2. Teoria modernă a mulţimilor începe odată cu lucrarea Teoria raţională a infinităţii a lui Georg Cantor, în care se manevrează liber mulţimile infinite şi se dezvoltă o tehnică de măsurare a lor (teoria cardinalelor). Pînă la Cantor, matematicienii adoptau punctul de vedere al filozofilor Greciei antice: există noţiunea de infinit actual (o infinitate de obiecte concepute ca existînd simultan) şi cea de infinit potenţial (o mulţime sau o mărime finită, dar care se poate mări oricît de mult). El a avut ideea de a compara mulţimile (finite sau nu) cu ajutorul funcţiilor bijective: două mulţimi sînt la fel de mari (echipotente) dacă există o bijecţie între ele. Cantor a obţinut rezultate precum: N este echipotent cu Q şi cu mulţimea numerelor algebrice (numerele complexe care sînt rădăcini ale unui polinom nenul cu coeficienţi raţionali)
3.
4.
5. “Teorianaiva a multimilor” În cadrul teoriei lui Cantor a mulţimilor (astăzi numită teoria naivă a mulţimilor), prin mulţime se înţelege o colecţie (un ansamblu, un set) de obiecte distincte (elementele mulţimii), bine determinată şi considerată ca o entitate. Georg Cantor spunea: ”Prin mulţime înţelegem orice grupare într-un tot M a unor obiecte distincte şi bine determinate m ale gîndirii noastre”. -Multimea lui Cantor- Mulțimea lui Cantor (sau discontinuul lui Cantor sau praful lui Cantor) este un concept în cadrul topologiei atribuit matematicianului Georg Cantor.
6. Considerăm, pe mulțimea numerelor reale R, intervalul închis [0, 1] . Din acest interval excludem treimea din mijloc, adică (1/3;2/3). Raman intervalele: [0;1/3] si [2/3;1]. Și din acestea excludem "treimea centrală", ș.a.m.d. Astfel definim șirul de mulțimi: Atunci multimea lui Cantor este:
7. La inceputul anilor 1600, Galilei a inceput sa studieze idea de infinit atunci cand a afirmat ca “infinitul ar trebui sa asculte de reguli diferite decat cele ale numerelor finite”. Dar abia in secolul al IX-lea, Cantor a adus o baza solida in privinta afirmatiei si a descris o cale prin care se poate face calcule cu cantitati infinite. Definitia lui de baza era simpla: “O colectie este infinita, daca unele din partile sale sunt la fel de mari ca intregul”. De exemplu, dintr-un punct de vedere intreaga lista de numere {1, 2, 3, 4, 5, …} este de doua ori mai mare ca lista de numere {2, 4, 6, 8, …}, dar de fapt cele doua liste au aceeasi marime, infinita.
9. Principiul diagonal a lui Cantor Toatalumeastiecamultimeanumerelornaturaleesteinfinita. N = { 1 , 2 , 3 , 4 , ..... } Totulestefoarteclar. Dacaitialegi un numarindiferent de mare, potisa ii adaugiacestuia 1 siveiobtine un numarmai mare. In concluzieaceastaproprietatedefinestenumerelenumarabilesiastfel Cantor a spuscaeste un infinitnumarabil
10. Cantor a gasit de asemenea cateva proprietati foarte ciudate. Pentru inceput, a observat ca mai multe submultimi ale unui sir infinit numarabil sunt si ele infinite si numarabile. Dar Cantor a aratat ca poti pune numerele intr-o corespondenta astfel incat cele doua submultimi au acelasi numar de elemente 1 -> 2 2 -> 4 3 -> 6 . . . In concluzie, jumatatedintr-un sir infinitnumarabilestesi el infinitnumarabil!
11. O altaproprietate “ciudata” estecadacacombini un sir numarabilinfinit cu alt sir numarabilinfinit se vaobtine un al treilea sir numarabilinfinit Sa luamnumerelenaturale {1,2,3,…} sisa le grupam cu 0 sirespectiv cu numerele negative intregi {-1,-2,-3,…} siceeaceobtieste un set de numereintregi. Dar potidemonstracasirulnumerelorintregieste la fel de mare casirulnumerelornaturaleformand o corespondenta. 1 -> 0 2 -> -1 3 -> 1 4 -> -2 5 -> 2 6 -> -3 . . . Submultimeaeste la fel de mare caintreguliarintregul la fel de mare casubmultimea!
12. Ce l-a facutpe Cantor un mare matematicianestecaacestasi-a datseamaca nu trebuie se seingrijoreze in privintarezultatului, doar le-a acceptatsiastfel a inventatconceptul de cardinalitate. Cardinalulreprezentand de faptdoarmarimeaunui sir. Pentrusirurile finite cardinalulestesimplu de demonstrat, fiinddoarnumarul de elemente al sirului. Pentrusirurile infinite estemai abstract. Douasiruri au acelasi cardinal daca pot fi grupateprintr-o corespondenta. Deci, toatesirurilenumarabile infinite (naturale, intregi, rationale) au acelasi cardinal
13. Observatie1: Sunt o multime de numere natural intregi dar si o multime de fractii. Care multime este mai mare? Chiar daca sunt o infinitate de fractii intre doua numere natural intregi consecutive, sagetile din diagrama de mai jos arata cum sa potrivim numerele intregi cu cele fractionale Deci cele doua multimi au aceeasi marime, infinita. Sunt la fel de multe numere natural intregi ca cele fractionale.
