Dokumen tersebut membahas berbagai metode pembuktian dalam matematika seperti pembuktian langsung, tidak langsung, kontradiksi, contoh penyangkal, dan induksi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal-soal olimpiade sains nasional dan internasional. Metode-metode tersebut dijelaskan dengan contoh-contoh soal beserta pembahasannya.

1. Materi Pembinaan Menuju OSN Matematika 2013
1
SMA DARUL ULUM 2 JOMBANG/DIDIK SADIANTO, S.Pd.
Metode Pembuktian dalam Matematika
Oleh: Didik Sadianto, S.Pd.
Soal-soal dalam OSN dan IMO sebagian besar adalah membuktikan suatu pernyataan.
Untuk bisa menyelesaikan soal-soal OSN/IMO maka Siswa dituntut untuk mampu
mengaplikasikan semua metode-metode pembuktian yang sesuai. Pada umumnya metode
pembuktian menggunakan konsep logika matematika. Adapun metode pembuktian
matematika yang dibahas dalam buku ini adalah: Pembuktian langsung, Pembuktian tidak
langsung, Bukti dengan Kontradiksi, Bukti dengan Contoh Penyangkal, dan Bukti dengan
Induksi Matematika.
A. Pembuktian Langsung
Metode ini didasarkan pada proposisi bahwa: Jika kita misalkan (asumsikan) P
bernilai benar, maka dengan informasi yang sudah kita punyai dari p; kita harus
membuktikan bahwa q benar.
Contoh 1:
Buktikan bahwa kuadrat dari sebarang bilangan genap merupakan bilangan genap
juga.
Pembahasan:
Di sini kita punya bentuk proporsi:
adalah bilangan genap dan adalah bilangan genap.
Berikut ini cara pembuktian langsung:
Misalkan , dimana
Akan ditunjukkan bahwa dimana
Perhatikan bahwa:
, dimana
Jadi, n2
adalah bilangan genap (Terbukti)
Contoh 2:
Buktikan bahwa jika n bilangan ganjil, maka n2
merupakan bilangan ganjil.
Pembahasan:
Misalkan bahwa , untuk suatu .
Perhatikan bahwa:
, dimana
Jadi, n2
merupakan bilangan ganjil. (Terbukti)
Contoh 3:
Misalkan M suatu titik di dalam segitiga ABC. Buktikan bahwa
Pembahasan:
Misalkan N adalah titik perpotongan BM dan sisi AC.
Maka kita peroleh:
B. Pembuktian Tidak Langsung
Metode pembuktian tidak langsung dikenal juga metode kontrapositif.
Perhatikan bahwa pernyataan ini . Oleh karena itu, kita akan
memahami bahwa metode ini didasarkan pada proposisi: jika kita misalkan
bernilai benar, maka dengan informasi yang sudah kita punyai dari , kita harus
membuktikan bahwa benar.

2. Materi Pembinaan Menuju OSN Matematika 2013
2
SMA DARUL ULUM 2 JOMBANG/DIDIK SADIANTO, S.Pd.
Contoh 1:
Buktikan bahwa jika habis dibagi 3 maka n habis dibagi 3.
Pembahasan:
Kita akan membuktikan pernyataan ini dengan metode tidak langsung.
Yakni kita harus membuktikan pernyataan jika n tidak habis dibagi 3 maka n2
tidak
habis dibagi 3.
Perhatikan bahwa:
Karena n tidak habis dibagi 3, maka n = 3k + 1 atau n = 3k + 2 untuk suatu k
bilangan bulat.
 Untuk n = 3k +1,
dimana
Jadi, n2
tidak habis dibagi 3 (*)
 Untuk n = 3k +2,
dimana
Jadi, n2
tidak habis dibagi 3 (*)
Dari (*) dan (**) maka n2
tidak habis dibagi 3. Dengan kata lain terbukti bahwa jika
habis dibagi 3 maka n habis dibagi 3.
Contoh 2:
Buktikan bahwa jika bilangan ganjil maka n juga bilangan ganjil.
Pembahasan:
Kita akan membuktikan soal ini dengan metode pembuktikan tidak langsung. Hal ini
berarti kita harus mengubah bentuk soal dalam kontraposisinya, yakni:
Jika n bilangan genap maka n2
merupakan bilangan genap.
Berdasarkan solusi (A.1), maka kontraposisi tersebut suatu pernyataan yang benar.
Jadi, terbukti bahwa jika bilangan ganjil maka n juga bilangan ganjil.
C. Pembuktian dengan Kontradiksi
Metode ini hampir sama dengan metode pembuktian tidak langsung, akan tetapi
terdapat perbedaan yang cukup mendasar. Untuk membuktikan bahwa benar
dengan metode kontradiksi maka:
 Kita andaikan bahwa ingkaran dari adalah benar. Dengan kata lain
bahwa kita mengandaikan bahwa p dan ~q adalah sesuatu yang benar.
 Dari pengandaian tersebut, kita harus memunculkan suatu kontradiksi atau
suatu fakta yang bertentangan dengan suatu fakta lain yang sebelumnya telah
dikatahui kebenarannya.
Contoh 1:
Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan asli n dan semua bilangan asli d yang
membagi 2n2
, maka bilangan n2
+d bukan merupakan bilangan kuadrat sempurna.
Pembahasan:
Karena d membagi 2n2
maka 2n2
= kd untuk suatu k bilangan asli.
Andaikan meruapakn bilangan kuadrat sempurna, maka dengan
.
Maka haruslah merupakan bilangan kuadrat.
Tetapi untuk suatu k bilangan

3. Materi Pembinaan Menuju OSN Matematika 2013
3
SMA DARUL ULUM 2 JOMBANG/DIDIK SADIANTO, S.Pd.
asli.
Hal ini berati berada di antara dua bilangan kuadrat berurutan sehingga tidak
mungkin bilangan kuadrat sempurna (Kontradiksi).
Terbukti bahwa untuk setiap bilangan asli n dan semua bilangan asli d yang membagi
2n2
, maka bilangan n2
+d bukan merupakan bilangan kuadrat sempurna.
Contoh 2:
Jika m dan n saling relatif prima, buktikan bahwa bukan bilangan rasional.
Pembahasan:
Andaikan bahwa bilangan rasional maka dengan x dan y adalah
bilangan asli.
Maka berlaku
Karena m dan n relatif prima maka tidak ada x dan y bilangan asli yang memenuhi
(kontradiksi).
Terbukti, Jika m dan n saling relatif prima, buktikan bahwa bukan bilangan
rasional.
D. Pembuktian dengan Contoh Penyangkal
Untuk menjelaskan metode pembuktian ini, maka perhatikan contoh berikut:
Untuk setiap bilangan asli merupakan bilangan prima.
Kita diminta untuk menunjukkan bahwa pernyataan di atas tidak benar. Dalam kasus
seperti ini, kita cukup menunjukkan satu contoh sehingga menyebabkan pernyataan
tersebut tidak benar. Yakni, kita harus pilih nilai n bilangan asli sehingga
bukan bilangan prima.
Untuk itu, pilih n = 4, maka , dimana 21 bukan bilangan
prima.
Pembuktian seperti inilah yang disebut metode pembuktian dengan contoh
penyangkal.
E. Induksi Matematika
Induksi Matematika adalah salah satu metode pembuktian untuk pernyataan yang
memuat bilangan asli.
1. Prinsip Induksi Sederhana
Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin
membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk
membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:
o P(1) benar, dan
o Untuk semua bilangan bulat positif 1n , jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar.
Contoh:
Buktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2
.
Solusi:
(i) Basis Induksi: Untuk n = 1, Perhatikan 2
11  (Benar).
(ii) Langkah Induksi: Andaikan untuk 1n pernyataan:
2
)12(...31 nn  adalah suatu yang benar. Akan ditunjukkan benar untuk

4. Materi Pembinaan Menuju OSN Matematika 2013
4
SMA DARUL ULUM 2 JOMBANG/DIDIK SADIANTO, S.Pd.
.)1()12()12(...531 2
 nnn
Perhatikan bahwa:
)........(*)1(12)12(
)12()]12(...531[)12()12(...531
222


nnnnn
nnnn
(*) terbukti benar.
Jadi, jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2
.
2. Prinsip Induksi Kuat
Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin
membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat onn  . Untuk membuktikan
pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:
o P(no) benar, dan
o Untuk semua bilangan bulat positif onn  , jika   )(...,,1),( npnpnp oo  benar maka
p(n+1) juga benar.
LATIHAN SOAL
1. Untuk setiap bilangan asli n, buktikan bahwa 652
 nn adalah bilangan genap.
2. Jika k adalah bilangan asli, maka buktikan bahwa
2
)1(
...321


nn
n
3. Tunjukkan bahwa untuk setiap n bilangan asli
4. Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan asli.
5. Tunjukkan bahwa untuk setiap n bilangan asli, berlaku .
6. Buktikan bahwa 3 habis membagi n3
-n untuk setiap bilangan asli n.
7. Buktikan pernyataan: ”Untuk membayar biaya pos sebesar k sen )8( k selalu dapat
digunakan hanya perangko 3 sen dan perangko 5 sen” benar.
8. Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan asli lebih dari satu dapat difaktorkan sebagai
perkalian bilangan prima.
9. Suatu sistem tata surya berisi planet-planet yang jarak setiap dua planetnya berbeda. Di
setiap planet, terdapat satu astronom yang mengamati planet terdekat dengan planetnya.
Jika jumlah planet dalam tata surya tersebut ganjil, buktikan bahwa terdapat sebuah
planet yang tidak diamati oleh astronom dari planet lainnya.
Rujukan
Budhi, Wono Setya. 2003. Langkah Awal Menuju ke Olimpiade Matematika. Jakarta: CV.
Ricardo.
Eridani. 2010. Penyelesaian Masalah dalam Matematika, Makalah disajikan dalam acara
“TOT Guru Pembina OSN SMA di Hotel Singgasana Surabaya”.
TIM JMM. 2008. Jurnal Mahkota Matematika: No. 8. Malang: Jurusan Matematika FMIPA
UM.
Purwanto, Heri, dkk. 2006. Matematika Diskrit. Cirebon: PT Ercontara Rajawali.