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Generalidades del algebra vectorial.
- 1. República Bolivariana de Venezuela. Ministerio del poder Popular para la Educación. I.U.P. Santiago Mariño. EXTENSIÓN BARCELONA EDO. ANZOÁTEGUI ESCUELA: INGENIERÍA MANTENIMIENTO MECÁNICO MATERIA: matemática 3 Algebra vectorial Profesor (a): Pedro Beltrán Alumno Algara, Diego CI 2730544
- 2. Introducción A continuación se explicara brevemente lo concerniente a las generalidades de algebra vectorial donde determinamos la definición de vector, definición de algebra vectorial, la cual se estudia de forma geométricamente, analíticamente y axiomáticamente, se indicara los sistemas de representación las cuales son por sistema rectangular, sistema polar y sistema tridimensional rectangular. También indicaremos la definición de ecuaciones paramétricas, como determinar la ecuación vectorial desde una ecuación paramétrica, se realizara una representación gráfica de ecuaciones paramétrica, como calcular la longitud de un arco en ecuaciones paramétricas, así como también unos videos donde reforzara más lo explicado
- 3. Generalidades del algebra vectorial Definición de vector Los vectores son representaciones gráficas de una magnitud vectorial; es decir, son segmentos de recta en los que su extremo final es la punta de una flecha. Estos son determinados por su módulo o longitud del segmento, su sentido que es indicado por la punta de su flecha y su dirección de acuerdo con la recta a la que pertenezca. El origen de un vector es también conocido como el punto de aplicación.
- 4. El álgebra vectorial se originó del estudio de los cuaterniones (extensión de los números reales) 1, i, j, y k, así como también de la geometría cartesiana promovida por Gibbs y Heaviside, quienes se dieron cuenta de que los vectores servirían de instrumento para representar varios fenómenos físicos. Algebra vectorial
- 5. El álgebra vectorial es estudiada a través de tres fundamentos Geométricamente Los vectores son representados por rectas que tienen una orientación, y las operaciones como suma, resta y multiplicación por números reales son definidas a través de métodos geométricos. Analíticamente La descripción de los vectores y sus operaciones es realizada con números, llamados componentes. Este tipo de descripción es resultado de una representación geométrica porque se utiliza un sistema de coordenadas
- 6. Axiomáticamente Se hace una descripción de los vectores, independientemente del sistema de coordenadas o de cualquier tipo de representación geométrica El estudio de figuras en el espacio se hace a través de su representación en un sistema de referencia, que puede ser en una o más dimensiones. Entre los principales sistemas se encuentran: – Sistema unidimensional, que se trata de una recta donde un punto (O) representa el origen y otro punto (P) determina la escala (longitud) y el sentido de esta:
- 7. – Sistema de coordenadas rectangulares (bidimensional), que está compuesto por dos rectas perpendiculares llamadas eje x y eje y, que pasan por un punto (O) origen; de esa forma el plano queda divido en cuatro regiones llamadas cuadrantes. En este caso un punto (P) en el plano es dado por las distancias que existen entre los ejes y P.
- 8. – Sistema de coordenadas polares (bidimensional). En este caso el sistema es compuesto por un punto O (origen) que es llamado polo y una semirrecta con origen en O llamada eje polar. En este caso el punto P del plano, con referencia al polo y al eje polar, es dado por el ángulo (Ɵ), que se forma por la distancia que existe entre el origen y el punto P.
- 9. Sistema tridimensional rectangular, formado por tres rectas perpendiculares (x, y, z) que tienen como origen un punto O en el espacio. Se forman tres planos coordenados: xy, xz y yz; el espacio quedará dividido en ocho regiones llamadas octantes. La referencia de un punto P del espacio es dada por las distancias que existen entre los planos y P.
- 10. Ecuaciones paramétricas Ecuaciones paramétricas. Sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro. 𝑥 = 𝑥1 + 𝑎 ∙ 𝑡 𝑦 = 𝑦1 + 𝑏 ∙ 𝑡 𝑧 = 𝑧1 + 𝑐 ∙ 𝑡 𝑡 ∈ ℝ
- 11. Encontrad las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto 𝑨 = (−𝟏, 𝟏, 𝟑) y que tiene 𝒂 𝟏, 𝒂 𝟐, 𝒂 𝟑 𝒗 = (𝟑, −𝟐, 𝟏) por vector director. La ecuación vectorial es 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −1,1,3 + 𝑘(3, −2,1) Separando componentes obtenemos: 𝑥 = −1 + 3𝑘 𝑦 = 1 − 2𝑘 𝑧 = 3 + 𝑘 Que son las ecuaciones paramétricas.
- 12. Expresar una recta en forma vectorial, paramétricas, continua y general en el espacio.
- 13. Desarrollamos la ecuación vectorial de la recta r expresada en componentes: x, y, z = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 + k ⋅ 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 x, y, z = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 + k ⋅ 𝑣1, k ⋅ 𝑣2, k ⋅ 𝑣3 (x, y, z) = (𝑎1 + k ⋅ 𝑣1, 𝑎2 + k ⋅ 𝑣2, 𝑎3 + k ⋅ 𝑣3) y separando por componentes obtenemos: x = 𝑎1 + k ⋅ 𝑣1 y = 𝑎2 + k ⋅ 𝑣2 z = 𝑎3 + k ⋅ 𝑣3 Que son las conocidas como ecuaciones paramétricas de la recta
- 14. Grafica de ecuaciones paramétricas 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑦 = 𝑔 𝑡 )𝑧 = ℎ(𝑡 𝑡 ∈ ℝ Consideremos ahora un objeto que se mueve en el espacio, describiendo un camino imaginario representado por una curva en el espacio. Habrá entonces tres funciones del tiempo, f, g y h, que nos permitirán escribir las 2-2 coordenadas de la posición de la partícula en cada instante t mediante las siguientes ecuaciones paramétricas:
- 15. Observemos que para cada t, el punto P (f(t), g(t), h(t)) es el punto-posición de la partícula en el tiempo t. Luego podemos definir el vector que va de O a P, para cada t. Esto sugiere que una curva paramétrico podría ser descripta mediante una función que a cada valor del parámetro t le asigne el vector 𝑂𝑃 = 𝑓 𝑡 𝑖 + 𝑔 𝑡 𝑗 + ℎ(𝑡) 𝑘, esto es, mediante una función con valores vectoriales. En el caso de una curva en el plano, se tiene 𝑂𝑃 = 𝑓 𝑡 𝑖 + 𝑔 𝑡 𝑗 Cuando el parámetro t varia en [a; b], el punto final del vector 𝑟(𝑡) genera una curva en el espacio
- 16. Transformar las ecuaciones paramétricas a las cartesianas Ecuación paramétrica: L: (x,y,z), donde: x= x + λp y= y + λp z= z + λp Considera la ecuación: (x,y,z)=(2,1,-2)+λ(1,3,1)+ μ(4,0,1). Para los siguientes. valores de λ y μ determina los puntos. en el espacio que corresponden en el plano Cuándo dos planos son paralelos al ser intersectado con otro, los tres son paralelos en cuyo caso la intersección es vacía y son dos rectas paralelas 5x - 5y + z = -3
- 17. Está dada por: Ax + By + Cz + D = 0, es decir, los puntos del espacio (x, y, z) que satisfacen la ecuación y forman un plano. Para encontrar la ecuación cartesiana de un plano, cuando está escrita en ecuación paramétrica: • Se igualan las coordenadas • Se escribe como un sistema de ecuaciones correspondiente • Se eliminan los parámetros para encontrar una única ecuación lineal en variables x, y, z
- 18. Para pasar de paramétricas a cartesianas, se trata de determinar un sistema de ecuaciones homogéneo del que la paramétricas dadas sean su solución. El método más cómodo es el de eliminación de parámetros partamos, por ejemplo, de las paramétricas 𝑥 = 𝜆 + 𝜇 𝑦 = 𝜆 + 2𝜇 𝑧 = 𝜆 − 𝜇 𝑡 = 𝜆 + 𝜇
- 19. Partimos de 4 ecuaciones y 2 parámetros, en cada paso tendremos una ecuación menos y un parámetro menos, para ellos usamos una de las ecuaciones en que aparece el parámetro 𝜆. Por ejemplo la primera, la usamos para eliminar 𝜆 de las restantes y esa ecuación ya no la ponemos 𝑦 − 𝑥 = 𝜇 𝑧 − 𝑥 = −2𝜇 𝑡 = 𝜇
- 20. Ahora tomamos la cuarta ecuación y la usamos para eliminar 𝜇 de las otras dos 𝑦 − 𝑥 − 𝑡 = 0 𝑧 − 𝑥 + 2𝑡 = 0 Reordenando obtenemos 𝑥 − 𝑦 + 𝑡 = 0 𝑥 − 𝑧 − 2𝑡 = 0
- 21. Longitud de arco en ecuaciones paramétricas. Si una curva está formada por un número finito de trozos (ver escena 1) cada uno de los cuales tiene derivada acotada, calculamos su longitud de arco sumando las longitudes de cada uno de los trozos. Tales curvas se denominan C1 a trozos. También se les denomina “suaves a trozos”
- 22. Longitud de arco: La longitud de arco de la trayectoria c(t) = ( x(t) , y(t) , z(t) ) para t0 # t # t1 es: 𝐿(𝑟) = 𝑎 𝑏 𝑥′(𝑡) 2 + 𝑦′(𝑡) 2 + 𝑧′(𝑡) 2 𝑑𝑡
- 23. Conclusión De lo anterior podemos decir que Los vectores son representaciones gráficas de una magnitud vectorial, por los diferentes sistemas de coordenadas podemos graficar elementos con fórmulas paramétricas y cartesianas en el espacio De acuerdo a la definición de ecuaciones paramétricas podemos representar una curva en el espacio mediante valores y una variable llamada parámetro. Aprendimos a cómo transformar una ecuación paramétrica a cartesiana, como calcular la longitud de un arco en el espacio y nos reforzamos con los videos explicativos en referente al tema en estudio.