que la base:
signo)igualentonces(impar
positivo)entonces(par
II
PP
⇒
⇒
Es válida también para la división
+=
=+
=+
+=++
-.-
-.-
--.
.
De esto se deduce que:
* La suma de dos números negativos será un número negativo.
* La resta ba − con ba < será un número negativo.

MODULO DE
3. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES (Q):
En el conjunto Z, las divisiones no siempre son posibles, si el dividendo es múltiplo del divisor, el
resultado es un entero, pero, si el dividendo no es múltiplo del divisor, no pueden resolverse.
Para solucionar este problema se crea un nuevo conjunto, llamado números racionales, denotado con
el símbolo Q, que comprende a los números enteros y a los números fraccionarios.
Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como una razón
b
a
, donde
ba y son enteros y 0≠b . Al número a se lo conoce como numerador y al número b como
denominador. En símbolos:






≠∧∈∧∈= 0/ bzbza
b
a
Q
EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL:
Todo número racional (fracciones) pueden expresarse como números decimales, dividiendo el
numerador por el denominador ( a por b ).
Las situaciones que pueden presentarse son:
5
45
225
=
Cuando el numerador es múltiplo del
denominador, se obtiene un numero
entero.
75,0
4
3
=
Cuando se puede “terminar” la división
llegando a un resto cero, se dice que la
expresión es un decimal exacto.
.....6,0
3
2
−=−
Cuando se no se puede “terminar” la
división y el resto se repite, se dice que
la expresión es un decimal periódico .
Transformación de una expresión decimal en una expresión fraccionaria
Expresiones decimales exactas.
}
{
originalnúmeroeltenga
decimalescifrascomoceros
tantosdeseguidounoUn
comalasin
decimalnúmeroEl
1000
1275
275,1 =
Expresiones periódicas puras
} }
{ 99
571
99
5576
76,5
periódicadecimal
cifracadapor9Un
enteraPartecomalasin
decimalNúmero
=
−
=
Expresiones periódicas mixtas
}
{
.
990
7877
990
797956
569,7
periódica.no
decimalcifracadaporceroUn
.periódicacifracadapor9Un
decimal)y(entera
peródicanoParte
comalasin
nùmeroEl
=
−
=
876
OPERACIONES EN Q:
Algunas operaciones válidas en el conjunto de los números racionales son:
SUMA Y RESTA:
De Igual Denominador:
Es otro número racional de igual denominador y cuyo numerador es la suma o resta de
los respectivos numeradores.
De Distinto Denominador:
Es otro número racional que resulta de operar con las fracciones previamente reducidas
a común denominador.
Para recordar

MODULO DE
Los números racionales se pueden representar construyendo las fracciones sobre la recta que
hemos utilizado para representar al conjunto numérico Z.
Esto se hace subdividiendo geométricamente cada una de las unidades de la recta como indica el
denominador y tomando luego tantas subdivisiones como indica el numerador.
Construcción de las fracciones 6,0
3
2
5,0
2
1
=−=− y
Podemos ver, en la construcción geométrica anterior, que dados dos puntos de una recta (representativa
de dos números racionales) entre ellos se pueden realizar aún infinitas divisiones.
Esto es lo mismo que decir que entre dos números racionales siempre existen” infinitos racionales”; cosa
que no ocurría en Z .
Por gozar de esta propiedad, se dice que Q es un “conjunto denso”. Podría pensarse entonces que
toda la recta está cubierta, esto es, que cada punto de ella es grafica de algún número racional y
viceversa.
Sin embargo esto no es así, por lo que a continuación veremos.
Números Irracionales
Estos números no pueden expresarse como cociente entre dos números enteros 0≠b,
b
a
.
Son números tales como etc...,....,....,. 141593732013414212 === π , los cuales tienen
infinitas cifras decimales no periódicas.
Pueden representarse gráficamente en la recta de la misma forma que todos los anteriores.
Así tenemos que, a pesar de que los racionales forman un conjunto denso, no todos los puntos de la
recta corresponden a algún número racional. En efecto, entre ellos se intercalan los irracionales.
Los racionales y los irracionales forman un nuevo conjunto numérico llamado números Reales.
En La figura pueden observar una construcción geométrica mediante La cual, aplicando el teorema de
Pitágoras, se han señalado en La recta numérica Los puntos correspondientes a .32 y
MULTIPLICACIÓN:
El resultado es otro número racional cuyo signo se obtiene de la aplicación de la regla de los
signos y su valor absoluto es resultado de multiplicar los respectivos numeradores y denominadores.
DIVISIÓN:
El resultado es otro número racional cuyo signo se obtiene de la aplicación de la regla de los
signos y su valor absoluto es resultado de multiplicar la primer fracción por el inverso de la segunda
fracción.
Ejemplo
Recordemos

MODULO DE
4. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (R):
Lo primero que diremos respecto al conjunto de los números reales, denotado R, es que existe
una correspondencia completa entre estos y la recta.
Es decir, que cada punto de la misma es gráfica de algún número real y cada número real es la
coordenada de algún punto de la recta.
Esta correspondencia se denomina biunívoca y constituye el principio fundamental de la
Geometría Analítica en la cual los puntos geométricos son sustituidos por números y efectuando
operaciones algebraicas con ellos podemos interpretar geométricamente los resultados.
El siguiente cuadro muestra en forma esquemática la sucesiva ampliación que hemos hecho en
el campo de los números.
Ejemplo

MODULO DE
ORDEN DE LOS NÚMEROS REALES:
En el conjunto de los números reales se definen dos relaciones de orden:
ALGUNAS PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN:
1. Distributividad respecto de la multiplicación:
=n ba. .n a n b
=3 3
8x .83 =3 3
x 2x
2. Distributividad respecto de la división:
=n ba : :n a n b
=
81
100
=
81
100
9
10
3. Si “n” es impar y Ra∈ ⇒ la raíz Rr ∈""
Si “n” es par y Ra∈ ⇒≥∧ 0a la raíz Rr ∈""
Dada la expresión ran =
2325 = 283 −=− 00 =
3814 = R4 ∉−
4. Cuando el exponente es fraccionario puede convertirse en radical aplicando la propiedad
n
b
a =
n b
a
3 23
2
aa =
5. Raíz de raíz o raíces sucesivas: Si se extrae de índice p a otra raíz de índice n se obtiene una nueva
raíz cuyo incide es el producto p.n
npp n
xx
.
=
Si “n” es par y Rr0a ∉⇒<∧∈ Ra
a < b
a > b
Dados Ra∈ y Rb∈ , se dice que
a es menor que b si el resultado de
a-b da un número negativo
Dados Ra∈ y Rb∈ , se dice
que a es mayor que b si el resultado
de a-b da un número positivo
Para recordar
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplos
Ejemplo

MODULO DE
153.55 3
252525 ==
6. Simplificación de radicales: El valor de la raíz no se modifica si el índice y el exponente se simplifican
o dividen por un mismo número natural. En símbolos
n
p
n
q
p q
np nqp q
aa
aa
=
=
. .
con 0>a
3
5
15
5
5
15 5
222 ==
Es correcto simplificar índices con exponentes, sólo si la base es
positiva:
=




5
15
4
1
=





3
4
1
64
1
7. Extracción de factores fuera del radical: Valiéndonos de las propiedades distributiva de la radicación
con respecto a la multiplicación y la división ,podemos , en algunos casos extraer factores fuera del
radical.
3 223 23 1
3 23 13 33 33 33 3
3 2133333 2763 27
422
....2.2
22264
xyxy.x.x.x.
yxxx
yxxxyxyx
==
==
===
OPERACIONES CON RADICALES:
1. SUMA ALGEBRAICA
El concepto de radicales semejantes permite efectuar sumas entre términos que los contienen:
222.2)631.(226232 ==−+=−+
En el caso que aparezcan distintos radicales, es posible operar
convenientemente y obtener radicales semejantes, para luego efectuar
la suma.
Con la calculadora: Ingresar la base “ a ”, luego el símbolo ^, a continuación la fracción que
representa al exponente dentro de un paréntesis y finalmente el signo igual :
=





∧
c
b
a
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Para Recordar
Ejemplo RADICALES SEMEJANTES:
Dos radicales son semejantes
cuando tienen el mismo índice y
el mismo radical por ejemplo:
2723 y
Son expresiones que contienen
radicales semejantes con
coeficientes distintos.

MODULO DE
511)2152(55251552
5255.352525535.2
52535.252125320
22
32
−=+−=+−=
=+−=+−=
=+−=+−
En el caso de radicales que no son semejantes, no se podrán reducir a una única expresión.
( ) 43421
indicadaqueda
2253225356532256)
indicada.queda2256)
−=−−=−−
→−
b
a
2. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
En el producto y en el cociente de radicales con el mismo índice se tiene en cuenta la
propiedad distributiva.
En símbolos: n
n
n
nnn
b
a
b
a
baba == y..
Para poder efectuar la multiplicación y división de radicales con distintos índice, primero se
debe transformar en radicales equivalentes ( del mismo índice) .para ello se utiliza el múltiplo
común menor entre los índices y se aplican las propiedades ya vistas.
15 3515 315 553
15 33.5 3
15 55.3 5
53
7.27.27.2
77
22
:equiv.sonradicalessus
,15esindiceslosdem.c.m.el;7.2
==




=
=
y
La división se realiza en forma similar.
Problemas de Geometría:
El siguiente dibujo representa un cubo de 1 cm de arista.
¿Cuál es la longitud del segmento que une un vértice con el vértice
opuesto, tal como se muestra en el dibujo?
Resolución:
La base del cubo es un cuadrado de 1 cm de lado. Por el Teorema de
Pitágoras su diagonal mide 2
Queda entonces determinado un nuevo triángulo rectángulo formado por la diagonal
de la base, una arista y el segmento del cual se debe determinar la longitud:
Por el teorema de Pitágoras ( ) 31212 222
=+=+=x
Por lo tanto, la longitud del segmento 332
=→= xx
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo

MODULO DE
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Se utiliza para obtener expresiones equivalentes a la dada pero sin radicales en el denominador,
esto permite operar con denominadores racionales.
Este proceso de transformación se llama racionalización de denominadores. Nos detendremos en dos
casos:
1. Si el denominador tiene un sólo término con un radical de índice 2.
En este caso se multiplica tanto el numerador como el denominador por ese radical y luego se realizan
todas las operaciones y simplificaciones necesarias para obtener un denominador racional.
Racionalizar
18
54
Podemos directamente multiplicar numerador y denominador por 18 :
( ) 9
902
18
90.4
18
18.5.4
18
18
.
18
54
18
54
2
====
De ser posible, extraemos factores de la raíz del numerador y simplificamos.
3
10.2
9
103.2
9
10.92
9
902
===
Otra forma:
Antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan del radical del denominador,
obteniendo así:
2.3
54
3.2
54
18
54
2
==
Ahora basta multiplicar numerador y denominador por 2 para eliminar la raíz del denominador:
3
102
2.3
104
2.23
2.54
2.3
54
===
Como vemos se llega al mismo resultado.
2. Si el denominador tiene dos términos y al menos uno es un radical de índice 2.
En este caso se multiplican denominador y numerador por la expresión conjugada del denominador y se
realizan las operaciones y simplificaciones necesarias para obtener un denominador racional.
El conjugado de )( ba + es la expresión ( ba − ) y viceversa
Ejemplo
Para poder resolver los problemas se deben estudiar las propiedades
generales de los cuadriláteros en la Guía de contenidos transversales de
Geometría.
Recordemos

MODULO DE
Racionalizar:
a)
75
4
+
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
9
75
18
75.4
725
75.4
75
75.4
75
75
*
.75
4
75
4
cuadradosde
diferenciaunaQueda
22
mismoelpordivideymultiplicasu
negativoesconjugadoEl
−
=
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
+
=
+
43421444 3444 21
b)
25
24
−
+
( )
( )
( ) ( ) ( ) 3
2102454
25
2102454
25
25
.
25
)2(4
25
24
22
sumaunaesconjugadoEl
multiplicaSe
+++
=
−
+++
=
+
+
−
+
=
−
+
4444 34444 21
4444 84444 76 m. a m.
VALOR ABSOLUTO E INTERVALOS REALES
Valor absoluto o Módulo:
Un concepto importante en matemática es el de “valor absoluto“; este permite expresar e
interpretar cuestiones numéricas prescindiendo de los signos.
El valor absoluto de x lo denotamos como x .
Su definición en lenguaje algebraico es



<−
≥
=∈∀
0si
0si
:
xx
xx
xRx
Así por ejemplo: 77 = 55 =−
Las operaciones definidas en N se conservan en Z. Sin embargo deberemos considerar en los
resultados el hecho de trabajar con números negativos.
En caso que un número sea negativo, nos referiremos a él “como menor que cero” ( 0<a );
mientras que si es positivo, diremos que es “mayor que cero “ ( 0>a ).
GENERALIZANDO: ∀ número x , su valor absoluto o módulo se expresa x
Al Valor absoluto o módulo de un número real , pensando geométricamente , es su distancia desde
el número hasta el cero en la recta numérica.
Ejemplos
Ejemplos

MODULO DE
Intervalos en el conjunto de los números reales:
A la recta en la que se representan los números reales la llamamos recta real . Si ba y son
dos números reales con ba ≤ , llamamos intervalo a los siguientes subconjuntos de números reales:
También son intervalos los subconjuntos :
Existen distintas formas de representar un conjunto de números reales comprendidos entre dos
reales cualesquiera. Para ello trabajaremos con intervalos reales.
Situación
(lenguaje coloquial)
Expresión
simbólica
Escritura en forma
de intervalo
Representación en la recta
Todos los números reales
mayores que 2 y menores
que 5
52
52
<<
∨
<∧>
x
xx ( )5;2
Intervalo abierto
mayores o iguales que 2 y
menores que 5
52
52
<≤
∨
<∧≥
x
xx [ )5;2
Intervalo semi
abierto a izquierda
mayores que 2 y menores o
iguales que 5
52
52
≤<
∨
≤∧>
x
xx ( ]5;2
Intervalo semi
abierto a
derecha
mayores o iguales que 2 y
menores o iguales que 5
52
52
≤≤
∨
≤∧≥
x
xx [ ]5;2
Intervalo cerrado
₪

MODULO DE
CONTENIDOS TRANSVERSALES:
FORMULAS Y ECUACIONES DE LA
GEOMETRÍA ELEMENTAL.
[Contenidos: Triángulos .Propiedades. Clasificación de triángulo. Triangulo rectángulo.
Semejanza de triángulos. Cuadriláteros: Clasificación. Perímetro y área. Polígonos.
Características principales .Propiedades. Circunferencia y Círculo. Perímetro y área.
Cuerpos: prismas , pirámides y cuerpos circulares. Problemas.]
Las abejas..., en virtud de una cierta intuición geométrica..., saben que el hexágono es
mayor que el cuadrado y que el triángulo, y que podrá contener más miel con el mismo
gasto de material.
Papus de Alejandría

MODULO DE
GEOMETRIA
El estudio de las figuras geométricas y las relaciones entre sus lados y sus ángulos permite
plantear y resolver problemas de ingeniería, arquitectura, geografía, y establecer relaciones con el arte y
otros campos del saber.
TRIÁNGULO
Es un polígono cerrado de tres lados. Los tres segmentos que limitan el triángulo se denominan
lados, y los extremos de los lados, vértices.
En un triángulo se consideran dos tipos de ángulos: interior (formado por dos lados) y exterior
(formado por un lado y la prolongación de otro).
• Dos triángulos son iguales:
• cuando tienen iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes.
• cuando tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido congruente.
• cuando tienen los tres lados iguales.
• En todo triángulo, al lado mayor se le opone el mayor ángulo.
• Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también iguales.
• En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
PROPIEDADES
En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a 180° °=++ 180ˆˆˆ CBA
En todo triángulo, la suma de los ángulos exteriores es igual a 360° °=++ 360ˆˆˆ γβα .
En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores
no adyacentes.
Para pensarlo

MODULO DE
C L A S I F I C A C I Ó N D E L O S T R I Á N G U L O S
Según sus lados:
• Equiláteros (sus tres lados
iguales)
• Isósceles (dos lados iguales )
• Escaleno (tres lados desiguales)
Según sus ángulos:
• Rectángulos (un ángulo recto)
• Acutángulos (tres ángulos
agudos)
• Obtusángulos (un ángulo obtuso)
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Un triángulo es rectángulo cuando tiene un ángulo recto.
Propiedades que se cumplen:
* En un triángulo rectángulo la medida de un cateto es
media proporcional entre la medida de la hipotenusa y su
proyección sobre ella.
m
b
b
a
= , también se cumple:
n
c
c
a
=
* La medida de la altura es media proporcional entre los dos segmentos que ella determina sobre la
hipotenusa. m.nh
n
h
h
m 2
=⇒=
La relación entre catetos e hipotenusa se establece mediante el Teorema de Pitágoras:
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos
222
cba += donde “ a ” es la medida de la hipotenusa.
Se denomina hipotenusa al lado
mayor del triángulo, es el lado
opuesto al ángulo recto.
Se llaman catetos a los dos lados
menores, los que conforman el
ángulo recto.

MODULO DE
CUADRILÁTEROS
Un cuadrilátero es un polígono cerrado que tiene cuatro lados y dos diagonales.
Los lados consecutivos son los que tienen un extremo en común y los opuestos, los que no
tienen puntos comunes.
Los ángulos opuestos son los que no tienen un lado en común.
Propiedades generales de los cuadriláteros
Según la disposición de los lados y los ángulos que forman el cuadrilátero, se obtienen distintos
tipos de cuadriláteros.
Figura Propiedades Básicas Fórmulas
El Cuadrado:
• Todos sus lados son iguales.
• Sus 4 ángulos interiores son
rectos (miden 90º).
• Sus diagonales son iguales y
se cruzan en un punto que las
divide en partes iguales.
Perímetro LP .4=
Área :A=
2
L
Diagonal: D= L.2
El Paralelogramo:
• Sus lados Opuestos son
iguales.
• Sus Ángulos interiores
opuestos son iguales.
• Sus diagonales son distintas
pero se cortan en un punto que
las divide en partes iguales.
Perímetro :
P= 2. L + 2. B
Área ; A= B.H
PROPIEDADES
La suma de los ángulos interiores es 360º y también la suma de los
ángulos exteriores es igual a 360°
°=+++∧°=+++ 360´´´´360 δγβαδγβα

MODULO DE
El Rectángulo: • Sus lados Opuestos son
iguales.
• Sus 4 ángulos interiores son
rectos
• Sus diagonales son iguales y
Perímetro:
P = 2. H + 2. B
Área : A= B. H
Diagonal:
D =
22
HB +
Nota: El cuadrado es un caso especial de un rectángulo que tiene altura y base iguales entre sí, por lo tanto en los
cuadrados también se cumplen las propiedades de los rectángulos.
El Trapecio Isósceles:
• Sus lados laterales son
iguales.
• Sus 2 ángulos interiores
obtusos son iguales.
Sus 2 ángulos interiores
agudos son iguales.
• Sus diagonales son iguales.
Perímetro:
P= B + b + 2. L
Área :
( )
2
.HbB
A
+
=
El Rombo • Sus 4 lados son iguales.
• Sus ángulos interiores
opuestos son iguales.
• Sus diagonales son distintas y
• Las diagonales de un rombo
son perpendiculares entre sí.
Perímetro :
P= 4. L
Área:
2
.dD
A =
Caso especial del rombo: Puede considerarse al cuadrado como un caso especial del rombo ya que es un rombo
con los 4 ángulos interiores iguales y que miden 90º.
Los rombos cumplen todas las propiedades de los paralelogramos.
El Romboide: • Hay 2 pares de lados
consecutivos iguales.
• Sólo 2 de sus ángulos
interiores son iguales.
• Sus diagonales son distintas y
se cruzan en un punto que
divide a una de ellas en partes
distintas y a la otra en partes
iguales
Perímetro:
P = 2. L + 2.l
Área :
2
.dD
A =

MODULO DE
POLÍGONOS
Definición y elementos de un polígono
Un polígono es la región del plano limitado por tres o más rectas que se cortan de dos en dos.
Los polígonos se clasifican en cóncavos y convexos.
Un polígono es convexo cuando cualquier
par de puntos pertenecientes al polígono
determinan siempre un segmento incluido
en el mismo.
Un polígono es cóncavo cuando existe por
lo menos un par de puntos pertenecientes
al polígono que determinan un segmento no
incluido en el mismo.
Estudiaremos polígonos convexos :
Polígonos regulares: Un polígono es regular cuando tiene todos sus lados y ángulos interiores iguales.
Los polígonos regulares se pueden inscribir en una circunferencia
Elementos de un polígono:
Vértices: a, b, c, d, e, f
Ángulos interiores: faefdecdbcab ,,,,,
Ángulos exteriores: γπελβα ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ
Cada ángulo interior tiene su exterior correspondiente.
Las diagonales de un polígono son los segmentos cuyos extremos son dos vértices no
consecutivos.

MODULO DE
Nombre de los polígonos según el número de lados:
Números de lados Nombres Número de lados Nombres Número de lados Nombres
3 Triángulo 7 Heptágono 11 Undecágono
4 Cuadrilátero 8 Octágono 12 Dodecágono
5 Pentágono 9 Eneágono 15 Pentadecágono
6 Hexágono 10 Decágono 20 Icoságono
Propiedades de los polígonos
Propiedad de los ángulos interiores
En todo polígono de n lados, la suma de sus ángulos interiores es igual a
180°.(n —2).
Cada ángulo interior es suplementario del exterior correspondiente.
Propiedad de los ángulos exteriores
En todo polígono la suma de los ángulos exteriores es igual a 360º.
Cada ángulo exterior es suplementario del interior correspondiente.
Propiedades de las diagonales
En todo polígono de n lados: se pueden trazar 3−n diagonales por
cada vértice
El número total de diagonales es igual a
2
)3( −nn
Sea el pentágono abcde.
La suma de los ángulos interiores: s.a.i.= 180°.(5 —2)= 180°3= 540°
La suma de los ángulos exteriores s.a.e. = 360°
Por cada vértice se pueden trazar: 5 — 3 = 2 diagonales.
El número total de diagonales es:
2
)35(5 −
= 5 diagonales
Polígonos regulares
Los polígonos regulares tienen propiedades particulares.
El valor de cada uno de sus ángulos interiores es:
αˆ
2180
=
−°
=
° n
)(n
ladosdeN
interioresánguloslosdeSuma
El valor de cada uno de sus ángulos exteriores es:
βˆ360
=
°
=
° nladosdeN
exterioresánguloslosdeSuma
Ejemplo

MODULO DE
Los polígonos regulares pueden inscribirse en una circunferencia.
Se denomina apotema (Ap) al segmento perpendicular a cada lado del
polígono, cuyos extremos son un punto del lado y el centro de la
circunferencia.
Superficie de un polígono regular: “perímetro por apotema sobre dos” :
2
.. pAln
donde n es el número de lados, l es la longitud de cada lado y Ap es la apotema.
Aplicando el teorema de Pitágoras:
2
22
2






+=
l
Ar p porque el radio de la circunferencia es la
hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma.
Aplicando propiedades:
a) Calcular el valor de cada ángulo interior y exterior de un octógono regular.
Suma de los ángulos interiores : °=
°
=
−°
=
−°
= 135
8
1080
8
)28(1802180
ˆ
n
)(n
α
°=
°
=
°
= 45
8
360360ˆ
n
β
Respuesta: El ángulo interior tiene una amplitud de 135°y el exterior de 45
b) Calcular la cantidad de lados que tiene un polígono regular ,sabiendo que la
suma de sus ángulos interiores es 900°
7
72552
180:9002
900)2.(180
=
=+=⇒=−
°=−
°=−°
n
nn
n
n
Respuesta: El polígono es un heptágono regular
CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO.
La circunferencia es el conjunto de puntos de un plano que están a
una misma distancia de un punto fijo llamado centro. El segmento que tiene por
extremos al centro y a cualquier punto de la circunferencia es el radio. El
círculo es el conjunto de puntos del plano que están a una distancia igual o
menor que el radio.
Ejercicios
Longitud de la circunferencia rradiodiámetro ..2..2. πππ ==
Superficie del círculo: 2
... rradio ππ =

MODULO DE
Posiciones relativas de una recta y una circunferencia
Una recta es exterior a una circunferencia si no tienen puntos en común (recta C).
Una recta es tangente a una circunferencia si tienen un punto en común (recta B).
Una recta es secante a una circunferencia si tienen dos puntos en común (recta A).
Elementos de la circunferencia
Cuerda ( ab ) : segmento que tiene por extremos a dos puntos de la
circunferencia .La mayor de las cuerdas es la que pasa por el centro, su
longitud es igual a dos radios, y se llama diámetro.
Arco( ab ): porción de circunferencia determinada por dos puntos de la misma .
Ángulo central(αˆ ): ángulo que tiene por vértice al centro de la circunferencia.
°
=
360
ˆ..2 απ r
arcoundeLongitud
CUERPOS
Los cuerpos poliedros son aquellos cuyas caras son polígonos y se clasifican en prismas y
pirámides.
Los cuerpos que tienen algunas caras no planas se llaman cuerpos redondos o circulares.

MODULO DE
ALGUNAS FÓRMULAS DE CUERPOS
FIGURA FORMULAS
Prismas
Área lateral HPb .=
Área total : bb AHP 2. +=
Volumen: HAb .=
Pirámides
Área lateral
2
. Lb AP
=
Área total b
Lb
A
AP
+=
2
.
Volumen:
3
.HAb
=
Esfera
Área total 2
..4 Rπ=
Volumen:
3
..4 3
Rπ
=
Cono
Área lateral GR..π=
Área total 2
... RGR ππ +=
Volumen:
3
.. 2
RH π
=
Cilindro
Área lateral HR...2 π=
Área total 2
..2...2 RHR ππ +=

MODULO DE
Las formulas anteriores surgen de los siguientes cálculos:
Prismas Pirámides
Área lateral Perímetro de la base x Altura Perímetro de la base x Apotema lateral
Área total Area lateral +2 x Area base Área lateral + Área de la base
Volumen Área de la base x altura (Área de la base x Altura) /3
Volumen: 2
.. RH π=
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