Trabajo Teórico

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD “FERMIN TORO”
DECANATO DE INGENIERIA
CABUDARE – LARA
Alumno:
Diego José Suarez
CI: 17993414
Prof:
Alba Espinoza
Cabudare, Mayo 2015

2. Matrices
Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general,
suelen ser números ordenados en filas y columnas.
Se llama matriz de orden “m x n” a un conjunto rectangular de elementos 𝑎𝑖𝑗
dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina
dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales.
Elementos de una matriz
Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento
se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la
que pertenece.
Igualdad de Matrices
Dos matices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan
el mismo lugar en ambas, son iguales decir:
a) Son del mismo tamaño.
b) Los componentes correspondientes son iguales.
Matriz Fila:Es aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1xn.
𝐴1𝑥3= (7 2 -5)
Matriz Columna :Es aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m x 1
𝐴3𝑥1 = -7
1
6
Matriz Cuadrada: Es aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas,
m = n Diciéndose que la matriz es de orden n.
Diagonal segundaria: son los elementos 𝑎𝑖𝑗 con i+j = n+ 1
Traza de una matriz cuadrada: es la suma de elementos de la diagonal principal.

3. Matriz diagonal:Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto
los de la diagonal principal.
Matriz Triangular :Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima
(por debajo) de la diagonal principal nulos.
Matriz Escalar:Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto
los de la diagonal principal que son iguales.
Matriz Identidad:Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto
los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad.
Traza de una Matriz :De una matriz cuadrada, es la suma algebraica de los valores de
los elementos de la diagonal principal.
Matriz Traspuesta:Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se
obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
Se representa por A𝑡
ó A 𝑇

4. Matriz Simétrica :Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.
A=A𝑡
. 𝑎𝑖𝑗= 𝑎𝑖𝑗
Matriz Antisimetrica: Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su
traspuesta.
A=A𝑡
. 𝑎𝑖𝑗= −𝑎𝑖𝑗 necesariamente 𝑎𝑖𝑗=0
Operación con Matrices:
Suma de Matrices :La suma de dos matrices A = (𝑎𝑖𝑗)mxn y B = (𝑏𝑖𝑗)pxq de la misma
dimensión (equidimendionales): m = y n = q es otra matriz C = A+B (𝐶𝑖𝑗) mxn = (𝑎𝑖𝑗 +
𝑏𝑖𝑗)
Resta de Matrices:Sean dos matrices conformables para la resta (mismo orden), se
define la resta como: [𝐶] 𝑚,𝑛 = [𝐴] 𝑚,𝑛− [𝐵] 𝑚,𝑛
La matriz [C] tendrá el mismo orden [A] ó [B].
Producto de un Escalar por una Matriz: Dada una matriz A= (𝑎𝑖𝑗)y un número real
k, se define el producto de un numero real por una matriz : a la matriz de la misma
dimensión que A, en la que cada elemento esta multiplicado por k.
Si es A= (𝑎𝑖𝑗)mxn
Su traspuesta es A𝑡
= (𝑎𝑖𝑗)nxm

5. Las propiedades que cumple el producto de un escalar por una matriz son:
Producto de Matrices: Dadas dos matrices A=(𝑎𝑖𝑗)mxn y B=(𝑏𝑖𝑗 )pxq donde n=p, es
decir, el numero de columnas de la primera matriz A es igual al número de filas de la
matriz B, se define el producto A·B de la siguiente forma:
El elemento a que ocupa el lugar de (i,j) en la matriz producto se obtiene sumando los
productos de cada elemento de la fila i de la matriz a por el correspondiente de la
columna j de la matriz B.
Propiedades de las operaciones con matrices.
*Interna
*Asociativa
*Elemento Neutro
*Elemento Opuesto
*Conmutativa
Matrices no Singulares :Una matrizno invertiblese dice que es singularodegenerada.Una
matrizes singularsi ysolosi sudeterminante esnulo.
La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz
dada.
Matrices Invertibles:Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una
matriz B con la propiedad de que AB=BA = I
Siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos
por A-1.

6. Operaciones Elementales por fila de una Matriz: En definitiva, podemos resaltar que
cuando se aplican operaciones elementales por filas de una matriz también se pueden
aplicar operaciones elementales entre sus columnas y además, se produce una matriz del
mismo tamaño, pero sus elementos no son los mismos ya que han sido modificados
dependiendo de la operación que se utilice.
Por lo tanto, a una matriz cualquiera cuando se le aplica cualquier
operación elemental se transforma en una matriz distinta . En este caso,
se llaman matrices equivalentes.
Matrices Particionadas: Una matriz a puede ser considerada como una matriz
particionada dibujando líneas verticales entre las columnas o líneas horizontales entre
los renglones.
Ejemplo
Submatrices: Una submatriz de una matriz A es una matriz que puede ser obtenida de
A eliminando algunos renglones y algunas columnas.
Descomposición LU: En el álgebra lineal, la factorización o descomposición LU es una
forma de factorización de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior
y una superior. Debido a la inestabilidad de este método, deben tenerse en cuenta
algunos casos especiales, por ejemplo, si uno o varios elemento de la diagonal principal
de la matriz a factorizar es cero, es necesario premultiplicar la matriz por una o varias
matrices elementales de permutación. Método llamado factorización o
con pivote. Esta descomposición se usa en el análisis numérico para resolver
sistemas de ecuaciones (más eficientemente) o encontrar las matrices inversas.
Método de Gauss Jordan: El método de Gauss consiste en transformar un sistema de
ecuaciones en otro equivalente de forma que este sea escalado.

7. Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que
pondremos los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados
por una resta).
En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl Friedrich
Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las
soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un
sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus
soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada
ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la
matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan
continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.